(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp tính tổ hợp xác suất

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÁNG SƠN =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔ HỢP – XÁC SUẤT Tác giả sáng kiến: Hoàng Trung Hiếu Mã sáng kiến: 18.52.06 Vĩnh phúc, năm 2019 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu “Phương pháp tính Tổ hợp - Xác suất” phần kiến thức quan trọng chương trình tốn học trung học phổ thơng nói chung tốn 11 nói riêng Đây phần có nhiều khái niệm tốn học liên quan đến thực tiễn Hơn với thời lượng kiến thức sách giáo khoa hạn chế, dừng lại số ví dụ định cho phần, cô đọng Nên đa số học sinh nhận xét phần khó, học sinh khơng nắm hết khái niệm việc áp dụng khái niệm vào tốn cụ thể cịn gặp nhiều khó khăn Chính điều thơi thúc cần phải không ngừng học tập, nghiên cứu truyền tải phần kiến thức tới em học sinh cách đơn giản nhẹ nhàng nhất, cho em có hứng thú học với phần này, từ em chăm quan trọng em cịn tự học tập nhà Điều giúp em tiến hơn, nắm hết cơng thức, kiến thức hình học phẳng có liên quan kĩ trình bày, đạt kết học tập cao hơn, giúp em tự tin kì thi quan trọng Từ tơi mạnh dạn viết đề tài: “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” với mong muốn phần giải vấn đề Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔ HỢP – XÁC SUẤT Tên tác giả sáng kiến: Họ Tên: Hoàng Trung Hiếu Giới tính: Nam Ngày sinh: 15.06.1983 Trình độ chun mơn: Cử nhân Toán – Tin Chức vụ: Giáo viên Điện thoại: 0973363938 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn–Sông Lô–Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Thông qua giảng dạy, đối tượng học sinh lớp 11 học sinh ôn thi THPT quốc gia Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 11, năm học 2017 – 2018 Mô tả chất sáng kiến: + Trong đề tài “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” có cải biến mới, thay cách trình bày cũ với cơng thức trình bày trình tự, dạng tốn có ví dụ minh họa, phù hợp với học sinh có học lực trở lên, cịn học sinh có học lực yếu khơng nắm hết cơng thức, kĩ tính tốn Trong đề tài dạng tập trình bày theo dạng, có phân tích kỹ sử dụng cơng thức Sáng kiến trình bày nội dung sau: Kiến thức qui tắc đếm gồm có qui tắc cộng qui tắc - nhân Kiến thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các dạng tập nâng cao Sáng kiến áp dụng rộng rãi nhiều đối tượng học sinh với điều kiện học tập khác - + Với mục đích viết sáng kiến nhằm nâng cao chuyên môn, khả sư phạm quan trọng mong muốn truyền tải đến em học sinh phần kiến thức cách dễ hiểu nhất, giúp em hiểu bài, tự làm tập, tạo hứng thú cho em trình học tập nâng cao khả tự học Sáng kiến tài liệu cần thiết trình dạy học thân, tài liệu để học sinh tự học có nhiều ví dụ có lời giải dễ hiểu, tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tổ hợp - xác suất phần học đòi hỏi tư cao, học sinh cần phân biệt rõ khái niệm, phân biệt khác sử dụng khái niệm vào tập Đây phần tương đối khó Địi hỏi học sinh phải có tư tốt hai phần phần khái niệm áp dụng Vì học sinh học phần cảm thấy khó khăn Đặc biệt học sinh có học lực từ trung bình trở xuống Để khắc phục tình trạng dạy phần giáo viên cần có phương pháp cụ thể như: chia dạng toán hợp lý, đưa phân tích, so sánh nhận xét cho phần, có ví dụ tương ứng với dạng tốn Với ví dụ phù hợp, có lời giải chi tiết giúp học sinh nắm kiến thức cách nhẹ nhàng Để học tốt phần học sinh cần phải nắm phần sau: - - Các khái niệm Các công thức Các dạng tập Sáng kiến “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” phần giải vấn đề cịn phù hợp với nội dung chương trình giảm tải Thống kê kết trước áp dụng sáng kiến qua kiểm tra, giảng dạy lớp 11A1, 11A2 năm học 2017 – 2018 sau: Lớp 11A1 Ss 39 11A2 38 Số điểm < 10,26 % 13,15 % Số điểm 5, 14 35,90 % 15 39,47 % Số điểm 7, 15 38,46 % 13 34,21 % Số điểm 9, 10 15,38 % 13,17 % Sau nội dung thực sáng kiến: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN 1.1 Kiến thức a) Qui tắc cộng: Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực b) Qui tắc nhân: Một cơng việc thực hai hành động liên tiếp A B Nếu hành động A có m cách thực ứng với cách có n cách thực hành động B cơng việc có m.n cách thực c) Hoán vị: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! d) Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp k phần tử khác A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = • Khi k = n Ann n! (n − k )! = Pn = n! e) Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử A (1  k  n) gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk = Số tổ hợp chập k n phần tử: • Qui ước: Cn0 n! k !(n − k )! =1 1.2 Các dạng tập Sau số dạng tập sử dụng qui tắc cộng, qui tắc nhân khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Bài tập phân thành số dạng sau: 1.2.1 Bài toán lập số, lập mã số a) Một số ví dụ đơn giản Ví dụ 1: Trên thẻ nạp tiền mạng vinaphone có 12 chữ số xếp thứ tự lấy từ chữ số từ đến Hỏi lập thẻ nạp tiền vậy? Giải: Gọi mã số cần lập có dạng: a1 a2… a12, ∈{ 0,1, ,9} Để lập mã số ta cần thực liên tiếp hành động Chọn a1 có 10 cách Chọn a2 có 10 cách … … … Chọn a12 có 10 cách Theo qui tắc nhân có 1012 =1.000 000 000 000 (mã số) Ví dụ 2: Một cánh cửa phịng thiết kế đóng mở tự động bảng điều khiển gồm 10 phím số từ đến Nếu muốn cửa mở cần nhập mật gồm phím số khác nhấn liên tiếp Hỏi có cách để nhập mật vậy? Giải: Mỗi mật chỉnh hợp chập 10 phần tử Số mật lập A10 = 720 (mật khẩu) Nhận xét: Nếu lập mã số chữ số đứng đấu Ví dụ 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Lập số tự nhiên a) b) gồm chữ số gồm chữ số khác Giải: a) Gọi số tự nhiên cần lập abc, a ≠ 0, a, b, c ∈{ 0, 1, 2, 3, 4, 5} Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán ta thực hành động liên tiếp sau: Chọn a có cách Chọn b có cách Chọn c có cách Theo qui tắc nhân có tất cả: 5.6.6 = 180 (số) b) Gọi số tự nhiên cần lập abc, a ≠ 0, a, b, c ∈{ 0, 1, 2, 3, 4, 5} , a,b,c đôi khác Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán ta thực hành động liên tiếp sau: Chọn a có cách Chọn b có cách, (b khác a chọn) Chọn c có cách, (c khác a,b chọn) Theo qui tắc nhân có tất cả: 5.5.4 = 100 (số) Nhận xét: Nếu lập số tự nhiên ý chữ số đứng đầu phải khác để đảm bảo số chữ số theo yêu cầu tốn phải xem chữ số có u cầu khác khơng Ví dụ 4: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Lập số tự nhiên a) gồm chữ số khác b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chữ số bên phải lớn chữ số bên trái số Giải: a) Mỗi số tự nhiên cần lập hoán vị phần tử Số số cần tìm P7 = 7!=5040 b) Mỗi số tự nhiên cần lập chỉnh hợp chập phần tử Số số cần tìm A74 = 840 c) Để lập số tự nhiên thỏa mãn đề ta thực liên tiếp hành động sau: Chọn chữ số khác chữ số cho có C74 cách Sắp xếp chữ số cho cho chữ số bên phải lớn chữ số bên trái có cách Theo qui tắc nhân có tất C74 = 35 (số) Nhận xét: Các ý sử dụng hoán vị chỉnh hợp để đếm sử dụng qui tắc nhân để tính dài dịng Học sinh muốn sử dụng hốn vị, chỉnh hợp cần phải hiểu rõ khái niệm điều kiện để áp dụng khái niệm b) Lập số chia hết cho số Nhận xét: Một số dấu hiệu chia hết cho số thường gặp - Dấu hiệu chia hết cho 2: Số có chữ số tận 0, 2, 4, 6, - Dấu hiệ số chia hết cho 5: Số có chữ số tận - Dấu hiệu chia hết cho 3: Số có tổng chữ số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng chữ số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 6: Số chia hết cho Ví dụ 1: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập a) số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác b) số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác Giải: a) Gọi số tự nhiên cần lập abc, a ≠ 0, a, b ∈{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , c ∈ { 1, 3, 5, 7} Để lập số thỏa mãn yêu cầu ta thực liên tiếp hành động sau : Chọn c có cách Chọn a có cách Chọn b có cách Theo qui tắc nhân ta có : 4.7.7 = 196 (số) b) Gọi số tự nhiên cần lập abc, a ≠ 0, a, b ∈{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , c ∈{ 0, 2, 4, 6, 8} TH 1: Nếu c = 0, (số có dạng ab0 ) ta thực liên tiếp hành động sau Chọn a có cách Chọn b có cách Theo qui tắc nhân có tất 8.7 = 56 (số) TH2 : Nếu c≠0 ta thực liên tiếp hành động sau Chọn c có cách Chọn a có cách Chọn b có cách Theo qui tắc nhân có tất 4.7.7 = 196 (số) Vậy có tất 56 + 196 = 252 (số) Chú ý: Phần b) cịn tính theo cách khác sau: +) Đếm tất số lập gồm chữ số khác A82 = 448 (số) +) Vậy số số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác là: 448 – 196 = 252(số) Ví dụ 2: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 3? Giải: Gọi số tự nhiên cần lập Vì abc, a ≠ 0, a, b, c ∈{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} abcM ⇒ ( a + b + c) M Ta có ba số có tổng chia hết cho là: {1, 2, 3}, {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 3, 8}, {1, 4, 7}, {1, 5, 6}, {1, 6, 8}, {2, 3, 4}, {2, 3, 7}, {2, 4, 6}, {2, 5, 8}, {3, 4, 5}, {3, 4, 8}, {4, 5, 6}, {5, 6, 7}, {6, 7, 8} Mỗi số lập 3! số chia hết cho Vậy số số lập 16.3! = 96 (số) Ví dụ 3: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác chia hết cho 6? Giải: Số chia hết cho số chia hết cho +) Ta có số khác có tổng chia hết cho : {1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5} +) Mỗi số {1, 2, 3}, {3, 4, 5} lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác +) Bộ số {2, 3, 4} lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác +) Bộ số {1, 3, 5} khơng lập số tự nhiên chẵn Vậy có tất 2.2 + = (số chia hết cho 6) c) Lập số lớn nhỏ số cho trước Ví dụ 1: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên nhỏ 100? Giải: +) Số số tự nhiên nhỏ 100 có chữ số lập (số) +) Số số tự nhiên nhỏ 100 có hai chữ số khác lập 6.5 = 30 (số) Vậy có tất 30 + = 36 (số) Ví dụ 2: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhỏ 5400? Nhận xét: Giáo viên cần phân tích rõ cho học sinh trường hợp có a để chia trường hợp cho hợp lý Giải: Gọi số tự nhiên cần lập abcd < 5400 ; a,b,c,d thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} TH1: a = Ta thực liên tiếp hành động sau Chọn b có cách Chọn c có cách Chọn d có cách Theo qui tắc nhân có 3.5.4 = 60 (số) TH2: a < Ta thực liên tiếp hành động sau Chọn a có cách Chọn b có cách Chọn c có cách Chọn d có cách Theo qui tắc nhân có 4.6.5.4 = 480 (số) Vậy có tất cả: 60 + 480 = 540 (số) Ví dụ 3: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số nửa khoảng [3000; 4000) biết a) chữ số khơng thiết phải khác b) chữ số khác Giải: Gọi số tự nhiên thuộc [3000;4000) có dạng 10 3abc, a, b ∈{1, 2, 3, 4, 5}, c ∈{2, 4}  2k10! 2k10!  ≥  ≥  k ! 10 − k ! k + ! − k ! ) ( )( ) 22  ( 10 − k k + 19 ⇔ ⇔ ⇔ ≤k≤ k k 3 10!  10! ≥ 2 ≥  k !( 10 − k ) ! ( k − 1) !( 11 − k ) !  k 11 − k  ⇒ k = ( k ∈ ¥ , k ∈ [ 0,10] ) ak = a7 = Vậy max 27 C10 310 2.2.2 Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh hệ thức tính tổng tổ hợp Ví dụ 1: Tính tổng 16 316 C160 − 315 C161 + 314 C162 − + C16 Giải: Dễ dàng thấy tổng có dạng dấu hiệu nêu Ta chọn a = 3, b = -1 Khi tổng (3-1)16 = 216 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: C20n + 32 C22n + 34 C24n + + 32 n C22nn = 22 n −1 ( 22 n + 1) Giải: ( + x ) = C20n + C21n x + C22n x + + C22nn−1 x n−1 + C22nn x n ( 1) 2n ( − x ) = C20n − C21n x + C22n x + − C22nn−1 x n−1 + C22nn x n ( ) 2n Lấy (1) + (2) ta được: ( 1+ x) 2n + ( 1− x) 2n = C20n + C22n x + + C22nn x n  Chọn x = suy ra: ( 4) ⇔ 2n + ( −2 ) 2n = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n  24 n + 22 n = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n 26 ⇔ 22 n ( 22 n + 1) ⇔2 n −1 = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n (22 n + 1) = C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 3.1 Kiến thức a) Định nghĩa: Cho biến cố A có liên quan đến phép thử có khơng gian mẫu Ω Khi tỉ số P ( A) = Kí hiệu: n ( A) n ( Ω) gọi xác suất biến cố A n ( A) n ( Ω) b) Công thức cộng xác suất P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P ( A.B ) c) Công thức nhân xác suất Định nghĩa: Cho hai biến cố có liên quan đến phép thử Hai biến cố gọi độc lập xác suất xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố A B độc lập P ( A.B ) = P( A).P( B) d) Tính chất +) ≤ P( A) ≤ ( ) +) P ( A) = − P A 3.2 Các dạng tập 3.2.1 Tính xác suất biến cố dựa vào định nghĩa cổ điển 27 Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên 52 Tính xác suất để chọn có át Ω = C522 = 1326 Giải: Số phần tử không gian mẫu: Gọi A: “Trong chọn có át” Bộ có át nên có C41 = cách chọn qn át Có 48 cách chọn qn cịn lại ( 52 – át = 48) số phần tử biến cố 4.48 = 0,145 1326 P ( A) = A = C41 48 Vậy Ví dụ 2: Gieo đồng xu cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất để kết quẩ gieo nhiều mặt sấp (S) Giải: Mô tả không gian mẫu Ω = { SS, SN , NN , NS} A = { SN ; NN ; NS} Biến cố gieo nhiều mặt sấp P ( A) = tử nên , khơng gian mẫu có phần tử , biến cố A có phần Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên viên bi bình đựng viên bi đen viên bi trắng Tính xác suất để chọn viên bi trắng Giaỉ: Chọn ngẫu nhiên viên bi bình đựng 10 bi có 10 cách chọn ⇒ n ( Ω ) = 10 Gọi A: “Chọn bi trắng” Có cách chọn bi trắng bi trắng ⇒ n ( A) = 28 P( A) = Nên 10 Ví dụ 4: Chọn ngẫu nhiên 13 52 Tính xác suất để 13 chọn có tép, cơ, rô, bích Giải: n ( Ω ) = C5213 Gọi A: ”chọn tép, cơ, rơ, bích” • • • • Có Có Có Có C135 C134 C133 C13 cách chọn tép 13 tép cách chọn 13 cách chọn rô 13 rơ cách chọn bích 13 bích P( A) = Vậy xác suất phải tìm là: C135 C134 C133 C131 = 0, 005 13 C52 Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên số 50 số tự nhiên: 1; 2; 3; 4….50 a) Tính xác suất biến cố A: số có số bội b) Tính xác suất biến cố B: số có số số phương Giải: a) Ta có C503 cách chọn số 50 số Trong số từ đến 50 có 10 số bội 5, có 29 C102 cách chọn số bội P ( A) = Có 40 cách chọn số khơng phải bội Vậy 40.C102 = 0, 09 C503 b)Trong số tự nhiên từ đến 50 có số phương 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 Do có C43 cách chọn số khơng số phương Vậy số cách chọn số có số số phương Vậy C503 − C43 3 C503 − C43 C43 P( B) = = − = 0,37 C503 C50 Ví dụ 6: Một người viết 10 thư ghi địa gửi cho 10 người bạn 10 phong bì Sau người bỏ ngẫu nhiên 10 thư 10 phong bì Tính xác suất để người bạn nhận thư Giải: Bỏ 10 thư vào 10 phong bì có 10! cách bỏ Chỉ có trường hợp người P= nhận thư Vậy 10! 3.2.2 Tính xác suất biến cố dựa vào công thức c) Công thức nhân xác suất Chú ý: +) A B độc lập P ( A.B ) = P( A).P( B) ( ) +) P ( A) = − P A Ví dụ 1: Một xổ số tombola có 100 vé 10 vé trúng Một người mua chọn ngẫu nhiên vé Tính xác suất để a) vé trúng b) vé trúng 30 Giải: Số cách chọn 100 vé là: 3 C100 ⇒ n ( Ω ) = C100 a) Biến cố A : “được vé trúng vé không trúng” P( A) = Vậy ( ) Vậy = C903 C102 C902 = 0, 248 C100 b) Gọi B : “được vé trúng” suy n B ⇒ n ( A) = C101 C902 Do B : “cả vé không trúng” n ( B ) = n ( Ω ) − n ( B ) = C100 − C903 C100 − C903 P ( B) = = 0, 273 C100 Ví dụ 2: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần Gọi A biến cố “Lần gieo thứ số chẵn”, B biến cố “ Lần gieo thứ hai số lẻ” a) Hai biến cố A B có độc lập khơng? b) Xác định biến cố giao hai biến cố A B? Giải: a) A, B hai biến cố độc lập việc xảy hay khơng xảy biến cố A không ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố B b) Giao hai biến cố A B biến cố “Lần gieo thứ số chẵn lần gieo thứ hai số lẻ” Ví dụ 3: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất Gọi A biến cố gieo số chẵn B biến cố gieo bội số Chứng minh: Giải: Ta có P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A.B ) A = { 2; 4;6} ; B = { 3;6} Do 31 A ∪ B = { 2;3; 4;6} AB = { 6} P ( A) = Vậy = ; P( B) = = ; P ( A ∪ B ) = = ; P ( A.B ) = 6 6 P ( A) + P( B) − P( A.B) = Suy 1 + − = = P ( A ∪ B) Ví dụ 4: Một lớp học có 40 học sinh, có: 15 học sinh giỏi Tốn, 10 học sinh giỏi Lý học sinh giỏi Toán Lý Chọn ngẫu nhiên học sinh Hãy tính xác suất để học sinh giỏi Tốn giỏi Lý Giải: A : “Học sinh chọn giỏi Toán”, B : “Học sinh chọn giỏi Lý” Ta có A.B: “Học sinh chọn giỏi Toán Lý” A∪ B : “Học sinh chọn giỏi Toán Lý”, P ( A) = Và: Vậy: 15 10 = ; P(B) = = ; P ( A.B ) = = 40 40 40 1 P ( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) − P( A.B) = + − = 8 Ví dụ 5: Xét không gian mẫu E hai biến cố xung khắc A B, biết xác suất ( ) ( ) P( A.B); P ( A ∪ B ) ; P A ; P B P(A) = 0,3; P(B) = 0,5 Tính Giải: A B hai biến cố xung khắc nên P(A.B) = P ( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) = 0,3 + 0,5 = 0,8 A B biến cố đối A nên P( A) = − P( A) = − 0,3 = 0, ( ) P B = − P ( B ) = − 0,5 = 0,5 biến cố đối B nên Ví dụ 6: Cho hai biến cố A B Chứng minh rằng: 32 P( A) = P( AB) + P ( AB) ( ) A = ( AB ) ∪ AB Giải: Ta có xảy A kết xảy (của A B) hay (sự xảy A không xảy B) Mà A.B xung khắc AB hai biến cố ( ) P ( A) = P( AB) + P AB Vậy Ví dụ 7: Một cơng nhân phải theo dõi hoạt động hai máy dệt A B Xác suất để người công nhân phải can thiệp máy dệt A 1/7 máy dệt B thời gian 1/5 Tính xác suất để người công nhân can thiệp máy Giải: Xác suất để máy A bị hỏng độc lập với xác suất để máy B bị hỏng ( ) P A = − P ( A) = − Ta có: ( ) P B = − P( B) = − Và = 7 = 5 với với B A biến cố máy A không bị hỏng biến cố máy B không bị hỏng Vậy xác suất để người công nhân can thiệp vào máy ( ) 24 P A.B = = = 0, 69 35 Ví dụ 8: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia 0,2 Tính xác suất để lần bắn, xạ thủ bắn trúng bia lần Giải: Gọi A: “Xạ thủ bắn trúng”, A “Xạ thủ bắn không bắn trúng” ( ) P A = − P ( A) = − 0, = 0, Ta có P(A) = 0,4 Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia lần không trúng hai lần sau là: P1 = 0,4.0,6.0,6 = 0,14 Xác suất để xạ thủ bắn trúng lần không trúng lần lần P2 = P1 33 Xác suất để xạ thủ bắn trúng lần không trúng hai lần đầu P3 = P1 Vậy xác suất để xạ thủ bắn trúng lần P = 0,14.0,14.0,14 = 0,42 Ví dụ 9: Cho a) P( A) = ; P ( B) = P( A.B) = 12 Xung khắc hay không? P ( AB ) = Giải: a) Vì ≠0 Hỏi hai biến cố A B có: b) Độc lập với hay không? nên A B không xung khắc P ( A).P ( B ) = = = P ( A.B ) 12 Ta có Vậy A B hai biến cố độc lập MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO TỰ LUYỆN Bài tập lập nhóm Bài Có cách chia 10 đồ vật đơi khác cho hai người, cho người đồ vật? b) 210 − = 1022 Đáp số: Bài 2: Có sách giáo khoa giống sách tham khảo đôi khác đem làm giải thưởng cho học sinh cho người sách Tính số cách nhận giải thưởng học sinh C × 3!= 336 Đáp số: Bài Có cách chia người thành nhóm, nhóm người, trường hợp sau: a) Phân biệt thứ tự nhóm là: nhóm 1, nhóm 2, nhóm b) Khơng phân biệt thứ tự nhóm? 2 C × C × C = 90 2 C ×C ×C 3! = 15 Đáp số: a) b) Bài Có cách chia đồ vật đôi khác cho người cho người đồ vật? Hướng dẫn: TH1: Mỗi người đồ vật 2 C ×C TH2: Một người 1, người 2, người đồ vật 34 C ×C × 3! 1 C ×C ×3 TH3: Hai người người 1, người Sử dụng quy tắc cộng, ta 540 cách chia Bài 5: Đội niên xung kích trường THPT Hùng Vương có 12 học sinh, gồm học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho lớp có học sinh Hỏi có cách chọn Đáp số : 270 Bài 6: Có sách Tốn giống nhau, sách Lý giống sách Hóa giống đem làm giải thưởng cho 10 em học sinh cho người hai sách khác loại Hỏi số cách chọn giải thưởng dành cho 10 em học sinh giỏi nói Đáp số : 2520 Bài Một thầy giáo có 12 sách đơi khác nhau, có Văn học, âm nhạc hội hoạ (các đôi khác nhau) Thầy giáo muốn lấy đem tặng cho học sinh, học sinh cho sau tặng xong, thể loại Văn học, Âm nhạc, Hội họa cịn lại Hỏi có cách tặng ? Đáp số: 579600 Bài 8: Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi hộp Hỏi có cách chọn cho số bi lấy không đủ ba màu Đáp số : 645 Bài 9: Một trường tiểu học có 50 em học sinh giỏi, có cặp em sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 em học sinh giỏi trại hè Hỏi có cách chọn mà nhóm em khơng có cặp anh em sinh đôi Đáp số : 19408 Bài 10: Trong 16 học sinh có học sinh giỏi, học sinh học sinh trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ gồm học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh Đáp số : 7560 Bài tập hình học Bài Trên đường trịn có 15 điểm Có thể dựng tam giác mà đỉnh chúng thuộc tập 15 điểm đó? Đáp số : 455 tam giác A A A 10 Bài 2: Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) , , Xét tất tam giác mà đỉnh đỉnh thập giác Hỏi số tam giác đó, có tam giác mà cạnh khơng phải cạnh thập giác? 35 Đáp số:50 Bài 3: Cho đa giác lồi có n cạnh a) Tính số đường chéo đa giác b) Tính số giao điểm đường chéo Đáp số C C n n a) Số đoạn thẳng nối đỉnh Do số đường chéo −n b) Cứ điểm ta đường chéo cắt điểm Do số giao C n điểm Bài 4: Cho đa giác (H) có 20 đỉnh a)Tính số tam giác có đỉnh đỉnh (H) khơng có cạnh H b)Tính số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh H Đáp số: a)800 b) 320 Bài 5: Có đường thẳng song song 12 đường thẳng song song khác cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo thành ? Đáp số: 990 hình bình hành Bài 6: Có hai đường thẳng song song d1 d2.Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, d2 lấy điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà đỉnh số điểm cho Đáp số: 1485 Bài 7: Cho hai đường thẳng song song d1, d2 Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 lấy n điểm phân biệt (n ≥2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho.Tìm n? Đáp số: 20 Bài 8: Cho hai đường thẳng song song a b Trên a lấy 10 điểm phân biệt b lấy 13 điểm phân biệt Có hình thang tạo thành từ điểm nằm hai đường thẳng cho? Đáp số: 3510 Bài 9: Có đường chéo đa giác lồi 15 cạnh nội tiếp đường trịn Đáp số: 90 Bài 10 Cho hai đường thẳng song song (d1) (d2) Trên đường thẳng (d2) lấy 17 điểm, đường thẳng (d2) lấy 20 điểm phân biệt Hãy tính số tam giác có đỉnh điểm số điểm lấy hai đường thẳng nói Đáp số: 5950 Bài tập lập số Bài 1: Cho chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; } Có thể lập số tự nhiên có bốn chữ số khác mà có chứa chữ số và hai chữ số đứng cạnh 36 Đáp số : 104 Bài 2: Cho chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; } Có thể lập số có chữ số chữ số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt lần Đáp số : 53760 Bài 3: Cho chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; } Hỏi lập số có chữ số khác từ chữ số trên, thiết phải có chữ số Đáp số : 13320 Bài 4: Cho chữ số thuộc tập A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; } Có thể lập số có chữ số từ tập cho chữ số có mặt hai lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần Đáp số : 10080 Bài 5: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; lập chữ số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho có chữ số chẵn chữ số Đáp số : 756 Bài 6: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho có chữ số chẵn chữ số đứng cạnh Đáp số : 360 Bài tập nhị thức Niuton Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 hệ số khai triển sau: ( x + 1) ( x + ) = x11 + a1 x10 + + a11 Hãy tìm hệ số a5 x ( − x ) + x ( + 3x ) Bài 2: Tìm hệ số x5 khai triển 10 ( Khối D-2007) ( x + y + z + t) 20 Bài 3: Tìm hệ số x5y3z6t6 khai triển đa thức ( Đề “TH&TT” -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số x11 khai triển đa thức: (x + 2) n ( 3x + 1) n biết: C22nn − 3C22nn −1 + + ( −1) 3k C22nn −k + + 32 n C20n = 1024 k Bài tập phương trình, bất phương trình tổ hợp 37 Bài 1: Rút gọn biểu thức sau E = ĐS: E = (n + 1)(n + 2) + Bài 2: Giải phương trình sau A 4n 24 = n −4 A n +1 − Cn 23 10 C15 + 2C15 + C15 Pn + + 10 A kn Pn − k C17 1 − x = x x C C5 C a) b) ĐS: a) n = b) x = c) x = 10 Bài 3: Giải phương trình sau c) C xx −1 + C xx −2 + C xx −3 + + C xx −10 = 1023 x+4 2x −10 C10 + x = C10 + x A 2x − + C xx − = 101 C nn −−13 < A n +1 14P3 C 4n −1 − C3n −1 − A n2 −2 < C xx −+12 + 2C3x −1 A 3x + C xx − = 14x a b ĐS: a x = 14, x = b x = 10 Bài Giải bất phương trình c c x = 17 C8x++x3 = 5A 3x +6 a b ĐS: a n ≥ b n = 6; 7; 8; 9; 10 Bài 5: Giải phương trình bất phương trình: a 11C d 2x 28 = 7(x – 1) b = 225C 2x − 24 2C2x +1 + 3A 2x < 30 4C e n −1 − 4C n −1 < 5A c n− 2 A 2x − A 2x ≤ C3x + 10 x f A 5x = 336C xx −−52 14P3C nn −−13 < A 4n +1 g h Bài tập xác suất Bài 1: Chọn ngẫu nhiên 52 a) Tính xác suất để chất giống b) Tính xác suất để khác chất Bài 2: Một bình đựng viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi a) Tính xác suất để viên bi màu b) Tính xác suất để viên bi khác màu Bài 3: Bình U1 đựng bi đỏ bi đen; bình U2 đựng bi đỏ bi đen Lấy ngẫu nhiên bi U1 bi U2 Gọi A biến cố bi đỏ, B biến cố bi mà tất không màu C biến cố lấy bi đỏ từ bình U2 a) Tính P(A) b) Tính xác suất để bi màu 38 C  P ÷ B c) Tính Bài Một xạ thủ A có xác suất bắn trúng bia mục tiêu 0,7 Giả sử xạ thủ bắn lần Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng mục tiêu lần ĐS: 0,973 Bài Hai thợ săn A B có xác suất bắn trúng thú đứng yên 0,6 0,5 a Giả sử thợ săn đồng thời bắn phát xác suất thú bị trúng đạn bao nhiêu? b Giả sử thợ săn B bắn nhanh phát trước mồi bỏ chạy không bị trúng đạn Xác suất cao mà thợ săn bắn trúng mồi bao nhiêu? Coi xác suất bắn trúng lần bắn c Nếu muốn xác suất bắn trúng mồi 90% người thợ săn A cần phải bắn nhanh phát trước mồi bỏ chạy? Coi xác suất bắn trúng lần bắn không thay đổi Bài Gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất a Tổng số chấm hai lần gieo 10 b Tổng số chấm hai lần gieo số lẻ c Có lần số chấm từ trở lên Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Thông qua giảng dạy, đối tượng học sinh lớp 11 học sinh ôn thi THPT quốc gia 10 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Qua trình giảng dạy thân trình học tập học sinh tơi thấy sau áp dụng sáng kiến việc truyền tải kiến thức phần đến học sinh dễ dàng hơn, học sinh học tập với tinh thần tích cực hơn, hứng thú có tính tự giác cao Từ kết học tập đạt kì thi cao rõ rệt 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: 39 Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Hoàng Trung Hiếu Trường THPT Sáng Sơn áp dụng sáng kiến Sông Lô, ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị Lớp 11A1,11A2 Sông Lô, ngày tháng năm Tác giả sáng kiến Hoàng Trung Hiếu 40 ... viết đề tài: ? ?Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất? ?? với mong muốn phần giải vấn đề Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔ HỢP – XÁC SUẤT Tên tác giả sáng kiến: Họ Tên: Hồng Trung Hiếu Giới tính: Nam Ngày... xác suất Bài 1: Chọn ngẫu nhiên 52 a) Tính xác suất để chất giống b) Tính xác suất để khác chất Bài 2: Một bình đựng viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi a) Tính xác suất. .. công thức Các dạng tập Sáng kiến ? ?Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất? ?? phần giải vấn đề cịn phù hợp với nội dung chương trình giảm tải Thống kê kết trước áp dụng sáng kiến qua kiểm tra, giảng dạy