Điểm C nằm trên d, biết rằng đường thẳng CM cắt trục hoành tại A và đường thẳng CN cắt trục tung tại B.. Chứng minh rằng đường thẳng AB đi qua 1 điểm cố định khi C chạy trên d.[r]
(1)SỞ GD&ĐT KHÁNH HÒA ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN-LỚP 12 THPT-BẢNG B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(4,00 điểm) a) Cho hàm số y 2x x có đồ thị (C) Tìm tọa độ cùa các điểm M C cho khoảng cách I 1;2 từ điểm tới tiếp tuyến M (C) là lớn I b) Tính Bài 2:(4,00 điểm) 2 e x 1 x dx 2 a) Giải phương trình x x 2 x x x 19 x 43 0 36 36 b) Giải phương trình Bài 3:(4,00 điểm) cos B cos C sin A a) Chứng minh tam giác ABC có góc A 120 và sin B sin C cos A y x 6x x với x>0 b) Tìm giá trị nhỏ hàm số Bài 4:(5,00 điểm) a) Cho M(2;5), N(-1;1) và đường thẳng (d):x-2y=0 Điểm C nằm trên (d), biết đường thẳng CM cắt trục hoành A và đường thẳng CN cắt trục tung B Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định C chạy trên (d) b) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Hai đoạn MP và NQ cắt H khác O Hãy tìm điểm I trên đường tròn tâm H bán kính HO cho (IA+IB+IC+ID) có giá trị lớn Bài 5:(3,00 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · · · BAD BAA ' DAA ' 600 Tính thể tích khối hộp theo a AA ' a 3 và Hướng dẫn đáp án : Đáp án : Bài 1: y a/ M(x0;y0) : pptt(∆) (C) M: x0 + d(M;(∆)) = 1 ( x0 1) ( x x0 ) y0 ( x0 1) ( x0 1) 2 | x0 1| | x0 1| = ( x0 1) = (2) + Điểm cần tìm M' và M' t b/ Bài toán gốc : t f ( x) I x dx f ( x)dx a 1 t ,nếu f(x)- chẵn (a>0) Áp dụng : Đặt x = - t ,ta có : Bài 2: I dx t , Đặt : t = 2tanu giải là xong 2 a.pt đã cho ( x 1)( x 3x 3) 2[( x 3x 3) ( x 1)] + Đặt v = x+1 và u = x2-2x+3 , ta có : phương trình đẳng cấp u,v + 9uv = 4(u -2uv+v ) 4u -17uv+4v = u = 4v u = v, tiếp tục giải thì 2 2 x 19 x 43 36 36 trên R, f'(x) = b.Xét hàm số : f(x) = x x 2 19 2 2 g ( x) ln ln 3 36 , là hàm x 2 2 19 g ( x) ln lim g ( x) 0 lim g ( x) 3 =- 36 có nghiệm đông biến có x và x -∞ nên f'(x) = ,do đó f(x) =0 có nhiều nghiệm mà : f(-2) = f(1) = Bài : B C B C cos sin A 2 cos B cos C sin A B C B C 2.sin cos cosA 2 a sin B sin C cos A B C 2.cos300 cos cos300 B C 2.sin30 cos -sin300 (đpcm) 2.cos y x 7 x 2 6x x 6x 6x Dấu xảy x= b Bài : a C(2m;m) thuộc (d) , ta có : đường thẳng (CM):(5-m)x+(2m-2)y -8m = và (CN): (1-m)x+(2m+1)y -3m = + Vì CM cắt trục hoành A và đường thẳng CN cắt trục tung B, nên A(8m/5-m;0) và B(0;3m/2m+1) + (AB): (-3x+16y-24)m+15x+8y = Điểm cố định là nghiệm hệ phương trình : 3x 16 y 24 0 15 x y 0 x = 8/11 và y = 15/11 2 2 b áp dụng cô si cho số : IA+IB+IC+ID 4(IA IB IC ID ) ,C(O;R) ngoại tiếp ABCD 2 2 2 2 2 HI ( HA HB HC HD ) IA IB IC ID Ta có : = 4HI + HA +HB +HC +HD = = 4HI2 + HA2+HB2+HC2+HD2 = 4r2 + K.không đổi nên dấu băng xảy IA = IB = IC = ID , tức là H O Bài : (3) + Trên AB và AD lấy điểm E và F cho AA' = AM = AN thì Tứ diện AA'MN là tứ diện có AA ' a ,tính diện tích hình thoi ABCD = lần diện tích tam đường cao là A'H = d(A';(ABCD)) = a2 giác cạnh a và Do đó tính thể tích hình hộp (4)