Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hs cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8.. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A và B, đồng thời khoảng cách từ [r]
(1)PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Giới hạn hàm số a và a. Ví dụ Tính giới hạn sau Giới hạn vô cực: 3 1 b) lim x x x 4 a) lim x3 x x x Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x x x x Ví dụ Tính giới hạn sau 2x a) lim x x Giới hạn bên x0 : b) lim x x b) lim x x 2x 1 a Ví dụ Tính giới hạn sau 3x 1 a) lim b) lim x 0 x x 1 x II Tính đơn điệu và cực trị hàm số Ví dụ Xét tính đồng biến, nghịch biến và tìm các điểm cực trị (nếu có)của các hàm số sau 1 3x a) y x 3x x b) y x x c) y d) y x x x 1 Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số: y x3 x x Ví dụ Tìm m để hàm số y x3 2m 1 x 12m x đồng biến trên R x mx 3m x có hai điểm cực trị 3 Ví dụ Tìm m để hàm số y x m 1 x m có ba điểm cực trị Tìm tọa độ các điểm cực trị theo m Ví dụ Tìm m để hàm số y BTVN Bài Xét tính đồng biến, nghịch biến và tìm các điểm cực trị (nếu có) các hàm số sau 2x 1 a) y x x b) y x x c) y d) y x x x 1 3 Bài Tìm m để hàm số y x 3mx 3m có hai điểm cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y x Bài Tìm m để hàm số y x mx (m m 1) x đạt cực đại x (2) PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x C điểm M x0 ; f x0 là y f ' x0 x x0 f x0 Điểm M x0 ; f x0 gọi là tiếp điểm và k f ' x0 gọi là hệ số góc tiếp tuyến M I Dạng Biết tọa độ tiếp điểm M x0 ; f x0 Nếu biết tung độ tiếp điểm là y0 thì giải phương trình f x0 y0 x0 Ví dụ Cho hàm số y x3 x x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ -1 Ví dụ Cho hàm số y f x x x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 , biết f '' x0 1 (TN - 2012) Ví dụ Cho hàm số y x3 x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm đồ thị (C) với trục tung (GDTX - 2011) 2x Ví dụ Cho hàm số y có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ x 1 (GDTX - 2012) II Dạng Biết hệ số góc tiếp tuyến Biết hệ số góc tiếp tuyến là k thì giải phương trình f ' x0 k x0 Chú ý Tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b thì f ' x0 a Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b thì f ' x0 Ví dụ Cho hàm số y a 2x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp x 1 tuyến -2 2x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc x 1 với đường thẳng y x (CĐ - 2012) Ví dụ Cho hàm số y II Dạng Tiếp tuyến qua điểm A x A ; y A Thay tọa độ điểm A x A ; y A vào phương trình tiếp tuyến (C) dạng tổng quát x0 2x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ tiếp tuyến qua x 1 điểm A 1; 3 (TN - 2005) Ví dụ Cho hàm số y BTVN 3 x x điểm cực đại nó Bài (B - 2008) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 x , biết tiếp tuyến qua điểm Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y M 1; 9 m x x (1), m là tham số Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có 3 hoành độ -1 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) M song song với đường thẳng x y Bài (D - 2005) Cho hàm số y (3) PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Biện luận số nghiệm phương trình f x m Số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y m với đồ thị (C) hàm số y f x Ví dụ Cho hàm số y x3 x a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình x3 x m có nghiệm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y x x a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình x 3x có nghiệm phân biệt Ví dụ (A - 2006) Cho hàm số y x x 12 x a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x x 12 x m II Tương giao đồ thị hàm số y f x với đường thẳng y ax b Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là f x ax b (1) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số n điểm phân biệt phương trình (1) có n nghiệm phân biệt 2x Ví dụ (TN - 2011) Cho hàm số y 2x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Xác định tọa độ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y x Ví dụ Cho hàm số y x x Tìm k để đường thẳng y k x 1 cắt đồ thị (C) điểm phân biệt BTVN Bài Cho hàm số y x x a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m có nghiệm phân biệt c Với giá trị nào k , phương trình x x k có nghiệm phân biệt (B - 2009) b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình x x Bài Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng y 2 x với đồ thị hàm số y x x x Bài (CĐ - 2008) Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y hai điểm phân biệt x 1 (4) PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài Cho hàm số y x 3mx m 1 x (1), m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A 1; 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m tìm Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 2a x x2 3 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d : y 2 x với đồ thị (C) Bài Cho hàm số y x m x m (1), m là tham số Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị và giá trị cực tiểu 3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m vừa tìm Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục Ox Dựa vào đồ thị (C), tìm các giá trị tham số k để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 8x k 2x Bài Cho hàm số y (1) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) giao điểm I hai tiệm cận thuộc đường thẳng y mx Tìm m để hàm số (1) cắt đường thẳng y x hai điểm phân biệt Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số (1) BTVN Bài Cho hàm số y x 3mx (1), m là tham số Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại x Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m vừa tìm câu 1) Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 3 x x m 1 4 Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định 2x m Bài Cho hàm số y (1), m 4 là tham số x2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm có hoành độ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m vừa tìm câu 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục Oy Tìm m để hàm số (1) cắt đường thẳng y x hai điểm phân biệt Bài Cho hàm số y x x Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x 6x2 m Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp tuyến 21 (5) BÀI TẬP NÂNG CAO I Cực trị hàm số Bài Cho hs y x3 3x mx Tìm m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời chúng đối xứng với qua đường thẳng y x 4 Bài Cho hs y x 3mx 4m Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hs cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài Cho hs y x3 9mx 12m x Tìm m để hàm số cố cực đại x1 và cực tiểu x2 cho x12 x2 Bài Cho hàm số y x3 3mx2 m (1) Tìm các giá trị m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài Cho hs y x 3x mx Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A và B, đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ đến trọng tâm G tam giác AOB nhỏ Bài Cho hs y x3 3(m 2) x 6(5m 1) x (4m3 2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x0 (1; 2] Bài Cho hs y x 3mx 3(m2 1) x m3 m Tìm m để hs có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa dộ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa dộ O Bài Cho hs y x3 3mx Tìm m để đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hs cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Bài Cho hs y x3 3(m 1) x x m Xác định m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 Bài 10 Cho hs y x 3mx 3(m 1) x m3 4m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O Bài 11 Cho hs y x3 3(m 1) x m Tìm m để hs có các điểm cực trị A, B cho ba điểm A, B, I(3;1) thẳng hàng Bài 12 Cho hs y x3 x mx Tìm m để hs có cực trị, đồng thời đường thẳng qua các điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Bài 13 Cho hs y x m x 5m x m Tìm m để hs đạt cực trị các điểm x1 , x2 cho x1 1 x2 Bài 14 Tìm m để hs y x3 m 1 x 6m 1 2m x có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng y 4 x x mx x m có khoảng cách các điểm cực đại, cực tiểu nhỏ Bài 16 Tìm m để hàm số y x3 3x m x m có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y x 2 Bài 17 Cho hs y x 2mx Tìm m để các điểm cực trị hs nằm trên các trục tọa độ Bài 15 Tìm m để hs y Bài 18 Cho hàm số y x 2mx 2m m Tìm m để hàm số có ba cực trị lập thành tam giác Bài 19 Cho hàm số y x 2mx m m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 Bài 20 Cho hàm số y x 4mx 4m ,(1) Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đồ thị xác định tam giác có diện tích Bài 21 Cho hàm số y x 2mx 2m m (1) (6) Tìm các giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị tạo thành tam giác có diện tích Bài 22 Cho hs y x 2m x Tìm m để hs có điểm cực trị tạo thành tam giác II Tiếp tuyến đồ thị hàm số Bài Cho hs y x x Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3;4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho tiếp tuyến (C) M, N vuông góc với 28 Bài Cho hàm số y = x3 - 3x + (C) Chứng minh qua điểm M0 ;0 kẻ ba tiếp tuyến với (C) 27 đó có hai tiếp tuyến vuông góc với Bài Cho hs y x x Tìm hai điểm A, B thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) hai điểm A, B song song với và AB Bài Cho hs y x 3x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), các giao điểm đồ thị (C) với đồ thị x4 hàm số y x Bài Cho hs y x3 x x Tìm tọa độ các điểm trên trục hoành cho qua điểm đó kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và góc hai tiếp tuyến này 450 Bài Cho hs y x x Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(-1;-1) Bài Cho hs y x3 3x m Tìm m để tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy A và B cho diện tích tam giác OAB Bài Cho hs y x mx m , ( Cm ) Tìm m để các tiếp tuyến ( Cm ) các điểm cố định ( Cm ) vuông góc với Bài Cho hs y x x Trên (C) lấy hai điểm phân biệt là A và B có hoành độ là a và b Tìm điều kiện a và b để hai tiếp tuyến (C) A và B song song với 2x Bài 10 Cho hs y (C) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt TCĐ và TCN x2 A, B cho cos ABI ,với I là giao tiệm cận (C) 17 2x ,(1) I là giao điểm hai tiệm cận (C ) , đường thẳng (d ) có phương x 1 trình: x y , (d ) cắt (C ) hai điểm A, B với A có hoành độ dương Viết phương trình các tiếp tuyến (C ) vuông góc với IA Bài 11 Cho hàm số: y x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến này cắt trục Ox, Oy x2 hai điểm phân biệt A, B khác gốc toạ độ O cho OA = OB Bài 12 Hàm số: y Bài 13 Cho hs y 2x 1 ,(1) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm trên (1) điểm M có hoành độ dương cho x 1 tiếp tuyến M với đồ thị (1) cắt hai đường tiệm cận A, B thỏa mãn: IA2 IB 40 x Bài 14 Cho hàm số y = Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường x 1 thẳng qua điểm M và điểm I(1; 1) x Bài 15 Cho hs y = Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C), biết khoảng cách từ giao điểm I hai tiệm x 1 cận đến tiếp tuyến d (7) 2x 1 Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị Tìm điểm M trên đồ thị cho tiếp x 1 tuyến M vuông góc với IM x2 Bài 17 Cho hs y Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận x 1 (C) tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn mx Bài 18 Cho hàm số y , (Cm) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (Cm) Tiếp tuyến điểm xm (Cm) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A và B Tìm m để tam giác IAB có diện tích 12 2x Bài 19 Cho hs y Gọi M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận A x2 và B Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2 x 1 Bài 20 Cho hs y (C) Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O và cắt đồ thị (C) hai điểm phân 2x 1 biệt A và B cho tiếp tuyến (C) A và B song song với x2 Bài 21 Cho hs y (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm giá trị lớn từ I đến tiếp tuyến x 1 bất kì (C) III Tương giao hai đồ thị hàm số Bài Cho hs y x x Gọi d là đường thẳng qua điểm A(2;4) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d Bài 16 Cho hs y cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho BC 2 Bài Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + Tìm m để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc Bài Cho hs y x3 3x Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;-2) có hệ số góc k<3 cắt đồ thị điểm phân biệt và điểm đó là trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm còn lại Bài Cho hs y x x x Tìm m để đường thẳng y mx cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt O(0;0), A, B Chứng tỏ m thay đổi, trung điểm I đoạn thẳng AB luôn nằm trên cùng đường thẳng song song với Oy Bài Cho hs y x (m 3) x 4mx m2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho x A2 xB2 xC2 Bài Cho hàm số y x 2m2 x (1) Chứng minh đường thẳng y = x + luôn cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m Bài Cho hs y x 2(m 1) x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn -4 Bài Cho hàm số: y x (3m 2) x 3m có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị hàm số Cm cắt đường thẳng y = - điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn điều kiện: x12 x22 x32 x42 x1 x2 x3 x4 2x 1 Bài Cho hs y Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O và cắt (C) hai điểm phân biệt A, B x 1 cho O là trung điểm AB x Bài 10 Cho hs y Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B cho tam x 1 giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 x Bài 11 Cho hàm số y có đồ thị (C) Tìm các giá trị m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C) hai x 1 điểm phân biệt A và B cho góc hai đường thẳng OA và OB 600 (với O là gốc tọa độ) (8) IV Một số bài toán khác hàm số 2x Bài Cho hàm số y (1) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm tọa độ các điểm A, B x 1 thuộc hai nhánh (C) cho IA IB nhỏ 2x Bài Cho hs y Tìm trên (C) điểm đối xứng qua đường thẳng d: x y x 1 x2 Bài Cho hs y (1) Tìm điểm M trên (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (C) là nhỏ x 1 2x Bài Cho hàm số y Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt cho A x 1 và B đối xứng qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= x 1 Bài Cho hs y Tìm trên (C) các điểm A, B cho độ dài AB và đường thẳng AB vuông góc với x2 đường thẳng y x 2x Bài Cho hs y Gọi M là điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận x 1 A, B Chứng minh diện tích tam giác AIB (I là giao điểm hai tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào vị trí M x2 Bài Cho hs y Gọi I là giao điểm hai tiệm cận, là tiếp tuyến bất kì (C) Tìm khoảng cách x 1 lớn từ điểm I đến đường thẳng x 5 Bài Cho hs y (C) 2x Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên Chứng minh tam giác ABC có đỉnh thuộc (C) thì trực tâm H tam giác đó thuộc (C) Bài Cho hs y x x m (1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm trên (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua điểm M (1;0) Xác định m để đồ thị hs (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua điểm N (1; 2) 2x 1 Bài 10 Cho hs y (C) x 1 Tìm trên (C) các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ Tìm điểm trên (C) cho khoảng cách từ điểm đó đến giao điểm hai tiệm cận là nhỏ 2x 1 Bài 11 Cho hs y (C) x 1 Tìm điểm M trên (C) cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục tọa độ là nhỏ Tìm trên nhánh (C) điểm cho khoảng cách chúng là nhỏ Bài 12 Cho hs y x3 3(m 1) x 3mx ( Cm ) Chứng minh ( Cm ) luôn qua hai điểm cố định m thay đổi Bài 13 Cho hs ( Cm ): y (1 2m) x 3mx (m 1) Tìm các điểm cố định họ đồ thị trên Bài 14 Cho hàm số y x 3(m 1) x 3(m 1) x 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên R Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) Bài 15 Cho hàm số y x3 3(2m 1) x (12m 5) x Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) (9)