ĐƯỜNG TRÒN: .Sự xác định đường tròn: Muốn xác định được một đường tròn cần biết: + Tâm và bán kính,hoặc + Đường kính Khi đó tâm là trung điểm của đường kính; bán kính bằng 1/2 đường kín[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP Phần A- Đại số Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA Kiến thức bản: Điều kiện tồn : A có nghĩa A 0 A2 A Hằng đẳng thức: Liên hệ phép nhân và phép khai phương: A.B A B Liên hệ phép chia và phép khai phương: A A B B A B A B Đưa thừa số ngoài căn: A B A B A A B B B Khử thức mẫu: C ( B 0) ( A 0; B 0) ( B 0) A B Trục thức mẫu: ( A 0; B 0) ( A 0; B 0) A B A B Đưa thừa số vào căn: ( A 0; B 0) C( A B ) A B Bài tập: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) 5) 2x 2) x2 6) x 3x 3) x 3 7) 2x 4) 5 x 6 8) 3 3x Rút gọn biểu thức Bài 1) 12 48 4) 12 27 48 2) 5 20 45 3) 32 18 5) 12 75 6) 18 162 27 7) 20 45 10) 13) 5 8) ( 2) 2 2 11) ( 28 14 7) 15) ( ) 120 43 9) 51 1 2 12) 2 14) ( 14 ) 28 16) ( ) 24 (2) ) ( 3) (1 17) 18) ( 2) ( 1) ( 3) ( 2) 19) 20) ( 19 3)( 19 3) 7 21) x ( x 12) ( x 2) 22) 7 7 7 ( x xy y ) ( x 2 y ) 23) x y Bài 1) 3 4) 15 - 3 15 42 4 3 2 2) 2 5) 5 2 + 3) 3 15 3 6) 3 Giải phương trình: 1) 2x 2) x 3 3) 5) x 12 0 6) ( x 3) 9 7) 9) x 6 10) 4(1 x ) 0 11) 9( x 1) 21 x x 6 x 2 4) 2x 8) (2 x 1) 3 12) 50 0 x CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A.Các bước thực hiên: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được) Tìm ĐKXĐ biểu thức: là tìm TXĐ phân thức kết luận lại Quy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn B.Bài tập luyện tập: Bài x 2x x x x x với ( x >0 và x ≠ 1) Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 a4 a 4 Bài Cho biểu thức : P = a) Rút gọn biểu thức P; a 2 4 a 2 a ( Với a ; a ) (3) b)Tìm giá trị a cho P = a + x 1 x x x x x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; b)Rút gọn biểu thức A; c)Với giá trị nào x thì A< -1 (1 Bài 4: Cho biểu thức A = x x x x )(1 ) x 1 x1 ( Với x 0; x 1 ) a) Rút gọn A; b) Tìm x để A = - 1 Bài 5: Cho biểu thức : B = x x 2 x 1 x a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị B với x =3; A c) Tìm giá trị x để x 1 Bài 6: Cho biểu thức : P = x 2 x x 2 25 x 4 x a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = Bài 7: Cho biểu thức: 1 a 1 ):( a a Q=( a1 a 2 ) a1 a) Tìm TXĐ rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương; c) Tính giá trị biểu thức biết a = 9- a a a a a 2 a a a Bài 8: Cho biểu thức: M = a) Tìm ĐKXĐ M; b) Rút gọn M Tìm giá trị a để M = - 15 x 11 x Bài : Cho biểu thức : K = x x a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K; c) Tìm x K= ; d) Tìm giá trị lớn K x x 3 x 3 (4) x x x 2x x x x G= Bài 10 : Cho biểu thức: a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị G x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn G; e)Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên; f)Chứng minh : Nếu < x < thì M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm; x2 x x1 x x x x 1 x : P= Với x ≥ ; x ≠ Bài 11 : Cho biểu thức: a)Rút gọn biểu thức trên; b)Chứng minh P > với x≥ và x ≠ 1 a 1 1 a 1 a Q= a a Bài 12 : cho biểu thức a)Tìm a dể Q tồn tại; b)Chứng minh Q không phụ thuộc vào giá trị a Bài 13: Cho biểu thức : x3 A= xy y 2x xy y x 1 x x 1 x a)Rút gọn A b)Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2 a a 4 a 2 a 4 a 16 a Bài 14:Xét biểu thức: P= 1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P =-3; a 5 : a (Với a ≥0 ; a ≠ 16) 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I HÀM SỐ: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x cho giá trị x, ta luôn xác định giá trị tương ứng y thì y gọi là hàm số x và x gọi là biến số * Hàm số có thể cho công thức cho bảng II HÀM SỐ BẬC NHẤT: Kiến thức bản: Định nghĩa: Hàm số bậc có dạng: y ax b , đó a; b là các số cho trước a 0 Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y ax b là hàm số bậc là: a 0 (5) Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - (1) Tìm các giá trị m để hàm số (1) là hàm số bậc Giải: Hàm số (1) là bậc m 0 m 3 Tính chất: + TXĐ: x R + Đồng biến a Nghịch biến a Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - (2) Tìm các giá trị m để hàm số (2): + Đồng biến trên R; + Nghịch biến trên R Giải: + Hàm số (2) đồng biến 3 m m 3; + Hàm số (2) nghịch biến 3 m m Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc là đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b cắt trục hoành điểm có hoành độ b a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = ax+b: Cho x = => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b Cho y = => x = => điểm (;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b Đường thẳng qua hai điểm (0;b) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = ax + b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + Giải: Cho x = => y =1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Cho y = => x = => điểm ( ;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Đường thẳng qua hai điểm (0;1) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = 2x + Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : , + Cắt nhau: (d1) cắt (d2) a a */ Để hai đường thẳng cắt trên trục tung thì cần thêm điều kiện b b ' ' */ Để hai đường thẳng vuông góc với thì : a.a , ' + Song song với nhau: (d1) // (d2) a a ; b b , ' + Trùng nhau: (d1) (d2) a a ; b b Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 – m)x + (d1) y = 2x – m (d2) a)Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với nhau; b) Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt nhau; c) Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trên trục tung Giải: (6) 3 m 2 m 1 m 1 m m a)(d1)//(d2) b) (d1) cắt (d2) m 2 m 1 c) (d1) cắt (d2) điểm trên trục tung m 2 m Hệ số góc đường thẳng y = ax + b là a + Cách tính góc tạo đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác tg a -Trường hợp: a > thì góc tạo đường thẳng với trục Ox là góc nhọn -Trường hợp: a < thì góc tạo đường thẳng với trục Ox là góc tù ( 180 ) Ví dụ 1: Tính góc tạo đường thẳng y = 2x + với trục Ox Giải: 0 Ta có: Tg 2 Tg 63 63 Vậy góc tạo đường thẳng y = 2x + với trục Ox là: 63 Ví dụ 2: Tính góc tạo đường thẳng y = - 2x + với trục Ox 0 0 Ta có: Tg (180 ) 2 Tg 63 (180 ) 63 117 Vậy góc tạo đường thẳng y = - 2x + với trục Ox là: 117 Các dạng bài tập thường gặp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng Phương pháp: Xem lại các ví dụ trên -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính giá trị y Cặp giá trị x và y là toạ độ giao điểm hai đường thẳng Tính chu vi - diện tích các hình tạo các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp Rồi tính chu vi tam giác cách cộng các cạnh + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lại các ví dụ trên (7) -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta phương trình đường thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m m thay đổi thì d1 luôn qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = với m ; Điều này xảy : x0+ = x0 + y0 + = suy : x0 = -1 y0 = - Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = +1 =2 Vậy B (1;2) Để đường thẳng đồng qui thì (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = và m = -2 Vậy với m = m = - thì đường thẳng trên đồng qui Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + và (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? (8) Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m 0) và y = (2 - m)x + ; (m 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a)Song song; b)Cắt Bài 5: Với giá trị nào m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt điểm 1 x trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = và cắt trục hoành điểm có hoành độ 10 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị nào m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = c; C/m m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị nó song song với y = 2x +3 và qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đường thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 Phần B - HÌNH HỌC Chương I HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức cạnh và đường cao:Hệ thức cạnh và góc: , , + b a.b ; c a.c , , + h b c + a.h b.c 2 + a b c , , + a b c (9) b2 b, c2 c, , ; , c b b + c 1 2 2 b c + h D K D K ; Cos ; Tg ; Cotg H H K D Tỷ số lượng giác: Tính chất tỷ số lượng giác: Tg Cotg Sin Cos Cotg Tg Cos Sin 1/ Nếu 90 Thì: 2/Với nhọn thì < sin < 1, < cos < *sin2 + cos2 = *tg = *cotg = *tg cotg =1 Hệ thức cạnh và góc: + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Sin góc đối: b a.SinB.; c a.SinC Sin + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Cos góc kề: b a.CosC.; c a.CosB + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Tg góc đối: b c.TgB.; c b.TgC + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Cotg góc kề: b c.CotgC.; c b.CotgB Bµi TËp ¸p dông: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Biết b = cm, c = cm Giải tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có b’ = 7, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A có b = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A có AH = 4.8, BC =10 Giải tam giác ABC? Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A có h = 4, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A có b = 12, a = 20 Giải tam giác ABC? Bài7: Chotam giác ABC vuông A có h = 4, c = Giải tam giác ABC? 0 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông có A = 90 , b = 5, B = 40 Giải tam giác ABC? Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A có a = 15, B = 600 Giải tam giác ABC? Bài 10:Cho tam giác ABC vuông A có AH = 3, C = 400 Giải tam giác ABC? Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A có c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC? Bài 12: Chotam giác ABC vuông A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m ❑a = 5, h = Giải tam giác ABC? Bài13: Chotam giác ABC vuông A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m ❑a = 5, góc nhọn 470 Giải tam giác ABC? Chương II ĐƯỜNG TRÒN: .Sự xác định đường tròn: Muốn xác định đường tròn cần biết: + Tâm và bán kính,hoặc + Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm đường kính; bán kính 1/2 đường kính) , + Đường tròn đó qua điểm ( Khi đó tâm là giao điểm hai đường trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó) Tính chất đối xứng: + Đường tròn có tâm đối xứng là tâm đường tròn + Bất kì đường kính vào là trục đối xứng đường tròn Các mối quan hệ: Quan hệ đường kính và dây: + Đường kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm dây Quan hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây Chúng cách tâm + Dây lớn Dây gần tâm Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn: (10) + Đường thẳng không cắt đường tròn Không có điểm chung d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính đường tròn) + Đường thẳng cắt đường tròn Có điểm chung d < R + Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Có điểm chung d = R Tiếp tuyến đường tròn: Định nghĩa: Tiếp tuyến đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó Tính chất: Tiếp tuyến đường tròn thì vuông góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc đầu mút bán kính đường tròn là tiếp tuyến đường tròn đó BÀI TẬP TỔNG HỢP HỌC KỲ I: Bài Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác D a/ Chứng minh: AD là đường kính; b/ Tính góc ACD; c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính đường tròn tâm (O) Bài Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đường tròn ( B , C là tiếp điểm ) a/ Chứng minh: OA BC b/Vẽ đường kính CD chứng minh: BD// AO c/Tính độ dài các cạnh tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = cm? Bài 3: Cho đường tròn đường kính AB Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn G ọi E , F là chân đường vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chửựng minh: a/ CE = CF b/ AC là phân giác góc BAE c/ CH2 = BF AE Bài 4: Cho đường tròn đường kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đường tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ nó cắt Ax C cắt B y D gọi N là giao điểm BC Và AO CMR CN NB a/ AC BD b/ MN AB c/ góc COD = 90º Bài 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E là giao điểm AC và BM a)CMR: NE AB b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M CMR: FA là tiếp tuyến (O) c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến đtròn (B;BA) d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2 Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By C và D a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 900 b) Chứng minh: AC.BD = R2 c) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để CD có độ dài nhỏ Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A và B vẽ tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M và cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) N a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân (11) b/ Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến đường tròn (O) c/ Chứng minh AM.BN = R2 d/ Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ Vẽ hình minh hoạ - (12)