Hướng dẫn chung 1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2 Việc chi tiết hoá nếu có thang điểm trong h[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012 Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x − x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số đã cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hoành độ x0 , biết f " ( x0 ) = −1 Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình log ( x − 3) + log 3.log3 x = 2) Tính tích phân I = ln ∫ ( ) e x − e x dx 3) Tìm các giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = đoạn [ 0;1] −2 x − m2 + m trên x +1 Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông B và BA = BC = a Góc đường thẳng A′B với mặt phẳng ( ABC ) 60D Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ theo a II PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;2;1) , B ( 0;2;5 ) và mặt phẳng ( P ) có phương trình x − y + = 1) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A và B 2) Chứng minh ( P ) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB Câu 5.a (1,0 điểm) Tìm các số phức 2z + z và 25i , biết z = − 4i z Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;1; ) và đường thẳng ∆ x −1 y −3 z = = 2 1) Viết phương trình đường thẳng qua O và A có phương trình 2) Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm A và qua O Chứng minh ∆ tiếp xúc với ( S ) + 9i − 5i 1− i Hết Câu 5.b (1,0 điểm) Tìm các bậc hai số phức z = Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: (2) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012 Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản hướng dẫn này gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án đúng thì cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải thống thực toàn Hội đồng chấm thi 3) Sau cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,00 điểm) II Đáp án và thang điểm ĐÁP ÁN CÂU Câu ĐIỂM (2,0 điểm) (3,0 điểm) Tập xác định: D = \ 0,25 Sự biến thiên: ⎡x = • Chiều biến thiên: y′ = x3 − x; y' = ⇔ ⎢ ⎣ x = ± + Trên các khoảng ( − ; ) và ( ; + ∞ ) , y′ > nên hàm số đồng biến 0,50 + Trên các khoảng ( −∞ ; − ) và ( ; ) , y′ < nên hàm số nghịch biến • Cực trị: + Hàm số đạt cực đại x = và yCĐ = + Hàm số đạt cực tiểu x = ± và yCT = − 0,25 • Giới hạn: lim y = + ∞ ; lim y = + ∞ 0,25 x→−∞ x→+∞ • Bảng biến thiên: x − y’ y −2 −∞ + +∞ − −4 + +∞ −4 +∞ 0,25 (3) y Đồ thị: −2 −2 O 2 x 0,50 −4 ( ) Lưu ý: Thí sinh trình bày: Đồ thị cắt Ox O và ± 2 ;0 thể (± ) ;0 trên hình vẽ thì cho đủ 0,50 điểm (1,0 điểm) Ta có f ′ ( x ) = x3 − x ; f ′′ ( x ) = x − f ′′ ( x0 ) = −1 ⇔ x02 − = −1 ⇔ x0 = ± Câu x0 = ⇒ y0 = − ; f ' (1) = − 3, ta phương trình tiếp tuyến là y = − 3x + 4 x0 = −1 ⇒ y0 = − ; f ' ( −1) = 3, ta phương trình tiếp tuyến là y = x + 4 (1,0 điểm) (3,0 điểm) Điều kiện: x > 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với log ( x − 3) + log x = ⇔ log ( x − 3) + log x = 0,25 ⇔ log ⎡⎣ x ( x − 3) ⎤⎦ = ⇔ x − x − = 0,25 ⎡ x = −1 (loại) ⇔⎢ Vậy nghiệm phương trình là x = ⎣x = (1,0 điểm) 0,25 Đặt t = e x − ⇒ dt = e x dx 0,25 Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ln ⇒ t = 0,25 1 t3 Suy I = ∫ t dt = 0,25 Vậy I = 0,25 2 (4) (1,0 điểm) Trên đoạn [ ; 1] , ta có f ′ ( x ) = m2 − m + ( x + 1)2 0,25 Mà m − m + > 0, ∀m ∈ \ ⇒ f ′ ( x ) > Nên hàm số đồng biến trên [ ; 1] 0,25 Suy giá trị nhỏ hàm số trên [ ; 1] là f ( ) = − m + m 0,25 f ( x ) = − ⇔ − m + m = − Vậy m = −1 và m = [0;1] 0,25 Câu (1,0 điểm) A' C' B' 0,25 A B Ta có A′A ⊥ ( ABC ) ⇒ n A′BA = 60o Diện tích đáy: S∆ABC = C 60D a2 0,25 Chiều cao lăng trụ: AA' = a tan 60D = a 0,25 a3 0,25 G Ta có AB = ( − ; ; ) , suy AB có vectơ phương là u = ( −1 ; ; ) 0,50 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ là VABC.A′B′C ′ = S∆ABC A A' = Câu 4.a (1,0 điểm) JJJG (2,0 điểm) ⎧x = −t ⎪ Vậy phương trình tham số đường thẳng AB là ⎨ y = ⎪ z = + 2t ⎩ (1,0 điểm) Gọi ( S ) là mặt cầu có đường kính AB và I là trung điểm AB Suy I (1 ; ; 3) là tâm ( S ) Bán kính ( S ) là R = IA = Mà d ( I , ( P ) ) = ( − 1)2 + ( − )2 + (1 − 3)2 2.1 + ( −1) + + ( −1) + 2 = Nên d ( I , ( P ) ) = R Vậy ( P ) tiếp xúc với ( S ) = 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) Câu 5.a Ta có z = − 8i và z = + 4i (1,0 điểm) Suy z + z = − 4i 0,25 0,25 25i ( + 4i ) 25 ( − + 3i ) 25i = = = − + 3i z + 16 ( − 4i )( + 4i ) Câu 4.b (1,0 điểm) JJJG (2,0 điểm) Đường thẳng OA có vectơ phương là OA = ; ; ( ) ⎧ x = 2t x y z ⎪ Vậy phương trình đường thẳng OA là ⎨ y = t = = 2 ⎪ z = 2t ⎩ 0,50 0,50 0,50 (1,0 điểm) Bán kính mặt cầu ( S ) là R = OA = 22 + 12 + 22 = 0,25 Suy ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 0,25 G Đường thẳng ∆ qua B (1 ; ; ) và có vectơ phương u = ( ; ; 1) JJJG JJJG G Mặt khác, BA = ( ; − ; ) ⇒ ⎡⎣ BA , u ⎤⎦ = ( − ; ; ) JJJG ⎡ BA , uG ⎤ ( − )2 + 32 + 62 ⎣ ⎦ Nên d ( A , ∆ ) = = = G 2 u + +1 0,25 Suy d ( A , ∆ ) = R Vậy ∆ tiếp xúc ( S ) 0,25 2 Câu 5.b Ta có + 9i = (1 + 9i )(1 + i ) = − + 10i 1− i (1 − i )(1 + i ) (1,0 điểm) 0,25 Suy z = − + 5i − 5i = − 0,25 Mặt khác, z = − = ( 2i ) Vì các bậc hai z là − 2i và 2i 0,50 - Hết - (6)