Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán về các tính chất của dãy số tính đơn điệu, bị chặn.[r]
(1)Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt các MTBT khác Sö dông MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè lµ mét vÝ dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, chính xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán học mà từ kết tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán các tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính các số hạng dãy số còn hình thµnh cho häc sinh nh÷ng kü n¨ng, t thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh tin häc Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè thêng gÆp ch¬ng tr×nh, ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè: 1) D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: un = f(n), n N* đó f(n) là biểu thức n cho tríc C¸ch lËp quy tr×nh: - Ghi gi¸ trÞ n = vµo « nhí A : SHIFT STO A - LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí SHIFT STO A : A A = A + = = - LÆp dÊu b»ng: Gi¶i thÝch: f(A) : = : ghi gi¸ trÞ n = vµo « nhí A A + : tÝnh u = f(n) t¹i gi¸ trÞ A (khi bÊm dÊu b»ng n thứ lần nhất) và thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai) * Công thức đợc lặp lại ấn dấu = VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: n n 1 1 un ; n 1, 2, Gi¶i: - Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh sau: SHIFT STO A ( ( 1 - ANPHA = ) ( ) ANPHA ( ( A + ) ) ANPHA A ) ) ANPHA ANPHA : A - ( ANPHA + 1= - LÆp l¹i phÝm: = = Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55 2) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: u1 = a u n+1 = f(u n ) ; n N* đó f(un) là biểu thức un cho tríc A (2) C¸ch lËp quy tr×nh: - NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a = - NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng ANS ) - LÆp dÊu b»ng: = Gi¶i thÝch: - Khi bÊm: a = mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ lu kÕt qu¶ nµy - Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i lu kÕt qu¶ nµy - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc các số hạng dãy số u3, u4 VÝ dô 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: u1 1 un u , n N * n un Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: = (u1) ( ANS + ) = = ( ANS + ) = (u2) - Ta đợc các giá trị gần đúng với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số đợc xác định bởi: u1 3 u u , n N * n n 1 Tìm số tự nhiên n nhỏ để un là số nguyên Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: SHIFT ANS = = SHIFT (u1) 3 = (u2) = (u4 = 3) Vậy n = là số tự nhiên nhỏ để u4 = là số nguyên 3) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: u = a, u b u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n N* (3) C¸ch lËp quy tr×nh: * C¸ch 1: BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B Gi¶i thÝch: Sau thùc hiÖn B + C SHIFT STO B b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B « nhí A lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo « nhí B , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau thùc hiÖn: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A m¸y tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đa vào ô nhớ A Nh đó ta có u trên màn h×nh vµ « nhí A (trong « nhí B vÉn lµ u3) Sau thùc hiÖn: A + ANPHA B B + C SHIFT STO B m¸y tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đa vào ô nhớ B Nh đó ta có u trên màn h×nh vµ « nhí B (trong « nhí A vÉn lµ u4) Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức COPY để lập lại dãy lặp quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím tìm số hạng cña d·y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau: BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B SHIFT B + C SHIFT STO B COPY LÆp dÊu b»ng: = = * C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc BÊm phÝm: a SHIFT A b SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C LÆp dÊu b»ng: = = A + C (4) Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi: u = 1, u 2 u n+2 = 3u n+1+ u n + ; n N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A + + SHIFT STO B + ANPHA A + SHIFT STO A + ANPHA B SHIFT + SHIFT STO B COPY = = ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA B + ANPHA ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = = ta đợc kết nh trên A + (5) 4) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng: u = a u n+1 = f n, un ; n N* f n, u n Trong đó lµ kÝ hiÖu cña biÓu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng dãy: A : chøa gi¸ trÞ cña n - Sö dông « nhí: B : chøa gi¸ trÞ cña u n C : chøa gi¸ trÞ cña u n+1 - Lập công thức tính un+1 thực gán A : = A + và B := C để tính số h¹ng tiÕp theo cña d·y - LÆp phÝm : = Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi: u1 = n u n+1 = n+1 u n +1 ; n N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: SHIFT STO A ANPHA C ( ANPHA ANPHA ANPHA A SHIFT STO B B = + ) + ANPHA ( ANPHA ANPHA : ( A : ANPHA ANPHA B ANPHA A ANPHA A + ) ) ANPHA = = ANPHA C = = , 1, , 2, , 3, , 2 ta đợc dãy: II/ Sö dông MTBT viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè: 1) LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Lập quy trình trên MTBT để tính số số hạng dãy số - T×m quy luËt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t - Chứng minh công thức tìm đợc quy nạp VÝ dô 1: T×m a2004 biÕt: a1 0 n( n 1) an 1 (n 2)(n 3) ( an 1) ; n N * (6) Gi¶i: - Tríc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an), quy tr×nh sau: SHIFT STO A SHIFT ANPHA C ( ( ( ANPHA = ANPHA ANPHA B STO B ANPHA + ) A + ) ( ANPHA ( A ANPHA + ) ANPHA A : ANPHA ANPHA A + ANPHA : ANPHA B A A + ) ) ANPHA - Ta đợc dãy: - Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = 2.7 2.7 a3 = 20 40 4.10 27 3.9 a4 = 50 5.10 a2004 dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an (n 1)(2n 1) 10( n 1) (1) *víiDÔ dµng minh mäi n chøng N* b»ng quy c«ng nạp thức (1) đúng 2003.4009 20050 = ANPHA = ANPHA C 27 11 13 , , , , , , 20 50 15 14 1.5 a2 = 30 3.10 (7) a1 1, a2 3 * an 2 2an an 1; n N Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + lµ sè chÝnh ph¬ng Gi¶i: - TÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an) b»ng quy tr×nh: VÝ dô 2: XÐt d·y sè: SHIFT STO A + SHIFT STO B 2 - ANPHA A + SHIFT STO A - ANPHA B + SHIFT STO B SHIFT COPY = = - Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - T×m quy luËt cho d·y sè: 1(1 1) a1 1 2(2 1) a2 3 3(3 1) a3 6 4(4 1) a4 10 5(5 1) a5 15 dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an n(n 1) (1) *đúng Ta hoµn toµnn chøng víi mäi N* minh c«ng thøc (1) Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 A lµ mét sè chÝnh ph¬ng Cách giải khác: Từ kết tìm đợc số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Víi n = th× A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Víi n = th× A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc (*) 2) Dù ®o¸n giíi h¹n cña d·y sè: 2.1 XÐt tÝnh héi tô cña d·y sè: Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính đợc nhiều số hạng dãy số c¸ch nhanh chãng BiÓu diÔn d·y ®iÓm c¸c sè h¹ng cña d·y sè sÏ gióp cho ta trùc quan tốt hội tụ dãy số, từ đó hình thành nên cách giải bài toán VÝ dô 1: XÐt sù héi tô cña d·y sè (an): an Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: sin(n) ; n 1 n N * (8) MODE SHIFT STO A sin ( ANPHA A ANPHA : ANPHA ) ( A ANPHA ANPHA = A + ) ANPHA A + = = ta đợc kết sau (độ chính xác 10-9): n an n an n 0,4207354 13 0,03001193 25 92 10 11 12 0,3030991 42 0,0352800 02 0,1513604 99 0,1598207 12 0,0399164 99 0,0821233 24 14 0,06604049 26 15 0,04064299 27 16 0,01693548 0,05341097 0,03952564 0,00749386 28 0,1099286 94 0,0412118 48 0,0494564 64 0,0833325 17 0,0412748 39 20 0,04347358 0,03802980 0,00038483 0,03525918 0,03622313 32 17 18 19 21 22 23 24 29 30 31 33 34 35 36 an 0,00509045 0,02824290 0,03415628 0,00934157 n 37 0,02212112 0,03187198 0,01262617 0,01670989 0,02940917 0,01511664 41 -0,00377673 42 0,02131445 0,01890397 0,00039337 0,01849790 0,01918698 0,01189396 0,02680483 47 0,00257444 48 0,01567866 38 39 40 43 44 45 46 an 0,01693521 0,00759919 0,02409488 0,01817349 - Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ (n ; an): an n Dùa vµo sù biÓu diÔn trªn gióp cho ta rót nhËn xÐt n cµng lín th× a n cµng gần (an 0) và đó chính là chất dãy hội tụ đến số (9) 2.2 Dù ®o¸n giíi h¹n cña d·y sè: Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un), (n = 1, 2, ) xác định bởi: u1 un 1 un ; n N * có giới hạn Tìm giới hạn đó Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: = ( ) + ANS = = ta đợc kết sau (độ chính xác 10-9): n 10 un 1,414213562 1,847759065 1,961570561 1,990369453 1,997590912 1,999397637 1,999849404 1,999962351 1,999990588 1,999997647 n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 un 1,999999412 1,999999853 1,999999963 1,999999991 1,999999998 1,999999999 2,000000000 2,000000000 2,000000000 2,000000000 Dựa vào kết trên ta nhận xét đợc: 1) D·y sè (un) lµ d·y t¨ng 2) Dù ®o¸n giíi h¹n cña d·y sè b»ng Chứng minh nhận định trên: + Bằng phơng pháp quy nạp ta chứng minh đợc dãy số (un) tăng và bị chặn d·y (un) cã giíi h¹n + Gọi giới hạn đó là a: limun = a Lấy giới hạn hai vế công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta đợc: 2u n limun = lim( ) hay a = VËy: lim un = a 0 a 2 2a a 2 a (10) Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, ) xác định bởi: x1 x2 1 2 2 xn 1 5 xn 1 sin( xn ) , n N * Chøng minh r»ng d·y (xn) cã giíi h¹n vµ t×m giíi h¹n cña nã Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: MODE ( SHIFT STO A SHIFT + ( x2 ( SHIFT sin x2 ( ( sin ( SHIFT ) 5 SHIFT ) ANPHA A SHIFT ) ANPHA B ( sin ) + ( SHIFT ) + ) ) SHIFT SHIFT STO B ) STO A ( SHIFT SHIFT ) STO B COPY = = ta tÝnh c¸c sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (xn) vµ rót nh÷ng nhËn xÐt sau: 1) D·y sè (xn) lµ d·y kh«ng gi¶m 2) x50 = x51 = = 1,570796327 (với độ chính xác 10-9) 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51, ) trừ cho ta nhận đợc kết là dù ®o¸n giíi h¹n cña d·y sè b»ng Chứng minh nhận định trên: + Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc xn (0 ; ) và dãy (xn) kh«ng gi¶m d·y (xn) cã giíi h¹n + Gọi giới hạn đó a, ta có: 2 a a2 sin(a) , (1) 5 2 f ( x) x sin( x) x + B»ng ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch (xÐt hµm sè ) ta cã (1) cã nghiÖm lµ a = VËy: lim xn = 3) Mét sè d¹ng bµi tËp sö dông ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: Bµi 1: Cho d·y sè (un), (n = 0, 1, 2, ): n un 3 3 n a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn (11) b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho Bài 2: Cho dãy số (an) đợc xác định bởi: ao 2 an 1 4an 15an 60 , nN * a) Xác định công thức số hạng tổng quát an A a2 n biểu diễn đợc dới dạng tổng bình b) Chøng minh r»ng sè: ph¬ng cña sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo 0, u1 1 un 2 1999un 1 un , n N T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n cho un lµ sè nguyªn tè Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 5, a2 11 an 1 2an 3an , n 2, n N Chøng minh r»ng: a) D·y sè trªn cã v« sè sè d¬ng, sè ©m b) a2002 chia hÕt cho 11 Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: a1 a2 1 an2 a , n an n 3, n N Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn Bài 6: Dãy số (an) đợc xác định theo công thức: n n 2 n an , n N * 3 ; (kÝ hiÖu lµ phÇn nguyªn cña sè ) Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lÎ (12)