ĐỀ ĐÁU TRƯỜNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH.. DIỄN ĐÀN TOÁN THPT.[r]
(1)ĐỀ ĐÁU TRƯỜNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH —————— 20h15’ thứ ngày 01.12.2012 Thời gian làm bài: 45 phút i.n e ĐỀ t DIỄN ĐÀN TOÁN THPT Giải hệ phương trình : x + y = 2y3 y x2 − 2 + x2 = (1 − y) y2 + 2y + 2 Câu (10 điểm) Giải hệ phương trình : ww w k2 p Câu (10 điểm) x3 + 11x2 + 39x + 45 = y3 + 2y2 x2 + 2y2 + 4x − 2y + = Câu (10 điểm) Giải hệ phương trình : 8x3 − y3 − 16x2 y + 6xy2 + 4xy + 2x − 2y = 2x2 y − 2xy + x = −1 ———————————————–Hết—————————————————- LỜI GIẢI ĐỀ ĐÁU TRƯỜNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 20h15’ thứ ngày 01.12.2012 Câu Lời giải x + y = 2y3 Giải hệ phương trình : y x2 − 2 + x2 = (1 − y) y2 + 2y + 2 10 điểm p:/ / Điều kiện x, y ∈ R Từ hệ phương trình thứ hai ta có : (x2 y − 2y) + x2 = (1 − y)[(1 + y)2 + 1] = (1 − y2 )(1 + y) + − y Suy Vậy (x2 + y2 − 1)(1 + y) = + y y = −1 x + y2 = htt Với y = −1 ta có x + y = 2y3 thì x = −1 Với x2 + y2 = ta có : Đặt x = ty Ta có hệ ( y2 (t + 1) = y(t + 1) = 2y3 Nhận thấy x = y = không là nghiệm hệ nên y 6= Xét t = −1 đó y = mà y2 (t + 1) = điều này vô lí Vậy ta có : Biến đổi ta (t − 1)(t + 2t + 3) = 0.Do t + 2t + > nên t = Vậy x = y Thay vào x2 + y2 = ⇐⇒ x2 = Vậy x = 1; x = −1 Vậy hệ có các nghiệm là S = (1, 1); (−1; −1); t2 + = t +1 Điểm (2) t i.n e x3 + 11x2 + 39x + 45 = y3 + 2y2 Giải hệ phương trình : x2 + 2y2 + 4x − 2y + = Điều kiện x, y ∈ R Phương trình thứ hệ tương đương với : (x + 3)3 + 2(x + 3)2 = y3 + 2y2 10 điểm Vậy ta có : ww w k2 p (x + − y)((x + 3)2 + (x + 3)y + y2 ) + 2(x + − y)(x + + y) = Vậy x + = y (x + 3)2 + (x + 3)y + y2 ) + 2(x + + y = Với x + = y ta vào phương trình thứ hai ta 3x2 + 14x + 16 = Suy x = −2 → y = 1 −8 →y= Hoặc x = 3 Còn trường hợp (x + 3)2 + (x + 3)y + y2 ) + 2(x + + y) = ta đặt a = x + 3; b = y Ta (a2 + ab + b2 + 2a + 2b) = (3) Phương trình thứ hai hệ thành a2 + 2b2 − 2a − 2b + = (4) Lấy (3) + (4) vế theo vế ta 2a2 + ab + 3b2 + = b 3a2 a2 + ab + b2 = a + + ; a + 2b2 + > Mà ta có Suy 10 điểm p:/ / 2a2 + ab + 3b2 + > −8 →y= Vậy nghiệm hệ là x = −2 → y = 1;x = 3 8x3 − y3 − 16x2 y + 6xy2 + 4xy + 2x − 2y = (1) Giải hệ phương trình : 2x2 y − 2xy + x = −1 (2) Điều kiện: x, y ∈ R Ta lấy (1) + 2(2) vế theo vế 8x3 − y3 − 14x2 y + 6xy2 + 4x − 2y = ⇐⇒ (2x − y)3 + 2(2x − y) = Giải phương trình trên ta (2x − y − 1)((2x − y)2 + (2x − y) + 3) = Vậy y = 2x − Thay vào (2) ta 2x2 (2x − 1) − 2x(2x − 1) + x + = ⇐⇒ 2x(2x − 1)(x − 1) + x + = ⇐⇒ 2x(2x − 1)(2x − 2) + 2x + = htt Đặt a = 2x ta có a(a − 1)(a − 2) + a + = ⇐⇒ a3 − 3a2 + 3a + = √ ⇐⇒ (a − 1)3 + = ⇐⇒ a − = − √ √ 1− 3 Vậy 2x = − hay x = 2 (3) htt p:/ / ww w k2 p i.n e t (4)