Kết quả Tôi đã sử dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm khi giải một số dạng toán Đại số lớp 9” tại trường THCS nơi tôi đang công tác và nhận thấy: Đa số học sinh tự trình bày lờ[r]
(1)Đề tài Tác giả: Đơn vị: Môn: Trường THCS Thị trấn Mường Tè Toán A ĐẶT VẤN ĐỀ: I LỜI MỞ ĐẦU: Toán là môn khoa học đặc biệt quan trọng lĩnh vực Con người chúng ta hoàn cảnh nào không thể thiếu kiến thức toán Nghiên cứu toán chính là nghiên cứu phần giới Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục đổi không ngừng Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác Để đào tạo người nghiên cứu Toán học thì trước hết phải đào tạo người có kiến thức vững vàng môn toán Đây là nhiệm vụ quan trọng, lâu dài ngành Giáo dục và đào tạo Trong chương trình môn Toán THCS, phân môn Đại số là môn học đặc biệt quan trọng, dùng định nghĩa, tính chất và các quy tắc để chứng minh, tính toán Qua các kỳ thi thì số điểm môn Đại số chiếm tỉ lệ cao: 2/3 số điểm bài thi Vì việc dạy học sinh giải các bài toán Đại số có vai trò đặc biệt quan trọng lẽ qua đó vừa củng cố, khắc sâu mở rộng kiến thức cho học sinh đồng thời rèn luyện kỹ năng, phương pháp toán học, rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, phát và bồi dưỡng các lực trí tuệ Dạy học sinh giải toán là phương pháp, phương tiện để kiểm tra việc học học sinh, đánh giá các khả độc lập toán học và trình độ phát triển trí tuệ học sinh Để học sinh có thể học tốt môn Đại số thì ngoài việc giúp học sinh hiểu tài liệu sách giáo khoa, người giáo viên phải nghiên cứu các phương pháp giảng dạy, ôn tập, luyện tập để hướng dẫn học sinh biết vận dụng các định nghĩa, định lý, tính chất, quy tắc, nắm phương pháp chứng minh cách nhanh chóng, chính xác Đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập học sinh, nâng cao chất lượng dạy học toán nói chung và phát bồi dưỡng tư Toán học cho học sinh nói riêng là vấn đề nan giải đòi hỏi người giáo viên phải (2) thường xuyên nghiên cứu trăn trở Dạy nào để học sinh không nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là câu hỏi khó mà thân thầy cô giáo luôn đặt II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Thực trạng: Học toán và trình bày lời giải bài toán là vấn đề khó khăn nhiều học sinh có lực học chưa vững, số đông các em biết cách giải toán vào trình bày lời giải thì còn nhiều sai sót, trình bày mắc nhiều lỗi nhỏ Do đó kết bài làm không cao Việc trình bày lời bài giải toán học sinh còn nhiều lúng túng, nhiều học sinh thụ động, biết cách tìm lời giải bài toán trình bày lại bỏ sót các điều kiện bài, không biết kết hợp các điều kiện lại để loại bỏ kết chưa hợp lý, chưa biết phân tích tìm hiểu đề bài để tìm đường lối chứng minh nên các em không biết trình bày nào và đâu Trong đó các bài tập mẫu sách giáo khoa thường là bài tập đơn giản, còn tài liệu tham khảo trình bày lời giải ghi kết nên nhiều lúc học sinh thường bị thụ động, nhiều bài không giải thích lại làm Chỉ số học sinh giỏi biết trình bày lời giải bài toán việc đánh giá lời giải, tìm giải pháp hay, đề xuất bài toán tương tự đưa các bài toán đặc biệt và giải bài toán đó khó khăn Thông qua các bài kiểm tra định kỳ, các kỳ thi chất lượng và kỳ thi vào trung học phổ thông thân tôi nhận thấy các em chưa có kỹ trình bày lời giải bài toán Đại số, mà còn có nhiều sai sót trình bày lời giải mặc dù bài toán đó các em đã biết cách giải Kết thực trạng trên: Với kinh nghiệm giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh ngại học toán Trong học các em tỏ mệt mỏi, lười suy nghĩ Nếu các em không có kỹ tránh sai lầm trình bày lời giải bài toán làm bài kiểm tra thi vượt cấp vào THPT, số học sinh đạt điểm cao môn Toán là ít Từ thực tế nguyên nhân trên và kinh nghiệm giảng dạy thân, để nâng cao chất lượng dạy học môn tôi đã tìm số dạng bài toán mà trình bày lời giải học sinh dễ mắc sai lầm và cho các em thấy sai lầm thông thường mà các em hay mắc phải, đề các biện pháp thực và khắc phục, mạnh dạn nghiên cứu tìm hiểu Với đề tài " Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm giải số dạng toán Đại số lớp 9"tôi đã hệ thống số dạng bài tập học sinh thường dễ mắc sai lầm trình bày lời giải Với dạng tôi đưa kiến thức cần sử dụng và các ví dụ minh hoạ phù hợp Ngoài còn có các dạng bài tập liên quan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học môn toán, kích thích lòng say mê hứng thú toán học, phát triển tư độc lập sáng tạo và lực tự học cho học sinh bậc THCS Trong đề tài này tôi xin (3) đưa các giải pháp, biện pháp thực mà tôi đã áp dụng thành công quá trình giảng dạy B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Các dạng toán DẠNG 1: BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC Để làm dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa học sinh cần nắm vững kiến thức: Điều kiện để thức có nghĩa, các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa và đưa thừa số vào căn, đưa thừa số ngoài dấu căn, đẳng thức √ A 2=| A| , đẳng thức đáng nhớ ngoài các em còn phải nắm vững kỹ biến đổi các biểu thức vận dụng hợp lý các đẳng thức đã học cách linh hoạt Nếu bỏ qua điều kiện nhỏ thì dẫn đến kết bài toán đó bị sai Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: 3(x+ y) Víi x ≥ 0,y ≥ 0,x ≠ y x2 − y2 √ Giáo viên: Bài toán này có cách giải cách thứ đưa biểu thức vào căn, thứ hai đưa biểu thức ngoài dấu Ở bài toán này áp dụng cách giải đưa biểu thức ngoài dấu thì học sinh không mắc sai lầm áp dụng cách thứ học sinh dễ mắc sai lầm đó là 2 2 3(x+ y) 3.2 (x+ y) ( x+ y ) √6 = = = 2 2 2 2 x −y ( x − y ) ( x + y ) | x − y| 2( x − y ) √ √ √ Phân tích sai lầm: Học sinh không chú ý đưa biểu thức vào trong phép biến đổi A √ B=√ A B đúng A, B không âm Vậy lời giải đúng là: Với x>y thì: Với x<y thì: ( x + y )2 22 ( x + y )2 ( x+ y )2 √ = √6 = = = 2 2 2 2 x −y ( x − y ) ( x + y ) | x − y| x − y 2( x − y ) √ √ √ (4) 2 2 3(x+ y) 3.2 (x+ y) 6(x+ y) √ = √6 =− =− =− 2 2 2 2 | x − y| x − y x −y ( x − y ) ( x+ y ) 2(x − y ) √ √ √ 3(x+ y) = √ 2 x − y x −y √ Vậy x ≥ 0,y ≥ 0,x ≠ y Thì Với bài toán rút gọn chưa cho điều kiện cho biến học sinh dễ mắc sai lầm là không xét hết các điều kiện biến Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: √ 25 (7 − a ) =5|7 − a|=5 ( −a ) √ 25 (7 − a ) học sinh giải Phân tích sai lầm: Nguyên nhân sai lầm bài này là học sinh không chú ý xét điều kiện biến bỏ dấu giá trị tuyệt đối ¿ ( 7− a ) nÕu a ≤ ( a-7 ) nÕu a>7 ¿ √ 25 ( − a )2=5|7 − a|={ ¿ Vậy lời giải đúng là: Như bài toán có hai đáp số phụ thuộc vào điều kiện biến Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau Học sinh giải là x y2 y x2 x 49 y x = y x2 y √ √ √( Với x> 0, y < y 3x y = =1 3x y 3x ) Lời giải sai học sinh không chú ý đến điều kiện là y < đã cho đầu bài Lời giải đúng là: x 49 y x = y x2 y √ 0) Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức Học sinh giải là 11 xy √ 11 xy √( √ y x y x −7 y = = =− 3x y 3x y x 121 x y6 121 x = 11 xy y | | ) √( (Do x> 0, y < với x <0, y > 11 x 11 x = = 11 xy y y y ) Sai lầm học sinh là không chú ý đến điều kiện x < 0, y > Lời giải đúng là: 121 x = 11 xy 11 xy y √ √( 11 x 11 x − 11 x −1 = = = 3 11 xy y 11 xy y y3 y ) | | (do x <0, y> 0) x +4 x + √ Ví dụ 5: Khi rút gọn biểu thức: học sinh là sau x +2 √ x +4 x + = √ ( x +2 )2 =|x+ 2| =1 x +2 x +2 x+ (5) Phân tích sai lầm: Nguyên nhân sai lầm bài này là học sinh không chú ý xét điều kiện biến bỏ dấu giá trị tuyệt đối Vậy lời giải đúng là: ¿ nÕu x>-2 −1 nÕu x< -2 2 x + x + √ ( x +2 ) |x+ 2| ¿√ = = ={ x +2 x +2 x+ ¿ Như bài toán có hai đáp số phụ thuộc vào điều kiện biến x+y y Ví dụ 6: Khi rút gọn biểu thức: Học sinh giải sau: x+ y y √ √ x3 y +2 x y 3+ xy Với x>0 y≠0 x +2 xy + y 2 2 x y +2 x y + xy x+ y xy ( x + y ) x+ y = = | y| √ x=( x + y ) √ x 2 y y x +2 xy + y (x+ y) √ Phân tích sai lầm: Nguyên nhâ sai lầm đây học sinh là không chú ý đến việc xét các giá trị biến y Vậy lời giải đúng là x+ y y Nếu y>0 thì : Nếuy<0 thì: x+ y y 2 x3 y +2 x y 3+ xy x+ y xy ( x + y ) x+ y = = | y| √ x=( x + y ) √ x 2 y y x +2 xy + y (x+ y) √ √ √ 2 x3 y +2 x y 3+ xy x+ y xy ( x + y ) x+ y = = | y| √ x=− ( x+ y ) √ x 2 y y x +2 xy + y (x+ y) √ Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức y= Học sinh giải sau: y= √ √ ( x −3 ) +12 x x 2 + √ ( x +2 ) − x Với x≠0 x − x2 + 9+ 12 x x 4+ x2 + + x + x + −8 x= + √ x − x +4 √ 2 x x ¿ √ 2 ( x + 3) x + √ ( x − )2= √ x +3 +|x −2| |x| Phân tích sai lầm: Bài toán này có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên học sinh dễ mắc sai lầm chỗ không xét các khoảng giá trị biến, xét x>0; x<0 x>2; x<2 mà không biết kết hợp các khoảng giá trị đó lại Vậy lời giải đúng bài toán là: Nếu x< ta có 2 x +3 ( −2 x + x − y= − x −2 )= −x x x 2+3 ( x+3 − x −2 )= Nếu 0< x ≤ ta có y= x x (6) Nếu x> ta có x 2+3 ( x2 −2 x+3 ) y= + x −2 = x x x −1 −2 √ x − Ví dụ 8: Cho biểu thức A= √ √ x − 2− a Tìm điều kiện x để A có nghĩa b Rút gọn biểu thức A Giải: a Học sinh giải là ¿ x −2 ≥ √ x −2 −1 ≠ ⇔ ¿ x ≥2 x≠3 ¿{ ¿ Phân tích sai lầm: Kết bài toán này không sai nhiên trình bầy thiếu các bước giải và lài giải không chặt chẽ Vì học sinh đã không xét đến điều kiện biến để √ x −1 −2 √ x −2 có nghĩa Lời giải đúng là: ¿ x − 2≥ x −1 −2 √ x − 2≥ √ x −2 −1 ≠ x≥2 ( √ x −2 −1 )2 ≥0 x − 2≠ ⇔ ¿x ≥2 x≠3 ¿{{ {{ ¿ b Học sinh giải là ¿ x ≥ − x <3 ( √ x −2 −1 ) |√ x − 2−1| ¿ A= √ = ={ √ x −2 −1 ¿ √ x − 2−1 Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh đây là không phân biệt bài toán vừa có chứa thức vừa có chứa dấu giá trị tuyệt đối, kết luận kết cuối cùng các em không kết hợp với điều kiện thức có nghĩa đề loại giá trị không thích hợp (7) Lời giải đúng là: ¿ x ≥ − khi2 ≤ x <3 ( √ x −2 −1 ) |√ x − 2−1| ¿ A= √ = ={ √ x −2 −1 √ x − 2−1 ¿ DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC [( )] −a √ a 1+a √ a +√ a − √ a +1 với a≥0, a≠1 Ví dụ 1: Cho biểu thức A=( 1− a ) : −√a 1+ √ a )( a Rút gọn biểu thức A b Với giá trị nào a thì | A|=A −a √ a 1+a √ a +√ a − √ a +1 Điều kiện xác định a≥0, a≠1 Giải: a A=( 1− a ) : −√a 1+ √ a [( A=( 1− a2 ) : ([ ( )] )( )] − √ a )( a+ √ a+1 ) ( 1+ √a )( a − √ a+1 ) +√a − √ a +1 − √a 1+ √ a )( 2 ¿ ( 1− a2 ) : [ ( 1+2 √ a+a )( −2 √ a+a ) ] +1=( − a2 ) : [ ( 1+ √ a ) ( 1− √ a ) ] +1 ( 1+ a ) ( 1− a ) 1+a ¿ +1= + 1= 1− a 1− a ( 1− a ) b Muốn | A|=A thì A≥0 ⇔ 1− a ≥ ⇔1 − a≥ ⇔ a ≤1 Vậy với ≤ a<1 thì | A|=A Phân tích sai lầm: Bài toán này học sinh không bị mắc sai lầm rút gọn biểu thức dễ mắc sai lầm câu b tìm các giá trị a để | A|=A là giải xong kết luận luôn là a≤1 thì | A|=A mà không kết hợp với điều kiện xác định đã cho đề bài Lời giải đúng phải là: Muốn | A|=A thì A≥0 ⇔ 1− a ≥ ⇔ − a≥ ⇔ a ≤1 Kết hợp với điều kiện xác định a≥0, a≠1 Ta có ≤ a<1 Với ≤ a<1 thì | A|=A Ví dụ 2: Cho biểu thức R= ( √ x +3 ) √ x −2 x x + √ − : − Víi x ≥ ; x ≠ x−9 x +3 √ x −3 √ x −3 (√ √ )( a Rút gọn biểu thức R b Tìm các giá trị x để R<-1 Giải: Học sinh giải là ) (8) √ x ( √ x −3 )+ √ x ( √ x+3 ) − ( √ x +3 ) √ x −2 − √ x+ : x−9 √ x −3 x − √ x + x +3 √ x −3 √ x − √ x +1 ( x −2 √ x −3 ) ( √ x −3 ) ( √ x − ) ¿ : = = x−9 √ x −3 ( √ x+ ) ( √ x −3 ) √ x −3 √x−3 a , R= (√ x − 3) ( √ x − 3) √x − < −1 ⇔ +1<0 ⇔ <0 √x−3 √ x −3 √ x +3 √ x +6 Víi x ≥ ⇒ √ x+3> Nªn <0 ⇔ √ x − 6<0 ⇔ √ x < ⇔ x < √ x +3 Vậy với x< thì R ≤ -1 b,§Ó R < -1 ⇔ Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh đây là kết luận không kết hợp với điều kiện x đã cho đầu bài là x≥ Vậy giảng cho học sinh chúng ta phải chú ý để học sinh không mắc phải sai lầm này Kết luận đúng bài là Vậy với ≤ x < thì R ≤ -1 Bài tập áp dụng: ( )( +1 Bài tập 1: Cho biểu thức M = 1+a + √ 1− a : √ √ − a2 ) a Rút gọn M b Tìm a để √ M > M − x √x 1+ x √ x +√ x − √x Bài tập 2: Cho biểu thức P= 1− √ x 1+ √ x ( )( ) a Rút gọn biểu thức P b Tìm x để P <7 - √3 DẠNG 3: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC Cho phương trình ax2 + bx + c = (a≠0) a Tìm điều kiện biến thoả mãn các điều kiện nghiệm phương trình Phương pháp chung để giải dạng toán này là: - Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và chúng thoả mãn đồng thời hai điều kiện đó là: ¿ a≠ Δ> ¿{ ¿ (9) - Để phương trình bậc hai có nghiệm kép và chúng thoả mãn đồng thời hai điều kiện đó là: ¿ a ≠0 Δ=0 ¿{ ¿ - Để phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này ta phải xét hai trường hợp + Nếu phương trình đó là phương trình bậc + Nếu phương trình đó là phương trình bậc hai vô nghiệm ¿ a≠ Δ< ¿{ ¿ - Để phương trình có nghiệm: Trong trường hợp này ta phải xét hai trường hợp + Nếu phương trình đó là phương trình bậc + Nếu phương trình đó là phương trình bậc hai có nghiệm ¿ a ≠0 Δ=0 ¿{ ¿ Ví dụ 1: Cho phương trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + = (*) a Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b Tìm các giá trị m để tập nghiệm phương trình có phần tử Giải: a Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và chúng thoả mãn đông thời hai điều kiện đó là: ¿ a≠ Δ> ¿{ ¿ Phân tích sai lầm: Phương trình đã cho bài toán này có hệ số a = m – m – giải học sinh thường bỏ qua điều kiện để a ≠ mà chú ý đến điều kiện ∆ > ∆ = (m+1)2 – (m2 – m – 2) > 3m + > m > - Và học sinh kết luận: Khi m > - thì phương trình (m – m – 2) x2 + 2(m+1)x+1= có hai nghiệm phân biệt Vậy lời giải đúng đây là: (10) Phương trình (m2 – m – 2)x2+2(m+1)x+1=0 có hai nghiệm phân biệt và khi: a≠0 ¿ Δ> ⇔ ¿ m − m−2 ≠ ( m+ )2 − ( m2 −m −2 ) > ⇔ ¿ ( m+ )( m −2 ) ≠ m+3> ⇔ ¿ m+1 ≠ m−2 ≠ ¿ m> −1 { ¿⇔ ¿ m> −1 m≠ ¿ ¿ ¿ { ¿ Phương trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + = có hai nghiệm phân biệt Khi và ¿ m>−1 m≠2 ¿{ ¿ b Để giải dạng toán này chúng ta phải xét trường hợp Thứ hệ số chứa ẩn x2 Thứ hai hệ số chứa ẩn x2 khác Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh đây cho Phương trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + = đã là phương trình bậc hai Tập nghiệm phương trình đó có phần tử và ∆ = mà không xét trường hợp phương trình (m 2- m-2) x2 + 2(m+1)x+1 = có thể là phương trình bậc Như học sinh bỏ sót các trường hợp Học sinh giải là: Phương trình m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + = có nghiệm và ∆ = 3m + = m = - và kết luận (11) Phương trình m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + = tập nghiệm có phần tử và m = - Lời giải đúng là: Để phương trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + = (*) tập nghiệm có phần từ và phương trình (*) là phương trình bậc là phương trình bậc có biệt số ∆ = Với m = - phương trình có dạng 0x + = phương trình vô nghiệm Với m = phương trình có dạng 6x + = phương trình có nghiệm là x=− Với m ≠ - và m ≠ phương trình (*) là phương trình bậc hai có nghiệm kép và ∆ = 3m + = m = - trái với điều kiện m ≠ - Vậy tập nghiệm phương trình có phần tử và m = Bài toán này học sinh dễ mắc sai lầm là kết luận không loại bỏ điều kiện m ≠ - Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – = Tìm các giá trị m để phương trình đã cho a Có hai nghiệm phân biệt b Vô nghiệm Giải: ∆ = 9(m – 2)2 – m(4m – 7) = 9(m2 – 4m + 4) – 4m2 + 7m = 9m2 – 36m + 36 – 4m2 + 7m = 5m2 – 29m + 36 = (m – 4)(5m – 9) Phân tích sai lầm: Học sinh thường mắc phải dạng toán này cho phương trình (*) đã cho là phương trình bậc hai giải chú ý đến xét điều kiện biệt số ∆ Câu a: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và ¿ a≠ Δ> ¿{ ¿ Sai lầm học sinh là xét đến điều kiện ∆ > tức là (m – 4)(5m – 9) > (12) ¿ m− >0 m− 9>0 ¿ ¿ ¿ m− 4<0 ¿ m− 9<0 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ m> ¿ m> ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Kết luận phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và m > m< bài toán này bị sai vì còn điều kiện m ≠ chưa xét đến Lời giải đúng: Để phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – = có hai nghiệm phân biệt khi: (13) a≠ Δ> ⇔ ¿ m≠ ( m− )( m −9 )> ⇔ ¿ m≠ ¿ m −4 >0 m− 9>0 ¿ ¿ ¿ m− 4< ¿ m− 9<0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ no ¿ ¿⇔ ¿ ¿ m≠ ¿ ¿ m> ¿ ¿ m> ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m<4 ¿ m< ¿ Kết luận: ¿ m≠ ¿{ ¿ m< Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và m > Câu b: Phân tích sai lầm: Ở câu b học sinh dễ mắc hai sai lầm Sai lầm thứ không xét đến điều kiện hệ số a có chứa biến Sai lầm thứ xét đến thì xét điều kiện hệ số a ≠ tức là các em cho phương trình đó đã là phương trình bậc ∆ < tức là (m – 4)(5m – 9) < lời giải bài toán không chặt chẽ Học sinh giải là: Phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – = vô nghiệm (14) Δ< ⇔ ( m− ) (5 m −9 )< ⇔ ¿ m− 4>0 m −9< ¿ ¿ ¿ m− <0 ¿ m −9> ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ m>4 ¿ ¿ m< ¿ ¿ ¿ Kết luận phương trình (*) vô nghiệm và < m< Lời giải đúng là: −7 Nếu m = phương trình đã cho có dạng -12x – 7= ⇔ x=12 luôn có nghiệm Nếu m ≠ phương trình đã cho là phương trình bậc hai vô nghiêm ∆ < Tức là (15) a≠ Δ< ⇔ ¿ m≠ ( m− )( m −9 )< ⇔ ¿ m≠ ¿ m −4 >0 m− 9<0 ¿ ¿ ¿ m− 4< ¿ m− 9>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ no ¿ ¿⇔ ¿ ¿ m≠ ¿ ¿ m> ¿ ¿ m< ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m<4 ¿ m> ¿ Kết luận: Phương trình (*) vô nghiệm và < m< thoã mãn điều kiện m ≠ Ví dụ 3: Tìm các giá trị k để phương trình sau có nghiệm phân biệt a kx2 – 2(k – 1) x + k + = b x2 – 4x + k = ( k nguyên dương) c 2x2 – 6x + k + = (k nguyên âm) Giải: Phân tích sai lầm: Ở câu a giải bài toán dạng này học sinh thường mắc sai lầm là không chú ý đến điều kiện để phương trình đã cho là phương trình bậc (16) hai câu b và câu c học sinh thường không chú ý đến điều kiện k là số nguyên dương và k là số nguyên âm a Phương trình kx2 – 2(k – 1) x + k + = có nghiệm phân biệt và ∆’>0 (k – 1)2 – k(k + 1) > k2 – 2k + – k2 – k> - 3k + 1> k > −3 Kết luận với k > − thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Lời giải đúng là: Phương trình kx2 – 2(k – 1) x + k + = có nghiệm phân biệt và ¿ k≠0 Δ ' >0 ⇔ ¿ k≠0 −3 k +1> ⇔ ¿ k≠0 k >− ¿{ ¿ Kết luận: Với giá trị k > − và k ≠ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt b Phương trình x2 – 4x + k = có hai nghiệm phân biệt và ∆’>0 ∆’ = – k > k < Kết lụân: Với k< thì phương trình x2 – 4x + k = có hai nghiệm phân biệt Sai lầm đây không kết hợp điều kiện k là số nguyên dương Lời giải đúng là: Vì k<4 mà k là số nguyên dương nên k { 1;2 ;3 } thì phương trình x2 – 4x + k = có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 4: Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: (m2 – m)x2 + 2mx + = (*) Giải:Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh thường mắc phải dạng bài toán này là cho phương trình đã cho là phương trình bậc hai mà không xét đến điều kiện hệ số a để có thể phương trình là phương trình bậc a Phương trình (*) có nghiệm và ∆’≥0 Tức là ∆’= m2 – (m2 – m) = m2 – m2 + m = m Kết luận: Phương trình (*) Có nghiệm và chi m≥0 (17) Lời giải đúng là: a.Phương trình đã cho có: a = m2 – m; b = 2m; c = Nếu a = ⇔ m=0 ¿ m=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Nếu m = phương trình (*) có dạng 0x + = Vô nghiệm −1 Nếu m = phương trình (*) có dạng 2x + = có nghiệm x=− ⇔ x= Nếu m ≠ 0và m≠ Phương trình (*) là phương trình bậc hai có nghiệm ∆’≥0 ∆’ = m2 – (m2 – m) = m; ∆’≥0 m ≥0 Một sai lầm học sinh thường mắc bài toán này kết luận không loại bỏ điều kiện m ≠ Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm và m>0 Ví dụ 5: Tìm các giá trị n để phương trình sau có nghiệm: (n + 1)x2 – 2x + (n – 1) = Giải: Sai lầm học sinh tương tự ví dụ Học sinh cho phương trình đã cho là phương trình bậc hai có nghiệm ∆’≥0 Ta có ∆’ = – (n + 1)(n – 1) = – n2 + = - n2 = ( √ 2− n ) ( √ 2+ n ) Δ ≥ ⇔ , ( √ 2− n ) ( √ 2+ n ) ≥0 ⇔ ¿ √ 2− n ≥ √ 2+n ≥ ¿ ¿ ¿ √2 −n ≤ ¿ √ 2+n ≤ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ n ≤√2 ¿ ¿ n≥ − √2 ¿ ¿ ¿ Kết luận với − √ ≤n ≤ √ thì phương trình (*) có nghiệm (18) Lời giải đúng là: Với n = - phương trình có dạng -2x – = có nghiệm x = -1 Với n ≠ - phương trình là phương trình bậc hai có nghiệm ∆’≥0 Tức là n+1 ≠0 Δ' ≥ ⇔ ¿ n ≠− ( √ 2− n ) ( √ 2+ n ) ≥0 ⇔ ¿ n ≠− ¿ √ 2− n ≥0 √ 2+ n ≥0 ¿ ¿ ¿ −n ≤0 √ ¿ √ 2+ n ≤0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ no ¿ ¿⇔ ¿ ¿ n ≠− ¿ ¿ n ≤ √2 ¿ ¿ n≥ − √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ n≥ √ ¿ n≤ − √ ¿ Kết luận − √ ≤n ≤ √ thì phương trình (*) có nghiệm giáo viên cần lưu ý với các em vì trường hợp n = - nằm khoảng − √ ≤n ≤ √ Nhưng giải ta không xét trường hợp hệ số a (a = n + ) a = và a ≠ thì bài giải chúng ta chưa chặt chẽ mặc dù chúng ta có đáp số đúng b Chứng minh phương trình có nghiệm với giá trị biến Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trị a và b (a+1) x2 – 2(a + b)x + (b – 1) = (19) Giải: Lưu ý chung: Khi giải dạng toán này trước hết phải xét các giá trị để phương trình là phương trình bậc hai, phương trình là phương trình bậc Bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm chỗ cho phương trình đã cho là phương trình bậc hai có nghiệm ∆’ ≥ kết luận Lời giải đúng là: Với a ≠ -1 Phương trình (*) là phương trình bậc hai nó có nghiệm ∆’ = (a+b)2 – (a + 1)(b – 1) ≥ Đặt a + = m; b – = n ta có a + b = m + n 2 Khi đó ∆’ = (m + n) – mn = m + mn + n = n n2 m+ + ≥0 ( ) Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm a ≠ -1 Với a = - Phương trình (*) trở thành -2(b – 1) x = -(b – 1) (**) Nếu b ≠ phương trinh(**) có nghiệm x= Nếu b = Phương trình (**) vô số nghiêm số Kết luận: Phương trình (a+1) x2 – 2(a + b)x + (b – 1) = có nghiệm với giá trị a và b Ví dụ 2: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trị m x2 – (3m2 – 5m + 1)x – (m2 – 4m + 5) = (*) Giải: Giáo viên: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) Nếu a.c ≤ mà a ≠ ta có ∆ ≥ Vì ∆ = b – 4ac b2 ≥ ac <0 4a.c> thì ∆ = b2 – 4ac >0 Như để chứng minh cho phương trình bậc hai có nghiệm ta có thể vận dụng chứng minh tích a.c <0 Với bài toán này ta có thể vận dụng chứng tỏ a.c < thì phương trình có nghiệm với giá trị m Ta có a.c = – (m2 – 4m + 5) – [(m2 – 4m + 4) + 1] = – [(m2 – 4m + 4) + 1] = – [(m - 2)2 + 1] Do (m – 2)2 ≥ (m - 2)2 + 1> – [(m - 2)2 + 1] < a.c = – [(m - 2)2 + 1] < nên phương trình (*) có ∆ >0 có nghiệm với giá trị m Giáo viên: Tuy nhiên với điều kiện a.c ≤ chưa đảm bảo phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (20) Ví dụ ta xét phương trình m2 x2 – mx – = Ta có a.c = -2m2≤ với m = thì phương trình trở thành 0x = vô nghiệm Như gặp trường hợp a.c≤ ta phải xét hai trường hợp a a ≠ và a = Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình (m – 1) x2 + 2m x + m – = Tìm tất các giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phương trình mx2 – 2(m + 1) x + (m – 4) = Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trị a và b a 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = b x2 + (a + b)x – 2(a2 – ab + b2) = Bài 4: Cho phương trình mx2 + 6(m – 2) + 4m – = Tìm các giá trị m để phương trình đã cho: a Có nghiệm kép b Có hai nghiệm phân biệt c Vô nghiệm c Tìm điều kiện biến thoả mãn các mối quan hệ hai nghiệm Hệ thức Vi ét – ứng dụng Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) có nghiệm (∆≥0 ∆’≥0) b c Thì S=x + x 2=− a ; P=x x 2= a Áp dụng: a Tính nhẩm nghiệm c Nếu a + b + c = thì phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = a c Nếu a – b + c = thì phương trình có hai nghiệm là x1 = - 1; x2 = − a b Xét dấu các nghiệm S = x1 + x2; tính tích hai nghiệm P = x1 x2 Phương trình có hai nghiệm trái dấu ¿ Δ >0 P<0 ¿{ ¿ + Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ¿ Δ >0 S >0 P<0 ¿{{ ¿ ¿ Δ' > P<0 ¿{ ¿ ¿ Δ'>0 S >0 P<0 ¿{{ ¿ (21) + Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ¿ Δ >0 S <0 P<0 ¿{{ ¿ ¿ Δ≥ P>0 ¿{ ¿ hoặc ¿ Δ '> S <0 P<0 ¿{{ ¿ ¿ Δ' ≥ P> ¿{ ¿ Ví dụ 1: Cho phương trình mx2 – 2(m + 1) x + (m – 4) = (*) a Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn b Xác định m để các nghiệm x1, x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = c Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải: ∆’=(m + 1)2 – m(m – 4) = 6m + Theo hệ thức Vi ét ta có S= ( m+1 ) m− ; P= m m a Học sinh giải: Để phương trinh (*) có hai nghiệm trái dấu ¿ m− 4> m<0 ¿ ¿ ¿ m − 4<0 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ m>4 ¿ m<0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m< ¿ Nguyên nhân sai lầm này là học sinh cho phương trình (*) đã có nghiệm và xét điều kiện để hai nghiệm phương trình trái dấu mà không xét đến điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải đúng là: (22) m≠ m+ 1> m− P= <0 m ⇔ ¿ m≠ m>− ¿ m −4 >0 m<0 ¿ ¿ ¿ m− 4< ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ no ¿ ¿⇔ ¿ ¿ m≠ ¿ m>− ¿ ¿ m> ¿ m<0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m< ¿ m>0 ¿ ¿ Do 0<m<4 nên S= ( m+1 ) >0 m nên nghiệm dương phương trình có giá trị tuyệt đối lớn b Xác định m để các nghiệm phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = Học sinh giải là: ¿ ( m+1 ) x 1+ x 2= (2) m m− x x 2= (3) m x1 + x 2=3(4) ¿{{ ¿ (23) Từ (2) và (4) ¿ ( m+1 ) x1 + x 2= m x 1+ x 2=3 ⇔ ¿ x +4 x2 =3 ( m+1 ) x2 =3− m ⇔ ¿ x +4 x2 =3 m− x 2= 3m ⇔ m+8 ¿ x 1= 3m m− x 2= 3m ¿{ ¿ Thay x1; x2 vào (3) ta ( m−2 ) ( m+ ) m− = m(m – 2)(5m + 8) = 9m2(m2 m 9m 4) 5m2 + 8m – 10m – 16 = 9m2 – 36m 4m2 - 34m + 16 = 2m2 - 17m + = giải phương trình với ẩn m ta tìm m1= 8; m2 = Vậy m = m = thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = Phân tích sai lầm: Học sinh quên điều kiện để phương trình (*) là phương trình bậc hai và điều kiện để phương trình có hai nghiệm m≥ − nên giải xong các em không đối chiếu với điều kiện để kết luận kết luận với m1= 8; m2 = thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = Lời giải đúng là: Để các nghiệm phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = khi: ¿ m≠ m≥ − (1) ( m+1 ) x 1+ x 2= (2) m m− x x 2= (3) m x1 + x 2=3(4) ¿{{{{ ¿ (24) Từ (2) và (4) ¿ ( m+1 ) x1 + x 2= m x 1+ x 2=3 ⇔ ¿ x +4 x2 =3 ( m+1 ) x2 =3− m ⇔ ¿ x +4 x2 =3 m− x 2= 3m ⇔ m+8 ¿ x 1= 3m m− x 2= 3m ¿{ ¿ ( m−2 ) ( m+ ) m− = m(m – 2)(5m + 8) = 9m2(m2 m 9m Thay x1; x2 vào (3) ta 4) 5m2 + 8m – 10m – 16 = 9m2 – 36m 4m2 - 34m + 16 = 2m2 - 17m + = giải phương trình với ẩn m ta tìm m1= 8; m2 = 1 thoả mãn điều kiện m − và m ≠0 Với giá trị m1= 8; m2 = Vậy với m1= m2 = thì phương trình (*) có hai nghiệm thoã mãnx1+4x2 = (25) c Với m − và m ≠0 thì phương trình mx2 – 2(m + 1) x + (m – 4) = có hai nghiệm thoả mãn ¿ ( m+1 ) x 1+ x2 = m m −4 x x 2= m ⇔ ¿ x + x 2=2+ m x x 2=1 − m ⇔ ¿ =x + x −2 m x1 x 2=1 −2 m ⇔ ¿ =x + x −2 m x x2=1− ( x + x −2 ) ¿{ ¿ Vậy x1.x2 =1- 2x1 – 2x2 +4 x1.x2 = - 2x1 – 2x2 là hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 2(m – 2) x + (m2 + 2m – 3) = (*) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 x1 + x2 + = x1 x2 Giải: ∆’ =(m-2)2 – (m2 + 2m – 3) = m2 – 4m + – m2 – 2m + = - 6m + 1 x1 + x2 Để phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn x + x = Thì ta phải có (26) Δ '> x1 x2 ≠ 1 x1 + x + = x1 x2 ⇔ ¿ −6 m+7> m2+2 m −3 ≠ x + x x 1+ x2 = x1 x2 ⇔ ¿ − m> −7 ( m −1 ) ( m+3 ) ≠ ¿ 1 ( x 1+ x ) x x − =0 ⇔ ¿ m< m≠ m≠ −3 x 1+ x 2=0 ¿ 1 − x x2 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿¿ ( ) (27) ⇔ m≠1 m≠ − x + x 2=0 ¿ x x 2=5 ¿ ¿{ ¿ ¿⇔ ¿ ¿ m< ¿ m≠1 ¿ m≠ − ¿ ( m−2 ) =0 ¿ m2+ 2m −3=5 ¿ ¿{ ¿ ¿⇔ ¿ ¿ m< ¿ m≠1 ¿ Vậy với m = - thì phương trình x – 2(m – 2) x + (m2 + 2m – 3) m≠ − ¿ m−2=0 ¿ m2+2 m −8=0 ¿ ¿{ ¿ ¿⇔ ¿ ¿ m< ¿ m≠1 ¿ m≠ − ¿ m=2 ¿ ( m− )( m+ ) =0 ¿ ¿{ ¿ ¿⇔ ¿ ¿ m< ¿ m≠1 ¿ m< (28) = (*) 1 x1 + x2 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x + x = Phân tích sai lầm: Khi giải học sinh thường bị mắc hai sai lầm đó là: - Không tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt - Không hai nghiệm đó hai nghiệm đó đồng thời khác 0, Nên kết luận nghiệm học sinh không loại bỏ giá trị m = Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình x2 – 3x + k – = Xác định k để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: a 2x1 – 5x2 = - b x12 – x22 = 15 c x12 – x22 = Bài tập 2: Cho phương trình: (2m – 1)x2 – 2mx + = a Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng ( - 1; 0) b Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn |x − x |=1 2 Kết Tôi đã sử dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm giải số dạng toán Đại số lớp 9” trường THCS nơi tôi công tác và nhận thấy: Đa số học sinh tự trình bày lời giải bài toán, đã tránh sai lầm làm bài tập, làm bài thi, các em đã nắm phương pháp giải phù hợp với dạng để vận dụng quá trình giải toán cách linh hoạt Nhận dạng các bài toán và từ đó hầu hết giải các bài tập, xoá cảm giác khó, phức tạp ban đầu Nhiều học sinh đã biết khai thác phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, biết tìm cách giải hay, ngắn gọn, giải nhiều bài tập khó, kết qua các kỳ thi nâng lên đặc biệt là kỳ thi vượt cấp vào THPT điểm bài thi môn toán trường chúng tôi có kết khá cao C KẾT LUẬN: Qua quá trình dạy toán cấp THCS với đề tài: “Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm giải số dạng toán Đại số lớp 9” Việc tìm hiểu nghiên cứu các bài toán mà giải học sinh thường mắc sai lầm, là vấn đề đơn giản lại thiết thực các em học sinh và đó là kỹ truyền thụ kiến thức giáo viên quá trình giảng dạy, nhiều bài toán đơn giản (29) trình bày không chú ý thì dễ mắc sai lầm Như cần phải rèn luyện cho các em kỹ vận dụng lý thuyết linh hoạt thì học sinh có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề để tránh sai lầm nhỏ vô cùng quan trọng làm bài thi Tôi hy vọng đề tài “Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm giải số dạng toán Đại số lớp 9” giúp ích cho các em học sinh THCS việc làm bài kiểm tra, thi học kỳ và đặc biệt là thi vượt cấp vào THPT Qua đó các em có phương pháp giải định tránh tình trạng nắm hướng giải bài toán lại lúng túng trình bầy lời giải, hạn chế sai lầm giải bài tập, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập đạt kết cao các kỳ thi Học sinh biết cách phối hợp các điều kiện bài toán cách hợp lý và có phát hiện, tìm tòi các phương pháp giải hay hơn, qua đó xây dựng cho các em niềm đam mê hứng thú học tập Trân trọng suy nghĩ, ý kiến phát biểu sáng tạo dù nhỏ các em để có tác dụng động viên, khích lệ, kích thích khả tự nghiên cứu tìm tòi các em Học sinh thấy toán học phong phú và hứng thú Cốt lõi là giúp học sinh hướng tới việc học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Trên đây là kinh nghiệm ít ỏi thân rút quá trình giảng dạy chắn còn nhiều thiếu sót chưa thể hoàn hảo Rất mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! (30) MỤC LỤC: A PHẦN MỞ ĐẦU: I Lời mở đầu II Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu: Thực trạng Kết thực trạng B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Các dạng toán Dạng 1: Bài toán rút gọn biểu thức có chứa thức Dạng 2: Tìm giá trị biến thoả mãn điều kiện biểu thức Dạng 3: Bài toán liên quan đến phương trình bậc hai a Tìm điều kiện biến thoả mãn các điều kiện nghiệm phương trình b Chứng minh phương trình có nghiệm với điều kiện biến c Tìm điều kiện biến thoả mãn mối quan hệ hai nghiệm Kết C KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO SÁCH GIÁO KHOA ĐẠI SỐ (Nhà xuất giáo dục) SÁCH BÀI TẬP ĐẠI SỐ (Nhà xuất giáo dục) (31) ÔN TẬP ĐẠI SỐ LỚP (Nhà xuất giáo dục) ÔN TẬP THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (Nhà xuất giáo dục) (32)