Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 120 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt bên SCD và mặt phẳng đáy bằng 300.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD [r]
(1)HƯỚNG DẪN CHẤM ( Gồm trang ): (GV đề và biên soạn HDC : Lê Thừa Thành, TTCM ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1.(3,0 điểm) Cho hàm số y x 2x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số ( điểm) Tập xác định : R (0, 25 đ) Giới hạn : lim y lim y x x (0, 25 đ) (Cho phép viết gộp : lim y x ) y ' 4x 4x 4x(x 1), y ' 0 x 0; x 1 (0, 25 đ) Bảng biến thiên ( đầy đủ, đúng ) (0, 25 đ) ; 1 0;1 1; 1; Hàm số ĐB trên các khoảng và , NB trên các khoảng và (0, 25 đ) ( Cho không (0) điểm HS viết: NB trên 1; 1; ) , y y 1 4 HS đạt cực tiểu x = 0, yCT y(0) 3 , đạt cực đại x 1 CD (0, 25 đ) 3; 0 Đồ thị : Giao điểm với Oy : (0; 3) Giao điểm với Ox : (0, 25 đ) ( Hoặc HS trình bày ít điểm khác có tính đối xứng cặp điểm qua Oy) Vẽ đúng dạng đồ thị (0, 25 đ) x x k 0 2) Tìm k để phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt ( điểm) x x k 0 (*) Phương trình : Ta có : (*) x 2x 2k (0, 25 đ) Suy : (*) có đúng nghiệm thực phân biệt đường thẳng (d): y = 2k + cắt đồ thị (C) điểm phân biệt (0, 25 đ) 2k (0, 25 đ) Câu 2.(3,0 điểm) 1) Giải phương trình 4log (x 1) 2log x log 0k (0, 25 đ) x R ( điểm) Điều kiện : x > ( 0,25 đ) Biến đổi PT log (x 1) log (x 1) (0,25đ) Tìm log (x 1) 1; log (x 1) 2 (0,25đ) ; x = (0,25đ) Tìm hai nghiệm phương trình: x2 y x , y 0 , x = 1, x = Tìm thể tích khối 2) Hình phẳng (H) giới hạn các đường x tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành (1 điểm ) x 2 x 2 Vx 0, x 1; 2 dx x x 1 Ta có : (0, 25đ) Thể tích khối tròn xoay : (0, 25đ) 2 Vx ln(x 1) dx x (x 1) x x 1 (0, 25đ) 1 2ln 3 7 2ln 2ln (0, 25đ) 6 (2) f (x) x (m 1)x (5m 11)x 2012 3) Tìm m để hàm số đồng biến trên R (1 điểm) Với x thuộc R, ta có f '(x) g(x) x 2(m 1)x 5m 11 (0, 25đ) Hàm số f(x) đồng biến trên R f '( x) g ( x) 0, x R (0, 25đ) m 7m 12 0 a ( a 1 ) ' 0 (0, 25đ) m 4 (0, 25đ) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 120 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc mặt bên (SCD) và mặt phẳng đáy 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (1điểm) Từ giả thiết suy hình thoi ABCD tạo thành hai tam giác cạnh a là ABC và ADC 3 dt ( ABCD ) 2 a a Diện tích hình thoi đó là : (0,25 đ) 1 3 1 dt ( ABCD ) 2dt ( BAD) 2 AB.AD.sin BAD a 2 a.a 2 2 Ghi chú cách khác : AHS 300 AH CD, SH CD Gọi H là trung điểm cạnh CD thì Tính SA AH tan 300 Suy (0,25 đ) a a (0,25 đ) 1 a a3 V= dt(ABCD).SA a 3 12 Thể tích khối chóp S.ABCD : (0,25 đ) * Ghi chú : Nếu HS không vẽ hình vẽ hình sai, GK chấm và cho điểm phần tính diện tích hình thoi ABCD Theo chương trình Chuẩn : 2 Câu 4a.(2,0 điểm) (S): (x 1) (y 1) (z 2) 0 và (P) : x 2y 2z 11 0 1) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) ( điểm) 2 PT (S): (x 1) (y 1) (z 2) 9 (S) có tâm I(1; 1; 2) (0, 25 đ) và bán kính R = (0,25đ) d(I, (P)) (1) 2(1) 2(2) 11 (1) ( 2) ( 2) 12 4 (0,25đ) ( Không có dấu GTTĐ : cho điểm ) (0,25đ) 2) Tia Ox cắt m/cầu (S) điểm A Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng IA với (P) (1 điểm) A tia Ox A( x; 0; 0) với x Tọa độ giao điểm A (S) và tia Ox là nghiệm phương 2 trình (x 1) ( 1) ( 2) 0 x 3 (loại x = -1 < 0) (0,25 đ) Vậy A(3; 0; 0) Phương trình đường thẳng IA : x 3 2t; y t; z 2t (0,25 đ) Tọa độ giao điểm M đường thẳng IA và mặt phẳng (P) ứng với t thỏa mãn : (3 2t) 2( t) 2( 2t) 11 0 t 2 (0,25 đ) Với t = 2, tìm điểm M(7; -2; -4) (0,25 đ) * Ghi chú : HS nào lấy hai giá trị x = và x = -1 : cho 0,25 đ Nhưng sau đó, GK cho 0,25 điểm các phần còn lại đúng hoàn toàn (3) Câu 5a Tìm số phức liên hợp số phức w 3 2z , biết : z(2 i) i 2 i ( điểm) z(2 i) i 2 i z(2 i) 1 2i (0,25 đ) 2i (1 2i)(2 i) i 4i 5i z i i (2) (1) 5 (0,25 đ) w 3 2z 3 2i (0,25 đ) w 3 2i (0,25 đ) Theo chương trình Nâng cao: Câu 4b.(2,0 điểm) A(-1; 0; 1), : x y z 2 2 , (S): (x 1) (y 3) (z 3) 6 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và chứa đường thẳng ( điểm) u Đường thẳng qua điểm B(0; 1; 2) và cóvectơ phương (1; 2; 1) (0,25 đ) u, AB 1; 0; 1 AB 1; 1; 1 , AB, u 1; 0; 1 ( : ) (0,25 đ) n u, AB 1; 0; 1 Mặt phẳng (P) qua A và có vectơ pháp tuyến (0,25 đ) Phương trình (P) : 1(x 1) 0(y 0) 1(z 1) 0 x z 0 (0,25 đ) 2) Tính độ dài đoạn HK, với H và K là các giao điểm với (S) ( điểm) M M(t; 2t; t) ( nêu PTTS x t; y 1 2t; z 2 t ) (0,25đ) Tọa độ giao điểm với (S) ứng với t thỏa mãn : (t 1) (1 2t 3) (2 t 3) 6 (t 1) 1 t 0; t 2 (0,25 đ) Tìm H(0; 1; 2) ( điểm H chính là điểm B đã nêu trên ) , K(2; 5; 4) (0,25 đ) 2 HK (2 0) (5 1) (4 2) 24 2 (0,25 đ) * Ghi chú : 2 Có thể tính độ dài HK theo công thức : HK 2 R h 2 ( tính h = d(I, ) = 0) Hoặc : Mặt cầu (S) có bán kính và tâm I(1; 3; 3) Vì tâm I thuộc đường thẳng , nên cắt (S) theo đoạn HK là đường kính (S), đó : HK = Hoặc : Mặt cầu (S) có tâm I(1;3;3) và (S) qua H(0;1; 2) cắt (S) theo đoạn HK với K là điểm đối xứng H qua I, đó : HK 2 IH 2 sin 2i sin Câu 5b.Viết dạng lượng giác số phức: sin 2i sin 2sin co s i sin 2 2 (0,25 đ) Khi sin 0 : số đó có dạng lượng giác không xác định (0,25 đ) 2sin co s i sin 0 2 2 (0,25 đ) Khi : số đó có dạng lượng giác là : 2sin co s i sin sin 2 2 (0,25 đ) Khi : số đó có dạng lượng giác là : sin ( điểm) (4) - (5)