Đang tải... (xem toàn văn)
Lập phương trình đường tròn C đi qua M, có tâm I trên đường thẳng d1 và chắn trên đường thẳng d2 một dây cung có độ dài bằng 6.. Lời giải: hungchng d2 A..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN NGÀY 10.11.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) BOXMATH http://boxmath.vn Câu (2 điểm) π 3π − x 13 + sin + 3x = 12 10 10 (x + y)4 + (x + y)3 = 3(x + y) 5(x2 + y2 ) − 8xy = a) Giải phương trình sin b) Giải hệ phương trình Z Tính tích phân I= Câu (1 điểm) dx √ x2 + (2x2 + 4) bo xm Câu (1 điểm) ath Câu (2 điểm) Cho họ đường cong (Cm ) : y = x3 − x2 − 5mx − 5m a) Khi m = 1, hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C1 ) b) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < < x2 < x3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1 B1C1 D1 với AB = a, AD = b Trên cạnh AA1 và CC1 lấy điểm M và a2 b2 N cho AM.CN = Tính thể tích khối tứ diện BDMN a + b2 Câu (1 điểm) 16 Cho các số thực thay đổi x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 + xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 25 p 2 P= x + y + z + xy − 10(xy + yz + zx) PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn :// Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3; 2), hai đường thẳng (d1 ) : x + y − = và (d2 ) : x + y − = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(−4; 1) và cắt (d1 ), (d2 ) B và C cho tam giác ABC cân A b) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2x − 2y + 2z − = 0, hai điểm A(3; 1; 0), B(2; 0; −2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B cho thiết diện (P) với khối cầu (S) là hình tròn có diện tích π Câu 7A (1 điểm) Có nam và nữ xếp ngẫu nhiên vào dãy hàng ngang gồm có ghế Tính xác suất để không có hai nữ ngồi kề B Theo chương trình nâng cao htt p Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 1), hai đường thẳng (d1 ) : x − y + = và (d2 ) : x − = Lập phương trình đường tròn (C) qua M, có tâm I trên đường thẳng (d1 ) và chắn trên đường thẳng (d2 ) dây cung có độ dài x−1 y+1 z−1 b) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) : = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 3) 2 và cắt đường thẳng (d) hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I Câu 7B (1 điểm) Từ các chữ số 4, 5, 6, 7, 8, có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho số các chữ số là khác và tổng ba chữ số đầu lớn tổng ba chữ số cuối đơn vị ———————————————–Hết—————————————————- (2) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN x→+∞ ath Câu 1.a Cho họ đường cong (Cm ) : y = x3 − x2 − 5mx − 5m Khi m = 1, hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C1 ) Lời giải: (hungchng) Khi m = ta có : y = x3 − x2 −5x − Tập xácđịnh D = R Đồ thị x = −1 y = −2 y0 = 3x2 − 2x − ⇒ y0 = ⇔ 310 ⇒ y=− x= 27 lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞ x→−∞ Bảng biến thiên: x −∞ f (x) −1 + − +∞ + +∞ −2 f (x) − 310 27 ; +∞ Hàm số đông biến trên (−∞; −1); Hàm số nghịch biến trên (−1; ) 310 Điểm cực đại (−1; −2), Điểm cực tiểu ;− 27 −∞ bo xm Câu 1.b Cho họ đường cong (Cm ) : y = x3 − x2 − 5mx − 5m Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < < x2 < x3 Lời giải: (Mai Tuan Long) Đặt: f (x) = x3 − x2 − 5mx − 5m ⇒ f (x) = 3x2 − 2x − 5m ⇒ f (x) = ⇔ 3x2 − 2x − 5m = (∗) 1 Xét ∆0 = + 15m ⇒ ∆0 > ⇔ m > − ⇒ Với m > − Đồ thị hàm số điểm cực trị là: x1 ; x2 là nghiệm PT(∗) 15 15 Ta có: 1 30m + 50m 30m + 50m 30m + 50m f (x) = f (x) x− − x− ⇒ f (x1 ) = − x1 − f (x2 ) = − x2 − 9 9 9 :// Đồ thi hàm số cắt truc hoành điểm phân biệt thỏa mãn x1 < < x2 < x3 và khi: m > − 15 m > − 15 f (x1 ) f (x2 ) < ⇔ m(m2 − 172m − 4) > ⇔ m ∈ − ; 15 f (0) > m < x2 > Câu 2.a Giải phương trình (proboyhinhvip) 3π Đặt − x = t Pt đã cho trở thành: 10 htt p Lời giải: π 3π sin − x 13 + sin + 3x = 12 10 10 ĐK: x ∈ R sint (13 + sin (π − 3t)) = 12 ⇔ sint (13 + sin 3t) = 12 ⇔ −4 sin3 t + sin2 t + 13 sint − 12 = " sint = (1) ⇔ (sint − 1) −4 sin t − sin t − sint + 12 = ⇔ −4 sin t − sin t − sint + 12 = (2) Pt (2) đặt sint = y chứng minh pt theo y không có nghiệm [−1; 1] cách xét hàm số Câu 2.b Giải hệ phương trình (x + y)4 + (x + y)3 = 3(x + y) 5(x2 + y2 ) − 8xy = (3) x +y Lời giải: (luxubuhl) Ta đánh giá phương trình (2) sau " # 1 (x + y)2 x+y 1 − 8xy = ⇐⇒ ≥ −8 ⇐⇒ − ≤ x + y ≤ 4 2 2 Từ phương trình thứ dễ suy bo xm ath h i (x + y) (x + y)3 + (x + y)2 − = 1 Xét f (t) = t + t − =⇒ f (t) = 3t + 2t, f (t) < 0; ∀t ∈ − ; 2 Vậy còn trường hợp x = −y, ta có √ x = 12 √ 18x = ⇔ − x= 12 Lời giải: (thienlonghoangde) Đầu tiên ta có x + y = đây là trường hợp tầm thường Thứ hai ta có : (x + y)2 ((x + y) + 1) = và 5(x + y)2 = 18xy + cho nên ta lập tỉ số hai phương trình trên ta được: x+y+1 = 18xy + Từ đây ta giải hệ theo phương trình u = x + y; v = xy với u2 ≥ 4v Ta có : 20u2 = 72v + 72v(u + 1) + u + = 60 60 xét u = −1 trước u+1 = 60 Vậy ta có 20u3 + 20u 20u2 = 72v + Nhận xét để hệ 72v(u + 1) + u + = 60 có nghiệm thì u2 ≥ 4v Điều này cho ta : :// Vậy ta có : 20u2 = 20u2 = 72v + ≤ 18u2 + ⇔ u2 ≤ Đến đây ta dễ thấy nghiệm phương trình 20u3 + 20u2 = 60 nằm ngoài miền giá trị u Kết luận: Phương trình có nghiệm x = −y với x, y thoả 5(x + y)2 = 18xy + Z Câu Tính tích phân I= dx √ (2x2 + 4) x2 + htt p Lời giải: (loncon95) Ta có : 1 − d Z Z Z dx t dt x x √ I= = = r r 2 1 4 4 (2 + 4t ) + 4t x3 + 1+ 2+ 1+ x x x x Đặt u= p 1 + 4t ⇒ t dt = u du; Khi đó I= Z 1 4t + = u2 + du 1 = π − arctan u2 + 16 (4) bo xm ath Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1 B1C1 D1 với AB = a, AD = b Trên cạnh AA1 và CC1 lấy điểm M và N a2 b2 cho AM.CN = Tính thể tích khối tứ diện BDMN a + b2 Lời giải: (khanhtoanlihoa) (AM +CN) Ta có VABCDMN = d(B/AC) AC ab 2ab.(AM +CN) Ta có: ⇒ VABCDMN = = + ⇒ d(B/AC) = √ a b d(B/AC) a2 + b2 ab.CN ab.AM ab.(AM +CN) VNBCD = ,VMABD = ⇒ VBDMN = VABCDMN −VNBCD −VMABD = 6 √ 2ab Áp dụng BĐT Cauchy ta có: AM +CN ≥ AM.CN = √ a2 + b2 a2 b2 Thay vào biểu thức trên ta có: VBDMN ≥ √ a2 + b2 2 a b ab Vậy MinVBDMN = √ AM = CN = √ 2 a +b a + b2 Lời giải: (leminhansp) Gọi I là giao điểm BA và AC, H là hình chiếu vuông góc B lên AC Ta có: VBDMN = VDIMN +VBIMN Dễ thấy d(B, AC) = d(D, AC) = BH Mà BH⊥(ACC1 A1 ) đó ta có VDIMN = VBIMN = BH.SIMN ⇒ VBDMN = BH.SIMN 3 1 Mặt khác: SIMN = SAMNC − SAIM − SCIN = AC(AM +CN) ⇒ VBDMN = BH.AC.(AM +CN) Để VBDMN Nhỏ thì AM +CN nhỏ AM +CN ≥ AM.CN = a2 b2 a2 + b2 :// ab Đẳng thức xảy AM = CN = √ a + b2 16 Cho các số thực thay đổi x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 + xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 25 p 2 P= x + y + z + xy − 10(xy + yz + zx) Lời giải: (khanhtoanlihoa) (x + y)2 Áp dụng BĐT: x2 + y2 ≥ Ta có: htt p Câu p p p (x + y)2 + z2 + xy − 10(xy + yz + zx) ≥ |(x + y)z| + xy − 10(xy + yz + zx) ≥ (xy + yz + zx) − 10(xy + yz + zx) 10 √ √ Đặt t = xy + yz + zx ⇒ t ≥ ⇒ P ≥ t − 10t √ √ √ 10 Xét hàm số f (t) = t − 10t với t ≥ Ta có f (t) = 2t − 10, f (t) = ⇒ t = √ ! 10 5 = − Vậy MinP = − Lập bảng biến thiên ta có Min f (t) = f 2 x=y x = y = √ ,z = √ 2 34 34 z = (x + y) Dấu ” = ” xảy ⇐⇒ 25 √ √ x = y = − , z = − xy + yz + zx = 34 34 P≥ (5) ath Câu 6A.a Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3; 2), hai đường thẳng (d1 ) : x + y − = và (d2 ) : x + y − = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(−4; 1) và cắt (d1 ), (d2 ) B và C cho tam giác ABC cân A Lời giải: (thiencuong_96) Chú ý ta có d(A; d2 ) = 2d(A; d1 ) và d(M; d2 ) = 2d(M; d1 ) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với d1 , d2 (cắt d1 , d2 P, Q), và nhận thấy d1 kd2 MB MP Nên có = = suy B là trung điểm MC Gọi phương trình qua M có dạng y = k(x + 4) + 1(k 6= + − 1) MC MQ − 4k x + y − = x = 1+k Có ⇒ 7k + là tọa độ B y = k(x + 4) + y = 1+k − 4k x + y − = x = 1+k Có là tọa độ C ⇒ y = k(x + 4) + y = 13k + 1+k Mà có AB = AC suy k Suy phương trình qua M bo xm Câu 6A.b Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2x − 2y + 2z − = 0, hai điểm A(3; 1; 0), B(2; 0; −2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B cho thiết diện (P) với khối cầu (S) là hình tròn có diện tích π Lời giải: (thienlonghoangde) Gọi phương trình mặt phẳng làax + by + cz + d = a2 + b2 + c2 > ( d = −3a − b √ 3a + b + d = ⇒ Ta có Mặt cầu có tâm O (−1; 1; −1) , R = Sthiết diện = π ⇒ r = −1 2a − 2c + d = c= (a + b) √ √ √ |7a − b| |−a + b − c + d| a + 15 a − 15 2 2 =√ = R − r = Suy 11a −4ab−b = ⇒ = = dO/(P) = √ b 11 b 11 a2 + b2 + c2 5a2 + 5b2 + 2ab √ √ √ √ 13 + 15 Chọn (a; b) = + 15; 11 phương trình mp (P) là + 15 x + 11y − z − 17 + 15 = 2√ √ √ √ 13 − 15 Chọn (a; b) = − 15; 11 phương trình mp (P) là − 15 x + 11y − z − 17 − 15 = :// Câu 7A Có nam và nữ xếp ngẫu nhiên vào dãy hàng ngang gồm có ghế Tính xác suất để không có hai nữ ngồi kề Lời giải: (Mai Tuan Long) Ta có số cách xếp ngẫu nhiên nam và nữ vào bàn là: |Ω| = P8 Gọi A là tập hợp số cách xếp mà có ít nữ cạnh : =⇒ |A| = 2.P7 Gọi B là tập hợp số cách xếp mà không có nữ cạnh =⇒ |B| = |Ω| − |A| = P8 − 2.P7 =⇒ P(B) = P8 − 2.P7 P8 htt p Câu 6B.a Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 1), hai đường thẳng (d1 ) : x − y + = và (d2 ) : x − = Lập phương trình đường tròn (C) qua M, có tâm I trên đường thẳng (d1 ) và chắn trên đường thẳng (d2 ) dây cung có độ dài Lời giải: (hungchng) d2 A I1 M I2 B d1 Ta có M(2, 1) ∈ d2 đó giao điểm thứ (C) với d2 là A(2, 7) B(2, −5) (vì MA = = MB) (6) " 1+7 a=3 a+1 = (C) có tâm I ∈ d1 nên I(a, a + 1) d2 kOy nên − ⇐⇒ a = −3 a+1 = " (x − 3)2 + (y − 4)2 = 10 Vậy đường tròn (C) có phương trình (x + 3)2 + (y + 2)2 = 34 " =⇒ I1 (3, 4) I2 (−3, −2) y+1 z−1 x−1 = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm 2 I(1; 0; 3) và cắt đường thẳng (d) hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I Lời giải: (khoatoanlihoa) − Đường thẳng d có VTCP → a = (2; 1; 2) và qua M(1; −1; 1) √ − → − |[→ a ; MI]| 20 Ta có: d(I/d) = = − |→ a| √ √ 10 4IAB vuông I ⇒ 4IAB vuông cân I ⇒ R = 2.d(I/d) = 40 2 Vậy mặt cầu (S) : (x − 1) + y + (z − 3) = ath Câu 6B.b Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) : htt p :// bo xm Câu 7B Từ các chữ số 4, 5, 6, 7, 8, có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho số các chữ số là khác và tổng ba chữ số đầu lớn tổng ba chữ số cuối đơn vị Lời giải: (Mai Tuan Long) Ta có tổng chũ số đầu là 21 có các TH: (5; 7; 9); (6; 7; 8); (4; 8; 9) Suy Số các số cần lập là: (3.P3 ).P3 = 108 số (7)