Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài.. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG.[r]
(1)§1 SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Chứng minh là số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a b ab a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : bc ca ab a b c b c b) Cho a, b, c > Chứng minh : a c) Cho a, b > và 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c là các số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b a b Tìm liên hệ các số a và b biết : a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > và abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm các giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 2 2 12 Tìm các số a, b, c, d biết : a + b + c + d = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị nào a và b thì M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh không có giá trị nào x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = A x 4x 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : 17 So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : a) 15 và 23 19 và c) 27 18 Hãy viết số hữu tỉ và số vô tỉ lớn 2 b) 17 và d) và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 21 5 2x x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > và 2x + xy = S 21 Cho 1 1 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 Hãy so sánh S và 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì 23 Cho các số x và y cùng dấu Chứng minh : a là số vô tỉ (2) x y 2 y x a) x y2 x y 0 y x y x b) x y4 x y2 x y 2 y x y x y x c) 24 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) 1 m n với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ b) 25 Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? x y x y2 3 x y x 26 Cho các số x và y khác Chứng minh : y x y2 z2 x y z 2 2 z x y z x 27 Cho các số x, y, z dương Chứng minh : y 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ là số vô tỉ 29 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : x y x y x 6x 17 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : x y z A y z x với x, y, z > 33 Tìm giá trị nhỏ : A 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không : a a) ab và b là số vô tỉ a b) a + b và b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d 2 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : b c c d d a a b 2 x 2 x 1 2x 39 Chứng minh (3) 40 Cho số nguyên dương a Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh các số đó, tồn hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96 § HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A 41 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A= x B 1 C x 4x x 2x 1 D 1 E x x2 2x x 5x x x G 3x 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào ? 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M x 4x x 6x 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81 c) Giải phương trình : 2 43 Giải phương trình : 2x 8x x 4x 12 44 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A x2 x E B 1 3x G 2x x C 2 9x x x x D x 5x H x 2x x 2 x 3x 0 x 45 Giải phương trình : 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x a và b= 48 So sánh : a) c) n 2 n và 1 n+1 b) 13 và n (n là số nguyên dương) 49 Với giá trị nào x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 1 50 Tính : a) 4 b) 11 d) A m 8m 16 m 8m 16 M 3 1 6x 9x (3x 1) c) 27 10 e) B n n n n (n ≥ 1) 41 45 41 45 41 (2x y) (y 2) (x y z) 0 52 Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : 51 Rút gọn biểu thức : 2 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 25x 20x 25x 30x 54 Giải các phương trình sau : a) x x d) x x 0 x 2x 1 b) x x e) x 4x x 0 c) x x x x 0 g) x x (4) h) x 2x x 6x 1 x x x 25 i) k) x x x x 1 l) 8x 3x 7x 2x x y2 2 x y 55 Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = và x > y CMR: 56 Rút gọn các biểu thức : a) 13 30 b) m m m m c) 2 57 Chứng minh 58 Rút gọn các biểu thức : a) C 62 6 3 2 2 d) 227 30 123 22 2 6 6 3 b) D 9 59 So sánh : a) 20 và 1+ b) 17 12 và 1 c) 28 16 và 2 60 Cho biểu thức : A x x 4x a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn các biểu thức sau : a) c) 11 10 11 52 62 10 b) 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 14 1 1 1 a b2 c2 a b c x 16x 60 x 2 64 Tìm x cho : x x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) a) A 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: A x x 2x x x 2x 16 x b) B x 8x 2x x 2x x x 2x x x 2x 67 Cho biểu thức : a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên số : 0,9999 (20 chữ số 9) (5) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG n n và n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn ? 71 Trong hai số : 72 Cho biểu thức A Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( 5)( 5)( 74 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 ; 5)( 5) 3 75 Hãy so sánh hai số : a 3 và b=2 ; 4 và 1 2 và số 4 Q 2 3 77 Rút gọn biểu thức : 76 So sánh 4 ; 2 3 7 78 Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai x y y x 1 80 Tìm giá trị nhỏ và lớn : A x x 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : M 81 Tìm giá trị lớn : a b với a, b > và a + b ≤ 82 CMR các số 2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd có ít hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N 18 84 Cho x y z xy yz zx , đó x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > và a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n a b 2 2(a b) ab 86 Chứng minh : (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (x 2)2 8x B ab b a A x b b x 88 Rút gọn : a) b) a 2 2 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a Khi nào có đẳng thức ? (6) 90 Tính : A hai cách 5 và 6,9 b) 91 So sánh : a) 2 2 P 2 2 92 Tính : 13 12 và 7 x 2x x 2x 2 1.3.5 (2n 1) Pn 2.4.6 2n 2n ; n Z+ 94 Chứng minh ta luôn có : 93 Giải phương trình : a2 b2 a b b a 95 Chứng minh a, b > thì x 96 Rút gọn biểu thức : A= 4(x 1) x 4(x 1) x 1 x 4(x 1) a b b a : a b ab a b 97 Chứng minh các đẳng thức sau : (a, b > ; a ≠ b) 14 a a a a 15 b) c) : 1 1 a a a a) 98 Tính : a) c) 5 29 20 ; b) 13 48 28 16 48 99 So sánh : a) c) 3 và 15 18 19 và 48 b) 15 và 12 d) 16 và 25 100 Cho đẳng thức : a a2 b a a2 b 2 (a, b > và a2 – b > 0) a b Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2 2 2 2 10 30 2 10 2 2 : ; b) 31 101 Xác định giá trị các biểu thức sau : 3 2 17 12 32 17 12 (a > 0) (7) x y xy 1 1 1 1 x a , y b xy x y với 2 a 2 b 2am a bx a bx x , m 1 b) B b m a bx a bx với a) A 2 (a > ; b > 1) 2x x P(x) 3x 4x 102 Cho biểu thức a) Tìm tất các giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > thì P(x).P(- x) < A x 2 x x 24 x 4 1 x2 x 103 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) các biểu thức sau: a) x b) x x (x 0) c) x g) 2x 2x e) 3x 106 Rút gọn các biểu thức sau : b) a) x 10 10 a b a i) 2x x 3 2x , ba cách ? 48 10 c) 107 Chứng minh các đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) x 2x h) 105 Rút gọn biểu thức : A x 2x d) x b a a b 94 42 94 42 b a b b) a a2 b a a2 b 2 108 Rút gọn biểu thức : A x 2x x 2x 109 Tìm x và y cho : xy x y 110 Chứng minh bất đẳng thức : a b2 c2 d 2 a c b d a b c a bc 111 Cho a, b, c > Chứng minh : b c c a a b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a b c 3,5 113 CM : a c2 b2 c2 b) a a b b c c a d b d (a b)(c d) 114 Tìm giá trị nhỏ : A x x với a, b, c, d > (8) A (x a)(x b) x 115 Tìm giá trị nhỏ : 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 2 x upload.123doc.net Giải phương trình : x 117 Tìm giá trị lớn A = x + 119 Giải phương trình : 5x 3x x x x x 2 2 120 Giải phương trình : 3x 21x 18 x 7x 2 121 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 14 4 2x x 3 122 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : ; 2 123 Chứng minh x x 2 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a b b c b(a c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác thì các đoạn a , b , c lập thành tam giác (a b) a b a b b a 127 Chứng minh với a, b ≥ thẳng có độ dài a b c 2 b c a c a b 128 Chứng minh với a, b, c > 2 x y y x 1 Chứng minh x2 + y2 = 129 Cho 130 Tìm giá trị nhỏ A x x x x 131 Tìm GTNN, GTLN A x x 2 132 Tìm giá trị nhỏ A x x 2x 133 Tìm giá trị nhỏ A x 4x 12 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A 2x x x 2x b) A x 99 101 x a b 1 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn x y (a và b là số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx z x y với x, y, z > , x + y + z = 137 Tìm GTNN x2 y2 z2 A x y y z z x biết x, y, z > , xy yz zx 1 138 Tìm GTNN A 139 Tìm giá trị lớn : a) A a b với a, b > , a + b ≤ (9) b) B a b a c a d b c b d c d với a, b, c, d > và a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c c d a b với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ A 141 Tìm GTNN 142 Giải các phương trình sau : a) x 5x 3x 12 0 d) x x 2 b) x 4x 8 x e) x x x 1 h) x x x x 1 k) o) x x g) x 2x x 2x l) 2x 8x x 2x n) x x 10 x x x 1 x 3x p) 2x x 2x 3x 1 i) x x x 1 x2 x x m) x x x c) 4x 4 2x x 1 x q) 2x 9x 2x 2x 21x 11 (10)