Xét hàm số.. Khi đó hệ có dạng:.[r]
(1)HỆ MŨ VÀ LOGARITH 4 x (1) x 1 3y x y log x 1 (2) Bài 1: 2 4 x y 2 log x y log x y 1 Bài 2: xy xy 4 32 log x y 1 log x y Bài 3: log x 1 log y log y 1 log x Bài 4: e x e y log y log x xy 1 x y2 Bài 5: (1) (2) log x y x y log xy 1 x y Bài 6: x y 2 x x y y12 x y y x3 Bài 7: x y 1 3 4x y 32 Bài 8: y lg x 2 y lg x 28 Bài 9: x2 2x log2 3 y y y y 3 8 Bài 11: log1 x y y log1 y 2x x 4 log y log1 y 2x 2 Bài 10: 1 x (1) (2) x 2x 3 y x 2 y y Bài 12: GIẢI: 4 x (1) x 1 3y x y log x 1 (2) Bài 1: x 0 x 0 x 4 x Giải1 : Điều kiện: y 1 log x y 31 log3 x Từ phương trình (2) ta được: Thế (3) vào (1) ta được: 3 4 x x 1 x 1 x x x 0 x x x x Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;0) 4 x log3 x x (3) x 1 x 1 x 2 x 3 y 0 x x 4 x y 2 log x y log x y 1 Bài 2: 2 x y Giải 2: : Điều kiện: x y (*) Từ phương trình thứ hệ lấy lôgarit số hai vế ta được: (2) log x y log 2 log x y log x y 1 log x y 1 log x y Thế vào phương trình thứ hai ta được: log x y log 2.log x y 1 log log x y 0 log x y 0 x y 1 x 4 x y 2 x y 2 x y 1 2 x y 1 y 1 thoả mãn điều kiện (*) Vậy ta hệ mới: Vậy hệ phương trình có nghiệm x y x y x; y 0 Giải: Điều kiện: x y x y 5 5(1) y x y x log x y 1 2 x y 3(2) Biến đổi hệ phương trình dạng: 2 xy xy 4 32 log x y 1 log x y Bài 3: x y t y x t Khi đó (1) có dạng: Giải 3: (1): Đặt t 2 x 2 y 1 2 t 5 2t 5t 0 t t y 2 x y 1 x 2 (2) y y 3 y x 2(1) + Với x=2y 2 + Với y=2x (2) x y 3 vô nghiệm Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (2;1) log x 1 log y log y 1 log x Bài 4: Giải 4: Điều kiện x; y>0 Biến đổi tương đương hệ dạng: log x 3 2 log3 y log x 3 2 log y log y 3 2 log3 x 2 log x log y (I) log x 3 log x log y log y (1) f t log t 3 log t Xét hàm số: D 0; Miền xác định f t 0, t D t 3 ln t.ln Đạo hàm hàm số luôn đồng biến f x f y x y Vậy phương trình (1) viết dạng: (3) x y log x 3 2 log x (2) Khi đó hệ (I) trở thàmh: (II) 2 1log x log3 x x 4.2 x 4.2log3 2.log2 x + Giải (2): x 2 x 4 x Xét hàm số log3 x 4.x log3 x1 log3 3.x log3 4 1 log3 g x x 3.x (3) log3 D 0; Miền xác định g ' x log x log3 3log 4.x 1 log3 0x D Đạo hàm: hàm số luôn nghịch biến Vậy phương trình (3) có nghiệm thì nghiệm đó là Nhận xét x=1 là nghiệm phương trình bới đó: 11 log3 3.11 log3 4 4 đúng x y x y 1 Khi đó hệ (II) trở thành: x 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm (1;1) e x e y log y log x xy 1 x y2 Bài 5: Giải 5: Điều kiện x; y>0 *) Giải (1) ta có nhận xét sau: VT 1 VP1 x y log x log y 2 - Nếu , đó: VT 1 VP1 x y log x log y 2 - Nếu , đó: - Vậy x=y là nghiệm (1) Khi đó hệ có dạng: x y 2 x y (1) (2) 0 0 (1) vô nghiệm 0 0 x y 2 x (1) vô nghiệm x y x y x 1 ; 2 Vậy hệ có cặp nghiệm log x y x y log xy 1 x y Bài 6: x y 2 x y xy 0 x y 1 Giải 6: Điều kiện: x y xy Từ phương trình thứ hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được: log t t u Đặt u log t t 2 đó phương trình có dạng: log t 0 u 0 x y 1 Bernoulli 2u u 1 u 1 x y 2 log t 1 x y 1 x y 1 log3 xy 1 0 xy 1 + Với x+y=1 hệ có dạng: x y 1 xy 0 x 0; y 1 x 1; y 0 (4) x y 2 x y 2 x y 2 log xy 1 1 xy 4 xy 3 + Với x+y=2 hệ có dạng: Khi đó x; y là nghiệm phương trình: t 2t 0 vô nghiệm Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1) và (1;0) x x y y12 x y y x3 Bài 7: x y lg x 12 lg y x y lg y 3lg x Giải 7: Lấy lg hai vế, ta có hệ; Nhận xét: lgx = lgy = nên (1; 1) là nghiệm x 4 lg x lg y 4 lg x y 2 Giả sử lg x 0;lg y 0 , chia các phương trình theo vế, ta có: lg y Vậy nghiệm hệ (1; 1); (4; 2) x y 1 3 4x y 32 Bài 8: y 1 4x 4.2 12 (8) 22 y 8.2 y 20 0 y 10 y log 10 x 17 y 4x 32 Giải 8: y lg x 2 y lg x 28 Bài 9: 2 y lg x 4 (9) y y 24 0 y 36 lg x x 100 y lg x 28 Giải 9: log1 x y y log1 y 2x x 4 log y log1 y 2x 2 Bài 10: 1 x Giải 10: 1 x 1 y 2 log1 x y 2log1 y x 4 (1) dk : ;(10) (2) log x y log1 y 2x 2 1 2x 1 y (1) log1 x y 2 log1 x y 1 y x log1 x y (2) log1 x 2x log1 x 2x 2 4x x x x2 2x log2 3 y y y y 3 8 Bài 11: x 2x 2 ;y 5 (1) (2) 3 y Giải 11: (1) 2 Với y 1 , ta có: (2) 4y – y + +(y + 3)2 y y 0 (vn) (5) Với y 1: y y y 3 8 y 11 y 0 11 y 0 y 0 Với y 0 : y y y 3 8 y y 0 y 0 y 0 3 y 1 Mặt khác: x 2x 0 x 2x 1 Từ đó ta có hệ: x y 3 1 y 0 y x2 2x x 3 1 x 2x 0 y Bài 12: x 2 2x 3 y y 3 x 2 y x y Giải 12: (12) 3x 2 y (1) t Xét hàm đặc trưng f (t ) 2 3t là hàm đồng biến trên R Vậy (1) viết dạng: f(x) = f(y) x = y x y x y x x 2x 3 y (2) 2 3 x Khi đó hệ trở thành: Giải (2): Đoán nghiệm x = Khi đó hệ có nghiệm x = y = (6)