d1,d2 tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp tam giác ABC A 2... Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn.[r]
(1)Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn Vßng 1(Ngµy 12 th¸ng n¨m 2008) C©u x 2+ y 2=2 x x −1 ¿3 + y =1 ¿ ¿ ¿{ ¿ (2 x +7) √ x +7=x +9 x +7 1)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2)Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i 2 x + y =2 x x −1 ¿3 + y 3=1 ¿ ⇔ ¿ 1) x − 1¿ 2+ y =1(1) ¿ x −1 ¿ + y =1(2) ¿ ¿ ¿ Từ ta có: |x − 1|≤ ⇒|x|≤2 ;| y|≤ lấy PT(1) trừ PT (2) ta đợc PT (x-1)2(2-x)+y2(1-y)=0 (*) 2 ta thÊy x −1 ¿ ≥ ;(2 − x)≥ ;(1 − y )≥ ; y ≥ ¿ để PT(*) thoả mãn thì x −1 ¿2 (2 − x )=0 ¿ y (1 − y )=0 ¿ ⇔ ¿ x=1 ¿ x=2 ¿ y=0 ¿ y=1 ¿ ¿ ¿ { ¿ ¿ ¿ để thoả mãn hệ ban đầu ta có các nghiệm sau (x;y)=(2;0);(1;1) 2)§KX§: x ≥ − (2) x2 −2 x − 7=0 (1) ¿ x2 +12 x+ 42=0 (2) ¿ ¿ ¿ ¿ (2 x +7) √2 x +7=x +9 x +7 ⇔ x +10 x 3+ 11 x2 −168 x − 294=0 ⇔ (x − x −7 x 2)+(12 x − 24 x − 84 x)+(42 x − 84 x −294 )=0 ¿ ⇔ x (x − x −7)+12 x ( x − x −7)+42 ( x − x −7)=0 ¿ ⇔(x −2 x −7).(x 2+ 12 x +42)=0 ⇔ PT(2) v« nghiÖm Vậy PT(1) có nghiệm x 1=1− √2 ; x2 =1+ √ thoả mãn ĐKXĐ C©u 1) Tìm tất các số có chữ số : abcd thoả mãn đồng thời điều kiện abcd chia hÕt cho vµ abc − bda=650 2) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn p cho ph¬ng tr×nh 2x2 -(p+1)x+p+2008=0 cã c¸c nghiÖm lµ c¸c sè nguyªn Gi¶i: a) abc − bda=650 (100a-90b-10d)+(c-a)=650 (*)()10ca v× c=a nªn (*) 10a-9b-d =65 ⇔ (10a-10b)+(b-d)=65 ⇔ (b-d) ⋮ mµ b-d { −5 ; ; } tõ 10a-9b-d =65 th× b ; nªn b-d<5 *NÕu b=2 th× d=2 hoÆc 10a-18-2=65 ¿ 10a-18-7=65 ¿ ⇔ ¿ 10 a=85(loai ) 10a-9b-d =65 ¿ 10 a=90 ¿ ⇔ a=9 ¿ ¿ ¿ ¿ abcd =9297 ⇒ a+b +c +d=27 ⋮ Tho¶ m·n *NÕu b=1 th× d=1 hoÆc 10a-9-1=65 ¿ 10a-9-6=65 ¿ ⇔ ¿ 10 a=75 (loai) 10a-9b-d =65 ¿ 10 a=80 ¿ ⇔ a=8 ¿ ¿ ¿ ¿ abcd =8186 ❑⇒ a+b+ c+ d=21 kh«ng ⋮9 lo¹i (3) * NÕu b=0 th× d=0 hoÆc 10a-0-0=65 ¿ 10a-0-5=65 ¿ ⇔ ¿ 10 a=65(loai) 10a-9b-d =65 ¿ 10 a=70 ¿ ⇔ a=7 ¿ ¿ ¿ ¿ abcd =7075 ⇒a+ b+c +d=19 VËy abcd =9297 kh«ng ⋮9 lo¹i b) Giả sử phơng trình 2x2 -(p+1)x+p+2008=0 có nghiệm x1;x2 là số nguyên Theo định lý Vi-ét ta có ¿ p+1 x 1+ x2= (1) p+2008 x x2= (2) ¿{ ¿ Theo GT x1,x2, p lµ sè nguyªn nªn Tõ (1) ta cã P lÎ;tõ (2) ta cã p ch½n suy không tìm đợc P thoả mãn điều kiện trên C©u 3: A K I O 1)Chøng minh t©m đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN trùng với tâm đờng B H N C trßn néi tiÕp tam gi¸c ABCM Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ,BO,CO cắt AN,AM K và I Ta cã ∠ ABH= ∠ CAH ( cïng phô víi ∠ ACH) suy ∠ B1= ∠ A1 Ta cã ∠ BAK+ ∠ A1=900 ⇒ ∠ BAK+ ∠ B1=900 Δ BAK cã ∠ BAK+ ∠ B1=900 ⇒ ∠ BKA=900 hay BK AN xÐt Δ BAN cã ¿ BK ⊥ AN ∠ B =∠ B2 BK lµ trung trùc cña AN (1) ⇒ ¿{ ¿ T¬ng tù ta cã CI lµ trung trùc cña AM (2) mµ BK c¾t CI t¹i O (3) Từ (1);(2);(3) ta có O là tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ AMN (đpcm) 1) Gọi d1,d2 lần lợt là đờng thẳng vuông góc với BC M;N Chøng minh r»ng (4) d1,d2 tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp tam giác ABC A d1 K I P d2 O Q B M H R N C Ta có OM=ON nên OMN cân O có OR là đờng cao nên OR là trung tuyến suy RM=RN=OP=OQ ta chứng minh đợc ∠ PRQ=90 nên OP=OQ=OR nên P và Q thuộc đờng tròn (O;OR) hay nên d1;d2 tiÐp xóc víi (O;OR) (®pcm) Câu Giả sử a,b là các số nguyên dơng thay đổi thoả mãn ab+1 < a+b H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= a3 b3 +1 a3 +b3 Gi¶i ab 3a 3b 2ab 4ab 6a 6b a b 2a(2b 3) 3(2b 3) (2a 3)(2b 3) 5(*) Tõ (*) ta cã tån t¹i Ýt nhÊt a hoÆc b nhá h¬n v× nÕu a ≥ 3; b ≥3 th× (2a-3)(2b-3) m©u thuÉn víi (*) 3 b +1 -Gi¶ sö 0<a<3 xÐt a=1 th× a 3b +1 = =1 3 a +b 1+b xÐt a=2 thay vµo (*) (2a-3)(2b-3)=2b-3<5 suy b<4 3 b3 +1 8(b + 8)− 63 63 thay a=2 vµo P ta cã P= a 3b +1 = = =8 − 3 a +b 8+b 8+ b 8+b3 để P lớn thì b lớn mà b nguyên b<4 suy b lớn b=3 đó 31 63 63 31 1 P=8 − ≤ − = 35 8+ b mµ VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P=31 a=2;b=3 hoÆc a=3;b=2 (5) Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn Vßng 2(Ngµy 13h¸ng n¨m 2008 C©u 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ x y − y x=1 x − y 3=7 (1) ¿{ ¿ 2)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc y=x + √ 2(1− x) víi ≤ x ≤1 Gi¶i 1) ta cã x=0,y=0 kh«ng lµ nghiÖm cña hÖ đặt x=ty ( t R ; t ≠ ) ¿ (1) ⇔ t y − ty 3=1 3 t y − y =7 t −t ⇔ = ⇔8 t −1=14 t −7 t ⇔ t −14 t +7 t −1=0 t −1 ¿ ¿ ⇔(t −1)(2 t −1)( t −1)=0 ⇔ ¿{ ¿ ¿ x − x 3=1 x3 − x 3=7 Víi t=1 hay x=y thay vµo (1) ta cã ⇔ x 3=1 ⇔ x= y =1 ¿{ ¿ ¿ x − x 3=1 x −8 x 3=7 Víi t= hay y=2x thay vµo (1) ta cã ⇔ x 3=1(vonghiem) ¿{ ¿ Víi t= hay y=4x thay vµo (1) ¿ x − 16 x3 =1 x −64 x3 =7 −1 ⇔x = ⇔ ta cã −1 ¿ x= y=−2 ¿{ ¿ VËy nghiÖm cña hÖ lµ : (x ; y )=(1; 1); −1 ; − 2 ( ) (6) 2)áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số không âm 2(1-x) và ta có √ 2(1− x)≤ 3−2x = 2 2(1-x)=1 ⇔ x= Nªn y≤ x+ 2− x +1 3− x = 2 .Gi¸ trÞ lín nhÊt cña y= ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) C©u 1)T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 2x2 +y2 3xy +3x+2y+2=0 (1) 2) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng a,b,c cho còng lµ sè nguyªn P= ( ab− 1)(bc − 1)(ac −1) abc Gi¶i (1) ⇔ 2x2+3x(y+1)+y2+2y+2=0 (2) coi PT(2) lµ ph¬ng tr×nh bËc Èn x tham sè y đê PT(2) có nghiệm nguyên điều kiện cần là Δ chính phơng Ta cã Δ=[ 3( y +1) ]2 − 8( y +2 y+ 2)=9 y 2+18 y +9 − y −16 y −16= y +2 y −7 Δ chính phơng; đặt Δ =k2 (k ∈ Z) Ta cã y2+2y+1-8=k2 ⇔ (y+1)2-k2=8 ⇔ (y-k+1)(y+k+1)=8 MÆt kh¸c ⇔ (y-k+1); (y+k+1) cïng tÝnh ch½n lÎ xÐt 8=2.4=(-2).(-4) ta cã Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y)=(-2;2);(2;-4) b)NÕu P= th× tån t¹i sè b»ng sè cßn l¹i N ❑ NÕu P≠ ( ab− 1)( bc − 1)(ac −1) (ab2 c − ab − bc+1)(ac −1) P= = abc abc a2 b2 c − ab2 c − a2 bc+ ab− abc 2+ bc+ ac −1 P= abc abc(abc −a − b −c )+(ab+ bc+ ca)−1 P= abc 1 1 P=abc −a − b −c + + + − a b c abc 1 1 ⇒ + + − ∈Z a b c abc Ta cã 1 1 1 1 + + − >1 ⇔ + + > >1 a b c abc a b c abc Gi¶ sö 1<c b ≤ a ⇔ 1< + + ≤ + + = ⇔ > 1⇔ c< a b c c c c c c V× c nguyªn d¬ng 1<c<3 Nªn c=2 ta cã ⇔1< + + ≤ + + = + ⇔ < ⇔ b<4 a b b b b 2 b NÕu b=2 Lo¹i nªn b=3 Víi b=3 ta cã ⇔ 1< + + = + ⇔ > ⇔ a<6 a a a Thay a= tho¶ m·n VËy (a,b,c)=(1;1;N);(2;3;5) vµ c¸c ho¸n vÞ C©u3 Trang sau (7) C©u3 Q A N O I B C M K P 1)Chøng minh ph©n gi¸c gãc KBQ vµ gãc KCQ ®i qua cïng mét ®iÓm trªn PQ xÐt Δ PBK ; ΔPQB (8) ¿ ∠ BPK : chung ∠ PBK =∠ PQB(¿ sdcungBK) cã Δ PBK đồng dạng với Δ PQB nên ⇒ ¿{ ¿ PB BK PC CK = (1) tơng tự Δ PCK đồng dạng với Δ PQC nên = (2) PQ BQ PQ CQ Tõ (1)&(2) & PC=PB nªn BK = CK (3) BQ CQ IK BK = (4) mÆt kh¸c BI lµ ph©n gi¸c gãc KBQ nªn IQ BQ tõ (3) vµ (4) suy IK =CK chøng tá IC lµ ph©n gi¸c gãc KCQ(®pcm) IQ CQ 2) Chøng minh BC //AQ :Ta cã P,M,O th¼ng hµng vµ PO BC gäi PO c¾t AQ t¹i N Ta có Δ PCO vuông có CM là đờng cao nên PC2=PM.PO (5) Mặt khác Δ PCK đồng dạng với Δ PQC nên PC2=PK.PQ(6) Từ (5) & (6) suy PM.PO=PK.PQ nên Δ PMK đồng dạng với Δ PQO ( c.g.c) ⇒ ∠ PKM= ∠ POQ ⇒ ∠ MKQ= ∠ NOQ mµ ∠ AOQ=2 ∠ MKQ nªn ∠ AOQ=2 ∠ NOQ , Δ AOQ cân có ON là phân giác nên ON là đờng cao Suy ON AQ hay PO AQ Ta cã ¿ PO ⊥ AQ PO ⊥ BC ⇒BC // AQ ¿{ ¿ (®pcm) C©u Cho ph¬ng tr×nh a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ an-1x+an=0 (1) Trong đó các hệ số a1,a2,a3, .,an-1,an nhận các giá trị 0;hoặc 1;hoặc-1 Vµ a0 0.Chøng minh r»ng nÕu x0 lµ nghiÖm cña (1) th× |x 0|<2 Gi¶i V× x0 lµ nghiÖm cña (1) nªn : a0x0n=-( a1x0 n-1 +a2x0 n-2+ an-1x0 +an) a0 x0n a1 x0n a2 x0n an x0 an a1 x0n a2 x0n an x0 an a a a1 n a2 n x0 x0 n x0 n x0n x0n x0 (*) a0 a0 a0 a0 x0n Neu : x0 2 x0 1 n (*) x VËy ( x0n x0n x0 1)( x0 1) |x n0|≤ x0 x0n x0 n |x |−1 ≤ x n −1 v« lý | 0| x −1 | 0| vËy |x 0|<2 (®pcm) (9) (10)