Lưu ý: - Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng..[r]
(1)TRƯỜNG THCSLÊ HỒNG PHONG HỌ VÀ TÊN:……………………… LỚP……………………… ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN: TOÁN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011 131313 b) B = 70.( 565656 c) C = 2a + 3b 131313 + 727272 3b 4c + 4c 5d 131313 + 909090 ) + 5d 2a biết 2a 3b = 3b 4c = 4c 5d = 5d 2a Câu Tìm x là các số tự nhiên, biết: a) x +1 = x +1 b) x : ( - )= 2 0,4+ − 11 8 1,6+ − 11 Câu a) Tìm tất các cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh −9 − 19 −9 −19 + 2011 ; B= 2011 + 2010 2010 10 10 10 10 n− Câu Cho A = n+ A= a) Tìm n nguyên để A là phân số b) Tìm n nguyên để A là số nguyên Câu Cho tam giác ABC có ABC = 55 0, trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A và C) a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b) Tính số đo DBC, biết ABD = 300 c) Từ B dựng tia Bx cho DBx = 900 Tính số đo ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B) Chứng minh đoạn thẳng BD và CE cắt ………….Hết………… BÀI LÀM …………………………………………………………………………………… …… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… (2) …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG Câu a) (1,5 đ) (4,5 đ) A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1 b) (1,5 đ) B = 70.( 13 56 = 70.13.( 13 72 + - + ĐIỂM 1,5 13 ) = 70.13.( 90 7.8 + + ) 10 1,0 ) = 39 10 0,5 c) (1,5 đ) 2a 3b 4c 5d = = = =k 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d Ta có = k4 => k4 = ⇒ k = 1 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d ⇒ C= + + + = 4 3b 4c 5d 2a 0,5 Đặt Câu a) (2,0 đ) x +1 (3,5đ) = x +1 - 0,5 (x + 1)2 = 16 = ( ± 4)2 0,75 0,5 0,5 0,25 +) x + = => x = +) x + = - => x = -5 (loại) Vậy x = b) (1,5 đ) x: ( 0,5 ) = 2 0,4+ − 11 8 1,6+ − 11 x :( 19 − ) = 2 2 0,4+ − 11 2 0,4+ − 11 ( x = => x = Câu a) (1,5 đ) (3,0 đ) Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1 Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho và 34x5y chia hết cho + + x + + y ⋮ => 12 + x + y ⋮ (1) 34x5y chia hết cho 5y ⋮ => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x ⋮ => x = Với y = thay vào (1) => 18 + x ⋮ => x = x = Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6) ) 1,0 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,5 đ) 9 19 9 10 9 A 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 Ta có 0,5 9 19 9 10 9 B 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 10 10 2010 2011 10 Ta thấy 10 => Vậy A > B 0,5 0,5 (3) CÂU NỘI DUNG Câu a) (1,0 đ) n− (3,0 đ) A= là phân số n + => n -4 ĐIỂM 1,0 n+ b) (2,0 đ) A= n− n+ = n+4 − 5 =1− n+4 n+4 0,5 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên ⋮ n + hay n + Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Ư(5) 0,5 1,0 Câu (6,0 đ) A E D C B a) (1,5 đ) D nằm A và C => AC = AD + CD = + = cm b) (1,5 đ) Tia BD nằm hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC => DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 c) (1,5 đ) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính ABx = 900 – ABD Mặt khác tia BD nằm hai tia BA và BC nên 00 <ABD<550 => 900- 550 < ABx < 900 – 00 350 < ABx < 900 - Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính ABx = 900 + ABD Lập luận tương trường hợp 900 < ABx < 1450 Vậy 350 < ABx < 1450, ABx 900 d) (1,5 đ) - Xét đường thẳng BD Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm nửa: nửa MP có bờ BD chứa điểm C và nửa MP bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E và C nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC và BD cắt Lưu ý: - Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác đúng thì cho điểm tương ứng 1,5 1,0 0,5 0,75 0,75 0,75 0,5 0,25 (4) a) A = -1 13 b) B = 70.( 56 13 + 72 13 1 = 70.13.( - 10 ) = 39 2a 3b c) Đặt b = c 1 + 90 ) = 70.13.( + + 10 ) 4c = 5d 5d = a = k ⇒ k = (5) 2a 3b 4c C = 3b + 4c ⇒ 5d + 5d + 2a = Câu 2: (5,0 đ) Mỗi ý đ a) 2đ b) 2đ c) 1đ Câu 3: (3,0đ) a) 2đ a b =1+ + + + + 12 ⇒ a b = 13.k ⇒ a chia hết cho 13 b) 1đ A = 1.3.5…2009 và B = 1007 1008 1009 2010 … 2 2 A=B Câu 4: (3 đ) a) 2đ S = + 22 + 23 + 24 + … + 299 ⇒ S = + (1 + + 22 + 23 + 24 + … + 299) ⇒ S = + (2100 – 1) = 2100 b) 1đ Chứng minh 1030 < 2100 < 1031 ⇒ S có 31 chữ sô Câu 5: (5 đ) a) 2đ b) 2đ c) 1đ (6)