Bài 5 a Chứng minh tam giác BOC đều 1 đ Suy ra CN vuông góc với ND Chứng minh được DM vuông góc với MC Từ đó suy ra DMNC nội tiếp đường tròn tâm Q đường kính CD b Chứng minh được QM=CD/2[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI: Bài (3 điểm) Cho biểu thức: a 1 a 1 ab a M 1 : ab ab ab a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ M a b 4 ab a 1 ab (m 1)x y m (1) x (m 1)y 2 (2) Bài (3 điểm) Tìm giá trị m để hệ phương trình Có nghiệm thỏa mãn điều kiện x y nhỏ Bài (4 điểm) giải các phương trình sau: x y z 2 x 40 y 80 z 2012 a) 2 b) 2x (2m 3)x 2mx m 0 (x là ẩn) Bài (3 điểm) Cho đường tròn đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C và D cho C và D không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB và AC < AD Gọi M, N là điểm chính các cung nhỏ AC và Đường thẳng MN cắt các dây AC, AD H và I Các dây MD và AD CN cắt K a) Chứng minh MKC, NAK là các tam giác cân Chứng minh tứ giác NDKI là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK là phân giác CAD Bài (5 điểm) Cho hình thang cân ABCD có BC//AD và AC cắt BD O cho BOC 60 Gọi các điểm I, M, N, P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BC, OA, OB, AB, CD a) chứng minh DMNC nội tiếp b) Tam giác MNQ là tam giác c) Chứng minh tứ giác PNQM là tứ giác nội tiếp d) So sánh các góc MQP, QND, NMC e) Chứng minh trực tâm H tam giác MNQ thẳng hàng với O,I Bài (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x 407xy 408y 2012 (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài (3 đ) a) Biến đổi: a 1 ab a 1 ab ab ( a 1)( ab 1) ( ab a )( ab 1) ( ab 1)( ab 1) ( ab 1)( ab 1) 0.25 (a b 0.25 a ab 1) (ab ab a b a ) (ab 1) ab 2a b ab ab ab( a 1) ab a 1 2( a 1) ab a 1 ab ab ab Biến đổi: Vậy ab( a 1) ab M ab 2( a 1) b) ab Ta có ( a b) ( a b) ab mà ( a b) 0 suy ab ( a b) hay ab 16 Do đó M ab GTNN M – a=b=4 Bài Rút y từ (1) thay vào (2), rút gọn pt: m x m (3 đ) Nếu m=0 thì pt vô nghiệm suy hệ vô nghiệm m2 m 1 y x m m Nếu m 0 thì từ đó m2 m xy S (1 S)m m 0 (3) m Đặt Giả sử S là giá trị nào đó, tất nhiên ta phải tìm giá trị m tương ứng, hay pt (3) với ẩn là m phải có nghiệm Nếu S=1 thì m=1 0.25 0.75 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 (3) S Nếu S 1 thì để (3) có nghiệm ta phải có 0 suy S (3) có nghiệm kép m = - lúc đó hệ có nghiệm thỏa Vậy mãn x + y nhỏ Bài a) x y z 2 x 40 y 80 z 2012 Từ pt biến đổi pt (1 đ) 2 ( x 1) ( y 20) ( z 2012 40) 0 Mà b) (2 đ) 0.5 0.25 0.25 ( x 1)2 0 ; ( y 20) 0 ; ( z 2012 40) 0 ( x 1) 0; ( y 20) 0; ( z 2012 40) 0 Suy Từ đó giải các pt (x = - ; y = 397 ; z = 3612) là nghiệm pt 2 Biến đổi 2x (2m 3)x 2mx m 0 2 Thành m 2(x x)m 3x 2x 0 m x x x Coi m là ẩn, giải pt 1,2 Từ đó tính m 2x x (1) ; m x (2) Tìm x theo m từ (1) và (2) nghiệm pt đã cho là: 8m x1,2 ; x 1 m Bài a) Chứng minh góc đáy MKC (1,5 Suy MKC cân đ) Chứng minh cạnh NAK Suy NAK cân Chứng minh góc NID và NKD Suy tứ giác NDKI nội tiếp b) Chứng minh HA=HK (1,5 Suy góc CAK = góc HKA đ) Chứng minh HK//AD Suy góc DAK = góc HKA Từ đó suy AK là phân giác CAD Bài a) Chứng minh tam giác BOC (1 đ) Suy CN vuông góc với ND Chứng minh DM vuông góc với MC Từ đó suy DMNC nội tiếp đường tròn tâm Q đường kính CD b) Chứng minh QM=CD/2 (1 đ) Chứng minh QN=CD/2 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (4) c) (1 đ) d) (1 đ) e) (1 đ) Chứng minh MN=AB/2=CD/2 Từ đó suy tam giác MNQ Chứng minh MPNO là hình bình hành Suy góc NPM = góc NOM = 1200 Suy góc MPN + góc MQN = 1800 MPNQ nội tiếp Chứng minh góc PQM = góc PNM Chứng minh góc NMC = góc PNM từ đó suy góc PQM = gócNMC Chứng minh góc NMC = góc NDC Chứng minh góc QND = góc NDC từ đó suy góc NMC = gócQND Từ đó suy các góc MQP, QND, NMC Vì H là trực tâm tam giác MNQ suy góc MHN = 1200 Suy góc MHN = Góc MON = 1200 suy MHON nội tiếp Có gócHNM =300 mà MHON nội tiếp suy gócHOM=góc HNM=300 Lại có tam giác BOC suy góc IOC=300 đó gócHOM=gócIOC Từ đó suy điểm I, O, H thẳng hàng x 407xy 408y 2012 x 408xy xy 408y 2012 Bài (2 đ) x(x 408y) y(x 408y) 2012 (x y)(x 408y) 2012 Mà (x +y) – (x – 408y) = 409y và x, y nguyên đó muốn tìm x, y trước hết ta tìm số nguyên (x + y) và (x - 408y) có tích 2012 và có hiệu chia hết cho 409 Phân tích 2012=1.2012=2.1006=4.503=(-1)(2012)=(-2)(-1006)=(-4)(-503) Nên ta có x y 4 x y 503 x y x y 503 (I) (II) (III) (IV) x 408y 503 x 408y 4 x 408y 503 x 408y Giải các hệ pt trên ta có nghiệm nguyên (x , y) phương trình là (5 ; 1) ; (3 ; 1) ; ( ; 1) ; ( 502 ; 1) 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Chú ý: Các giám khảo kiểm tra lại đáp án, có bổ sung, điều chỉnh cần thống tổ chấm và báo cáo Lãnh đạo Hội đồng chấm thi trước thực (5)