Đang tải... (xem toàn văn)
viÖc d¹y " phÐp chia hÕt" vµ øng dông cña nã trong chư¬ng tr×nh to¸n häc phæ th«ng, t«i chØ xin ®a ra mét sè kinh nghiÖm gióp häc sinh líp 6 gi¶i c¸c bµi tËp vÒ" phÐp chia hết" trong tập[r]
(1)A PhÇn më ®Çu I/ Lí chọn đề tài Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục không ngừng đổi Các nhà trường đã ngày càng chú trọng đến chất lợng giáo dục toàn diện bên cạnh đầu t thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò là môn học công cụ, môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho c¸c em häc tèt c¸c bé m«n khoa häc tù nhiªn kh¸c Dạy nào để học sinh không nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là câu hỏi mà thầy cô chúng ta luôn đặt cho mình Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi Điều đó đòi hỏi giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và ph¸t triÓn thµnh tæng qu¸t gióp häc sinh cã thÓ ph¸t triÓn tèt tư to¸n häc Với đối tượng học sinh khá, giỏi, các em có tư nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm nào để các học sinh này phát huy hết khả mình, đó là trách nhiÖm cña c¸c gi¸o viªn chóng ta B¶n th©n t«i, n¨m häc võa qua nhµ trường ph©n c«ng d¹y to¸n líp Qua giảng dạy tôi nhận thấy “phép chia hết" là đề tài lí thú, phong phó vµ ®a d¹ng cña sè häc líp vµ kh«ng thÓ thiÕu båi dưìng häc sinh kh¸ giái m«n to¸n còng m«n to¸n THCS Víi bµi viÕt nµy, t«i kh«ng tham väng lín bµn vÒ (2) viÖc d¹y " phÐp chia hÕt" vµ øng dông cña nã chư¬ng tr×nh to¸n häc phæ th«ng, t«i chØ xin ®a mét sè kinh nghiÖm gióp häc sinh líp gi¶i c¸c bµi tËp vÒ" phÐp chia hết" tập hợp số tự nhiên mà tôi đã áp dụng thành công Tôi hy vọng nó có ích cho các đồng nghiệp bồi dìng häc sinh kh¸, giái II Nhiệm vụ đề tài Trong khuôn khổ đề tài này thân tôi trình bày “Mét vµi kinh nghiÖm gióp häc sinh líp gi¶i c¸c bµi tËp vÒ phÐp chia hÕt tËp hîp N” Cô thÓ lµ : - C¸c phư¬ng ph¸p thưêng dïng gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ phÐp chia hÕt - Rèn kỹ vận dụng kiến thức để giải các bài toán phÐp chia hÕt - Cñng cè vµ híng dÉn häc sinh lµm bµi tËp III §èi tượng nghiªn cøu §Ò tµi nghiªn cøu qua c¸c tiÕt d¹y vÒ “PhÐp chia hÕt N” SGK Toán tập 1, qua định hớng đổi phư¬ng ph¸p d¹y to¸n §èi tưîng kh¶o s¸t : Häc sinh líp IV Phư¬ng ph¸p nghiªn cøu - Phư¬ng ph¸p nghiªn cøu tµi liÖu - Phư¬ng ph¸p thùc hµnh - Đúc rút phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và b¶n th©n d¹y phÇn PhÐp chia hÕt (3) B.Nội dung I/ Trước hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hÕt SGK líp tËp 1, c¸c dÊu hiÖu chia hÕt còng c¸c tÝnh chÊt vÒ quan hÖ chia hÕt §Þnh nghÜa Cho số tự nhiên a và b, đó b khác 0, có số tự nhiªn x cho b.x = a, th× ta nãi a chia hÕt cho b vµ ta cã phÐp chia hÕt a: b= x 2.C¸c dÊu hiÖu chia hÕt a) DÊu hiÖu chia hÕt cho Mét sè chia hÕt cho vµ chØ ch÷ sè tËn cïng cña sè đó là số chẵn b) DÊu hiÖu chia hÕt cho (hoÆc 9) Mét sè chia hÕt cho (hoÆc 9) vµ chØ tæng c¸c ch÷ sè số đó chia hết cho (hoặc 9) Chó ý: Mét sè chia cho (hoÆc 9) d bao nhiªu th× tæng c¸c chữ số số đó chia cho (hoặc 9) dư nhiêu và ngưîc l¹i c) DÊu hiÖu chia hÕt cho Mét sè chia hÕt cho vµ chØ ch÷ sè tËn cïng b»ng hoÆc d) DÊu hiÖu chia hÕt cho (hoÆc 25) Mét sè chia hÕt cho (hoÆc 25) vµ chØ ch÷ sè tËn cùng số đó chia hết cho (hoặc 25) e) DÊu hiÖu chia hÕt cho (hoÆc 125) Mét sè chia hÕt cho hoÆc 125 vµ chØ ch÷ sè tËn cùng số đó chia hết cho 125 (4) f) DÊu hiÖu chi hÕt cho 11 Mét sè chi hÕt cho 11 vµ chØ hiÖu gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n (tõ tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11 TÝnh chÊt cña quan hÖ chia hÕt + chia hÕt cho b víi b lµ sè tù nhiªn kh¸c + a chia hÕt cho a víi mäi a lµ sè tù nhiªn kh¸c + NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a th× a = b + NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c + NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mµ (b, c) = th× a chia hÕt cho b.c + nÕu a chia hÕt cho m vµ a chia hÕt cho n th× a chia hÕt cho BCNN(m,n) + NÕu a.b chia hÕt cho c vµ (b,c) =1 th× a chia hÕt cho c + NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ sè tù nhiªn + NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a±b) chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m, b kh«ng chia hÕt cho m th× (a±b) kh«ng chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho n th× a.b chia hÕt cho m.n + NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m lµ sè nguyªn tè th× a chia hÕt cho m hoÆc b chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m th× an chia hÕt cho m víi n lµ sè tù nhiªn (5) + NÕu a chia hÕt cho b th× an chia hÕt cho bn víi n lµ sè tù nhiªn II/ Khi học sinh đã nắm các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đa vài phương pháp thường dùng để gi¶i c¸c bµi to¸n chia hÕt Víi häc sinh líp t«i thưêng sö dông phư¬ng ph¸p sau: phương ph¸p 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết §Ó chøng minh a chia hÕt cho b ( b kh¸c 0), ta biÓu diễn số a dới dạng tích các thừa số, đó có thừa sè b»ng b (hoÆc chia hÕt cho b) a = b.k ( k N) hoÆc a =m.k ( m chia hÕt cho b) VÝ dô 1: Chøng tá r»ng sè cã d¹ng aaaaaa bao giê còng chia hÕt cho Gi¶i : aaaaaa = a.111111 = a 7.15873 chia hÕt cho VÝ dô 2: Chøng tá r»ng sè cã d¹ng abcabc bao giê còng chia hÕt cho 11, chia hÕt cho vµ chia hÕt cho 13 Gi¶i : Ta cã : abcabc = abc 000+ abc = abc (1000+1) = abc 1001 = abc 11.7.13 nªn abcabc chia hÕt cho 11, chia hÕt cho vµ chia hÕt cho 13 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng, nÕu lÊy mét sè cã ch÷ sè céng víi sè gåm ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngưîc l¹i, ta lu«n ®ưîc mét sè chia hÕt cho 11 Gi¶i Gọi số đó là ab vµ ba Ta cã : (6) + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hÕt cho 11 ab Phư¬ng ph¸p : Dïng c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt 2.1 Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu * §Ó chøng minh a chia hÕt cho b ( b 0) ta cã thÓ lµm nh sau: - ViÕt a = m + n mµ m M b vµ nM b - ViÕt a = m - n mµ m M b vµ nM b * §Ó chøng minh a kh«ng chia hÕt cho b ta viÕt a díi d¹ng tæng cña c¸c sè mµ chØ cã mét sè h¹ng cña tæng kh«ng chia hết cho b, còn các số hạng khác chia hết cho b VÝ dô 4: Chøng tá r»ng : a) Tæng cña sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè chia hÕt cho b) Tæng cña sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho Gi¶i a) Gäi sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1 , n + Tổng số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) M b) Gäi sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ : n , n+1, n+2, n+3 Tæng số đó là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + = 4n + 4+2 = 4(n+1) + kh«ng chia hÕt cho VËy tæng cña sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho Gi¸o viªn chèt l¹i: Tæng cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp cha ch¾c đã chia hết cho n (7) 2.2 Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña tÝch §Ó chøng minh a chia hÕt cho b (b ¹ 0) ta cã thÓ chøng minh b»ng mét c¸c c¸ch sau: + Ta chøng minh (a.m) chia hÕt cho b; (m, b) = Þ a chia hÕt cho b + Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chia hÕt cho m, a chia hÕt cho n + BiÓu diÔn a= a1 a2,, b = b1.b2, råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1; a2 chia hÕt cho b2 VÝ dô 5: chøng minh (1980a + 1995b) chia hÕt cho 15 víi " a, b lµ sè tù nhiªn Gi¶i: V× 1980 chia hÕt cho nªn 1980.a chia hÕt cho víi " a V× 1995 chia hÕt cho nªn 1995.b chia hÕt cho víi " b Nªn (1980a + 1995b) chia hÕt cho Chøng minh t¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hÕt cho víi " a, b mµ (3,5) = Þ (1980 a + 1995b) chia hÕt cho 15 VÝ dô 6: chøng minh r»ng tÝch cña sè ch½n liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho Gi¶i: Gäi sè ch½n liªn tiÕp lµ 2n, 2n +2 ( n N) TÝch cña sè ch½n liªn tiÕp lµ 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) V× n vµ n + lµ sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn n.(n+ 1) chia hÕt cho Mµ chia hÕt cho nªn 4.n.(n+1) chia hÕt cho (4.2) Þ 4.n.(n+1) chia hÕt cho Þ 2n.(2n + 2) chia hÕt cho (8) * Gi¸o viªn nhËn xÐt : Như vËy gÆp nh÷ng bµi to¸n chøng minh mét tæng, mét hiÖu hoÆc mét tÝch chia hÕt cho số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích đợc thành tÝch c¸c thõa sè, ta thêng sö dông c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt Phương pháp 3: Dùng định lí chia có dư để chứng minh n chia hết cho p ta xét trường hợp vÒ sè d chia n cho p: Ta viết n = p.k + r, đó r = 0, 1, , p-1; k N Råi xÐt tÊt c¶ c¸c trưêng hîp cña r VÝ dô 7: Chøng tá r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× tÝch (n + 3).(n +6) chia hÕt cho Gi¶i: Víi mäi n ta cã thÓ viÕt hoÆc n = 2k + hoÆc n= 2k - Víi n= 2k +1 ta cã: (n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2) (2k+7) chia hÕt cho - Víi n= 2k ta cã : ( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hÕt cho VËy víi mäi n N th× (n+3)(n+6) chia hÕt cho VÝ dô 8: chøng minh r»ng: a) TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho Gi¶i: a) Gäi sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n+1, n+2 TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ : n.(n+1).(n+2) Mäi sè tù nhiªn chia cho cã thÓ nhËn mét c¸c sè d 0;1;2 - NÕu r = th× n chia hÕt cho Þ n.(n + 1).(n+ 2) chia hÕt cho (9) - NÕt r = th× n = k + (k lµ sè tù nhiªn) Þ n+2 = 3k +1 + = (3 k +3) chia hÕt cho Þn (n+1).(n+2) chia hÕt cho - NÕu r = th× n = 3k+ (k lµ sè tù nhiªn) Þ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hÕt cho Þn.(n+1) (n+2) chia hÕt cho Tãm l¹i, n.(n+1).(n+2) chia hÕt cho víi mäi n lµ sè tù nhiªn b) Chøng minh tư¬ng tù ta cã: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hÕt cho víi mäi n lµ sè tù nhiªn Sau gi¶i bµi tËp tËp nµy, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nªu bµi tËp nµy ë d¹ng tæng qu¸t Gi¸o viªn kh¾c s©u cho häc sinh: TÝch cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho n Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng đợc sử dụng chøng minh mét biÓu thøc cã chøa biÕn chia hÕt cho c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè Khi chøng minh mét biÓu thøc chia hÕt cho c¸c sè tù nhiªn lín h¬n 10 ta kh«ng sö dông ph¬ng ph¸p nµy v× ph¶i xÐt nhiÒu trêng hîp Ph¬ng ph¸p 4: Dïng c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cã liªn quan đến chữ số tận cùng VÝ dô 9: Chøng minh r»ng (9999931999 – 5555571997) chia hÕt cho 10 Gi¶i Ta cã : 9999931999 = [ (9999934)499 9999933] = = 5555571997= (5555574)499.555557 = = (10) 9999931999 – 5555571997 = chia hÕt cho 10 ( ®pcm) VÝ dô 10: Chøng minh r»ng : 1028 + chia hÕt cho 72 Gi¶i: Ta cã 1028 + = ( 100 + 8) = 100 .08 cã tæng c¸c ch÷ sè ch÷ sè b»ng nªn 28chia hÕt cho 27 ch÷ sè 1028 + = = 100 .08 cã tËn cïng b»ng 008 nªn chia hÕt 27 ch÷ sè cho V× ( 8,9) =1 nªn 1028+ M (8.9) hay 1028+ M 72 *Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thờng sử dụng để chøng minh c¸c bµi to¸n mµ sè chia lµ c¸c sè trßn chôc ( 10, 100, ) hay c¸c sè chia mµ dÊu hiÖu chia hÕt cã liªn quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), số chia cã thÓ ph©n tÝch thµnh tÝch c¸c sè cã d¹ng nh trªn Phư¬ng ph¸p 5: Sö dông nguyªn t¾c §irichlet Néi dung cña nguyªn t¾c §irichlet: “NÕu cã n+1 thá, xÕp vµo n chuång, th× Ýt nhÊt chuång chøa tõ thá trë lªn VÝ dô11: Chøng minh r»ng sè tù nhiªn bÊt k× lu«n t×m đợc số có hiệu chia hết cho Gi¶i: Mét sè chia cho cã thÓ nhËn mét c¸c sè d lµ : 0; 1; 2; 3; Trong sè tù nhiªn bÊt k× chia cho lu«n tån t¹i Ýt nhÊt sè cã cïng sè d ( nguyªn t¾c §irichlet) HiÖu cña sè chia hÕt cho III/ Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để Chứng minh chia hết, giáo viên có thể giao sè bµi to¸n vÒ chia hÕt nh»m gióp häc sinh n¾m mét (11) cách có hệ thống, đào sâu các kiến thức phép chia hÕt Bµi 1: a) Tìm tất các số x,y để số 34 x y chia hết cho 36 b) Tìm các chữ số x, y để 21 xy chia hết cho 3, ,5 Gi¶i V× (4;9) = nªn 34 x y chia hÕt cho 36 Û 34 x y chia hÕt cho vµ 34 x y chia hÕt cho Ta cã: 34 x y chia hÕt cho Û 5y chia hÕt cho Û yÎ{ 2;6} 34 x y chia hÕt cho Û ( 3+4+x+5+y) chia hÕt cho Û (12+x+y) chia hÕt cho V× x,y lµ c¸c ch÷ sè nªn x+y Î { 6;15} NÕu y = th× x = hoÆc x = 13 >9 (lo¹i) NÕu y = th× x = hoÆc x = VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 34452; 34056;34956 b) Ta cã : 21 xy NÕu y = th× M5óy 21 xy {0;5} kh«ng chia hÕt cho M4Þ x {0; 2; ; ; 8} (1) 21 x M ó (2 + + x + 0) M ó (3+ x)M Þ x {0; 3; 6; NÕu y = th× 21 xy chia hÕt cho ó x0 9} ( 2) KÕt hîp (1) vµ ( 2) Þ x {0; 6} VËy c¸c sè cÇn t×m lµ: 2100 ; 2160 Bµi 2: Cho c¸c ch÷ sè 0, a, b H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè cã ch÷ số tạo số trên Chứng minh tổng tất các số đó chia hÕt 211 (12) Gi¶i: tÊt c¶ c¸c sè cã ch÷ sè t¹o bëi ch÷ sè 0, a, b lµ: a b ; ab ; ba ; b a Tổng các số đó là: a b+ ab 0+ ba 0+b a = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia hÕt cho 211 Bµi 3: a) Cho A = +22 +23 + +260 Chøng minh r»ng : AM3; AM7; A M15 b) Cho B = + 33 + 35 + + 31991 Chøng minh r»ng : B chia hÕt cho 13 vµ B chia hÕt cho 41 Gi¶i: *A = +22 +23 + +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + + (259 + 260) = = 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + + 259 (1+2) = 2.3+ 23 + +259 = = 3.(2+ 23 + + 259) chia hÕt cho *A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + + (258 + 259 + 260) = 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) + + 258( 1+ 2+4) = 2.7 +24.7+ + 258.7 = 7( 2+24 + + 258) chia hÕt cho *A= (2+ 22+ 23 + 24) + + (257 + 258 + 259 + 260) = 2(1+2+4+8) + + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + + 257) chia hÕt cho 15 VËy A chia hÕt cho 3, A chia hÕt cho vµ A chia hÕt cho 15 b) B = + 33 + 35 + + 31991 = ( + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + + ( 31987+ 31989 + 31991) = 3( + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + + 31987(1+ 32+34) = 91 + 37.91 + + 31987.91 = 91( + 37 + + 31987) M 13 ( v× 91 M 13) (13) B = ( + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + + ( 31985 + 31987 + 31989+ 31991) = 3( + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + + 31985(1 + 32 + 34 + 36) = 820 + 39 820 + + 31985.820 = 820( + 39 + + 31985) M 41 ( v× 820 M 41) Cho a - b chia hÕt cho Chøng minh c¸c biÓu thøc sau chia hÕt cho a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b Gi¶i: a) Ta cã : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b M ( v× (a - b) M Bµi : vµ 6b M 6) b) a + 17 b = ( a- b) + 18b M [ v× (a- b) M vµ 18bM6] c) a - 13b = ( a - b) - 12b M [ v× ( a - b ) M vµ 12b M 6] Bµi 5: Chøng minh r»ng: (92n + 199493) chia hÕt cho 5, Gi¶i: Ta cã: 92n = (92)n = 81n = 199493 = (19942)46 1994 = 46 1994 = 1994 = Do đó: 92n + 199493 = + = chia hết cho Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2) Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mµ 3.(n+2) chia hÕt cho (n+2) Do đó (3n+10) chia hết cho (n+2) <=> chia hết cho (n+2) Û (n+2) lµ íc cña Û (n+2) { 1; 2;4} Þn { 0;2} VËy víi n {0;2 } th× (3n+10) chia hÕt cho (n+2) C¸ch 2: (3n+10) chia hÕt cho (n+2) (14) Mµ (n+2) chia hÕt cho (n+2) => 3(n+2) chia hÕt cho (n+2) => [ (3n +10) - (3n +6)] chia hÕt cho (n+2) => chia hÕt cho (n+2) đến đây giải tiếp nh cách Bài 7: Tìm số tự nhiên n để n+15 n+ lµ sè tù nhiªn Gi¶i để n+15 n+ lµ sè tù nhiªn th× (n+15) chia hÕt cho n+3 => [( n+15) - (n+3)] chia hÕt cho (n+3) ó 12 chia hÕt cho (n+3) ó (n+3) lµ U(12) = {1;2;3;4;6;12} ó n {0;1;3;9} VËy víi n {0;1;3;9} th× n+15 n+ lµ sè tù nhiªn Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× ( 3n +1, 4n + 1) = Gi¶i : Gäi d lµ ¦C( 3n+ , 4n + 1) Þ 3n + M d Þ 4n + M d 4.( 3n + 1) M d ( 4n+1) M d Þ ( 12n + - 12n - ) M d Þ1MdÞ d=1 Þ ( 3n + 1, 4n + 1) = Bµi 9: Trong 45 häc sinh lµm bµi kiÓm tra, kh«ng cã bÞ điểm dới 2, có học sinh đợc điểm 10 Chứng minh ít tìm đợc học sinh có điểm kiểm tra Gi¶i : Cã 45 -2 = 43 häc sinh ®ưîc ph©n chia vµ lo¹i ®iÓm ( từ đến 9) Giả sử điểm loại là điểm không có (15) qu¸ häc sinh, th× líp häc kh«ng cã qu¸ 8.5 = 40 häc sinh ( Ýt h¬n 43 häc sinh) VËy tån t¹i Ýt nhÊt cã häc sinh cã ®iÓm kiÓm tra b»ng Bµi 10: Chøng minh r»ng nÕu abc M 37 th× cab M 37 vµ M 37 bca Gi¶i: abc V× M 37 nªn ( 100a + 10b + c) M 37 Þ 10.( 100a + 10b + c) M 37 Þ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a] M 37 ( v× 999M37) Þ ( 100b + 10c + a ) M 37 Þ bca M 37 MÆt kh¸c : abc + cab + bca = 100a + 10b+ c + 100c + 10a + b + 100b + 10c + a = 37.3 ( a + b + c) M 37 Mµ Þ abc bca + bca M 37 M 37 *Nhận xét: Qua bài này ta rút đợc tổng số dạng cab + bca abc + M 37 Bµi 11: Chøng minh r»ng nÕu ( 6x + 11y ) chia hÕt cho 31 th× ( x + 7y) chia hÕt cho 31 víi mäi sè tù nhiªn x, y Gi¶i : V× ( 6x + 11y) M 31 nªn ( 6x + 11y + 31y ) M 31 Þ ( 6x + 42 y) M 31 Þ ( x + 7y ) M 31 mµ ( 6, 31 ) = Þ ( x + 7y ) M 31 ( ®pcm) Bµi 12: Mét sè chia cho d 4, chia cho d 6, chia cho 11 d Tìm d cho phép chia số đó cho 642 (16) Gi¶i : Gọi số đó là a Theo bµi ra, ta cã a = 6k + = 7q + = 11p + ( k, q, p lµ c¸c thư¬ng vµ lµ c¸c sè tù nhiªn) Suy : a + = 6k + + = ( k+ 2) M a + = 7q + + = 7( q + 2) M a + = 11p + + = 11 ( p + 1) M 11 suy ( a + 8) lµ BC (6,7,11), mµ BCNN(6,7,11) = 462 Þ ( a + 8) M 462 Þ ( a + ) = 462.m ( m N) Þ a = 462.m - = 462.(m - 1) + 454 Þ a = 462.n + 454 ( n N) VËy a chia cho 462 d 454 Bµi 13: a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để ®ưîc sè chia hÕt cho c¸c sè 5, ,9 ? b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9? Gi¶i: a) Gi¶ sö sè viÕt thªm lµ abc Ta cã 579 abc chia hÕt cho 5, ,9 suy 579 abc chia hÕt cho = 315 ( v× 3, 5, đôi nguyên tố cùng nhau) MÆt kh¸c 579 abc = 579000 + abc = ( 315.1838 + 30 + abc ) M 315 Mµ 315.1838M 315 suy ( 30 + Do 30 30 + nªn ( 30 + abc abc ) abc 30 + 999 = 1029 { 315; 630; 945} ) M 315 (17) suy abc { 285; 600; 915} VËy sè cã thÓ viÕt thªm lµ 285; 600; 915 b) Gäi sè ph¶i viÕt thªm lµ abc Ta cã : 523 abc chia hÕt cho 6, 7, 8, nªn 523 abc chia hÕt cho BCNN(6,7,8,9) = 504 MÆt kh¸c 523 abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 + abc V× 504 1037 M 504 nªn ( 352 + abc ) M 504 ó abc = k.504 - 352 víi k NÞk { 1; } ó abc { 152 ; 656} VËy sè cã thÓ viÕt thªm lµ 152 vµ 656 Bài 14: Một bạn viết các số từ đến abc Bạn đó phải viÕt tÊt c¶ m ch÷ sè BiÕt r»ng m chia hÕt cho abc , t×m abc Gi¶i: Từ đến abc , bạn đó phải viết số chữ số là : M = 1.9 + 2.90 + ( abc - 99) = abc - 108 Theo bµi mM abc ó ( abc -108) M abc ó 108M abc ó abc = 108 Vậy bạn đó đã viết các số tự nhiên từ đến 108 Bµi 15: Chøng minh r»ng: 2n + 11 chia hÕt cho Gi¶i: * C¸ch 1: Ta cã : 2n + 11 = 3n + ( 11 - n) n ch÷ sè n ch÷ sè v× mét sè chia cho d bao nhiªu th× tæng c¸c ch÷ sè cña sè n ch÷ sè Êy chia cho còng d bÊy nhiªu nªn 11 vµ n cã cïng sè dư chia cho n ch÷ sè (18) Þ 11 - n chia hÕt cho VËy 3n + (11 - n ) M hay 2n + 11 M n * C¸ch 2: víi mäi n N ta cã hoÆc n = 3k hoÆc n = 3k + n = 3k +2 ( k N) ch÷ sè hoÆc - nÕu n = 3k n ch÷ sè Þ 2n +n 11 = 2.3k + 11 M ch÷ sè - NÕu n = 3k + Þ 2n + 11 = 2( 3k+1) + 11 = 6k + 11 13 chia hÕt cho - NÕu n = 3k+ 1sè = 2( 3k+2) + 11 3k ch÷ n ch÷ sè Þ 2n + 11 = 6k + + 11 12 chia 3k+1 ch÷ sè hÕt cho 3k ch÷3sè ( v× sè 11 12 cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 3k + chia hÕt cho 3) n ch÷ sè n ch÷ sè 3k+2 ch÷ sè 3k +1 ch÷ sè * Trªn ®©y lµ mét sè vÝ dô vµ mét sè d¹ng bµi tËp vÒ "phÐp chia hÕt" C¸c bµi to¸n vÒ "phÐp chia hÕt" thËt ®a d¹ng vµ 3k +1 ch÷ sè phong phó nÕu chóng ta chØ hưíng dÉn häc sinh gi¶i bài tập mức độ trung bình thì các em khong thể thấy "cái hay" dạng toán này, đồng thời có các em cßn cã c¶m gi¸c lµ khã vµ phøc t¹p Qua c¸c bµi tËp trªn ta thÊy, mÆc dï mçi d¹ng bµi tËp sö dông phư¬ng ph¸p biÕn đổi ban đầu khác nhau, cuối cùng quy định nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt ChÝnh v× vËy, viÖc nắm vững định nghĩa phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể định hớng đợc cách giải bài tập giúp học sinh có t sáng tạo và linh hoạt giải toán Khi đã làm nh thì (19) việc giải các bài toán phép chia hết đã trở thành niềm say mª, thÝch thó cña häc sinh .IV Mét sè kÕt qu¶ ban ®Çu KÕt qu¶ víi nh÷ng kinh nghiÖm võa tr×nh bµy ë trªn, sau n¨m d¹y to¸n 6, b¶n th©n t«i nhËn thÊy: Khi d¹y phÇn chia hÕt tËp hîp sè tù nhiªn, häc sinh tiÕp nhËn kiÕn thøc mét cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinh phân biệt và nhận dạng các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó có thể giải hầu hết các bài tập phần này, xóa ®i c¶m gi¸c khã vµ phøc t¹p ban ®Çu lµ kh«ng cã quy t¾c tổng quát Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, s¸ng t¹o, c¸c phÈm chÊt trÝ tuÖ kh¸c vµ häc sinh còng thÊy đợc dạng toán này thật phong phú không đơn điệu Điều đó giúp cho học sinh hứng thú học môn to¸n * KÕt qu¶ cô thÓ: Víi nh÷ng bµi tËp gi¸o viªn ®a ra, häc sinh giải đợc cách độc lập và tự giác, đợc thống kê theo bảng sau: N¨m häc 2009 – 2010 2010 – 2011 2011 – 2012 ¸p dông đề tài Cha ¸p dông §· ¸p dông §· ¸p dông Tæng sè HS líp Số HS giải đợc theo các mức độ Tõ -20% BT Tõ 20-50% BT Tõ 50-80% BT Trªn 80% BT SL % SL % SL % SL % 36 19 15 42 10 28 11 49 14 15 31 15 31 12 24 45 11 14 31 13 29 13 29 Bµi häc kinh nghiÖm PhÇn " PhÐp chia hÕt cho tËp hîp sè tù nhiªn" ë líp lµ mét néi dung quan träng bëi kiÕn thøc nµy cã liªn quan chÆt (20) chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức sau và đặc biệt nó có ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết và đặc biệt là các tính chất cña quan hÖ chia hÕt bëi v× c¸c tÝnh chÊt nµy rÊt hay sö dông §Ó häc sinh n¾m v÷ng vµ høng thó häc tËp, chóng ta cần liên hệ kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó b¾t tay vµo gi¶i theo nhiÒu c¸ch ( nÕu cã thÓ) chø kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i gi¶i nhiÒu bµi tËp CÇn rÌn luyÖn nhiÒu c¸ch suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình bày häc sinh v× ®©y lµ häc sinh ®Çu cÊp Víi mçi d¹ng kh«ng cã quy t¾c tæng qu¸t, song sau giải giáo viên nên đặc điểm , hướng giải nào đó để gặp bài tương tự học sinh có thể liên hệ ®ưîc c KÕt luËn Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo t×nh huèng dÉn d¾t häc sinh häc tËp b»ng c¸ch tù häc lµ chính Thông qua đó phát huy tính tích cực chủ động học sinh Tuy nhiên để làm đợc điều đó phải tốn không ít thời gian cho viÖc chuÈn bÞ néi dung vµ phư¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cña m×nh Nhưng theo t«i mét nh÷ng phư¬ng ph¸p (21) gióp chÊt lưîng häc tËp cña häc sinh ngµy mét n©ng cao lµ ph¶i lµm vËy Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm nhá cña b¶n th©n t«i tù rót d¹y phÇn " PhÐp chia hÕt tËp hîp N " ë líp Chắc chắn nó cha đợc hoàn chỉnh và có chỗ kiếm khuyết Trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán giáo viên THCS còn nhiều xúc thì thân tôi muốn đóng gãp mét kinh nghiÖm nhá cña m×nh Qua ®©y, t«i rÊt mong góp ý chân thành các bạn đồng nghiệp để năm học tới đợưc tốt hơn, đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nưíc nhµ T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! (22) (23) Contents I/ Lí chọn đề tài II Nhiệm vụ đề tài .2 III §èi tượng nghiªn cøu IV Phư¬ng ph¸p nghiªn cøu (24)