Câu IV 1 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và AB = 4a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm I của đoạn thẳng OA.. Biết khoảng [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT PHÚC THÀNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM 2011 - 2012 Môn thi : TOÁN – KHỐI A, B, D ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) Ngày thi: Chiều 16 tháng 05 năm 2012 I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( điểm ) Cho hàm số y x 2mx 2m (1), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị nằm trên đường tròn có bán kính Câu II ( điểm ) Giải phương trình: 4cos(2 x ) tan x cotx x y x 4( y 1) 2 x y xy 7 Giải hệ phương trình: x 5x x 3dx Câu III ( điểm ) Tính tích phân I = Câu IV ( điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và AB = 4a, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I đoạn thẳng OA Biết khoảng cách từ I đến SI mặt phẳng (SAB) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2 Câu V (1 điểm) Cho x > 0, y > thỏa mãn x y xy x y 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 xy ) 2 P x y xy II/PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm ) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) Phần A Theo chương trình chuẩn Câu VIa ( điểm ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x + 6) + (y – 6)2 = 50 Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ hai điểm A, B khác gốc O Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) M cho M là trung điểm đoạn thẳng AB Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(5;3;-4), B(1;3;4) Hãy tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) cho tam giác CAB cân C và có diện tích z 5i 1 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (1 3i ) z là số thực và Phần B.Theo chương trình nâng cao Câu VIb ( điểm) 11 1; Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G , đường thẳng trung trực cạnh BC có phương trình x 3y + = và đường thẳng AB có phương trình 4x + y – = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC 2 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x y z x y z 0 , mặt phẳng (Q) : 2x + y – 6z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) qua A(1;1;2), vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu VIIb ( điểm) Cho hàm số y x m m x (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị A, B cho AB =10 ………………Hết…………… (2) Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm! SỞ GD- ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn : Toán – Khối A, B, D I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu Điểm Ý Nội dung I 2,00 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y x x 1,00 Trường THPT Phúc Thành x 0 y ' x x, y ' 0 x TXĐ : Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 2;0) và ( 2; ) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 2) và (0; 2) Hàm số đạt cực đại x 2, yCD 1 +) BBT: x - y' + 0,25 0,25 x 0, yCT Hàm số đạt cực tiểu - 0 + + - 0,25 y - -3 - +)Đồ thị -4 -2 0,25 -1 -2 -3 -4 Ba điểm cực trị nằm trên đường tròn có bán kính x 0 y ' x 4mx, y ' 0 x m Hàm số có cực trị m 2 Tọa độ cực trị là : A( m ; m 2m 1), B ( m ; m 2m 1), C (0; 2m 1) A và B đối xứng qua Oy, C thuộc Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC thuộc Oy Giả sử I(0; a) (1) 2m a 1 IA IC 1 2 (2) m (m 2m a) 1 Theo giả thiết : 1,00 0,25 0,25 0,25 (3) 2m a 1 a 2m 2m a a 2 2m Giải (1) ta 2 TH a 2m m (m 2m 2m) 1 m m4 2m2 1 m4 2m2 m 0 (Loại m > 0) TH a 2 2m m (m 2m 2m) 1 m 0, m 1 m m 2m 1 m 2m m 0 m m 1 m 4 0,25 Kết hợp với m > ta II 2,00 1,00 4cos(2 x ) tan x cot x Giải phương trình (1) Điều kiện: sin x 0 0,25 (1) 2( 3cos2 x sin x) sin x cot x cot 2 x 0 C1 1 sin x cos x 2 0,25 x k sin x (t / m ) x k 12 0,25 C2 x 4 k cot x 0 x k cot x 12 2 0,25 (t / m ) x y x 4( y 1) 2 Giải hệ phương trình x y xy 7 Điều kiện: x+2y 1 0 Đặt t = 0,25 x y (t 0) Phương trình (1) trở thành : 2t – t – = t 2 t / m t k t/m x y 3 2 x y xy 7 + Hệ x 1 y 1 x 2 y 1 III (t / m ) 1,00 x3 x dx x2 Tính tích phân I = x 2sin t t ; 2 => dx = 2costdt Đặt x t , x 2 t + Đổi cận: 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 (4) 8sin I t 10sin t cos t cos t dt 0,25 cos t 2sin t.2 cos t dt 3 cos t cos td (cos t ) cos t = 3 4 12 = = 3cos t cos3 t = (9 t )( tdt ) I (3t t )dt 3t 0,25 ( Hoặc đặt t x thì ) IV 1,00 S O C A K D song BC với H thuộc AB Do BC AB Trong mp(ABCD) từ điểm I kẻ IH song => IH AB Mà SI ( ABCD ) => SI AB Hay AB (SHI) Từ I mặt phẳng (SHI) I 0,25 SI IK d I ;( SAB ) kẻ IK SH K.H = (1) B IH AI BC a BC AC 4 Ta có => IH = 1 2 IH IK (2) (Do tam giác SIH vuông I đường cao IK) Mà IS 1 SI IH a SI IH Từ (1) và (2) => SI 1 16a SI S ABCD SI AB 3 (đvtt) Lại có thể tích khối chóp S.ABCD là V = V 0,25 0,25 0,25 1,00 (5) x y xy x y 3xy xy ( x y ) x y xy (1) x >0 ; y > nên x + y > 1 x y 3 x y 3( x y ) 0 x y xy (1) x y 1 ( x y ) 4 0 x y 4 0,25 1 1 xy x y Mà P = (x + y)2 + - xy Lại có (1) Nên P = (x + y)2 +1 + x y 0,25 Ta có 1 x y xy P t f (t ) t Đặt x + y = t ( t 4) 3 2t t>4 4; t Ta có f '(t ) = 2t - t mà f (t ) liên tục trên nửa khoảng 71 P f (t ) f (4) 4; => Nên f (t ) đồng biến trên nửa khoảng 71 Hay giá trị nhỏ P x = y = VIa 0,25 0,25 2,00 1,00 Giả sử A(a;0) ; B(0;b) ( a , b khác 0) => đường thẳng d A , B có phương trình : x y 1 hay bx+ ay - ab = a b d là tiếp tuyến (C) M M thuộc (C) và d vuông góc với IM u Đường tròn (C) có tâm I(-6 ; 6) , d có VTCP là ( a; b) b a b a IM 6; ; 2 M là trung điểm AB nên M 2 , Do đó ta có hệ phương trình a b 2 b a 50 b a 12 2 b a 50 2 a b 50 2 a a b b 0 2 b 22 b 14 a 22 v a 2 b 2 b a a 14 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy d có phương trình : x - y +2 = ; x - y +22 = ; x + 7y +14 = ; 7x + y – 14= C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên C( a ; b ;0) 1,00 0,25 (6) (a 5) (b 3) 16 (a 1) (b 3)2 16 a 3 .Tam giác ABC cân C AC BC (1) 0,25 Ta có AB = , trung điểm BC là I (3;3;0) 2 S ABC CI AB 8 CI 4 a b 4 => a 3 a 3 b 7 b Từ (1) ; (2) ta có 0,25 (2) 0,25 Vậy có hai điểm C(3 ; ;0) , B(3;-1;0) VIIa z 5i 1 Tìm số phức z thỏa mãn (1 3i ) z là số thực và Giả sử z x yi , đó (1 3i ) z (1 3i )(a bi ) a 3b (b 3a )i 1,00 (1 3i ) z là số thực b 3a 0 b 3a 0,25 z 5i 1 a (5 3a )i 1 0,25 (a 2) (5 3a) 1 0,25 a 2 b 6 10a 34a 29 1 5a 17a 14 0 a b 21 5 0,25 21 z 2 6i, z i 5 Vậy VIb 2,00 1,00 Ta có A , B thuộc đường thẳng AB nên A(a ; – 4a) , B( b ; – 4b ) 11 ) Do G(1 ; là trọng tâm tam giác ABC nên C( - a - b + 3; 4a + 4b – 7) 0,25 3 a ;2a 1 d : x - 3y +8 = có VTCP là u (3;1) ; Gọi I là trung điểm BC ta có I I d BC.u 0 d là trung trực cạnh BC a 1 b 3 3 a 3(2a 1) 0 3 2b a (4 a 8b 16) 0 0;25 0,25 0,25 Vậy A(1;5) , B(3;-3) và C (-1 ;9) Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) có phương trình : a(x-1)+ b(y -1)+c(z -2) = ( a2 + b2 + c2 0) Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) bán kính R = 1,00 0,25 Mặt phẳng (Q) có VTPT n(2;1; 6) 2a b 6c 0 3b 2 2 a b c Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên a 2c 2a 6c b b 2c 2a 6c b 2a 6c b b 2c b 5c 2 2 9b 4a 4b 4c b 3bc 10c 0 b 5c 11 a c 0,25 0,25 (I) (7) Chọn c = thì a = b = (loại) Nên c 0 Từ (I) Pt (P) : 2c(x-1)+ 2c(y -1)+c(z -2) = x y z 0 11 c Hoặc (x-1) -5c(y -1)+c(z -2) = 11x 10 y z 0 VIIb 0,25 1,00 R \ 2 TXĐ : D = y' , x 2 m x 2 Hàm số có hai cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác m 0,25 0,25 Gọi A(x1;y1) ; B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị đồ thị hàm số x 2 m y1 2 m m y ' 0 x2 2 m y2 2 m m Ta có 4m 16m 10 m 5 t / m AB = 10 Mọi cách làm khác mà đúng cho điểm tương đương 0,25 0,25 (8)