De thi TN tu 2009 den 2011

Tâm I của mặt cầu S là giao điểm của đường trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng OC... Từ đó, vì tam giác OAB vuông tại O, các điểm A, B thuộ[r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = 3 x − x + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho 2) Tìm các giá trị tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = có nghiệm thực phân biệt Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình log 22 x − 14 log x + = 2) Tính tích phân I = ∫ x ( x − 1) dx 3) Cho hàm số f ( x) = x − x + 12 Giải bất phương trình f '( x) ≤ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA o vuông góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a II PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3) 1) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC 2) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Câu 5.a (1,0 điểm) Cho hai số phức z1 = + 2i và z2 = − 3i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 − z2 Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình x y +1 z −1 = = −2 1) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng Δ Câu 5.b (1,0 điểm) Cho hai số phức z1 = + 5i và z2 = − 4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1.z2 - Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh: …………………………… Chữ kí giám thị 1: …………………………… Chữ kí giám thị 2: …………………… BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án đúng thì cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải thống thực toàn Hội đồng chấm thi 3) Sau cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án và thang điểm CÂU Câu (3,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM (2,0 điểm) a) Tập xác định: D = \ 0,25 b) Sự biến thiên: x − 3x Ta có: y ' = ⇔ ⎡ x = ; y ' > ⇔ ⎡ x < và y ' < ⇔ < x < ⎢⎣ x > ⎢⎣ x = Do đó: + Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞;0) và (4; + ∞); • Chiều biến thiên: y ' = 0,50 + Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4) • Cực trị: + Hàm số đạt cực đại x = và yC§ = y(0) = 5; 0,25 + Hàm số đạt cực tiểu x = và yCT = y(4) = −3 • Giới hạn: lim y = − ∞; lim y = + ∞ x →−∞ 0,25 x →+ ∞ • Bảng biến thiên: x −∞ + y’ − −∞ −3 + 0,25 +∞ y +∞ c) Đồ thị (C): y −2 0,50 O x −3 (1,0 điểm) Xét phương trình: x − x + m = (∗) Ta có: (∗) ⇔ 0,25 3 m x − x +5=5− 4 Do đó: (∗) có nghiệm thực phân biệt ⇔ đường thẳng y = − ⇔ −3 < − Câu m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt m < ⇔ < m < 32 0,25 0,50 (1,0 điểm) (3,0 điểm) Điều kiện xác định: x > Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình 0,50 log 22 x − log x + = ⎡ log x = ⇔ ⎢ ⎢⎣ log x = 0,25 ⎡x = ⇔ ⎢ ⎣ x = 0,25 Lưu ý: Nếu thí sinh tìm điều kiện xác định phương trình thì cho 0,25 điểm (1,0 điểm) I = ∫(x ) − x + x dx 0,25 1 ⎞ ⎛1 = ⎜ x5 − x + x3 ⎟ ⎠ ⎝5 = 0,50 30 0,25 (1,0 điểm) Trên tập xác định D = R hàm số f(x), ta có: f '( x) = − 2x x + 12 0,25 Do đó: Câu (1,0 điểm) f '( x) ≤ ⇔ 0,25 ⎧x ≥ ⇔ ⎨ ⎩x ≥ 0,25 ⇔ 0,25 x ≥ Gọi O là giao điểm AC và BD Vì ABCD là hình vuông nên AO ⊥ BD (1) S A B x + 12 ≤ x O C Vì SA ⊥ mp(ABCD) nên: + SA là đường cao khối chóp S.ABCD; + SA ⊥ BD (2) D Từ (1) và (2) suy BD ⊥ mp(SOA) Do đó SO ⊥ BD (3) n là góc mp(SBD) và Từ (1) và (3) suy SOA n = 60o mp(ABCD) Do đó SOA 0,50 Xét tam giác vuông SAO, ta có: n = AC tan60o = a = a SA = OA tan SOA 2 Vì VS.ABCD = 1 a a3 SA S ABCD = a = 3 0,25 0,25 Câu 4.a (1,0 điểm) (2,0 điểm) Gọi (P) là mặt phẳng qua A(1; 0; 0) và vuông góc với BC JJJG Vì BC ⊥ (P) nên BC là vectơ pháp tuyến (P) JJJG Ta có: BC = (0; − 2; 3) 0,25 Do đó, phương trình (P) là: −2y + 3z = 0,50 0,25 (1,0 điểm) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Vì O(0; 0; 0) ∈ (S) nên phương trình (S) có dạng: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz = 0,25 (∗) Vì A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) ∈ (S) nên từ (∗) ta được: ⎧1 + 2a = ⎪ ⎨ + 4b = ⎪ ⎩9 + 6c = 0,50 Suy ra: a = − ; b = − 1; c = − 2 3⎞ ⎛1 Vì vậy, mặt cầu (S) có tâm I = ⎜ ; 1; ⎟ 2⎠ ⎝2 0,25 Lưu ý: Thí sinh có thể tìm toạ độ tâm mặt cầu (S) cách dựa vào các nhận xét tính chất hình học tứ diện OABC Dưới đây là lời giải theo hướng này và thang điểm cho lời giải đó: Tâm I mặt cầu (S) là giao điểm đường trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và mặt phẳng trung trực đoạn thẳng OC 0,25 Từ đó, vì tam giác OAB vuông O, các điểm A, B thuộc mp(Oxy) và điểm C thuộc trục Oz nên hoành độ, tung độ I tương ứng hoành độ, tung độ trung điểm M đoạn thẳng AB và cao độ I cao độ C 0,50 3⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 Ta có M = ⎜ ; 1; ⎟ và C = (0; 0; 3) (giả thiết) Vì I = ⎜ ; 1; ⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 0,25 Câu 5.a Ta có z1 − z2 = − + 8i (1,0 điểm) Do đó, số phức z − z có phần thực −3 và phần ảo Câu 4.b (1,0 điểm) (2,0 điểm) Từ phương trình ∆ suy ∆ qua điểm M(0; −1; 1) và có vectơ phương G u = (2; −2; 1) JJJJG G ⎡ MO, u ⎤ ⎣ ⎦ Do đó d(O, ∆) = G u JJJJG G JJJJG Ta có MO = (0; 1; −1) Do đó ⎡⎣ MO, u ⎤⎦ = ( −1; − 2; − ) Vì d(O, ∆) = (−1) + (−2) + (−2)2 22 + (−2) + 12 = 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 (1,0 điểm) Gọi (P) là mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng ∆ G JJJJG G G Do vectơ n = ⎡⎣ MO, u ⎤⎦ có phương vuông góc với (P) nên n là vectơ pháp tuyến (P) 0,50 Suy phương trình (P) là: −x − 2y − 2z = 0, hay x + 2y + 2z = 0,50 Câu 5.b Ta có: z1.z2 = 26 + 7i (1,0 điểm) Do đó, số phức z z có phần thực 26 và phần ảo - Hết - 0,50 0,50