Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 6: Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, O là tâm của mặt đáy và M là trung điểm cạnh CD a Chứng minh CD ^ SOM , từ đó tính góc giữa SCD và mặt đáy.. b Tính khoảng các[r]
(1)ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn Toán lớp 11 Thời gian làm bài 120 phút lim Câu 1: Tính các giới hạn sau đây: a) x®2 lim x®- ¥ + 4x - 2- x b) (2x - 1)x2 3x - x3 Câu 2: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng và số hạng thứ hai - Tìm số hạng đầu tiên cấp số nhân đó ìï x2 - x - ï x < - f (x) = ïí 1+ x ïï x ³ - ïî + 4x Câu 3: Xét tính liên tục h.số x = –1 Câu 4: Cho hàm số f (x) = 3 x - x 16 có đồ thị (C ) ¢ a) Giải bất phương trình f (x) < b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm trên (C ) có hoành độ c) Chứng minh phương trình f (x) = phân biệt ¢¢ Câu 5: Cho hàm số f (x) = x + Tính f (- 1) có ba nghiệm (2) Câu 6: Hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a, O là tâm mặt đáy và M là trung điểm cạnh CD a) Chứng minh CD ^ (SOM ) , từ đó tính góc (SCD) và mặt đáy b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD và SM - Hết - (3) BÀI GIẢI CHI TIẾT lim Câu 1: a) x®2 1+ 4x - ( 1+ 4x - 3)( + 4x + 3) = lim x®2 2- x (2 - x)( + 4x + 3) = lim x®2 lim x®- ¥ (2x - 1)x2 3x - x 4(x - 2) - = lim =x ® (2 - x)( 1+ 4x + 3) + 4x + 3 = lim x(2 - 1)x2 x®- ¥ x3( 32 x x - 1) = lim 2- x®- ¥ 32 x x - =- b) Câu 2: Gọi q là công bội cấp số nhân (un) lùi vô hạn Theo giả thiết (un) ì ìï u ï ïï = ïï S = ì 9u = - 4q (1) ïí Û ïí 1- q Û ïïí 1 9u q = - (2) ïï ïï îïï ïï u2 = ïï u1.q = î ïî có éq = - (4 - 4qq ) = - Û 4q2 - 4q - = Û ê êq = ê ë Thay (1) vào (2): q = - Þ u1 = 2 Do (un) lùi vô hạn nên ta nhận u =2 Vậy, số hạng đầu tiên (un) là ìï x2 - x - ï x < - f (x) = ïí 1+ x ïï x ³ - ïî 1+ 4x Câu 3: Với ta có lim - f (x) = x®(- 1) lim f (x) = x®(- 1)+ x2 - x - = lim - (x - 2) = - 1+ x x®(- 1)x®(- 1) lim lim (1 + 4x) = 1+ 4(- 1) = - x®(- 1)+ lim f (x) = lim + f (x) = f (- 1) f (- 1) = 1+ 4(- 1) = - Þ x®(- 1)x®(- 1) Vậy hàm số đã cho liên tục x = –1 3 f (x) = x3 - x f ¢(x) = x2 16 ta có 16 Câu 4: a) Với 3 f ¢(x) < Û x < Û x2 - < Û - < x < 16 (4) ¢ Vậy bất phương trình f (x) < có tập nghiệm S = (- 2;2) f ¢(x0) = f ¢(6) = b) Với x0 = ta có y0 = y(6) = và Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y - = 6(x - 6) Û y = 6x - 27 f (x) = c) Phương trình 3 1 3 Û x - x= Û x - x=0 16 16 3 g(x) = x3 - x 16 là hàm số đa thức liên tục trên Đặt ¡ nên liên tục trên các đoạn [–4;–2] , [–2;0] , [0;4] ïìï g(- 4) = - 43 ïìï g(- 4).g(- 2) < ïï ï g(- 2) = Þ ïï g(- 2).g(0) < í í ïï g(0) = - 13 ïï ïï ïîï g(0).g(4) < g(4) = ï î Ngoài f (x) = có nghiệm phân biệt, cụ thể Vậy phương trình là x1 Î (- 4;- 2), x2 Î (- 2;0), x3 Î (0;4) Câu 5: Với f (x) = x + (x2 + 3)¢ 2x x f ¢(x) = = = 2 2 x +3 x +3 x +3 (x)¢ x2 + - x( x2 + 3)¢ ¢ f¢ (x) = = ( x2 + 3)2 (- 1)2 + - (- 1) f ¢¢(x) = (- 1) (- 1)2 + x2 + - x x2 + = (- 1) + Vậy Câu 6:a)Tam giác SCD có SM là trung tuyến nên là đường cao ïìï CD ^ SM Þ CD ^ (SOM ) í ïïî CD ^ SO Ta có x x2 + (5) ïìï CD ^ SM í ïïî CD ^ OM Từ đó Suy góc (SCD) và (ABCD) là · j = SMO Ta có SO = SB - OB = a2 OM = BC = a 2 ( 21a 2) =a 2 (do OM là trung tuyến tam giác BCD) a tan j = Trong tam giác SOM, SO = = a OM ¢ Vậy góc (SCD) và (ABCD) là j = arctan » 54 44 b)Gọi OH là đường cao tam giác SOM, tất nhiên OH ^ SM (1) ìï CD ^ (SOM ) ïí ï OH Ì (SOM ) Do ïî nên OH ^ CD (2) Từ (1) và (2) ta suy OH ^ (SCD) và dO ( ,(SCD)) = OH = SOOM SO +OM = ( a a 2 2 a + a 2 ) ( ) 1 SO +OM = + = 2 SO OM SO 2.OM ) (do OH a dO ( ,(SCD)) = Vậy, c)Gọi N là trung điểm BC, I là trung điểm OC Vẽ OK ^ OI K (3) Ta có MN€ BD nên MN ^ (SAC ) Mà OK Ì (SAC ) nên OK ^ MN (4) Từ (3) và (4) ta suy OK ^ (SMN ) Ngoài BD€ (SMN ) nên (6) d(BD, SM ) = d(BD,(SMN )) = dO ( ,(SMN )) = OK = SOOI SO +OI = ( a ×a 2 2 a + a 2 ) ( ) = a 10 10 (7)