TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I... Tìm min của hàm số:.[r]
(1)TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a1 , a2 , , an Ta có a1 +a2 + + an √n a1 a2 an n a1 = a2 = = an Dấu “=” xảy ⇔ Bất đẳng thức Bunhia: Cho dãy số a1 , , an và b1 , , bn Ta có a1 b1 + +a n b n ¿ ( a21 + + a2n )( b21 + + b2n ) ¿ a1 a2 an Dấu “=” xảy ⇔ = = = b1 b2 bn Ví dụ Cho x, y > Tìm f(x, y) = x + xy (x − y ) Giải y+x − y ¿ x x x + + + f(x, y) = x + x+ =x+ = x ¿ 3 3 x3 xy (x − y ) x ¿ ¿ ¿ y=x − y x=√ 12 x √ 12 = ⇔ Vậy f(x, y) Dấu “=” xảy ⇔ y= x ¿{ ¿{ ¿ ¿ x+ y xy z3 Ví dụ Tìm GTNN S = với x, y, z > và x + y + z = Giải y y y x+ + + 3 S= 3 xy z 4 3 12 3 12 x y z 12 y x 3 xy z √ 12 ( )( )( ) () ⇒ S 44 3 12 x y z = (2) S 4 36 12 ( x y z + + 12 12 3+ 9+12 256 12 24 ) = 214 33 S ¿ y= z= ¿{{ ¿ x= Dấu “= ” xảy ⇔ Ví dụ Cho A, B, C là góc tam giác Tìm GTNN hàm số: 1 1+ 1+ 1+ A B C f(A, B, C) = sin sin sin 2 Giải Ta có: 1 1 A + B + C + A B + f(A, B, C) = + sin sin sin sin sin 2 2 1 B C + C A + A B C 1+3 sin sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 1 3 A B C = + A B C A B C +3 sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 ( √ ( ) ( √( ) ( ) 1+ 3 A B C sin sin sin 2 ⇒ f = 27 tam giác ABC √ ) ( √) 1+ = 27 Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi: 1) Tìm min, max hàm số: xy √ z −1+ xz √ y − 2+ yz √ x − f(x, y, z) = xyz Trên D = { ( x , y , z ) : x ≥3 ; y ≥2 ; z ≥ } 2) Cho x, y, z > và x + y + z = ) (3) x+y xyz 3) Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm giá trị nhỏ hàm số 1 1 f(x, y, z) = + + + 2 xy yz xz x + y +z (Đ/s: f = 30 x = y = z = ) 1 a+b 4) Cho ac > và + = Tìm f(a, b, c ) = a c b 2a−b b+c c −b Tìm f(x, y, z ) = + Ví dụ Tìm hàm số: a sin4 x+ b cos y a cos4 x +b sin y f(x, y) = + 2 2 c sin x +d cos y c cos x+ d sin y (với a, b, c là các số dương) Giải sin x cos x cos y f(x, y) = a[ + ] + b[ + c sin2 x+ d cos y c cos x +d sin y c sin2 x+ d cos y sin y ] c cos x +d sin y = a f1 + b f Áp dụng bất đẳng thức Bunhia: sin x 2 2 [(c sin x + d cos y ) + (c cos x + d sin y )][ + c sin2 x+ d cos y cos x ] c cos x +d sin y 2 sin x cos x f1 Dấu “=” xảy ⇔ = 2 2 c+ d c sin x+ d cos y c cos x +d sin y = c+ d 2 ⇔ sin x = cos y tương tự: f Dấu “=” xảy ⇔ sin x = cos y c+ d a+b 2 f(x, y) Dấu “=” xảy ⇔ sin x = cos y c+ d a+b f = sin x = cos y c+ d Bài tập áp dụng Bunhia: π Tìm Min biểu thức + √ 1+ tgytgz + √ 1+ tgxtgz 1) Cho x, y, z > 0; x + y + z = f(x, y, z) = √ 1+ tgxtgy (4) 2) Tìm max hàm số: f(x, y) = √ x + √ y Trên miền D= {( x , y ); x ≥ ; y ≥ 0; x + y ≤1 } 3) Cho A, B, C là góc tam giác Tìm biểu thức: 1 M= + + 2+ cos A 2+ cos B − cos 2C ( 14 ; 1) Ví dụ Cho x, y, z, t Tìm hàm số: 1 1 f(x, y, z, t) = log x ( y − ) + log y (z − ) + log z (t − ) + log t (x − ) 4 4 Giải 1 ; và ta có x ⇒ Vì x, y, z, t x– log t x 4 log t (x − ) Tương tự và cộng vế với vế ta có: f(x, y, z, t) 2( log x y + log y z + log z t + log t x ) √ log x y log y z log z t log t x = ⇒ f(x, y, z, t) Dấu “=” ⇔ x = y = z = t = ( ) II Sử dụng các bất đẳng thức khác: Bất đẳng thức trị tuyệt đối: |a| + |b| ||a|−|b|| |a+ b| |a − b| Dấu “=” xảy ⇔ ab > Ví dụ Cho a1 , , an là các số cho trước Tìm biểu thức T = |x − a1| + |x − a2| + + |x − an| Giải an Không tính tổng quát giả sử a1 TH1: n = 2k an – a1 Dấu “=” ⇔ a1 x |x − a1| + |x − an| a k+1 – a k Dấu “=” ⇔ ak x |x − ak +1| + |x − ak| a k+1 ak ⇒ T ( an + + a k+1 ) – ( a1 + + a k ) Dấu “=” ⇔ a k+1 Với n = 2k thì minT = ( an + + a k+1 ) – ( a1 + + a k ) a k a k+1 TH2: n = 2k + an x x (5) |x − a1| an – a1 Dấu “=” ⇔ a1 an + |x − an| x a k+2 – a k Dấu “=” ⇔ ak x |x − ak +2| + |x − ak| a k+2 Dấu “=” ⇔ a k+1 = |x − ak +1| a k+1 = ⇒ T ( an + + a k+2 ) – ( a1 + + a k ) Dấu “=” ⇔ Với n = 2k + minT = ( an + + a k+2 ) – ( a1 + + a k ) a k+1 = (6)