Đang tải... (xem toàn văn)
Nung nấu ý định đó trong xuốt quá trình giảng dạy, Tôi đã quyết định viết về một số mảng kiến thức, trong đó có : “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” theo tiêu chí trên; Mỗi dạng bài tập[r]
(1)Môc lôc I Lêi më ®Çu II KiÕn thøc cÇn nhí III KiÕn thøc bæ sung IV C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p chung 3 D¹ng Bµi tËp chøng minh tØ lÖ thøc 1.1 Ph¬ng ph¸p chung 1.2 Mét sè vÝ dô 1.3 TiÓu kÕt 1.4 Bµi tËp t¬ng tù 4 D¹ng T×m sè cha biÕt d·y tØ sè b»ng 2.1 Ph¬ng ph¸p chung 2.2 Mét sè vÝ dô 2.3 TiÓu kÕt 2.4 Bµi tËp t¬ng tù 10 10 11 17 17 D¹ng TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 3.1 Ph¬ng ph¸p chung 3.2 Mét sè vÝ dô 3.3 TiÓu kÕt 3.4 Bµi tËp t¬ng tù 20 20 21 23 23 Dạng Toán đố 4.1 Ph¬ng ph¸p chung 4.2 Mét sè vÝ dô 4.3 TiÓu kÕt 4.4 Bµi tËp t¬ng tù 23 23 24 30 30 V KÕt qu¶ VI Vấn đề còn hạn chế VII §iÒu kiÖn ¸p dông VIII KÕt luËn IX.Tµi liÖu tham kh¶o 34 34 34 35 36 I § Lêi Më §Çu · tõng lang thang qua nhiÒu hiÖu s¸ch, v¨n phßng phÈm, cöa hµng s¸ch cò và đã đọc khá nhiều loại sách tham khảo Tôi thấy thị trờng sách tham khảo cho các môn học rộng rãi, phong phú và đa dạng, có đủ tất các loại… Nhng bài tập mảng kiến thức thì lại nằm dải rác đâu đó (2) phần sách Tôi thiết nghĩ, chúng không đợc xếp theo trật tự định nào đó? Đặc biệt là kiến thức môn Toán, môn khoa học tự nhiên chứa đựng vô cùng nhiều điều bí ẩn thú vị-nó xuất cùng với loài ngời vµ kh«ng ngõng ph¸t triÓn theo trÝ tuÖ cña ngêi, vµ chÝnh ngêi l¹i kh«ng ngừng khám phá, chinh phục nó Toán học hút ngời từ học đếm Nhng học là vô tận, biết đến toán học và hiểu đợc nó là quá trình phức tạp từ không đến có Vậy thì làm nào để học tốt môn này? Nếu trả lời đợc câu hỏi đó thì bạn đã học toán tốt còn gì? Nếu cha trả lời đợc thì đọc xong sách này bạn đã có tay phơng pháp hữu hiệu để học môn toán cách ngon lành Đó là cách gì vậy? Hệ thống kiến thức theo mảngxắp xếp theo trật tự định, hợp lí Gióp ngêi häc rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy, ph¬ng ph¸p suy luËn vµ kh¶ n¨ng sáng tạo quá trình học tập để đạt đợc kết tốt Nung nấu ý định đó xuốt quá trình giảng dạy, Tôi đã định viết số mảng kiến thức, đó có : “Tính chất dãy tỉ số nhau” theo tiêu chí trên; Mỗi dạng bài tập có phơng pháp chung, số ví dụ đã chọn lọc cách giải hợp lí và số bài tập tơng tự-Tất đợc xắp xếp theo hệ thống trình tự từ dễ tới khó phù hợp cho đối tợng, với mong muốn giúp ngời đọc, ngời học dễ dàng việc tìm hiểu còng nh viÖc häc vµ muèn nghiªn cøu s©u h¬n vÒ m¶ng kiÕn thøc nµy mét c¸ch hiệu Tuy đây là mảng kiến thức nhỏ đợc giới thiệu qua tiết lí thuyết sách giáo khoa lớp nhng đằng sau đó là chuỗi bài tập, ứng dụng nhiều Với hệ thống bài tập đợc xếp từ dễ đến khó giúp ngời học kích thích tính t duy, suy luận logic, óc sáng tạo và tận hởng đợc cảm giác vui sớng tự mình tìm tòi, khám phá đáp án cho bài toán Mong muốn chiếm lĩnh đ ợc tri thức là mong muốn nhiều ngời, đặc biệt là học sinh – sinh viên, nhng làm sao, làm nh nào để chiếm lĩnh đợc thứ quí báu đó thì lại là điều băn kho¨n, tr¨n trë cña tÊt c¶ chóng ta Với lượng kiến thức học sinh vào lớp 7, các em đã có tay số kĩ giải toán biến đổi các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa Nhưng nhiều khó khăn mà các em gặp phải học và làm bài tập phần này, đặc biệt là bài toán phức tạp, yêu cầu cần phân tích kĩ đầu bài để hiểu phải sử dụng điều đã cho nh nào, biến đổi để đạt đợc mục đích, tìm đợc đáp án cho bài toán Nh vậy, cần thiết phải đợc trang bị tri thức phơng pháp cho các em để làm bài không cảm thấy lúng túng, sợ, ngại bài toán phức tạp Với tất gì vừa nêu đã thúc đẩy Tôi thực chuyên đề này II KiÕn thøc cÇn nhí TØ lÖ thøc a b c d 1.1 Tỉ lệ thức là đẳng thức hai tỉ số Trong đó: a, b, c, d là các số hạng a, d lµ ngo¹i tØ b, c lµ trung tØ 1.2 TÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc: a c a.d b.c d * NÕu b Th× * NÕu a d b c vµ a, b, c, d th× ta cã: a c a b d c b d ; c d ; b a ; TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng 2.1 TÝnh chÊt: d c b a (3) a x b y c z Tõ d·y tØ sè b»ng ta suy ra: a b c a b c a bc a b c x y z xyz x yz x y z (Với giả thiết các tỉ số có nghĩa) 2.2 Chó ý: a b c y z ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lÖ víi c¸c sè x, y, z; Ta Khi cã d·y tØ sè x cßn viÕt a : b : c = x : y : z KiÕn thøc bæ sung III Luü thõa cña mét th¬ng: n x xn y yn Víi n N, x vµ x, y Q Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n: a a.m b.m Víi m * b a c a c d b.n d n * b Víi n a * b c d a b n c d n Víi n N IV C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p chung Bµi tËp vÒ “TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau” kh¸ phong phó vµ ®a d¹ng ë mức độ khác nhng theo ý kiến chủ quan thân Tôi thì có thể chia làm dạng gắn liền với phơng pháp chung (của dạng) Các cách làm đợc trình bày theo mạch t suy luận logic học sinh nhằm hình thành và phát triển cách nghĩ, cách làm, cách trình bày và có thể tự tìm đợc đờng riêng m×nh cho häc sinh D¹ng Bµi tËp chøng minh tØ lÖ thøc 1.1 Ph¬ng ph¸p chung: +) Thờng thì dạng bài tập này, bài cho sẵn số điều kiện nào đó vµ yªu cÇu chøng minh tØ lÖ thøc +) Để làm xuất tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho từ điều kiện bài cho Với tính chất các phép toán và tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc hoÆc tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng chóng ta cã thÓ biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có +) Có nhiều đờng để đến cái đích, hãy lựa chọn phơng pháp phï hîp, hîp lÝ nhÊt chøng minh +) Lu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích 1.2 Mét sè vÝ dô: (4) a VÝ dô Cho b c d Víi a, b, c, d a c c d Chøng minh r»ng: a b Đây không phải là bài toán khó đa số học sinh, nhng các em lúng túng lựa chọn cách làm bài toán này Có nhiều cách để làm bài toán này; nhiên, đây Tôi xin đợc trình bày số cách mà học sinh thêng nghÜ tíi vµ sö dông qu¸ tr×nh chøng minh Lêi gi¶i: C¸ch a c a b a b a b a a b d c d c d c d c c d Cã: b a c c d (§pcm) Hay a b (5) C¸ch a Cã: b c d a.d b.c ac ad a c d C¸ch a Cã: b Khi đó: Do đó: C¸ch c d m a a b mb mb b Cã: mb b m 1 c c d nªn C¸ch a Cã: b c d c c d b a (§pcm) m m c a b ad ac a.d a b c a b a c a b c d m m a c d ac a a b bc a mb ; c md c md md c d md d d m 1 a c a b c d (§pcm) a a b ac bc b.c c d là đẳng thức đúng là dẳng thức thức đúng d c 1 b a 1 a c c d (§pcm) Suy ra: a b C¸ch a c ad bc d Cã: b Do đó: a ad ad bc a b d a b ad bd bc bd a c a b c d (§pcm) VËy: C¸ch d c bc b c d a b a c c d c d d (6) a b c b d d a c Cã: a b a b d c d a a a c c Khi đó: a c c d (§pcm) Suy ra: a b a c 5a 3b 5a 3b d Chøng minh r»ng: 5c 3d 5c 3d VÝ dô Cho b Häc sinh quan s¸t kÜ ®Çu bµi sÏ ph¸t hiÖn c¸ch lµm; Cã thÓ sö dông tính chất dãy tỉ số nhau, nhng phải biến đổi chút đã: Lêi gi¶i: a c a b 5a 3b 5a 3b 5a 3b b d c d 5c 3d 5c 3d 5c 3d Cã: 5a 3b 5a 3b 5c 3d 5c 3d (§pcm) VËy: a b2 ab a c 2 cd d Chøng minh: c d VÝ dô Cho b Bài này có khó chút Học sinh không biết làm nào để xuất đab îc a2 vµ b2; Nhng bï l¹i th× c¸c em biÕt t¹o cd tõ tØ lÖ thøc bµi cho ChØ cÇn gợi ý chút xíu là các em làm đợc thôi! Em hãy so sánh: a a b b ab ; c c d d vµ cd ? Bây thì các em đã biết phải làm nh nào rồi! Lêi gi¶i: a c a b a2 b2 ab a b2 d c d c2 d2 cd c2 d Cã: b a2 b2 ab 2 cd (§pcm) VËy: c d Với cách t trên, dễ dàng nghĩ đờng cho bài tập không dễ sau: a c 1 d VÝ dô Cho b vµ c Chøng minh r»ng: a b c d ab cd a b3 a b c d c d3 a) b) §· cã bµi tËp ë vÝ dô th× häc sinh kh«ng mÊy khã kh¨n lµm xuÊt hiÖn ®iÒu ph¶i chøng minh Lêi gi¶i: a c a b a b d c d c d a) Cã: b (7) a b c d Suy ra: Hay: a b a b c d c d ab cd a b c d a b b) c d Cã: 3 a b c Suy ra: c a3 c3 Do đó: (§pcm) a b c d b3 d a b cd a b3 c d3 a b cd a b cd 3 a b3 a b c d c d (§pcm) VËy: Ngợc lại với cách làm bài tập trên, từ đẳng thức phức tạp phải chứng minh đẳng thức đơn giản thì các em tỏ bối rối làm bài VÝ dô Cho = Chøng minh r»ng: = Không khó khăn để đơn giản biểu thức đã cho Nhìn điều phải chứng minh th× ®a a lªn tö, ®a b xuèng mÉu vµ lµm “biÕn mÊt” nh÷ng g× kh«ng cÇn thiÕt nh¸y m¾t Lêi gi¶i: Cã: = suy ra: = = = Hay: = (§pcm) VÝ dô Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Chøng minh r»ng: = Hãy làm xuất dãy tỉ số trớc đã Tõ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) ®a vÒ d·y tØ sè b»ng nh thÕ nµo? Lêi gi¶i: Cã: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Suy ra: = = = = +) = = = (1) +) = = = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã = (§pcm) a b2 c2 d = VÝ dô Cho víi a, b, c, d ≠ vµ c ≠ d Chøng minh r»ng: = hoÆc = §Çu bµi khã thËt, nhng c¸c em sÏ ph¸t hiÖn ®©y lµ bµi to¸n ngîc cña ví dụ Làm theo quy trình ngợc lại ? Điều đó không đa các em đến đợc với điều phải chứng minh Vậy thì phải biến đổi nh nào? Lúc này giáo viên vào gợi ý nhỏ: có thể biến đổi điều đã cho đẳng thức không? Lêi gi¶i: a b2 c2 d = = = a b a b 2 cd c d Suy ra: = +) NÕu = = hoÆc = - th× = = = ( )2 = ( )2 (8) = = (1) +) NÕu = - th× = - = = = = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: = hoÆc = 1.3 TiÓu kÕt: Với dạng bài tập này, các em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo dãy tỉ số hợp lí, có thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để đến điều phải chứng minh Lu ý học sinh sử dụng tính chất dãy tỉ số phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu Có nhiều cách để chứng minh mét tØ lÖ thøc nhng cÇn lùa chän c¸ch nµo phï hîp víi kh¶ n¨ng vµ møc độ nhận thức ngời học cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bµy MÆt kh¸c, qu¸ tr×nh chøng minh ph¶i lu«n híng vÒ ®iÒu ph¶i chøng minh nhằm tránh “lạc đờng”, dài dòng không cần thiết, có lại không tới đợc đích cần đến Còn bây là lúc các em đã tự tin làm bài tập tơng tự (9) 1.4 Bµi tËp t¬ng tù: a b2 a b2 c2 c Bµi Cho b2 = ac Chøng minh: Bµi Cho b2 = ac ; c2 = bd víi b, c, d ≠ 0; b+c ≠ 0; b3+c3 ≠ d3 Chøng minh a b3 c3 a b c b3 c d b c d a b3 c a b3 c d d r»ng: a) b) Bµi Cho = víi a, b, c ≠ Chøng minh r»ng tõ ba sè a, b, c (cã mét sè sö dông lÇn) cã thÓ lËp thµnh mét tØ lÖ thøc Bµi Cho = víi a, b, c, d > Chøng minh r»ng: a) 2a 3b 2c 3d 2a 3b 2c 3d b) ab a b cd c d 3a 10b2 17ab 3c 10d cd 2 7c d 5cd d) 7a b 5ab a 3ab 7c 3cd 2 2 c) 11a 8b 11c 8d Bµi (Më réng) Cho = Chøng minh: a) = b) = c) = d) = e) = f) = Bµi Cho = = Chøng minh r»ng: a b3 c a b3 c d d a) ( )3= b) Bµi Cho = = Chøng minh: = = Bµi Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) víi a ≠ b ≠ c vµ a, b, c ≠ Chøng minh r»ng: = = Bµi Chøng minh r»ng: NÕu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) th× = víi b, d ≠ Bµi 10 Chøng minh r»ng: NÕu a2 = bc th× = Điều đảo lại có đúng không? Bµi 11 Cho bèn sè kh¸c lµ: a1, a2, a3, a4 tho¶ m·n a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4 Chøng minh r»ng: a13 a23 a33 a1 a23 a33 a4 a4 Bµi 12 Chøng minh r»ng: NÕu Bµi 13 Chøng minh r»ng: NÕu a n bn a n bn n n n n = th× c d c d víi n N a k b k a k b2 k c k d k c k d k th× = a n bn n n Bµi 14 Tõ ( )n = c d víi n N suy ra: = nÕu n lµ sè tù nhiªn lÎ & = nÕu n lµ sè tù nhiªn ch½n Bµi 15 Chøng minh r»ng: =( )2008 biÕt = = = … = a b2 2 Bµi 16 Chøng minh r»ng: NÕu c d = th× = Bµi 17 Cho k, m, n N Chøng minh r»ng: NÕu k2 = m.n th× = Bµi 18 Cho = H·y chøng minh: a) = = b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) * a b4 4 c) ( )4 = c d Bµi 19 Chøng minh: = biÕt r»ng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c-d).(a+b-c-d) (10) Bµi 20 Chøng minh: = (§©y lµ c¸ch rót gän hçn sè) HD: = = = D¹ng T×m sè cha biÕt d·y tØ sè b»ng 2.1 Ph¬ng ph¸p chung: +) D¹ng bµi tËp nµy c¸c em gÆp rÊt nhiÒu, nã rÊt phong phó vµ ®a d¹ng Bµi thêng cho d÷ kiÖn, còng cã chØ cho d÷ kiÖn Tõ nh÷ng mèi quan hÖ đó ta có thể tìm đợc đáp án bài, nhng có thể phải biến đổi sử dụng đợc +) Cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p ë d¹ng +) Lu ý đến dấu số cần tìm trờng hợp có số mũ chẵn tích số, để tránh tìm số không thoả mãn yêu cầu bài Cũng lu ý các trờng hợp có thể xảy để không bỏ xót giá trị cần tìm (11) 2.2 Mét sè vÝ dô: VÝ dô T×m x, y kh¸c biÕt: a) = vµ 2x + 5y = 10 b) = - vµ 2x + 3y = c) 21.x = 19.y vµ x – y = d) = vµ x.y = 84 Bài này tơng đối dễ, cần áp dụng tính chất dãy tỉ số là tìm đợc đáp số bài; Nhng trớc tiên phải biến đổi tỉ lệ thức bài chót cho phï hîp víi mèi quan hÖ cßn l¹i Lêi gi¶i: a) Cã = = = = ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: = = = = Do đó: +) = suy x = = +) = suy y = = VËy: x = vµ y = b) Cã = = Do đó: = = = Hay: +) = suy ra: 2x = x = +) = suy ra: y = VËy: x = - vµ y = c) 21.x = 19 y = Do đó: = = = = -2 Hay: +) = -2 x = -2.19 = -38 +) = -2 y = -2.21 = -42 VËy: x = - 38 vµ y = - 42 d) = = = = =4 Hay: +) = x2 = 36 x=6 +) = y2 = 196 y = 14 VËy: x = vµ y = 14 hoÆc x = - vµ y = -14 * Còng cã em lµm c¸ch kh¸c: Cã = = mµ xy = 84 ( x vµ y cïng dÊu) nªn xy = 84 x2 = 36 x = vµ xy: = 84: y2 = 196 y = 14 VÝ dô T×m x, y, z biÕt: a) = ; = vµ 2x + 3y – z = 186 b) x : y : z = : (- 2) vµ 5x – y + 3z = 124 c) = = = Lêi gi¶i: a) Ch¾c ch¾n lµ ph¶i sö dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhng l¹i cha cã, h·y lµm xuÊt hiÖn d·y tØ sè b»ng Cã: = = = = Do đó: = = = = = = = Hay: +) = x = 3.15 = 45 +) = y = 3.20 = 60 +) = z = 3.28 = 84 VËy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84 b) T¬ng tù nh c©u a): Cã x : y : z = :5 : (- 2) = = Do đó, ta có: = = = = = = = 31 Hay: +) = 31 x = 31.3 = 93 +) = 31 y = 31.5 = 155 +) = 31 z = 31.(-2) = -62 VËy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62 c) Bµi chØ cho d·y tØ sè b»ng chø kh«ng cho thªm mèi quan hÖ kh¸c nh nh÷ng bµi tríc Kh¸c nh÷ng bµi tríc, häc sinh thÊy míi l¹ VËy th× lµm thÕ nµo? LiÖu cã lµm xuÊt hiÖn mèi quan hÖ kh¸c tõ d·y tØ sè b»ng kh«ng? (12) Cã: = = = = = Suy ra: x+y+z = Khi đó: y+z = - x ; x+z = - y ; x+y = - z Do đó: +) = =2 x= +) = =2 y= +) = =2 z=VËy: x = ; y = ; z = - VÝ dô T×m c¸c sè x, y, z biÕt: = = vµ 5z – 3x – 4y = 50 GÆp bµi nµy, c¸c em kh«ng tr¸nh khái b¨n kho¨n: T¹o 5z, 3x, 4y b»ng c¸ch nµo ®©y? V× x cßn víng -1, y víng vµ z víng -5 Cø b×nh tÜnh vµ lµm nh b×nh thêng xem sao? Lêi gi¶i: Cã: = = & 5z – 3x – 4y = 50 = = & 5z – 3x – 4y = 50 = = = = =2 Hay: +) = x–1=4 x=5 +) = y+3=8 y=5 +) = z – = 12 z = 17 VËy: x = y = ; z = 17 VÝ dô T×m a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b = 4c vµ a – b + c = 35 Đã có dãy tỉ số cha? Làm nào để có dãy tỉ số nhau? Lêi gi¶i: Cã: 2a = 3b = 4c = = = = = Khi đó: = = = = = Hay: +) = a = 7.6 = 42 +) = b = 7.4 = 28 +) = c = 7.3 = 21 VËy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21 VÝ dô T×m x biÕt: = Đầu bài thật đơn giản, nhng làm nh nào? Chỉ có mối quan hệ, có thể làm triệt tiêu x đợc không? Lêi gi¶i: Cã: = = = = Hay: =4 x – 12 = 20 x = 20 + 12 x = 32 VËy: x = 32 VÝ dô T×m a, b biÕt r»ng: a) = vµ a2 – b2 = 36 b) = vµ ab = 48 Muốn sử dụng đợc tính chất dãy tỉ số thì phải qua bớc biến đổi đã: Phải làm xuất đợc a2, b2 câu a và tích ab câu b Làm đợc điều đó thì coi nh bài toán đã đợc hoàn thành 90% Lêi gi¶i: a) Cã: = (a, b cïng dÊu) Suy ra: = = = = Hay: = a2 = 100 a = 10 =4 b2 = 64 b= VËy: a = 10 vµ b = hoÆc a = - 10 vµ b = - b) Cã: = Suy ra: = = = = Hay: = a2 = 36 a= =4 b2 = 64 b= VËy: a = vµ b = hoÆc a = - vµ b = - VÝ dô T×m x1, x2, x3, …, x9 biÕt r»ng: = = = … = vµ x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90 Nhìn có vẻ khó vì nhiều số cha biết phải tìm quá Không vấn đề gì, đã có tính chÊt cu¨ d·y tØ sè b»ng ®©y råi (13) Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: = = =…= = x1 x2 x9 = 90 45 = 45 =1 +) = x1 = + = 10 +) = x2 = + = 10 +) = x3 = + = 10 ……………… +) = x9 = + = 10 VËy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10 VÝ dô a) T×m ph©n sè cã d¹ng tèi gi¶n biÕt = víi a, b Z vµ b ≠ b) Cho ph©n sè T×m c¸c sè nguyªn x, y cho = Lêi gi¶i: a) = ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: = = = = Ph©n sè cÇn t×m cã d¹ng tèi gi¶n = nªn ph©n sè cÇn t×m cã d¹ng víi k Z vµ k ≠ b) T¬ng tù nh c©u a, nhng tæng qu¸t h¬n Cã: = = = Với = thì ta có thể tìm đợc vô số các số nguyên x, y thoả mãn VÝ dô T×m x, y biÕt: a) = & x4 y4 = 16 b) = & x10 y10 = 1024 c) = = Bµi nµy khã ®©y, sè mò to, cã sè cha biÕt mµ chØ cã mèi quan hÖ Lµm b»ng c¸ch nµo, lµm nh thÕ nµo? Lêi gi¶i: a) Có thể đa số mũ nhỏ không? Đa bài toán đã biết cách làm có đợc kh«ng? Cßn chÇn chõ g× n÷a, cø thö xem? Tõ = suy ra: = = vµ x, y cïng dÊu (1) Víi x4 y4 = 16 xy = (2) KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã: == = = Hay: +) = x = x = +) = y2 = y = VËy: x = vµ y = hoÆc x = - vµ y = - b) Có sử dụng đợc cách làm nh câu a không? Tại lại không thử xem? Chú ý đến dấu x, y vì dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm Cã: = = = = = x2 x= Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024 y20 = 210.1024 20 20 y =2 y=2 Do đó: x = VËy: x = vµ y = hoÆc x = –1 vµ y = –2 hoÆc x = vµ y = –2 hoÆc x = –1 vµ y = c) Câu này làm học sinh hoang mang vị trí x Nhng chính điều đó lại là chìa khoá để mở cửa phòng chứa đáp án bài (14) H·y gîi ý c¸c em nhËn vÒ mèi quan hÖ gi÷a 2x +1, 3y – vµ 2x + 3y – B©y thì bài lại trở thành quá đơn giản với gì có hành trang các em = = (1) = = = (2) Tõ (1), (2) ta cã: 6x = 12 x = thay vµo (1) th× y = VËy: x = vµ y = VÝ dô 10 T×m ba sè x, y, z biÕt = = (1) vµ x2 + y2 + z2 = 14 Lµm thÕ nµo ®©y võa cã mò l¹i cã c¶ mò 2? Thêng th× h¹ bËc xuèng thấp cho dễ tính, làm điều đó với bậc đây là không thể, còn bậc thì sao? (1) = = Suy ra: = = = = = Hay: +) = x2 = x = +) = y2 = y = +) = z2 = z = Mµ theo (1) th× x, y, z cïng dÊu Nªn: x = 1; y = 2; z = hoÆc x = –1; y = –2; z = –3 2.3 TiÓu kÕt: Dạng bài tập này tơng đối phức tạp, không làm và trình bày cẩn thận thì dễ bị nhầm lẫn Kiến thức thì không phải là quá khó nhng cần đến khả quan sát và kĩ biến đổi Cũng cần đến khéo léo đa bài toán dạng quen thuộc đã biết cách làm dạng 2.4 Bµi tËp t¬ng tù: Bµi T×m c¸c sè a, b, c, d biÕt: a) a : b : c : d = 15 : : : vµ a – b + c – d b) 2a = 3b ; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30 c) 3a = 4b & b – a = Bµi T×m x1, x2, …, xn–1, xn biÕt: vµ x1+x2+ … +xn–1+xn = c = = …… = = (Víi a1, a2, … ,an–1, an kh¸c vµ a1+a2+ … +an–1+an ≠ 0) Bµi T×m a, b, c, d biÕt: a) = = = & a + b + c + d = 12 b) = = & a – 2b + 3c = 35 c) = ; = & a + b – c = 69 d) a = b = c & a – b = 15 e) = = & 2a + 3b – c = 95 Bµi T×m x, y, z biÕt: x y a) vµ xy = 54 b) x y ; x2 – y2 = víi x, y > (15) x y c) ; y z vµ x + y + z = 92 d) 2x = 3y = 5z vµ x + y – z = 95 x y z x y z e) y z x z x y y z x vµ 4x – 3y + 2z 36 g) x y z h) vµ x – 2y + 3z = 14 i) x y z vµ xyz = 12 x2 y k) 16 vµ x2 + y2 = 100 x x y ; z l) vµ x2 + y2 + z2 = 217 x 16 y 25 z 16 25 m) vµ 2x3 – = x y n) ; x2 – y2 = 81 víi x, y > x y p) vµ x2 + y2 = 208 Bµi T×m x biÕt: x x4 a) x x x b) x x 18 x 17 d) x x 16 72 x e) x 18 Bµi T×m a, b, c biÕt a b c a) vµ 3a + b – 2c = 14 a b c vµ a + 2b – c = b) x x c) x x (16) a b c c) 10 21 vµ 5a + b – 2c = 28 a b c d) vµ 2a + 3b – c = 50 12a 15b 20c 12a 15b 20c 11 e) vµ a + b + c = 48 2a 3b 4c f) vµ a + b +c = 49 a b c g) vµ abc = 810 18 a b c h) 11 vµ –a + b + c = –120 a b b c ; i) vµ 2a + 3b – c = 186 a b b c ; k) vµ 2a – 3b + c = a 10 b ; c l) b vµ a – b + c = 78 a b ; c m) b 20 vµ 2a + 5b – 2c = 100 a ; n) b a c vµ a3 + b3 + c3 = 99 p) 3a = 2b ; 7b = 5c vµ a – b + c = 32 q) 5a = 8b = 20c vµ a – b – c = D¹ng TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 3.1 Ph¬ng ph¸p chung: +) Đây là loại bài tập khó, đòi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức và kĩ nh biết tổng hợp tri thức phơng pháp đã học Khả quan sát và dự đoán đợc sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với suy luận logic, sáng t¹o (17) +) Làm dạng bài tập này, học sinh cần đến xúc tác giáo viên các em gặp bế tắc Những lúc đó thì giáo viên cần gợi mở hớng cho häc sinh b»ng nh÷ng c©u hái më (18) 3.2 Mét sè vÝ dô: x y z VÝ dô Cho x, y, z tho¶ m·n: víi x, y, z kh¸c TÝnh: x yz P = x 2y z Bài này tơng đối khó nhìn, vì học sinh chẳng biết làm nào để tính đợc P đây? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm biểu thức P để tìm mối liên hệ P và dãy tỉ số đã cho thì các em không tìm đợc cách lµm * §Æt x y z = k (k kh¸c 0) th× x = 2k , y = 5k , z = 7k 2k 5k k 4k Khi đó: P = 2k 10k 7k 5k VËy: P = * HoÆc c¸ch kh¸c: x y z x yz x yz Ta cã: suy x – y + z = 2x x 2y z x 2y z x 2y z L¹i cã: 10 10 5x suy x + 2y – z = 2x 4x 5x 5x Do đó: P = VËy: P = VÝ dô Cho tØ sè b»ng a b bc ; ca ; c a b Tìm giá trị tỉ số đó Với bài này các em dễ dàng tìm đáp án: a b c b c = c a = a b = a b c (b c ) ( c a ) ( a b ) = (19) Và kết luận: Giá trị tỉ số đã cho là Nhng có thì lời giải bài toán cha đợc hoàn thiện Mà phải trình bày đợc nh sau: a b c Cã: b c = c a = a b = a b c a bc (b c ) (c a ) (a b) 2(a b c ) a b c +) NÕu a + b +c ≠ th× b c = c a = a b = (*) a b c (b c ) (c a ) (a b) = +) NÕu a + b +c = th× b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c Khi đó: a a b b bc = a ; ca b ; c c a b c a b c c HoÆc: b c = c a = a b = c a b c VËy: +) NÕu a + b +c ≠ th× b c = c a = a b = +) NÕu a + b +c = th× VÝ dô a b c b c = c a = a b = x y y z z t t x z t t x x y yz Cho biÓu thøc: P = T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc P biÕt: x y z t y z t z t x t x y x y z (*) Chỉ cần nhìn đầu bài thôi đã thấy sợ Làm nào để tính đợc giá trị cña biÓu thøc P? Cã thÓ thÊy d·y tØ sè b»ng (*) kh¸ quen thuéc, nhng P th× kh«ng Liệu có thể sử dụng các cách đã làm không? Sử lí (*) nh nào đây? Lêi gi¶i: x y z t 1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z Cã: x y z t x y z t x y z t x y z t z t x tx y xyz Hay: y z t +) NÕu x + y + z + t ≠ th× y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z (20) x=y=z=t đó: P = + + +1 = +) NÕu x + y + z + t = th× x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – VËy: +) P = x + y + z + t ≠ +) P = – x + y + z + t = 3.3 TiÓu kÕt: Dạng bài tập này gây tơng đối nhiều khó khăn cho học sinh suy luËn logic vµ tÝnh phøc t¹p cña nã Nhng víi vai trß gîi më cña gi¸o viªn th× học sinh có đợc cảm giác ngời khám phá điều thú vị, cảm xúc ngời chiến thắng Điều đó chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi cho c¸c em tiÕp tôc chinh phôc nh÷ng bµi tiÕp theo 3.4 Bµi tËp t¬ng tù: x y 3z Bµi Cho A = x y z TÝnh A biÕt x, y, z tØ lÖ víi 5, 4, Bµi Cho c¸c sè A, B, C tØ lÖ víi a, b, c TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : Bµi Cho tØ sè b»ng nhau: Ax By C Q = ax by c a b c b c d c d a d a b d a b c ; ; ; T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè trªn 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Bµi Cho d·y: a b b c c d d a T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = c d d a a b b c Dạng Toán đố: 4.1 Ph¬ng ph¸p chung: +) Loại bài tập này đầu bài đợc cho dới dạng lời văn, khó khăn các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán +) Khi thể đầu bài bểu thức đại số đợc thì việc tìm đáp án cho bài toán là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trớc, nhng đa sè häc sinh quªn kh«ng tr¶ lêi cho bµi to¸n theo ng«n ng÷ lêi v¨n cña ®Çu bµi Phải luôn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy! +) Lu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là liệu cha biết thì học sinh phải đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó - dựa vào đại lợng cần đặt kí hiệu Và kết tìm đợc kí hiệu đó phải đợc đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả m·n hay kh«ng NÕu kh«ng tho¶ m·n th× ta lo¹i ®i, nÕu cã tho¶ m·n th× ta tr¶ lêi cho bµi to¸n 4.2 Mét sè vÝ dô: a VÝ dô T×m ph©n sè b biÕt r»ng nÕu céng thªm cïng mét sè kh¸c vµo tö vµ vào mẫu phân số thì giá trị phân số đó không đổi Dựa vào yếu tố bài cho để lập dãy tỉ số Lêi gi¶i: Theo bµi: NÕu ta céng thªm cïng mét sè x 0 vµo tö vµ vµo mÉu cña ph©n sè th× giá trị phân số không đổi Ta cã: a ax b = bx a ax ax a x b = bx = bx b = x = (21) a VËy: b = VÝ dô T×m hai ph©n sè tèi gi¶n BiÕt hiÖu cña chóng lµ: 196 vµ c¸c tö tØ lÖ víi 3; vµ c¸c mÉu tØ lÖ víi 4; Thật không đơn giản chút nào Học sinh đọc bài xong thấy các kiện bài cho cø rèi tung lªn, ph¶i lµm ®©y? Gi¸o viªn cã thÓ gì rèi cho c¸c em b»ng gîi ý nhá: “C¸c tö tØ lÖ víi 3; cßn c¸c mÉu t¬ng øng tØ lÖ víi 4; th× hai ph©n sè tØ lÖ víi: vµ Nh vËy, häc sinh sÏ gi¶i quyÕt bµi to¸n th«i ! Lêi gi¶i: Gäi hai ph©n sè tèi gi¶n cÇn t×m lµ: x, y Theo bµi to¸n, ta cã : x : y = : vµ x 21 y = 20 x y 21 = 20 vµ ” x – y = 196 x – y = 196 x – y = 196 Hay : vµ ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã: x y x y 196 21 = 20 = 21 20 = = 196 x 3 +) 21 = 196 x = 196 21 = 28 y 3 15 +) 20 = 196 y = 196 20 = 49 15 VËy: hai ph©n sè tèi gi¶n cÇn t×m lµ: 28 vµ 49 Ví dụ Tìm số có chữ số, biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số nã tØ lÖ víi 1; 2; Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhng bắt tay vào tìm lời giải cho bài toán thì các em thấy phức tạp và khó khăn Vì để tìm đợc đáp ¸n cho bµi to¸n nµy th× ph¶i sö dông linh ho¹t kiÕn thøc mét c¸ch hîp lÝ, lËp luận logic từ kiện đầu bài cho và mối quan hệ các yếu tố đó để tìm đáp án cho bài toán Lêi gi¶i: * Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m lµ: a, b, c (®/k: a, b, c N; a, b, c 9 vµ a, b, c không đồng thời 0) Ta cã a+b+c 27 V× sè cÇn t×m 18 = 2.9 mµ (2;9)=1 Nªn a+b+c cã thÓ b»ng 9; 18; 27 (1) (22) a b c a b c Ta cã: = = = V× a N* nªn a + b + c a b c a= Tõ (1) vµ (2) suy ra: a + b + c = 18 a b c a b c Khi đó: = = = = a = a = 3.1 = +) b = b = 3.2 = +) c = c = 3.3 = +) (2) 18 =3 Mà số cần tìm 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số VËy: sè cÇn t×m lµ : 396 hoÆc 936 VÝ dô Mét cöa hµng cã tÊm v¶i, dµi tæng céng 126m Sau hä b¸n ®i tÊm v¶i thø nhÊt, tÊm v¶i thø hai vµ tÊm v¶i thø ba, th× sè v¶i cßn l¹i ë ba tÊm b»ng H·y tÝnh chiÒu dµi cña ba tÊm v¶i lóc ban ®Çu Bài cho rõ ràng, dễ hiểu Chỉ cần học sinh biểu diễn đợc số vải còn lại sau bán thì bài toán trở nên đơn giản và dễ dàng Lêi gi¶i: Gäi sè mÐt v¶i cña ba tÊm v¶i lÇn lît lµ a, b, c (m)(a ,b, c > 0) Sè mÐt v¶i cßn l¹i ë tÊm thø nhÊt: a (m) Sè mÐt v¶i cßn l¹i ë tÊm thø hai: b (m) Sè mÐt v¶i cßn l¹i ë tÊm thø ba: c (m) 1 a + b + c = 126 vµ a = b = c Theo đề bài, ta có: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã: a b c a b c 126 = = = = =14 a +) =14 a = 14.3 = 28 b +) =14 b = 14.3 = 42 c +) =14 c = 14.4 = 56 VËy: chiÒu dµi cña mçi tÊm v¶i lóc ®Çu lÇn lît lµ: 28m, 42m, 56m VÝ dô (23) Có ba tủ sách đựng tất 2250 sách Nếu chuyển 100 từ tủ thứ sang tñ thø th× sè s¸ch ë tñ thø 1, thø 2, thø tØ lÖ víi 16;15;14 Hái tríc chuyÓn th× mçi tñ cã bao nhiªu cuèn s¸ch ? Bµi nµy kh¸ phøc t¹p ë chç: sè lîng s¸ch mçi tñ tríc vµ sau chuyÓn Lêi gi¶i: * * Gäi sè quyÓn s¸ch cña tñ 1, tñ 2, tñ lóc ®Çu lµ: a, b, c (quyÓn) (a, b, c N vµ a, b, c < 2250) Th× sau chuyÓn ,ta cã: Tñ 1: a –100 (quyÓn) Tñ 2: b (quyÓn) Tñ 3: c + 100 (quyÓn) a 100 b c 100 Theo đề bài ta có : 16 = 15 = 14 vµ a + b + c = 2250 2250 45 a 100 b c 100 a 100 b c 100 16 = 15 = 14 = 16 15 14 = =50 a 100 +) 16 =50 a –100 = 50.16 a = 800 + 100 = 900 (t/m) b +) 15 =50 b = 50.15 = 750 (t/m) c 100 +) 14 =50 c + 100 = 50.14 c = 700 – 100 = 600 (t/m) VËy: Tríc chuyÓn th×: Tñ cã : 900 quyÓn s¸ch Tñ cã : 750 quyÓn s¸ch Tñ cã : 600 quyÓn s¸ch VÝ dô Cho tam gi¸c ABC cã ¢ vµ B̂ tØ lÖ víi vµ 15, Ĉ =  TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC Đây là bài toán có nội dung hình học nhng lại đợc giải phơng pháp đại số, thật đơn giản nhớ đợc kiện cho dới dạng ẩn là tổng các góc tam gi¸c b»ng 1800 Lêi gi¶i: * Aˆ Bˆ Theo bµi ta cã = 15 Aˆ Bˆ Cˆ vµ Cˆ Aˆ 4=1 = 15 = 12 mµ ¢ + B̂ + Ĉ = 180 (Tæng gãc mét tam gi¸c) Hay : Nªn theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ 1800 = 15 = 12 = 15 12 = 30 = 60 Aˆ +) = 0 ¢ = = 18 Bˆ +) 15 = Cˆ 0 B̂ = 15 = 90 0 +) 12 = Ĉ = 12 = 72 0 VËy c¸c gãc cña tam gi¸c ABC lµ : ¢ = 18 , B̂ = 90 , Ĉ = 72 VÝ dô7 (24) Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300 m2, cã hai c¹nh tØ lÖ víi vµ TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên Quá dễ bài toán này đợc viết dới dạng biểu thức Nhng để lập đợc biểu thức thể mối quan hệ theo đầu bài thì lại là quá trình không đơn gi¶n chót nµo Víi lîng kiÕn thøc vµ vèn hiÓu biÕt cßn h¹n chÕ cña häc sinh míi bíc vµo lớp thì giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt các em bớc nhỏ để làm xuất kiến thức quen thuộc mà các em đã biết (?) Bµi to¸n yªu cÇu t×m nh÷ng yÕu tè nµo? * ChiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên (?) Em h·y gäi nh÷ng yÕu tè cha biÕt Êy b»ng kÝ hiÖu? * Gäi chiÒu dµi khu vên lµ x vµ chiÒu réng khu vên lµ y (?) §¬n vÞ vµ ®iÒu kiÖn cña x, y lµ g× ? * x (m) & y (m) (x > y > 0) (?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích vờn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với & đợc viết nh nào ? * x 4= y x.y=300 ; Rất nhiều học sinh không để ý đến tơng ứng x & y với & nên có tỉ lệ x = y thøc: Giáo viên cần lu ý đến điều đó! (?) T×m x,y Đến đây đã trở thành bài toán quen thuộc các em, dễ dàng tìm kết quả: x = 20(m) (t/m) y = 15(m) (t/m) Vậy: chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đó là 20m và 15m VÝ dô Một ô tô từ A B đơc 60,9 km Hai sau, ô tô thứ hai còng ®i tõ A B víi vËn tèc 40,6 km Hái « t« thø nhÊt ®i tõ A B mÊt mÊy giê Biết xe ô tô thứ hai đến muộn ô tô thứ là Với bài toán này, học sinh phải nhớ đợc mối quan hệ ba đại lợng chuyển động: Quãng đờng = Vận tốc.Thời gian Nhng nhớ đợc công thức mà đầu bài cho rắc rối quá Giáo viên giúp häc sinh nhËn mèi quan hÖ vÒ thêi gian ®i tõ A B cña hai xe « t« Lêi gi¶i: * Gäi thêi gian « t« thø ®i tõ A B lµ : x (h) (§/k x>0) « t« thø xuÊt ph¸t sau 2h nhng l¹i tíi B muén h¬n 7h nªn thêi gian « t« thø ®i tõ A B lµ : x – + = x + (h) Vì cùng là quãng đờng từ A B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5) x x 5 40, = 60,9 x x 5 x 5 x 50 40, = 60, = 60,9 40, = 20,3 = 203 x 50 40, = 203 50 50 406 x = 203 40,6 = 203 10 = 10 (t/m) VËy « t« thø nhÊt ®i tõ A B mÊt 10 giê VÝ dô Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung cây cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I cã 40 xe ë c¸ch cÇu 1,5 km, xÝ nghiÖp II cã 20 xe ë c¸ch cÇu km, xÝ nghiÖp III (25) cã 30 xe ë c¸ch cÇu km Hái mçi xÝ nghiÖp ph¶i tr¶ cho viÖc x©y dùng cÇu bao nhiªu tiÒn, biÕt r»ng sè tiÒn ph¶i tr¶ tØ lÖ thuËn víi sè xe vµ tØ lÖ nghÞch víi kho¶ng cách từ xí nghiệp đến cầu? Chắc chắn nhiều học sinh không làm đợc bài toán này vì đầu bài rắc rối quá, vừa tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm nh nào? Thật đơn giản, làm b×nh thêng th«i: (26) Lêi gi¶i: Gọi số tiền xí nghiệp I, II, III phải trả lần lợt là a, b, c (triệu đồng) với < a, b, c < 38 40 20 30 : 8 : : Theo bµi ta cã: a + b + c = 38 vµ a : b : c = 1,5 ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: a b c a b c 38 2 19 a 2 +) b 2 +) c 2 +) a 2.8 16 b 2.2 4 (t/m) (t/m) c 2.9 18 (t/m) Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, triệu đồng, 18 triệu đồng VÝ dô 10 Một bài toán cổ có tên “chia dê” đã làm đau đầu không ít ngời muốn tìm đáp số, nhng với tính chất dãy tỉ số thì bài toán trở nên đơn giản Một ngời dân Arập sinh đợc ngời trai, lúc lâm chung ngời cha nói 1 r»ng : “sau ta mÊt ®i, cßn l¹i 17 dª, cha dµnh cho c¶, cho thứ và cho út Các chia nào mà các đê là dê sống, không đợc bán dê để chia tiền, không đợc giết thịt để chia thịt.” Sau ngời cha qua đời, các tìm hết cách không làm theo đợc lêi tr¨n trèi cña cha Em h·y gióp c¸c ngêi cña «ng cô Dễ thôi, cần giải vấn đề: Làm nào để chia đợc 17 dê cho anh em họ mà số dê chia đợc phải còn nguyên vẹn, 1 17, 17 và 17 không phải là số tự nhiên? Víi tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, ta gi¶i quyÕt nh sau: Lêi gi¶i: Gọi số dê mà anh em họ đợc chia lần lợt là: a, b, c (con) (a, b, c N* vµ a, b, c < 17) a b c 1 vµ a + b + c = 17 Khi đó, theo bài ta có: a b c a b c 17 18 1 1 1 17 Suy ra: 9 18 a 18 a 18 9 +) (t/m) b 18 b 18 6 +) (t/m) (27) +) c 18 c 18 2 (t/m) Nh vậy: Số dê đợc chia đúng nh lời trăn trối ông cụ: Con đợc 1 số dê là con; Con thứ đợc số dê là và út đợc số dê là Ngày đó, anh em nhà không chia đợc số dê theo lời cha, nhng có cụ già láng giềng biết chuyện đã cời và cho họ mợn dê 1 Tất có 18 con, anh đợc 18 = con, anh hai đợc 18 = con, em út đợc 18 = con, còn thừa đem trả lại cụ già đã cho mợn 4.3 TiÓu kÕt: Đây là dạng bài tập khó học sinh, không học sinh trung bình mà học sinh khá-giỏi, khó công đoạn chuyển bài toán lời văn d¹ng biÓu thøc Gi¸o viªn cÇn dÉn d¾t c¸c em thËt tØ mØ tõng bíc, tõ ph©n tích đầu bài để tìm yếu tố bài cho, yếu tố cha biết, yếu tố cần tìm và mối quan hệ chúng, kể mối quan hệ đã biết dới dạng ẩn(Ví dụ nh: quãng đờng = vận tốc.thời gian tổng các góc tam giác 1800 ), đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện và đơn vị Đặc biệt là kÕt luËn cho bµi ph¶i chÝnh x¸c theo yªu cÇu 4.4 Bµi tËp t¬ng tù Bµi T×m ph©n sè, biÕt r»ng tæng cña chóng b»ng 3 70 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; vµ c¸c mÉu cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số đó là bội 72 và các chữ số nó xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; Bµi T×m hai sè kh¸c BiÕt r»ng tæng, hiÖu, tÝch cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 12 Bµi N¨m líp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhËn ch¨m sãc vên trêng cã diÖn tÝch 300m2 Trong đó: Lớp 7A nhận 15% diện tích, 7B nhận diện tích còn lại Sau lớp 7A và 7B nhận thì phần còn lại đợc chia cho lớp 7C, 7D, 7E theo 1 tØ lÖ ; ; 16 TÝnh diÖn tÝch vên giao cho mçi líp (28) Bµi Ba líp 7A, 7B, 7C cã tÊt c¶ 144 häc sinh NÕu rót ë líp 7A sè häc 1 sinh, rót ë líp 7B sè häc sinh, rót ë líp 7C sè häc sinh th× sè häc sinh cßn l¹i ë líp b»ng TÝnh sè häc sinh lóc ®Çu ë mçi líp Bµi Sè häc sinh khèi 6, 7, tØ lÖ víi 10, 9, TÝnh sè häc sinh mçi khèi, biÕt r»ng sè häc sinh khèi Ýt h¬n sè häc sinh khèi lµ 50 häc sinh Bµi Häc sinh líp 7A chia thµnh tæ lÇn lît tØ lÖ víi 2; 3; T×m sè häc sinh mçi tæ biÕt líp 7A cã 45 häc sinh Bµi Mét trêng cã líp BiÕt r»ng sè häc sinh líp 6A b»ng sè häc sinh líp 6B vµ b»ng sè häc sinh líp 6C Líp 6C cã sè häc sinh Ýt h¬n tæng sè häc sinh líp lµ 57 häc sinh TÝnh sè häc sinh mçi líp Bµi Mét bÓ chøa h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng vµ chiÒu dµi tØ lÖ víi vµ 5; ChiÒu réng vµ chiÒu cao tØ lÖ víi vµ ThÓ tÝch cña bÓ lµ 64m TÝnh chiÒu réng, chiÒu dµi vµ chiÒu cao cña bÓ Bµi 10 T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt sè ®o c¸c gãc ¢, B̂ , Ĉ tØ lÖ víi: a) 2; 3; b) 1; 2; Bµi 11 TÝnh c¹nh cña mét h×nh ch÷ nhËt, biÕt r»ng tØ sè gi÷a c¹nh lµ vµ chu vi b»ng 90 m Bài 12 Tìm cạnh tam giác Biết chu vi tam giác đó 30cm và ba c¹nh cña nã tØ lÖ víi 3;5;7 Bµi 13 §é dµi c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; Ba chiÒu cao t¬ng øng với cạnh đó tỉ lệ với số nào? (29) Bài 14 Ba đờng cao tam giác có độ dài 4; 12; x Biết x là mét sè tù nhiªn T×m x( Cho biÕt mçi c¹nh cña tam gi¸c nhá h¬n tæng hai c¹nh vµ lín h¬n hiÖu cña chóng) Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc ngoµi cña tam gi¸c t¹i A, B, C tØ lÖ víi 4; 5; Hái c¸c gãc t¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo? Bài 16 Một ngời từ A đến B đã tính rằng: Nếu với vận tốc km/h thì đến B lúc 11h 45phút Nhng ngời đó đợc quãng đờng với vận tốc dự định trớc, đoạn đờng còn lại với vận tốc 4,5 km/h nên đã đến B lúc 12h Hỏi ngời đó khởi hành lúc và quãng đờng AB bao nhiêu km? Bài 17 Một ô tô phải từ A đến B khoảng thời gian dự định Sau đợc quãng đờng thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô dự định từ A đến B Bài 18 Hai xe ô tô cùng khởi hành lúc từ địa điểm A và B Xe thứ quãng đờng AB hết 15 phút, xe thứ hai quãng đờng BA hết 45 phút Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đợc quãng đờng dài quãng đờng xe thứ đã là 20 km Tính quãng đờng AB Bài 19 Để từ A đến B có thể dùng các phơng tiện: máy bay, ô tô, xe lửa Vận tốc máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6; 2; Biết thời gian từ A đến B b»ng m¸y bay Ýt h¬n so víi ®i b»ng « t« lµ giê Hái thêi gian xe löa ®i quãng đờng AB là bao lâu? Bài 20 Trên công trờng xây dựng có đội công nhân làm việc Biết số công nhân đội I 11 số công nhân đội II và số công nhân đội III; Số công nhân đội I ít tổng số công nhân đội II và đội III là 18 ngời Tính số công nhân đội (30) Bài 21 Ba đội công nhân phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy phân chia số hàng cho đội cho khối lợng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển Bài 22 Ba công nhân tiện đợc tất 860 dụng cụ cùng thời gian Để tiÖn mét dông cô, ngêi thø nhÊt cÇn phót, ngêi thø hai cÇn phót, ngêi thø ba cần phút Tính số dụng cụ ngời tiện đợc Bµi 23 Ba kho A, B, C chøa mét sè g¹o Ngêi ta nhËp vµo kho A thªm sè g¹o kho đó, xuất kho B số gạo kho đó, xuất kho C số gạo kho đó Khi đó số gạo kho Tính số gạo kho lúc đầu, biết r»ng sè g¹o ë kho B Ýt h¬n sè g¹o ë kho A lµ 20 t¹ Bài 24 Ba em bé: An tuổi, Hoà tuổi, Nam 10 tuổi đợc bà cho 42 kẹo Số kẹo đợc chia tỉ lệ nghịch với số tuổi em Hỏi em đợc chia bao nhiªu chiÕc kÑo? Bµi 25 Bµi to¸n vÒ “Tr¹ng chia ngùa” Theo tÝch xa kÓ l¹i, mét lÇn «ng tr¹ng cìi ngùa tíi mét n¬i ch¨n th¶ gia sóc ë đó có ngời gặp bế tắc việc chia ngựa: Họ có 23 ngựa, theo 1 thoả thuận thì anh A đợc số ngựa, anh B đợc số ngựa, anh C đợc số ngựa Họ không muốn xẻ đôi, xẻ ba ngựa chia nhng lại muốn chia theo đúng tỉ lệ mà ngời đợc hởng Ông trạng đã nghĩ đợc cách chia ngựa cho họ Em có biết cách đó nh nào không? (31) V KÕt qu¶ Nh đã nói, với vốn kiến thức ít ỏi lại đợc học lí thuyết vài tiết nên häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n lµm bµi tËp vÒ phÇn nµy Sau T«i triÓn khai chuyên đề này thì đa số các em tiếp thu tốt và quan trọng là các em biết độc lập chiếm lĩnh kiến thức, chất lợng bài tập học sinh làm tăng lên rõ dệt, mong đợi Cụ thể, kiểm tra học sinh lớp 7A trờng THCS Phùng Hng nh sau: VI XÕp lo¹i Tríc häc Sau häc Giái 3% 30% Vấn đề còn hạn chế Kh¸ 15% 47% Trung b×nh 30% 17% Díi trung b×nh 62% 6% Qua quá trình giảng dạy Tôi thấy học sinh nói chung cần đợc trang bị tri thức phơng pháp thờng xuyên để các em luôn sẵn sàng tiếp cận kiến thức Với phạm vi kiến thức học sinh lớp còn hạn chế nên Tôi cha đề cập tới bài tập mức độ cao §©y lµ m¶ng kiÕn thøc kh¸ réng vµ phæ biÕn, ®a d¹ng vÒ thÓ lo¹i, phøc t¹p vÒ néi dung nªn víi kho¶ng thêi gian h¹n hÑp T«i chØ nªu mét sè d¹ng bài tập Nếu có thể, Tôi đầu t nhiều thời gian để nghiên cứu chuyên đề này sâu VII §iÒu kiÖn ¸p dông Trớc thực chuyên đề này, giáo viên cần nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo có liên quan đến đơn vị kiến thức cần sử dụng Tuỳ theo mức độ nhận thức đối tợng học sinh mà giáo viên triển khai các dạng bài cho phù hợp, dẫn dắt và gợi mở kiến thức thật dễ hiểu để bài học đạt hiệu cao nhÊt Chuyên đề này dành cho tất học sinh khối Nhng các em phải nắm v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cã liªn quan; Cã thÓ t×m hiÓu thªm tµi liÖu tham khảo; Có tâm không ngại bài tập khó, không dừng lại cha tìm đáp ¸n cho bµi ®ang lµm-cïng víi sù dÉn d¾t cña thÇy c« Cuèn s¸ch nhá nµy cã thÓ lµm tµi liÖu cho gi¸o viªn dïng lµm tµi liÖu tham khảo tìm hiểu sử dụng để dạy học mảng kiến thức này, có thể dùng cho học sinh để tự học phần kiến thức này, có thể dùng cho phụ huynh học sinh đọc tham khảo, bất kì bạn đọc nào yêu thích nó VIII KÕt luËn Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, T«i thÊy nÕu gi¸o viªn cã sù ®Çu t nghiªn cøu bài dạy càng kĩ thì hiệu đạt đợc càng cao Tâm huyết với nghề là nh÷ng yÕu tè t¹o nªn thµnh c«ng cña bµi d¹y §øng tríc nh÷ng bµi tËp, kiÕn thøc ë “giíi h¹n gÇn tíi”, häc sinh thêng lóng tóng, hoang mang v× kh«ng biÕt phải làm nh nào; Lúc đó chính là thời điểm để giáo viên xuất cùng với vai trò định hớng, dẫn dắt các em bớc qua khó khăn, gợi mở để các em không làm đợc mà còn làm tốt không bài đó hay kiến thức đó mà bµi, nh÷ng kiÕn thøc kh¸c, cã liªn quan hoÆc kh«ng liªn quan b»ng nh÷ng sù (32) liªn hÖ logic §ã chÝnh lµ c¸ch t duy, kÓ c¶ viÖc n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n, biÕt khai thác và mở rộng kiến thức và đặc biệt là biết cách vận dụng nó Vận dụng nh nào để mang lại hiệu cao nhất! Đó chính là mong muốn thân T«i vµ kh«ng ph¶i chØ cña riªng m×nh T«i Mặc dù đã cố gắng phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này nhng qu¸ tr×nh thùc hiÖn kh«ng tr¸nh khái sai xãt, nhÇm lÉn hoÆc cha khoa học nên Tôi mong nhận đợc lời động viên, ý kiến đóng góp quí báu từ phía ngời đọc để chuyên đề này có thể hoàn thiện nội dung vµ h×nh thøc, còng nh mang l¹i hiÖu qu¶ h¬n n÷a triÓn khai tíi häc sinh Hy vọng đọc giả tìm thấy bổ ích và đạt đợc kết tốt sử dông cuèn tµi liÖu nhá nµy! T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Phïng Hng, ngµy th¸ng 01 n¨m 2009 Ngêi viÕt: Hoµng D¬ng (33) Tµi liÖu tham kh¶o KiÕn thøc c¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n C¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n Nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao chän läc N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n B¸o thÕ giíi ta B¸o to¸n häc vµ tuæi trÎ TuyÓn chän 400 bµi tËp to¸n Toán bồi dỡng đại số Toán nâng cao đại số 10 Bài tập nâng cao và số chuyên đề 11 Ôn kiến thức-luyện kĩ đại số 12.Mét sè s¸ch b¸o tham kh¶o kh¸c NXB HN NXB GD NXB §HSP NXB GD NXB §µ N½ng NXB HN NXB GD NXB GD NXB GD (34)