c Xác định vị trí của D trên AC để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ nhất... Đẳng thức xảy ra khi x=y.[r]
(1)HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 Câu 1: x x y y 12 1 x x 2 a) Giải hệ: y 12 y b) Giải phương trình: 3x x x x 0 Câu 2: A y x a) Cho hai số dương x,y thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN biểu thức: b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x (2m 1) x 3(m 4) x m 12 0 Câu 3: Cho số dương x,y,z thỏa mãn xy yz xz 2 Tính tổng: S x (2 y )(2 z ) (2 x )(2 z ) (2 x )(2 y ) y z x2 y2 z2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm D, vẽ đường tròn tâm O đường kính CD Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) F a) Chứng minh rằng: CA là đường phân giác góc BCF b) Lấy điểm M đối xứng với D qua A, điểm N đối xứng với D qua BC Chứng minh tứ giác BMCN nội tiếp c) Xác định vị trí D trên AC để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ Câu 5: Cho số dương a,b,c Chứng minh rằng: 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: a) ĐK: y 0; y 12 Dễ thấy x=0 không là nghiệm hệ Do đó x 0 1 1 y y 12 x (1) (2) y 12 y x Hệ pt (1)*2-(2) pt: 0 3( y 12)( y 12) y ( y 12) y ( y 12) 0 y 36 y y 12 y 12 Thay vào (1) x 144 ĐS: (144;36) 4 2 b) Ta có: 3x x x x 0 3( x x x ) 2( x x) 0 3( x x) 2( x x) 0 (2) t 1 3t 2t 0 t Đặt t x x , ta phương trình: 1 t 1 x x 0 x + Với 1 t x x 0 3 + Với , vô nghiệm ĐS: x 1 Câu 2: a) Ta có: A ( x 1)( y 1) x y x y x y x y ( x y ) x y xy 1 2 2 2 2 x y x y x y x y xy Ta có BĐT: ( x y ) 4 xy, x, y Đẳng thức xảy x=y Suy ra: xy ( x y ) Ta có: A 1 1 1 9 x y xy ( x y) 2 Do GTNN A b) Nhận thấy x=1 là nghiệm phương trình PT ( x3 x ) (12 x 12) m( x 3x 1) 0 x ( x 1) 12( x 1) m( x 1)( x 1) 0 x 1 ( x 1)( x 12 2mx m) 0 ( x 1)( x 2mx m 12) 0 x 2mx m 12 0 Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt pt : ( x 2mx m 12) 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ( m) (m 12) (m 4)(m 3) m 13 1 2m m 12 0 Câu 3: Thay xy yz xz 2 Ta xét S1 x x m 4; m m 13 (2 y )(2 z ) ( xy yz xz y )( xy yz xz z ) x x2 xy yz xz x [( xy y ) ( yz xz )][( xy y ) z ( xz z )] [y ( x y ) z ( x y )][( y ( x z ) z ( x z )] x ( xy yz ) ( xz x ) y ( x z ) x( x z ) ( x y )( y z )( x z )( y z ) x( y z ) ( x z )( x y ) ( vì x,y,z>0) S x ( y z ) y ( x z ) z ( x y ) 2( xy yz xz ) 4 Tương tự…, ta có: x ĐS: S=4 Câu 4: (3) a) Ta có: + DCF DEF (1) ( góc nội tiếp chắn cung DF) + Tứ giác ABCE có BAC 1v (gt); BEC 1v (góc DEC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ABCE là tứ giác nội tiếp nên : AEB ACB ( góc nội tiếp chắn cung AB) hay ta có DEF DCB (2) Từ (1) và (2) ta có DCF DCB hay CA là phân giác góc BCF b) Ta có tam giác MBD và tam giác NBD là hai tam giác cân B; tam giác DCN cân C o o Nên MBN 2 ABC Khi đó: MBN ACN 2 ABC ACB 2.90 180 Suy MBNC là tứ giác nội tiếp c) Ta thấy BC là dây cố định đường tròn ngoại tiếp MBNC Do đó đường tròn ngoại tiếp MBNC có bán đường kính nhỏ BC góc BMC vuông M A D A Câu 5: 1 + Chứng minh bđt: x y z x y z (*), với x,y,z>0 Đẳng thức xảy x=y=z 1 1 x y z 3 xyz ; 3 x y z xyz Dấu “=” xảy Áp dụng BĐT Cosi cho số dương, ta có: x=y=z 1 1 1 ( x y z )( ) 9 x y z x y z xyz + Áp dụng (*) trên: 3 ( ) a 2b a b b a b Đẳng thức xảy a=b 3 ( ) b 2c b c c b c Đẳng thức xảy b=c 3 ( ) c 2a c a a c a Đẳng thức xảy a=c Cộng vế với vế BĐT trên ta có: 3( 1 1 1 1 1 ) 3( ) a 2b b 2c c 2a a b c a b c (đpcm) Đẳng thức xảy a=b=c (4) (5)