Híng dÉn tr¶ lêi Câu 1: Giáo viên: Hãy dùng kiến thức về căn thức để làm bài tập 1 Häc sinh lªn b¶ng lµm... Hỏi: Em đã dùng kiến thứ nào để làm bài tập trên.[r]
(1)Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp C©u : a) TÝnh A = 1 + √ 2+ √ 2+ √ √ 2− √ 2− √3 2008 2009 2008 vµ b) So s¸nh : 2009 C©u : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 + x + 12 2008 2009 √ x+1 = 36 b) T×m c¸c sè nguyªn x , y cho : y= √ x2 + x+5 C©u : a) BiÕt a , b , c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh ph¬ng tr×nh : x2 + ( a - b - c )x + bc = v« nghiÖm b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; víi x , y , z , t lµ sè tù nhiªn H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M vµ c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña x,y,z,t biÕt r»ng: ¿ x2 − y +t 2=21 x 2+3 y + z 2=101 ¿{ ¿ C©u : Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy điểm C tuỳ ý Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC MN là tiếp chung ngoài hai đờng tròn (M (I ), N ∈(K ) ) ; Cx là tiếp tuyến chung hai đờng tròn a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy điểm D b) Xác định vị trí điểm C trên AB cho tứ giác DMCN có diện tích lớn C©u : Chøng minh r»ng nÕu |a|+|b| > th× ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm 2ax2 + bx +1 - a = Híng dÉn tr¶ lêi C©u : Gi¸o viªn võa híng dÉn võa yªu cÇu häc sinh lµm theo gi¸o viªn a) A= √2 + √2 2+ √ 4+2 √ − √ − √3 ( Nh©n tö vµ mÉu víi √2 ) √2 + √ = √ + √2 2+( √ 3+1) 2−(√ −1) 3+ √3 − √ = √2(3 − √ 3+3+ √ 3) =√ = 9− b)Hỏi: Em nào làm đợc bài này? Ta cã 2008 2009 2009 2008 2009 2008 = 2009 2008 = GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành (2) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG 2009 2009 = Bộ Đề 2008 2009 2008 2008 = = ( 2008 2009 )+ ( Ta thÊy Do đó ) 2009 1 2008 2009 2008 2009 2008 2008 2009 >0 ; suy ( 2008 2009 )+ ( 2008 ) 2009 > 2008 2009 2008 2009 2009 2008 > 2008 2009 VËy C©u : a) Gợi ý: Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm x2 + x + 12 √ x+1 = 36 x(x+1)+ 12 √ x+1 = 36 ĐKXĐ : x −1 §Æt x = t ; ph¬ng tr×nh trë thµnh : ( t2 - )t2 + 12t = 36 t4 - ( t - )2 = ; suy (t2 - t + 6)(t2 + t - 6) = Ph¬ng tr×nh t2 - t + = v« nghiÖm Ph¬ng tr×nh t2 + t - = cã nghiÖm lµ t ❑1 = -3< (lo¹i) t ❑2 = > Với t = thì √ x+1 =2 ; từ đó tìm đợc nghiệm phơng trình là : x=3 b) x + 4x + = (x+2)2 +1 > với x , nên y xác định với x ; từ đó ta có y > B×nh ph¬ng vÕ y= √ x2 + x+5 ta đợc : y2 = (x+2)2 +1 (y + x + 2)(y - x - ) = V× x,y lµ sè nguyªn nªn (y + x + 2) vµ (y - x - ) còng nhËn gi¸ trÞ nguyªn Ta thÊy tæng vµ tÝch cña biÓu thøc nµy lµ d¬ng nªn ta cã : ¿ y + x+ 2=1 y − x − 2=1 ; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1) ¿{ ¿ C©u : a) (1®) Δ = (a-b-c)2 - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac - 2bc = GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành (3) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề = a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b) V× a,b,c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c nªn : <a<(b+c) ; suy a2 < a(b+c) ; đó a2 - a(b+c) < 0 <b<(a+c) ; suy b2 < b(a+c) ; đó b2 - b(a+c) < 0 <c<(a+b) ; suy c2 < c(a+b) ; đó c2 - c(a+b) < Từ đó suy Δ < Vậy phơng trình vô nghiệm ¿ 2 x − y + t =21(∗) 2 b) Tõ hÖ x +3 y + z =101(**) ¿{ ¿ 2 2 2(x + y + 2z + t ) - t = 122 ; ; cộng vế với vế ta đợc : 2 suy M= 122+ t =61+ t ; đó Min M = 61 t = 2 Víi t = tõ (*) suy x - y2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21 Cã trêng hîp x¶y : ¿ x − y=1 x+ y=21 ⇔ + (lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n (**) ) ¿ x=11 y=10 ¿{ ¿ ¿ x − y=3 x + y=7 ⇔ + , thay vào (**) ta tìm đợc z=4 ¿ x=5 y =2 ¿{ ¿ VËy Min M=61 x=5,y=2,z=4,t=0 C©u : a) Gäi D lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN Q lµ giao ®iÓm cña MN vµ Cx Theo tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn ta cã QM=QC=QN ; Từ đó suy Δ MCN vuông A Tø gi¸c DMCN cã gãc vu«ng nªn lµ h×nh ch÷ nhËt ; Mµ Q lµ trung ®iÓm cña MN , suy Q lµ trung ®iÓm cña DC Vậy AM,BN,Cx đồng quy D b) AB Gäi O lµ trung ®iÓm cña AB , Suy DO= =a 2 DC4 S ❑DMCN =DM.DN= DC DC = DC = =¿ DA DB DA DB AB DC GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành x D M Q N I O C B K (4) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề DC3 DC3 a3 a2 ¿ = ≤ = AB 2a 2a ; Từ đó ta có S ❑DMCN lớn a2 DC=a ; lúc đó C O C©u : Gi¶ sö ph¬ng tr×nh v« nghiÖm , ta cã : Δ = b2 - 8a(1-a) < (1) , đó < b2 < 8a(1-a) hay a(1-a) > Từ đó ta có <a < , suy |a| = a Tõ (1) , ta l¹i cã |b| < √ a(1− a) , vËy |a|+|b|< a+2 √ 2a (1− a)=¿ √ a+ √ 1− a ¿2 − = (2) a+2 √ a (1− a)+(1 −a) −1=¿ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có : √ √ a+1 √ 1− a ¿2 ≤(2+1) [ a+(1 −a)] = (3) √ a+ √ 1− a ¿2=¿ ( KÕt hîp (2) víi (3) , ta cã : |a|+|b| < -1 = ; tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Hỏi: Trong bài học hôm các em đã dùng đơn vị kiến thức nào? Häc sinh tr¶ lêi:…… D Bµi tËp vÒ nhµ Bµi Rót gän biÓu thøc A = √ 13+30 √2+√ 9+ √ Bµi Chøng minh r»ng víi x > 0, x 1, biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn: x+ √ x +1 x − √ x +1 x 2+ x √ x − x − √ x − x +√ x x −√ x √ x +1 ( Bµi ) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2x + 1)2(x + 1)x = 105 §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp Baøi Cho hai soá nguyeân döông a vaø b minh raèng a4 – b4 Baøi : a) Ruùt goïn : b) Tính : Baøi : 4 x x 1: 15 10 GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 6 a b không chia hết cho Chứng x 1 15 (5) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Cho a > ; b > Chứng minh : ab > a + b Baøi : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A= x 2 x x x Baøi : Cho điểm M nằm tam giác ABC nhọn Chứng minh : SABC AM.BC + BM.CA + CM.AB -* - HƯỚNG DẪN Baøi : Giáo viên: Các em muốn làm đợc bài toán này chúng ta phải vận dụng tính chất chia hết mà các em đã học lớp Hỏi: Em nào làm đợc bài này? Häc sinh: Suy nghÜ lµm 5 n ; n Ta có bài toán phụ sau : Chứng minh : n4 – Do : n4 – = ( n2 – ).( n2 + ) n chia dư 1 2 n Neáu n chia dö 1 n2 chia dö n2 – Do đó : n4 – Neáu n chia dö 2 n2 chia dö n2 + Do đó : n4 – Áp dụng cho bài toán trên : Do : a4 – vaø b4 – Hỏi: Em hãy cho biết bạn đã dùng kiến thức nào để làm bài tập trên? Baøi : Gi¸o viªn gäi hai em lªn b¶ng lµm Häc sinh lªn b¶ng lµm a) Ruùt goïn : x x 1: x 1 ÑK : x 2; x 1 x x 1: x 1 : GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành x 1 x 1 (6) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG x 1 1: Bộ Đề x 1 1 Neáu x 1 1 Neáu x Neáu x Neáu x 1 Neáu x 1 Neáu x 1 Neáu x Neáu x 15 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 2 b) Tính : 4 2 Baøi : Do a ; b neân a.b 2.b vaø b ; a neân a.b 2.a 1 2 Từ 1 và Ta : a.b a.b 2.a 2.b 2a.b a b a.b a b ÑPCM Baøi : Gi¸o viªn híng dÉn Các em dùng bất đẳng thức sau để làm bài này a b a b GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành (7) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề A x x x x ÑK : x 1 A x 1 x 1 A A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Áp dụng bất đẳngthức a b a b tacó A x 1 1 x x 11 x 1 x 0 A 2 x 1 Vaäy Mim A 2 x 2 Baøi : x 2 x 2 Cho điểm M nằm tam giác ABC nhọn Chứng minh : 4.SABC AM BC + BM CA + CM AB A M E Keùo daøi AM caét caïnh BC taïi A’ B Veõ BE AM taïi E ( E AM ) A' CF AM taïi F ( F AM ) Ta coù : BE AM BA’ AM (1) F CF AM CA’ AM (2) C Laáy (1) + (2) veá theo veá Ta : BE AM + CF AM BA’ AM + CA’ AM Hay : ( BE + CF ) AM AM ( BA’ + CA’) Neân : ( BE + CF ) AM AM BC Do đó ta có tổng diện tích : ( SABM + SACM ) BC AM SABM + SACM BC AM (*) Tương tự ta chứng minh : SABM + SCBM AC BM (**) SACM + SCBM AB CM (***) Coäng veá theo veá (*) , (**), (***) cho ta GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành (8) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề 2(SABM + SACM + SCBM) ( BC AM + AC BM + AB CM ) ( BC AM + AC BM + AB CM ) S ABC S ABC BC AM + AC BM + AB CM ( ÑPCM) D Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: x2 3x y x2 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Bµi Cho a, b ≥ tho¶ m·n : √ a+√ b=1 Chøng minh r»ng: ab(a + b)2 ≤ 64 DÊu b»ng x¶y nµo ? Bàµi3: Cho biÓu thøc 1 a2 + P= + − ( 1+ √ a ) ( − √a ) 1− a3 a) Rót gän P b) Tìm Min P Bài 2: Cho x, y lµ hai sè kh¸c tháa m·n: x2 + y = y2 + x 2 Tính gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P = x + y +xy xy - §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái Bµi 1: Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh bËc hai a.x b.x c 0 cã hai nghiÖm d¬ng x1 ; x2 thì phơng trình cx bx a 0 có hai nghiệm x3 ; x4 đồng thời: x1 x2 x3 x4 4 Bµi 2: Cho a; b; c là các số thực đôi khác Rút gọn biểu thức sau: a b c A a b a c b c b a c a c b 3 Cho c¸c sè thùc d¬ng x; y; z tho¶ m·n: x y z xyz 0 27 2008 B x y y x z x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x x y 0 2 x x x y x x 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 x 3 34 Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d qua O Lấy A và B là hai điểm thuộc d cho OA = OB < R; M lµ ®iÓm tuú ý trªn (O; R) tho¶ m·n OM kh«ng vu«ng gãc víi d đồng thời M không thuộc d Các đờng thẳng MA, Mo, MB Cắt (O; R) lần lợt Q, R, P (kh¸c M) §êng th¼ng PQ c¾t d t¹i S 2 Chøng minh: MA MB AB Chứng minh SR là tiếp tuyến đờng tròn (O; R) Bµi 5: Cho a; b lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n: a + b =1 Chøng minh r»ng: 1 6 a.b a b GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành (9) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề T×m tÊt c¶ c¸c bé sè nguyªn d¬ng x; y; z cho: ph¬ng x y z 2x y lµ sè chÝnh Híng dÉn gi¶i bµi Bµi đáp án Hái: H·y nªu c¸ch lµm cña bµi tËp nµy? Víi x0 > ta cã : 1 c 0 x0 x0 ax02 bx0 c 0 a b Do đó x1 ; x2 là nghiệm dơng PT: a.x b.x c 0 thì : x3 1 ; x4 x1 x2 lµ nghiÖm cña PT: cx bx a 0 x1 x2 x3 x4 x1 Ta cã: x1 Theo B§T c«si: Bµi 1 x2 x1 x2 1 2; x2 2 x1 x2 (V× x1 ; x2 d¬ng) VËy: x1 x2 x3 x4 4 a.(b c ) b(c a) c (a b) A (a b)( a c)(b c) (b c)(b a )(c a ) (c a)(c b)(a b) a(b c) b(c a) c(a b) (a b)(a c)(b c) = Ta cã:a(b-c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = VËy A = 3 2 2.Ph©n tÝch x y z 3xyz ( x y z )( x y z xy yz zx 2 Do x; y; z d¬ng nªn x + y + z > x y z xy yz xz 0 x y z xy yz xz 1 2 x y y z z x 2 MÆt kh¸c: x y z 27 2008 B x y y x z x VËy: Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào để làm bài này? GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành (10) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bµi Bộ Đề x 3x y 0 (1) (2) x x x y x 3 NÕu hÖ cã nghiÖm (x; y) tõ (1) y 2 x x thay vµo (2) x x x 3 Do 2x - 4x + > vµ x x 3 x 2 x 2 x 2 2 2 x x (3) 1x 2 x x x 2 x x x 0 x 2 VËy tõ (3) Với x = thay vào hệ ta đợc y = VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt x = y = 4 t 1 t 1 34 Đặt x - = t, ta đợc phơng trình 2t 12t 34 t 6t 16 0(*) Giải phơng trình (*) ta đợc t 2 t x 2 2; x2 2 Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: M H d S C A Q D .O K II I B E P R Kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö MA > MB Gäi C; D lµ giao ®iÓm cña d víi (O; R) Ta cã CMD 90 Mµ OA = OB < R A vµ B n»m gi÷a C vµ D AMB nhá h¬n CMD AMB lµ gãc nhän KÎ BH vu«ng gãc víi AM th× H n»m gi÷a AvµM (V× MA > MB) Xét tam giác vuông AHB và MHB, theo định lý Pitago ta có: AB AH HB vµ cã HB <MB; AH < MA 2 2 2 VËy MA MB AH HB MA MB AB (®pcm) KÎ QE // d (E MP) Gäi I lµ trung ®iÓm cña PQ vµ K QE MR Ta cã OI PQ ( B¸n kÝnh vu«ng gãc víi d©y t¹i trung ®iÓm cña d©y) Theo GT OA = OB suy KQ = KE ( V× QE // AB) V× K lµ trung ®iÓm cña QE vµ I lµ trung ®iÓm cña PQ nªn IK//PE GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 10 (11) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Do đó: QIK QPE (1) (Hai góc đồng vị) mµ QRM QPM (2) (Cïng ch¾n cung QM cña (O) ) Tõ ( 1) vµ (2) suy QRK QIK suy tø gi¸c QRIK lµ tø gi¸c néi tiÕp Ta có: KQI BSQ (3) ( hai góc đồng vị ) KQI KRI (4) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KI đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QRIK) Tõ (3) vµ (4) suy tø gi¸c SRIQ lµ tø gi¸c néi tiÕp SRO SIO 900 SR OR suy SR lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) Hỏi: Hãy nêu kiến thức đã dùng bài? Ta cã (*) x,y d¬ng 2 x y 4 xy x y 0 ThËt vËy (*) (luôn đúng).Vậy (*)đúng 1 1 2 2ab 2ab a b áp dung (*) ta đợc: Ta cã a.b a b 1 4 2ab a b 2ab a b (V× a; b > vµ a + b = ) mÆt kh¸c VËy Víi x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ta cã 2 x y z 1 x y z x y z 1 MÆt kh¸c: 2 x y z 1 x y z x y z x y z x y Bµi 2 ( x y z 1) x y z x y z x y z x y x y z x y lµ sè chÝnh ph¬ng th× Từ đó suy : 2 x y z x y = x y z suy x = y 2 x y z x y = 2x z lu«n lµ sè chÝnh ph¬ng Víi x = y tuú ý th×: VËy c¸c bé ba sè x; y; z tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ (n; n; k) víi n; k lµ c¸c sè nguyªn tuú ý D Bµi tËp vÒ nhµ Cho biÓu thøc √a − : − P= √ a− a − √a √ a+1 a − a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P a = + √ c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho P < ( )( GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành ) 11 (12) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp Bµi 1: 1) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n: n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x2 +2 ) = √ x +1 Bµi 2: Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: √ x2 +5 + √ x −1 + x2 = √ y 2+5 + Chøng minh r»ng: x = y √ y − + y2 Bµi 3: Gäi a lµ tham sè thùc cho ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 2 ax 2+ x +3 a a T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = + 2 ax + x 2+3 a a Bµi 4: Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng dA, dB, dC, dD cho dA OA, dB OB, dC OC, dD OD Các cặp đờng thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD, dD và dA tơng ứng cắt các điểm K, L, M, N 1) Chøng minh r»ng ba ®iÓm K, O, M th¼ng hµng 2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m Tính độ dài ON theo k, l, m Híng dÉn gi¶i Bµi 1.1 Hỏi: Khi nào đựơc gọi là số chính phơng? Häc sinh: Sè chÝnh ph¬ng lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn Häc sinh len b¶ng lµm Gi¶ sö tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng th× n2 + 2006 = m2 víi m lµ sè tù nhiªn => (m-n)(m+n) = 2006 (*) Khi đó: - nÕu m vµ n kh¸c tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) lÎ M©u thuÉn víi (*) - nÕu m vµ n cïng tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) chia hÕt cho 4, nhng 2006 kh«ng chia hÕt cho Còng m©u thuÉn víi (*) Tóm lại giả sử trên không đúng VËy kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi 1.2 Hỏi: Hãy nêu điêù kiện xác định phơng trình? Häc sinh: §K: x3 + (*) GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 12 (13) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=> ( x2 +2 ) = √ (x+ 1)(x − x+ 1) Hỏi: Em hãy đặt ẩn phụ để giải phơng trình này? Häc sinh: §Æt √( x +1) = u; √( x − x+1) = v (1) => u2 + v2 = x2 + Khi đó (1) trở thành: 2(u2 + v2) = 5u.v => u = 2v ; u = v/2 5+ √ 37 Thö vµ thÊy c¸c gi¸ trÞ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) Thay vào (1); giải các phơng trình; tìm đợc: x = 5+ √ 37 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x = − √ 37 vµ x = vµ x = − √ 37 Bµi Giáo viên hớng dẫn: Biến đổi đa phơng trình dạng tích Gi¶ sö cã x, y tho¶ m·n √ x2 +5 + √ x −1 + x2 = √ y 2+5 + √ y − + y2 => x 1; y - NÕu x=1=y th× x = y (®pcm !) - Nếu x, y không đồng thời = thì cách nhân với BT liên hợp, đợc: √ x2 +5 + √ x −1 + x2 = √ y 2+5 + √ y − + y2 <=> <=> ( √ x2 +5 - √ y 2+5 ) + ( √ x −1 - √ y − ) + (x2 - y2) = <=>(x2- y2)/( √ x2 +5 + √ y 2+5 ) +(x - y)/( √ x −1 + √ y − )+(x2-y2) = <=> (x - y).((x+y)/( √ x2 +5 + √ y 2+5 ) +1/( √ x −1 + √ y − ) +x+y)= <=> x - y = <=> x = y (v× : (x+y)/( √ x2 +5 + √ y 2+5 ) + 1/( √ x −1 + √ y − ) + x + y > 0) Vậy x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y Chó ý: Cã thÓ ch/m x = y b»ng c¸ch lo¹i trõ c¸c kh¶ n¨ng x < y; x > y Bµi Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm Do ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 nªn ta cã : 9a2 + 4a > (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = ; x1 + x2 = 3a => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) Khi đó: A = ax 2+ x +3 a a2 + ax +x 2+3 a a2 = a2 a 2+ a + a2 +4 a a2 Theo (1) thì 9a2 + 4a > nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A A = <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2 DÔ kiÓm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1/2 Vậy Anhỏ = 2, đạt đợc a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2 1) Häc sinh lªn b¶ng vÏ h×nh Giáo viên gọi ý để học sinh trả lời ý Hái: Muèn chøng minh ®iÓm th¼ng hµng ta cÇn chøng minh ®iÒu g×? GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 13 (14) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Học sinh: để chứng minh điểm thẳng hàng ta chứng minh góc tạo điểm đó góc bÑt Hỏi: Em nào chứng minh đợc điều này? Häc sinh: Lªn b¶ng lµm: DÔ thÊy AKBO, BLCO, CMDO vµ DNAO lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp vµ c¸c ®o¹n th¼ng OA, OB, OC, OD t¬ng øng lµ ph©n gi¸c c¸c gãc A, B, C, D cña tø gi¸c ABCD Cã ÐKOL + ÐLOM = p - ÐOKB - ÐOLB + p - ÐOLC - ÐOMC = p - ÐBAO - ÐBCO + p - ÐCBO - ÐCDO = 2p - ( ÐA + ÐB + ÐC + ÐD )/2 = 2p - p = p Từ đó suy các điểm K, O, M thẳng hàng Giáo viên: Chứng minh tơng tự nh trên ta đợc ba điểm naof thẳng hàng? Học sinh: Chứng minh tơng tự ta đợc ba điểm N, O, L thẳng hàng Gi¸o viªn cho häc sinh lªn b¶ng lµm Häc sinh lªn b¶ng lµm Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng Ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp ThËt vËy, cã: ÐNKL + ÐNML = ÐAKO + ÐOKB + ÐDMO + ÐOMC = (1/2).( ÐA + ÐB + ÐC + ÐD ) = 2p Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l Giáo viên chột lại: Hãy nêi kiến thức đã dùng bài hôm nay? D Bµi tËp vÒ nhµ Gi¸o viªn chÐp lªn b¶ng bµi tËp vÒ nhµ cho häc sinh chÐp vµo vë ghi Ba× 1: Cho a > b > tháa m·n: 3a2 +3b2 = 10ab a− b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = a+ b Bµi 2: Cho x > y > vµ 2x2 +2y2 = 5xy x−y TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E = x+ y Bµi 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = vµ xyz TÝnh gi¸ trÞ cñ biÓu thøc: yz xz xy + 2+ M= x y z GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 14 (15) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp Bài Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị nào x,y thì M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó? Bµi Chøng minh r»ng Bµi Gi¶i ph¬ng tr×nh (n 1) n 2 víi mäi n N* 2 a/ x x 10 + x x 18 = 6x -5-x2 b/ 2( x 2) 5 x Bài Chứng minh x, y, z, √ x + √ y + √ z là các số hữu tỉ thì √x , √ y , √ z còng lµ c¸c sè h÷u tØ Bµi 1/ Chứng minh đởng thẳng không qua gốc toạ độ, cắt trục hoành điểm có hoành độ a, cắt trục tung điểm có tung độ b thì đờng thẳng đó có dạng x y 1 a b 2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = a/ Chứng minh đờng thẳng luôn qua điểm cố định với m c/ Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn Bài Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a, AOH a/ TÝnh c¸c c¹nh tam gi¸c AKB theo a vµ b/ Tính các cạnh các tam giác OKA và AKB theo a và Từ đó biểu diễn sin2 , cos2 theo sin , cos Bµi : Cho h×nh vu«ng ABCD O lµ mét ®iÓm thuäc miÒn h×nh vu«ng cho OA : OB : OC = : : TÝnh sè ®o gãc AOB ? Híng dÉn tr¶ lêi Hái : H·y nªu c¸ch t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ? Học sinh : Ta phải chứng minh biểu thức đó lớn số Häc sinh lªn b¶ng lµm GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 15 (16) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Bµi Ta cã: M = (x2 – 2x + 1) + (y2 + xy + 1) + xy – x – y + + 2008 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + y−1 ¿ ( x − 1)+¿ ¿ y − 1¿ + 2008≥ 2008 ¿ ¿ y −1 ¿ ¿ y − 1¿ 2+ 2008 = ¿ ¿ (x – 1)(y – 1) + 2008 = (x – 1)2 + trÞ nhá nhÊt lµ 2008 y−1 =0 y −1=0 { x −1+ ⇔ VËy M cã gi¸ x = y=1 Bµi Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh c«ng htøc sau §Ó ý r»ng: < k 1 = √ =√ k − k k +1 k (k +1) (k +1) √ k ( ) = √k ( 1 − √ k √ k +1 )( 1 + √k √ k +1 ) ( √1k − √ k1+1 ) √2k =2( √1k − √ k+1 ) √k Gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lªn b¶ng lµm Häc sinh lªn b¶ng lµm Do đó : √1 <2 ( √11 − √12 ) Céng c¸c b®t trªn, ta cã: ; √2 + <2 √ √1 ( √12 − √13 ) ; + + 1 <2 − (n+1) √n √ √ n+1 ( 1 <2 1− <2 (n+ 1) √ n √ n+1 ( ) ) (®pcm) Bµi : Giáo viên gợi ý học sinh làm bài Dùng tính chất đối nghịch để làm bài này Ta chøng minh mét vÕ kh«ng lín h¬n mét vÕ kh«ng nhá h¬n a) Ta cã VT Kh«ng lín h¬n 4, VP kh«ng nhá h¬n , vËy pt tr×nh cã nghiÖm vµ chØ hai vế cùng Từ đó ta tìm đợc x = 2( x 2+ 2)=5 √ x +1⇔ ( x +1+ x − x+1 ) =5 √ ( x +1 ) ( x − x +1 ) Hãy dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm ! Häc sinh lªn b¶ng lµm b) Ta cã √ x+1=a ; √ x2 − x +1=b víi a, b §a pt vÒ d¹ng ( a2 +b2 ) =5 √ ab ⇔4 ( a+b )2=25 ab ⇔ ( a −b )( a − 2b )=0 §Æt Giải pt ta tìm đợc x = 5+ √ 37 vµ x = − √ 37 Bµi 4: Gi¸o viªn võa ch÷a võa hìng dÉn cho häc sinh GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 16 (17) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG §Æt t = Bộ Đề √x + √ y + √ z √x + √ y = √ z - t ⇒ x + y + Q, Ta cã: √ xy = z + t2 – 2t √ z ⇒ ⇒ 4xy = (x + y + z – t2)2 + 4t2 + 4t (x + y – z – √ xy = - x – y + z + t2 - 2t √ z √z t2) ⇒ (x + y + z – t2)2 + 4zt2 – 4xy = 4t (t2 – x –y – z) NÕu t = : √z = √z √x + √ y + √ z = ⇒ x = y = z = ⇒ {xy=0 z=0 √x = √ y = Q NÕu t2 – x – y + z = 0, t =0 ⇒ √z ⇔ x=0 ¿ y=0 ¿ ¿ z =0 ¿ ¿ ¿ ¿ 0: th× √ xy = - 2t √ z ⇒ x=0 ; z=0 ; √ y=t ¿ y=0 ; z=0; √ x=t ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ √ xy + t √ z ⇒ √x , √ y , Q * NÕu t ( t2 – x –y + z) √z = 2 t − x − y + z ¿ + zt − xy ¿ ¿ t (t − x − y+ z) ∈ ¿ ¿ ¿ Q Q LËp luËn t¬ng tù, ta suy ra: √ x , √ y Bµi Gi¸o viªn: H·y nªu c¸ch lµm bµi nµy? 1) Gọi đờng thẳng cần xác định là y = mx + n §êng th¼ng ®i qua ®iÓm (0 ; b) nªn : b = m.0 + n ⇒ n = b §êng th¼ng ®i qua ®iÓm (a ; 0) nªn: = m.a + b ⇒ m = − Đờng thẳng cần xác định có dạng: y = - b (chó ý r»ng a a 0) b y x x y x +b hay =− +1 tøc lµ + =1 a b a a b 2a) Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (1) qua điểm cố định N(xo,yo) lµ: (m – 2)xo + (m – 1)yo = víi mäi m ⇔ mxo – 2xo + myo – yo – = víi mäi m ⇔ (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = víi mäi m ⇔ GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành ¿ x o + y o =0 x o + y o+ 1=0 ⇔ ¿ x o=−1 y o=1 ¿{ ¿ 17 (18) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Vậy các đờng thẳng (1) luôn qua điểm cố định N (-1; 1) b) Gọi A là giao điểm đờng thẳng (1) với trục tung Ta có: x = ⇒ y = , m−1 |m− 1| đó OA = Gọi B là giao điểm đờng thẳng (1) với trục hoành Ta có: y = ⇒ x = , đó m−2 |m− 2| Gọi h là khoảng cách Từ O đến đờng thẳng (1) Ta có: OB = 1 m− ¿ + ≥ 2 2 m− 2¿ =2 m −6 m+5=2¿ m −1 ¿2 +¿ 1 = + =¿ 2 h OA OB Suy h2 max h = √ vµ chØ m = Bµi O O K a) Ta cã BAK = AOH = α Tõ tam gi¸c vu«ng OHA, ta cã AH = OAsinα = asinα vËy B A AB = 2asinα , mÆt kh¸c tam gi¸c vu«ng AKB th× AK = AB cosα suy AK = H 2a.sinα.cosα vµ BK = AB.sinα nªn BK = 2a.sin2α b) Víi tam gi¸c OKA : AK = OA sin AOK nªn AK = asin2α OK = OAcos AOK nªn OK = acos2α - Víi tam gi¸c AKB ta cã : AK = asin2α mµ BK = OB – OK= a – acos2α hay BK = a(1 – cos2α) Theo Pitago th× AB2 = AK2 + BK2 = a2sin22α + a2(1 – cos2a2) = a2 [ sin2 α +(1− 2cos 2α +cos 2 α )] V× sin22α + cos22α = nªn AB2 = a2(1 + – 2cos2α) = 2a2(1 - cos2α) - So s¸nh gi¸ trÞ cña AK, ta cã asin2α = 2a.sinα cosα vËy sin2α = 2sinα.cosα - So s¸nh gi¸ trÞ cña BK ta cã: 2a.sin2α = a(1 – cos2α) hay cos2α = – 2sin2α K x B C GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 18 (19) D A Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Hỏi: Em đa dùng kiến thức nào để làm bài này? Bµi Dựng tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng không chứa điểm O với bờ là đờng thẳng BC cho xBC = ABO Trªn tia Bx lÊy ®iÓm K, cho BK = BO Do BOK lµ tam gi¸c vu«ng c©n nªn BKO = 45o Tõ D ABO = D CBK, suy KC = OA §Æt OA = a v× OA : OB : OC = : : nªn CK = a ; OB = BK = 2a, OC = 3a Trong tam gi¸c vu«ng OBK ta cã OK2 = OB2 + BK2 = 8a2 V× vËy OK2 + CK2 = 8a2 + a2 = 9a2 MÆt kh¸c OC2 = 9a2 nh vËy, OC2 = OK2 +KC2 Theo định lí Pitago đảo thì DOKC vuông K hay OKC = 90o Vì CBK= ABO và BCK = BAO, các góc này nhọn, nên K thuộc phần mặt phẳng giới hạn hai đờng thẳng song song AB và CD.Từ đó BKC = BKO + OKC = 45o + 90o = 135o Vì BKC = AOB suy AOB = 135o Hỏi: Hãy nêu kiến thức đã dùng bài? D Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a b c P = 1+ 1+ 1+ b c a Bµi 2: a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho c¸c sè x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = vµ x3 + y3 + z3 = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = x2007 + y2007 + z2007 Bµi 3: Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = a4 + b4 + c4 ( )( )( ) §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp Baøi Cho biểu thức: ( P= 1+ √a : √a − ) ( a+1 √ a −1 a √ a+ √ a− a −1 ) a Ruùt goïn P b Cho a=19− √ Tính P Baøi 2: GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 19 (20) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề 1 0 2 Cho a b c 1 vaø a b c Chứng minh rằng: a b c 1 Baøi 3: Tính toång 1 S 1 2 1680 1681 Baøi 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức: AB2 AC2 2.AM BC2 Baøi 5: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các cạnh AD, BC Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD M, N Chứng minh MA.NC = MB.ND Híng ®Én tr¶ lêi Baøi ( P= 1+ Cho biểu thức: √a : √a − ) ( a+1 √ a −1 a √ a+ √ a− a −1 ) b Cho a=19− √ Tính P Giáo viên: hãy nêu điều kiện xác định biểu thức? Häc sinh tr¶ lêi a Ruùt goïn P ÑK: a 0,a 1 Gi¸o viªn: Em nµo lµm ®-îc bµi bµi nµy? Häc sinh lªn b¶ng lµm a/ Ta coù: a a a a a (a 1) (a 1) (a 1)( a 1) a a 1 a a 1 a 1 a a P : : a a a (a 1).( a 1) (a 1).( a 1) (a a 1).(a 1).( a 1) a a (a 1).( a 1) a1 b/ Ta coù: a 19 4 19 P 3 24 4 3 4 3 3 9 3 1 19 1 24 4 3 3 72 24 27 27 45 15 Baøi 2: GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 20 (21) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Giáo viên: Hãy dùng giả thiết để làm bài này 1 0 2 Cho a b c 1 vaø a b c Chứng minh rằng: a b c 1 2 a b c a b c a b c a b c 2(ab bc ca) 1 Xeùt 1 ab bc ca 0 0 ab bc ca 0 abc Và từ a b c 2 Suy a b c 1 Baøi 3: Tính toång 1 S 1 2 1680 1681 Giáo viên: Hãy dùng công thức tổng quát để tính tổng? Em nào biến đổi đợc công thức tổng quát bài này? Học sinh lên bảng biến đổi công thức tổng quát và làm bài tập trên Ta coù: 1 S 1 2 1680 1681 21 3 1681 1680 1681 41 40 Baøi 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức: BC2 AB AC 2.AM 2 2 A B Giáo viên: Gợi ý: Hãy vẽ đờng cao AH Häc sinh lªn b¶ng lµm Vẽ đường cao AH, ta có: AB2 = AH2 + HB2 AC2 = AH2 + HC2 H M C AB2 AC2 2AH HC2 HC2 2 AM HM BM HM HM MC 2AM 2HM BM HM 2BM.HM HM MC2 2HM.MC AB2 AC2 2.AM Vaäy Baøi 5: BC2 GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 21 (22) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các cạnh AD, BC Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD M, N Chứng minh MA.NC = MB.ND M N B F Veõ AG // BC, DH // BC G, H EF C H suy AG // DH D MAA AG E DMAG coù BF // AG neân MB BF (heä quaû ñlí Talet) G ND HD DNDH coù FC // DH neân NC FC (heä quaû ñlí Talet) Xeùt DEAG vaø DEDH coù: AEG DEH, AE DE(gt), EAG EDH (do AG // DH), DEAG DEDH g.c.g Do đó AG HD MA ND Maø BF = FC (gt), neân MB NC Vaäy MA.NC = MB.ND Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào để làm bài này? Häc sinh tr¶ lêi…… D Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng th¶o m·n ®iÒu kiÖn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a2007 + b2007 x3 y3 + 3 a b Bµi 3: Cho a + b + c = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Bµi 2: Cho x y xy + =1 vµ =−2 TÝnh a b ab P= 1 + + 2 b +c − a a+c − b a+ b2 − c 2 x4 y4 ; x2 + y2 = Ch÷ng minh r»ng: + = a b a+b a) bx2 = ay2; Bµi 4: Cho GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 22 (23) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG b) Bộ Đề a+b ¿1004 ¿ x 2008 y 2008 + = a1004 b 1004 ¿ §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp Bµi 1: x 1 x x x 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a vµ c th× ta cã: 1 a b b c c a Bµi 2: y T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 3x x2 1 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x y 3xy x y 0 Bµi 3: Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với E là ®iÓm bÊt k× trªn cung AD Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N OM ON Chøng minh r»ng tÝch AM DN lµ mét h»ng sè Suy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng OM ON AM DN , đó cho biết vị trí điểm E ? Gọi GH là dây cung cố định đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi cña tam gi¸c GHK lín nhÊt Híng dÉn tr¶ lêi Bµi 1.1 GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 23 (24) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Giáo viên: Em nào làm đợc bài này? Gợi ý: Các em đa phơng trình trên phơng rình trị tuyệt đối Häc sinh lªn b¶ng lµm x 1 x x1 x 2 (1) 2 2 y y 2 y x 0; x 0 (2) (1) x x 2 4 x1 x y 1: y 0, y , nªn (2) y y 2 y 1 (tho¶ §K) x 1 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) y 3 : y 0, y 0 , nªn pt (2) y y 2 y 0 đó pt (2) có vô số nghiệm y ( y 3 ), suy pt (1) có vô số nghiệm x ( x 81 ) y : y 0, y , nªn pt (2) y y 2 y 3 , pt v« nghiÖm S 1; 81 VËy tËp nghiÖm cña pt (1) lµ: Gi¸o viªn: H·y nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n Học sinh đứng chỗ nhận xét bài làm bạn 1.2 Giáo viên: gợi ý: Các em biến đối vế trái vế phải Häc sinh lªn b¶ng thùc hiÖn 1 a b b c c a 1 a b c a c a A Ta cã: a b c a b Theo gi¶ thiÕt: c a b c c a b c b a b a a b b c c a b a b c c a A b c c a b c c a c a b a b a c a c 2b b a c b , nªn: b a a b b c b b A c a (*) b c c a c Đẳng thức (*) đợc nghiệm đúng Bµi 2.1 Gi¸o viªn: Gäi häc Ýnh lªn b¶ng lµm GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 24 (25) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Học sinh lên bảng làm: Nếu học sinh dùng cách đa dạng quen thuộc đã làm thì giáo viên giíi thiÖu c¸ch lµm sau ®©y Dïng c«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b¹c hai y x2 3x x (xác định với x R ) y 1 x x y 0 (**) y 1: pt (**) cã nghiÖm x y 1: để pt (**) có nghiệm thì: D 9 4( y 1)( y 5) y 24 y 11 0 25 5 11 y 3 0 y y y y 1 2 2 11 11 Max y ; Min y ; 2 VËy tËp gi¸ trÞ cña y lµ , đó 2.2 Giáo viên: Hãy sử dụng công thức nghiệm phơng trình bậc hai để làm §Ó cã nghiÖm nguyªn th× ®en ta cña ph¬ng tr×nh bËc hai ph¶i nh thÕ nµo? Häc sinh: §en ta ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng Hái: ThÕ nµo lµ sè chÝnh ph¬ng? Häc sinh lªn b¶ng lµm x y xy x y 0 x y x y y 0 (***) §Ó pt (***) cã nghiÖm nguyªn theo x, th×: D y y y y y lµ sè chÝnh ph¬ng y y k k Z y k 12 ( y k )( y k ) 12 ( a) Ta cã: Tæng y k ( y k ) 2(k 2) lµ sè ch½n, nªn y k ; ( y k) cïng ch½n hoÆc cïng lÎ Mµ 12 chØ cã thÓ b»ng tÝch 1.12 hoÆc 2.6 hoÆc 3.4, nªn chØ cã c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: y k 2 y k 6 y k y k ; ; ; ; y k 6 y k 2 y k y k Gi¶i c¸c hÖ pt trªn ta cã c¸c nghiÖm nguyªn cña pt (a): y 2; k 2 , y 2; k , y 6; k 2 , y 6; k Thay c¸c gi¸ trÞ y 2; y vµo pt (***) vµ gi¶i pt theo x cã c¸c nghiÖm nguyªn (x; y) lµ: ( x 1; y 2), ( x 3; y 2); ( x 11; y 6), ( x 9; y 6) Gi¸o viªn: H·y nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n? Häc Ýnh nhËn xÐt s¶ sai nÕu cã Bµi 3.1 GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 25 (26) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Gi¸o viªn cho häc sinh lªn b¶ng vÏ h×nh vµ ghi gi¶ thiÕt kÕt luËn cña bµi to¸n Häc sinh lªn b¶ng lµm theo yªu cÇu cña gi¸o viªn Gợi ý: Các em dùng kiến thức tâm giác đồng dạng để chứng minh Häc sinh lªn b¶ng chøng minh Ta cã: DCOM DCED v×: E 900 C O ; chung Suy ra: OM CO ED.CO OM (1) ED CE CE Ta cã: DAMC DEAC v×: chung C , A E 45 Suy ra: AM AC EA AC AM (2) EA EC CE OM OC.ED ED (3) AM AC EA EA Tõ (1) vµ (2): O E 90 ; B chung DONB EAB ON OB OB.EA ON (4) EA EB EB chung , D E 450 ) DN DB DN DB.ED (5) DDNB DEDB ( B ED EB EB ON OB.EA EA OM ON (6) ED Tõ (4) vµ (5): DN DB.ED Tõ (3) vµ (6): AM DN §Æt OM ON , y AM DN Ta cã: x, y kh«ng ©m vµ: y x x x y xy 0 x y 2 xy 2 2 x y x y xy DÊu "=" xÈy khi: GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 26 (27) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề OM ED OM ON EA ED AM EA VËy: Tæng AM DN E lµ trung ®iÓm cña d©y cung AD Nêú học sinh không làm đợc cho học sinh suy nghĩ trao đổi và tìm hớng giải bài tốaêụhc sinh thảo luận theo nhóm hai ngời để tìm lời giải 3.2 Hỏi: Chi vi tam giác GKH đợc tính theo công thức nào? Hỏi: Chu vi đó lớn nào? Häc sinh lªn b¶ng lµm DGKH có cạnh GH cố định, nên chu vi nó lớn tổng KG KH lớn Trên tia đối tia KG lấy điểm N cho KN = KH Khi đó, DHKN cân K Suy 1 GNH GKH vµ KG KH KG KN GN 1 GKH GH mµ (góc nội tiếp chắn cung nhỏ GH cố định), đó GNH không đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới góc 1 GOH không đổi GN là dây cung cung tròn (O') nên GN lớn GN là đờng kính cung tròn, suy DGHK vuông H, đó KGH KHG (vì lần lợt phụ với hai góc nhau) Khi đó, K lµ trung ®iÓm cña cung lín GH VËy: Chu vi cña DGKH lín nhÊt K lµ trung ®iÓm cña cung lín GH Giáo viên: Em hãy nêu kiến thức đã dùng bài này? D Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Cho a + b + c = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 2: Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị biểu thức a2 b2 c2 P= + + (a − b)(a −c ) (b− c )(b −a) (c − b)(c −a) GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 27 (28) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x 4 y y 4 x Chứng minh a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức: a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a Th× | a | | b | | c | Bµi 2: Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích là số nguyên gồm chữ số, đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống A, B, C là nhóm ba ngời thân thuộc Cha A thuộc nhóm đó, gái B và ngời song sinh C nhóm đó Biết C và ngời song sinh cña C lµ hai ngêi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ cña B Hái ba ngêi A, B, C lµ ngêi kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi ? Bµi 3: Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với Đờng tròn (O1) nội tiếp tam giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với cạnh OB và OD tam giác OBD và tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với cạnh OB và OC tam giác OBC và tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R Híng dÉn tr¶ lêi Bµi 1.1 Giáo viên: hãy nêu điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm? Học sinh đứng chỗ trả lời x 3 x 4 y y 3 (*) y 4 x Điều kiện để hệ có nghiệm là: GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 28 (29) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Giáo viên : Với điều kiện trên em nào giải đợc hệ phơng trình này ? Häc sinh lªn b¶ng lµm x 4 y x 4 y (a) 4 y 4 x x y 4( x y ) 0 (b) Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: (b) x y x y x y 0 x y 0 x y (v× x, y nªn Thay vµo (a): x y x y ) x 4 y x x 0 x x 1 0 x 1 x x x 3 0 x 1 x x 3 0 x 1 v× x x x 1 So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: x y 1 x 1 VËy hÖ Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : y 1 Nừu học sinh không làm đợc giáo viên gợi ý ý để học sinh trả lời 1.2 Gi¸o viªn: H·y nªu ®iÒu kiÖn tån t¹i cña bµi tãan Học sinh đứng tịa chỗ trả lời §iÒu kiÖn: a b; b c; c a Giáo viên: Em nào làm đợc bài toán này? Häc sinh suy nghÜ tr¶ lêi Ta cã b2 a2 b2 c2 c2 a2 a b2 b2 c c2 a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a 0 a2 b2 c2 b2 c2 a2 Suy ra: a b b c c a a b b c c a a2 b2 c2 c2 a2 b2 Do đó: a b b c c a a b b c c a a c a 2b c b a b c a2 c2 b2 a c b2 0 0 a b b c c a a b b c c a 2a c 2a 2b 2c 2b a b c a b b c c a GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 0 29 (30) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề a 2a c c a 2a 2b b b 2b 2c c 0 2 a b b c c a a b2 b c2 c a2 a b 0 0 b c 0 c a 0 a b c | a | | b | | c | Giáo viên chốt lại: Để chứng minh đẳng thức ta thờng chuyển bên để bên là số biến đổi bên còn lại tổng các bình phơng và sử dụng kiến thức sau A2 + B2 + C2 = A = vµ B = vµ C = Bµi 2.1 Giáo viên: Em nào giải đợc bài tóan này? Häc sinh suy nghÜ tr¶ lêi Gi¸o viªn: Theo gi¶ thiÕt diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã d¹ng Gi¸o viªn: H·y t×m ®iÒu kiÖn cña k? Häc sinh tr¶ lêi S abbb k k 0, k Z 1000 k 9999 33 k 99 , nªn k chØ gåm ch÷ sè: k xy 10 x y k 100 x 20 xy y x 9;0 y 9 Nếu y lẻ: y 1;3;5;7;9 y 1;9; 25; 49;81 b 1;5;9 Khi đó 2xy có chữ số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục k phải là số chẵn khác với 1; 5; 9, đó S không thể là abbb NÕu y ch½n: y 0; 2; 4;6;8 y 0; 4;16;36;64 b 0; 4;6 Víi y = 0: k chØ cã thÓ lµ 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n 2 Với y = 2: k 100 x 40 x Khi đó x có thể là thì chữ số hàng chục k là 4, suy k 3600 244 3844 abbb Với y = 4; 6: y 16;36 , đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục k2 phải là số lẻ, đó không thể 6, nghĩa là k abbb 2 Với y = 8: y2 = 64; k 100 x 160 x 64 , đó x có thể là thì chữ số hàng 2 2 chôc cña k2 míi b»ng 4, suy k 38 1444 hoÆc k 88 7744 (kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n) GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 30 (31) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Vậy: bài toán có lời giải nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh k 38 và diện tích S 1444 §©y lµ bµi to¸n dïng nhiÒu kiÕn thøc vÒ sè häc nÕu häc sinh cßn b¨n kho¨n gi¸o viªn võa gi¶i vừa gợi ý cho học sinh để học sinh tìm lời giải 2.2 Giáo viên: Vừa làm vừa đặt câu hỏi cho học sinh làm theo Häc sinhlµm theo yªu cÇu cña gi¸o viªn Theo gi¶ thiÕt, cha cña A cã thÓ lµ B hoÆc C: NÕu B lµ cha cña A th× C kh«ng thÓ song sinh víi A, v× nÕu nh thÕ th× C lµ cña B, tr¸i gi¶ thiết, đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C là phái nữ Mặt khác, gái B không thể là C nên phải là A, đó A là phái nữ Vậy B khác giới tính với hai ngời còn lại là A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷) NÕu C lµ cha cña A th× C chØ cã thÓ lµ song sinh víi B, theo gi¶ thiÕt B ph¶i lµ ph¸i n÷ MÆt kh¸c, g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C (gt) nªn ph¶i lµ A, suy C vµ B lµ vî chång chø kh«ng phải là song sinh, dẫn đến mâu thuẫn VËy chØ cã nhÊt trêng hîp B lµ cha cña A vµ B kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷) Giáo viên chốt lại: đây là bài tóan dùng phơng pháp phản chứng để làm, phơng pháp này hay dïng cho nh÷ng bµi to¸n khã vµ kh¶ n¨ng x¶y cña nã cØ cã hai trêng hîp Bµi Gi¸o viªn cho häc sinh lªn b¶ng vÐ h×nh vµ ghi gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn Häc sinh lªn b¶ng lµnm theo yªu cÇu cña giao viªn + Giáo viên: Gọi r là độ dài bán kính đờng tròn (O1) H·y tÝnh r theo R? Häc sinh lªn b¶ng lµm Ta cã: SDACD pr R2 AC CD r R R 1 r GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 31 (32) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề R r 1 Gi¸o viªn cho häc sinh lÇn lît lµm c¸c phÇn cßn l¹i Cã mét sè kiÕn thøc míi gi¸o viªn giêi thiệu cho học sinh trớc để học sinh có đủ kiến thức để làm bài tập Häc sinh lµm theo yªu cÇu cña gi¸o viªn Suy nghÜ tr¶ lêi chÝnh x¸c NÕu khã häc sinh cã thÓ bµn luËn theo nhãm hai ngêi dÓ t×m lêi gi¶i cho bµi tãan + §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi OB vµ OD nªn t©m O2 ë trªn tia ph©n gi¸c cña gãc BOD , (O2) lại tiếp xúc với (O) nên tiếp điểm T chúng trên đờng thẳng nối tâm O và O2, chÝnh lµ giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c gãc BOD víi (O).+ §êng th¼ng qua T vu«ng gãc víi OT cắt tia OB và OD B' và D' là tiếp tuyến chung (O) và (O 2) Do đó (O2) là đờng tròn nội tiếp DOB ' D ' + DOB ' D ' có phân giác góc O vừa là đờng cao, nên nó là tam giác vuông c©n vµ B ' D ' 2OT 2 R, OB ' OD ' R , suy ra: DOB ' D ' DACD R r 1 + VËy: B¸n kÝnh cña (O2) còng b»ng + Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với qua AB nên (O3) (O2), nên bán R r 1 kÝnh cña (O3) còng b»ng + §êng trßn (O4) cã hai trêng hîp: a) Trêng hîp 1: (O4) ë bªn tr¸i (O1): KÎ tiÕp chung cña (O4) vµ (O1) t¹i tiÕp ®iÓm K c¾t AC vµ AD t¹i E vµ F CO vµ CA lµ cßn lµ tiÕp tuyÕn cña (O 1), nªn chu vi cña CEF b»ng 2CO, suy nöa chu vi cña nã lµ p = R CO1 R r Ta cã: CK CO1 O1 K R 42 1 R 42 R 1 1 KF O1O tg 22030 ' KF KC CO 1 R SCEF CK KF R R 42 1 42 1 2 42 1 R r4 Suy bán kính đờng tròn (O4) là: GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 42 1 32 (33) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Giáo viên chốt lại kiến thức đã dùng buổi học và lu ý cho học sinh kiÕn thøc träng t©m hay dïng lµm bµi tËp Häc sinh cã thÓ ghi nh÷ng kiÕn thøc cµn thiÕt vµo vë ghi D Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Cho c¸c sè d¬ng x, y ,z th¶o m·n: ¿ xy + y + z=3 yz + y + z=8 zx + x+ z=15 ¿{{ ¿ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = x + y + z Bµi 2: Cho c¸c sè x, y, z tháa m·n ph¬ng tr×nh: ¿ x 2+ y 2+ z 2=1 x 3+ y3 + z 3=1 ¿{ ¿ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = xyz §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp Câu 1: So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng) và Câu 2: Giải phương trình sau: x x 0 A Câu 3: Tìm giá trị nhỏ x2 x2 1 Câu 4: Giải hệ phương trình: 2x2 + 3y = 3x2 - 2y = Câu 5: Lớp 9A có 56 bạn, đó có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ - Số các bạn bạn nam, các bạn nữ chia vào các tổ - Số người tổ không quá 15 người không ít chín người Em hãy tính xem cô giáo có thể xếp nào và có tất tổ ? Câu 6: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 33 (34) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên đường tròn b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) CM.CN = 2R2 d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển đâu ? Câu 7: Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn (O, R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào? Híng dÉn tr¶ lêi Câu 1: Giáo viên: Hãy dùng kiến thức thức để làm bài tập Häc sinh lªn b¶ng lµm Giả sử > 2 2 2 18 12 (BĐT đúng) Hỏi: Em đã dùng kiến thứ nào để làm bài tập trên? Học sinh: Em đã dùng kiến thức hai vế không âm ta có thể bình phơng hai vế, cách biến đổi đồng thời hâi vế Câu 2: Giáo viên: Em nào làm đợc bài tập này? Häc sinh: Lªn b¶ng lµm x x 0 x x x 0 x 1 2 2 x x x 1 x 1 0 x hay x 1 x hay x 1 2 x 1 x 1 1 0 x 0hay x 0 x hay x 1 x 1 hay x hay x hay x Hái: Em nµo cã c¸ch lµm kh¸c? Học sinh: Có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm bài tập này Câu 3: Giáo viên: Hãy biến đổi biểu thức trên tổng đại số biểu thức không chứa biến và mét biÓu thøc chøa biÕn? Học sinh đứng chỗ biến đổi GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 34 (35) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề x2 x2 1 2 A 1 x 1 x 1 x 1 2 Do x 1 1 x 1 x 1 Suy A A 1 x 0 Ta có Vậy GTNN A x = Gi¸o viªn cho häc sinh nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n (söa sai nÕu cã) Câu 4: Giáo viên: Hãy dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm bài tập này? Häc sinh lªn b¶ng lµm Đặt u = x2 0, ta có: 2u + 3y = u 13 y 3u - 2y = Do đó: x2 13 y 13 13 2 26 x 13 13 y 13 Hệ PT có nghiệm là: ( x, y ) ( 26 26 , ); ( , ) 13 13 13 13 Giáo viên nhận xét đánh giá bài làm học sinh Câu 5: Giáo viên gợi ý dần để học sinh làm đợc bài tập này Häc sinh lµm theo yªu cÇu cña häc sinh Gi¸o viªn yªu cÇu tõng häc sinh lµm theo tõng bíc cña bµi tËp Häc sinh lËp tõng ph¬ng tr×nh råi míi lËp hÖ ph¬ng tr×nh * Gọi số bạn nam chia vào tổ là x, số bạn nam chia vào tổ là y, x, y nguyên dương GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 35 (36) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Theo đề ta có hệ: Bộ Đề 32 24 x y (1) x + y 15 (2) x Từ (1) ta có: 3x – 4y = => Đặt y = 3t, t > và t z, ta có: y x = 4t Từ (2), ta có: 3t + 4t 15 hay 7t 15 15 2 t 2 7 => < t => Vì t z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính x = 8; y = Như vậy, tổ có bạn nam, bạn nữ 56 4 Số tổ chia là: tổ Häc sinh nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n vµ bæ sung nÐu cÇn thiÕt Câu 6: Gi¸o viªn cho häc sinh lªn b¶ng ghi gi¶ thiÕt kÕt luËn vµ vÏ h×nh Häc sinh lªn b¶ng lµm theo yªu cÇu cña gi¸o viªn C a) A M OB D F N E P * Tam giác OMP vuông M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP * Tam giác ONP vuông N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP * Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào đẻ làm phần trên? b) Hỏi: Em nào làm đợc phần này? Häc sinh suy nghÜ lµm bµi Hái: H·y nªu nh÷ng dÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh b×nh hµnh? Hái: Trong bµi nµy chøng ta sö dông dÊu hiÖu nµo? Häc sinh lªn b¶ng chøng minh GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 36 (37) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề MP//OC (vì cùng vuông góc với AB) NMP NCD (hai góc đồng vị) ONC OCN (hai góc đáy tam giác cân ONC) NMP NOP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP) Suy MNO NOP ; đó, OP//MC Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành Hãy nêu kiến thức đã sử dụng để làm? c) H·y nªu c¸ch chøng minh phÇn nµy? Học sinh: Chúng ta sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng? DCND DCOM ( g g ) OC CM Nªn CN CD hay CM.CN = OC.CD = 2R2 d) VớiMP = OC = R không đổi Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chạy trªn đoạn AB nªn P chạy trªn EF thuộc đường thẳng song nãi trªn Câu 7: Giáo viên cho học sinh thảo luận nhóm để tìm lời giải cho bài tóan Häc sinh th¶o luËn nhãm D C A o * ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) O B => AC vuông góc với BD CD = CB (gt) Tam giác ABC cân A AD = AB = 2R (không đổi) AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định Do đó D chuyển động trên đường tròn (A; 2R) b) Trêng hîp 2: (O'4) ë bªn ph¶i (O1): GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 37 (38) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Khi đó: K' là tiếp điểm đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD E' và F', CD tiếp xóc víi (O'4) t¹i H CK ' CO1 O1 K ' R 42 R 1 1 R F ' H K ' F ' CK ' tg 22 30 ' R CH CF ' F ' H R CH 1 1 2 R 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 CK ' CO CK 'CO1 CF ' CF ' CO1 CO R 42 2 R 42 2 2 1 1 2 2 1 1 Suy ra: Bán kính đờng tròn (O'4) là: GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 38 (39) Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG r4' O4' H CHtg 22030' Bộ Đề R 2 1 1 Bài hình này là bài khó học sinh không tìm lời giải giáo viên gợi ý để học sinh lµnm D Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: a) Thu gän biÓu thøc: P = √ 2+ √ 3+ √ 6+ √ 8+ √ 2+ √ 3+ √ x−y b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:: Q = x+ y BiÐt x2 – 2y2 = xy vµ y , x + y Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu: x + y + z = th×: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) GV: Huỳnh Quang Vũ-THCS Minh Thành 39 (40)