Thi thu vao 10 THPT chuyen

2 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.. 3 Việc chi tiết hoá thang điểm nếu có so với thang điểm trong hớng dẫ[r]

Sở giáo dục và đào tạo kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn đề chính thức M«n thi: To¸n (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo c¸c líp chuyªn To¸n, Tin) Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: (1,5 ®iÓm)   1 a 2 :            Cho H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn nhËn a  lµ mét nghiÖm Bµi 2: (2,5 ®iÓm)  xy   xy  a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  x b) Tìm m để phơng trình x 16  y y  x   2x  3x  6x  m 0 cã nghiÖm ph©n biÖt Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2 a) Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn k lín h¬n tho¶ m·n k  vµ k  16 lµ c¸c sè nguyªn tè th× k chia hÕt cho b) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có p là nửa chu vi th× p  a  p  b  p  c  3p Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O và dây AB không qua O Gọi M là điểm chính cung AB nhỏ D là điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB C Chøng minh r»ng: a) MB.BD MD.BC b) MB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi Bµi 5: (1,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD LÊy E, F thuéc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc c¹nh CD; K, M thuéc c¹nh DA cho h×nh c¹nh EFGHIJKM cã c¸c gãc b»ng Chứng minh độ dài các cạnh hình cạnh EFGHIJKM là các số hữu tØ th× EF = IJ HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: .Phßng thi sè: Ch÷ ký cña gi¸m thÞ Híng dÉn chÊm thi (B¶n Híng dÉn chÊm thi gåm 04 trang) I Híng dÉn chung 1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c bíc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶ Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống thực Hội đồng chấm thi 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn II §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi 1: (1,5 ®iÓm)  a 2 :    1   2:  7 a=   2 :     1  7  1 0,5 ® 0,25 ® §Æt x a   x    x    x  2x  7  x  2x  0 VËy ph¬ng tr×nh x  2x  0 nhËn  lµm nghiÖm 0,5 ® 0,25 ® Bµi 2: (2,5 ®iÓm)  xy   xy   x 16  x 16 xy     y y   y  y  x 5  x  x y (1) 0,25 ® (2) §K: x, y 0 2 Gi¶i (2)  6y  6x 5xy  (2x  3y)(3x  2y) 0  3y 2x  3y 0  x  * NÕu  3y 16 y   2 Thay vào (1) ta đợc a)  3y 23   (ph¬ng tr×nh v« nghiÖm) 2y 3x  2y 0  x  * NÕu 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® Thay vào (1) ta đợc y 9  y 3 - Víi y 3  x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) - Víi y   x  (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 0,25 ® VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) x  2x  y   x  1 y  x 1  y (y 0) b) §Æt (*) 0,25 ® y  1 Phơng trình đã cho trở thành:    y  1  m 0  y  5y  m  0 (1) Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt thì phơng trình 0,25 ® (1) cã nghiÖm d¬ng ph©n biÖt     S   P   9  4m   5  m    0,25 ®  m    4m m   4m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt VËy víi 0,25 ® Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2 a) V× k > suy k   5; k  16  2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  10n   k  5 0,25 ®  k  kh«ng lµ sè nguyªn tè 2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  20n   k  16 5  k  16 kh«ng lµ sè nguyªn tè 0,25 ® 2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  30n   k  16 5  k  16 kh«ng lµ sè nguyªn tè 0,25 ® 2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  40n  16  k  5  k  kh«ng lµ sè nguyªn tè Do vËy k 5 0,25 ®    a  b  c  3 a  b  c2 (*) b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th× 2 2 2 ThËt vËy (*)  a  b  c  2ab  2bc  2ca 3a  3b  3c 0,5 ®  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 0 (luôn đúng) ¸p dông (*) ta cã:  p a  p b  p c Suy  3  3p  a  b  c  3p p  a  p  b  p  c  3p (®pcm) Bµi 4: (3,0 ®iÓm) 0,5 ® N D J I A O C B M a) XÐt MBC vµ MDB cã:   BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)   BMC BMD 0,5 ® Do MBC và MDB đồng dạng MB MD   MB.BD MD.BC BD Suy BC 0,5 ®    b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC  BJC 2BDC 2MBC  BJC  MBC  hay  180  BJC  BCJ c©n t¹i J  CBJ  0,5 ®   BJC 180 O  BJC   MBC  CBJ   90 O  MB  BJ 2 Suy Suy MB là tiếp tuyến đờng tròn (J) 0,5 ® c) Kẻ đờng kính MN (O)  NB  MB Mà MB là tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN     Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN 0,5 ® Chøng minh t¬ng tù: CI // JN Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành  CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) và (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bµi 5: (1,0 ®iÓm) 0,5 ® A E F a B b h M H g K d f D G c e J I C Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ c¸c sè h÷u tØ d¬ng) Do c¸c gãc cña h×nh c¹nh b»ng nªn mçi gãc cña h×nh c¹nh cã (8  2).180O 135O sè ®o lµ: 0,25 ® Suy góc ngoài hình cạnh đó là: 180O - 135O = 45O Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân h b d f  MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 0,5 ® h b f d a   e 2 Ta cã AB = CD nªn:  (e - a) = h + b - f - d NÕu e - a ≠ th× 2 h b f  d  e a (®iÒu nµy v« lý VËy e - a =  e = a hay EF = IJ (®pcm) HÕt lµ sè v« tØ) 0,25 ®