Chøng minh A kh«ng phô thuéc biÕn sè Híng dÉn 3.[r]
(1)thi vµo chuyªn ng÷ Hµ néi N¨m häc 2009-2010 Ngµy thi 07-06-2009 C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc 8− x x2 √ A= : 2+ + 2+ √ x 2+ √ x ( )( 3 2√ x x2 − √ √x+ √ x − √ x2 +2 √3 x ) ( x ≠ ; x ≠ −8 ; x ≠0 ¿ Chøng minh A kh«ng phô thuéc biÕn sè Híng dÉn 3 3 (2− √ x )(4 +2 √ x + √ x 2) 4+2 √3 x+ √ x A= : + 3 2+ √ x 2+ √ x ( √3 x − √3 x+ √3 x )( (√ ) 3 ( √ x − 2)( √ x +2) 3 √ x (√ x+ 2) √ x−2 3 3 3 3 (2 − √ x )(4+ √ x + √ x ) 2+ √ x x − √ x +2 √ x ( √ x −2)( √ x +2) A= + 3 3 3 2+ √ x 4+2 √ x + √ x √x− √ x (√ x+ 2) 3 A=2 − √ x + √ x =2∉ x ) C©u : ( ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc : x2-2(m+1)x+4m-m2 =0 ( tham sè m) 1-Chøng minh PT cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2-Gäi x1;x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M =|x − x 2| Híng dÉn 1 m+ ¿ 2+ >0 ∀ m 2 1) 2 m+ 1¿ − m+m =2 m2 −2 m+1=2 ¿ Δ❑ =¿ 2) M2=(x1-x2)2=( x1+x2)2-4x1.x2=4(m+1)2- 4(4m-m2)=4m2+8m+4-16m+4m2 M2=8m2-8m+4=2(2m-1)2+2 nªn M ≥ √ vËy Min(M)= √ m= C©u 3: ( ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ x 2+ y +2(x + y + xy)=0(1) x2 + y + x −2 y + 4=0(2) Híng dÉn ¿ { tr×nh bËc Èn x tham sè y (1) ⇔ x +2( y +1)x + y 2+ y =0 coi lµ ph¬ng ¿ 2 y +1¿ − y −2 y=1 >0 PT cã nghiÖm ph©n biÖt ❑ Δ =¿ x1=-y; x2 =-y-2 Với x=-y thay vào PT (2) ta đợc PT : y2 -3y+2=0 nhẩm Vi -ét a+b+c=0 ta có y=1 hoÆc y=2 Với x=-2-y thay vào PT (2) ta đợc PT : y2 -y=0 ta có y=0 y=1 VËy hÖ cã nghiÖm (x;y)=(-1;1);(-2;2);(-2;0);(-3;1) Cách khác: Trừ hai phơng trình cho ta đợc PT: 2xy+2x+2y-4x+2y-4=0 ⇔ xy-x+2y-2=0 ⇔ (x+2)(y-1)=0 ⇔ x=-2 hoÆc y=1 Víi x=-2 ta cã y=2 hoÆc y=0;víi y=1 th× x=-1 hoÆc x=-3 VËy hÖ cã nghiÖm (x;y)=(-1;1);(-2;2);(-2;0);(-3;1) C©u 4:(3 ®iÓm) Trªn (O;R) lÊy ®iÓm A;B tuú ý ;C thuéc ®o¹n AB (C kh¸c A;B) Kẻ đờng kính AD, Cát tuyến qua C vuông góc với AD H,cắt (O) M;N §êng th¼ng ®i Qua Mvµ D c¾t AB t¹i E.KÎ EG vu«ng gãc víi AD t¹i G (2) Híng dÉn a- ∠ CHD=900(GT); ∠ CBD=900 (néi tiÕp ch¾n nöa (O) nªn ∠ CHD+ ∠ CBD=1800 nªn tø gi¸c BHDC néi tiÕp ∠ AGE=900(GT); ∠ AME=900 (néi tiÕp ch¾n nöa (O) nªn B M E C A H N G O D ∠ AGE+ ∠ AME=1800 nªn tø gi¸c AMEG néi tiÕp b- Δ AME ® d Δ ABM (gg) nªn AM2=AC.AB c- Δ AGE ® d ABD (gg) nªn AE.AB=AG.AD (1) Δ DAM ® d DEG (gg) nªn DE.DM=DG.AD (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AE.AB+DE.DM=AD(AG+GD)=AD2=4R2 C©u 5: ( ®iÓm) Víi x,y lµ sè thùc tho¶ m·n x+y+xy=8 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x2+y2 Híng dÉn C¸ch 1: 3P=3x2+3y2=(x2+4)+(y2+4)+ 2(x2+y2)-8 4x+4y+4xy-8=32-8=24 VËy P ≥ 24 ⇔ P ≥ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P=8 x=y=2 C¸ch 2: 3P-4(x+y+xy)= 3x2+3y2-4x-4y-4xy=(x-2)2+(y-2)2+2(x-y)2-8 −8 Hay P − 32≥ −8 ⇔ P ≥ 24 ⇔ P ≥ (3)