Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm... Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ..[r]
(1)§¹i häc quèc gia hµ néi Trờng đại học ngoại ngữ céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc K× thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010 §Ò M«n Thi : To¸n Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) §Ò chÝnh thøc Ngµy thi 06-06-2010 §Ò thi gåm 01 trang ( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm) C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc x 2x x −1 P= √ + : √ − 9− x 3+ √ x x −3 √ x √ x 1) Tìm điều kiện x để P có nghĩa và rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P=− C©u : ( ®iÓm) 1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4 ( )( 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : ) ¿ x 2+ xy + y 2=3 x 3+3 ( y − x)=1 ¿{ ¿ C©u 3: ( ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2 +2(m-10)x + =0 1)Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 2) Chứng minh đó x 31+ x 32 +x 21 x + x x 22<−4 C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC) Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác AO tam giác ABC ( D , O thuộc BC) Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC t¹i M , N 1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc đờng tròn 2) Chøng minh gãcBDM = gãcCDN 3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN I Đờng thẳng AI cắt BC t¹i K Chøng minh K lµ trung ®iÓm c¹nh BC C©u 5: ( ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chøng minh r»ng: a3 b3 c 2 + + ≥ a + b +c ≥ b c a HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh Sè b¸o danh Phßng thi HD thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010 C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc x 2x x −1 P= √ + : √ − 3+ √ x 9− x x −3 √ x √ x 2) Tìm điều kiện x để P có nghĩa và rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P=− Híng dÉn 1) §KX§ x>0 ;x ≠ ; x ≠ 25 ( )( ) Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ (2) P= x(3− √ x )+2 x ( √ x − 1) −2( √ x − 3) : (3+ √ x)(3 − √ x ) √ x ( √ x −3) (√ P= 2) P= )( ) √ x( 3+ √ x ) √ x( √ x −3) = x (3+ √ x)(3 − √ x) − √x √x − −4 x −4 ⇔ = ⇔ x + √ x −20=0 ⇔ x − √ x+10 √ x − 20=0 √x − ⇔( √ x −2)(3 √ x+10)=0 ⇔ x=4 ∈DKXD C©u : ( ®iÓm) 3) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4 ¿ x + xy + y 2=3 x 2+3 ( y − x)=1 ¿{ ¿ 4) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : Híng dÉn 1) x2 + 4x +1 =y4 ⇔ (x+2)2-y4=3 ⇔ (x-y2+2)(x+y2+2)=3 v× x;y nªn ⇒ ¿ x − y +2=1 x + y +2=3 ¿ ¿ ¿ x − y +2=−3 ¿ x + y +2=− ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=0 ¿ ¿ y=1 hoacy =−1 ¿ ¿ ¿ Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y) { ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1) } 2) Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ Z (3) x 2+ xy + y 2=3(1) x3 +3 ( y − x)=1( 2) ⇔ ¿ x + xy+ y 2=3 x 3+(x 2+ xy + y 2)( y − x )=1 ⇔ ¿ 2 ¿ x + xy+ y =3 x3 + y − x 3=1 ¿ ⇔ ¿ y =1 x +xy + y 2=3 ⇔ ¿ y=1 x + x − 2=0 ⇔ ¿ y=1 ( x −1)(x+ 2)=0 ⇔ ¿ x=1 y =1 ¿ ¿ ¿ x=−2 ¿ y =1 ¿ ¿ HÖ cã nghiÖm (x;y) {(1;1) ;( -2;1)} C¸ch kh¸c NÕu x= y tta cã x=y=1 lµ mét nghiÖm Víi x kh¸c y nh©n vÕ PT(1) víi (x-y ) ta cã hÖ Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ (4) x − y 3=3 (x − y ) x −3 ( x − y)=1 ⇔ 3 ¿ x − y =3(x − y ) x − x + y 3=1 ⇔ ¿ x −1=3 (x −1) y=1 ¿ ¿ ⇔ ¿ x − x+2=0 y=1 ⇔ x −1 ¿ ( x +2)=0 ¿ y=1 ¿ ⇔ ¿ ¿ x =2 ¿ ¿¿ HÖ cã nghiÖm (x;y) {(1;1) ;( -2;1)} C©u 3: ( ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2+2(m-10)x + =0 1)Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 2) Chứng minh đó x 31+ x 32 + x 21 x + x x 22< −4 Híng dÉn 1) §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt th× m− 11 ¿2 − ¿ m− 11 ¿ − 1>0 ⇔ (m−11)>1 ; Hoac :(m−11)<−1 ¿ ⇔ ¿ m> 12 ¿ m<10 ¿ ¿ m− 10 −1 ¿2 − 1=¿ m −10 ¿2 − ( m−10 )=¿ ¿ ¿ ¿ Δ❑ =¿ ¿ m≠ 10 Δ❑ > ¿{ ¿ 2) víi §K trªn theo ViÐt ta cã Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ (5) ¿ x + x2 =−2 x x 2= m− 10 ¿{ ¿ §Æt Q= x 31+ x 32 + x 21 x + x x 22 x 1+ x ¿ −3 x1 x (x1 + x 2)+ x x (x + x2 ) ¿ 88 −8 m x 1+ x ¿3 − x x2 ( x + x 2)=− 8+ = m−10 m−10 ¿ ¿ Q=x 31 + x 32+ x21 x 2+ x x 22=¿ ¿ m≠ 10 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ❑>0 ¿{ ¿ C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC) Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác AO tam giác ABC ( D , O thuộc BC) Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC t¹i M , N 4) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc đờng tròn 5) Chøng minh gãcBDM = gãcCDN 6) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN I Đờng thẳng AI cắt BC t¹i K Chøng minh K lµ trung ®iÓm c¹nh BC A O' P N I Q M B D O K C 1) ta cã ∠ AMO= ∠ ADO= ∠ ANO=900 nªn ®iÓm A, M.D, O, N thuéc đờng tròn Tâm O/ đờng kính AO 2) Ta cã ∠ ADB= ∠ ADC=900 (1) mµ ∠ ADM= ∠ ADN (2) ( gãc néi tiÕp ch¾n cung b»ng nhau) tõ (1);(2) ta cã §PCM Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ (6) 3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội tiÕp nªn ∠ POI= ∠ PMI; ∠ QOI= ∠ INA mµ ∠ PMI= ∠ INA (do tam gi¸c AMN c©n t¹i A) Nên ∠ POI= ∠ QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nªn IP=IQ ¸p dông hÖ qu¶ Ta-lÐt cho tam gi¸c ABK vµ ACK cã PQ//BC Ta cã BK = AK = CK ⇒ BK=CK (dpcm) IP AI IQ C©u 5: ( ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chøng minh r»ng: a3 b3 c 2 + + ≥ a + b +c ≥ b c a Híng dÉn ¸p dông B§T x 2+ y ≥ xy dÊu “= “ x¶y x=y Ta cã a2 +b ≥ ab ; c 2+b ≥ cb ; c 2+ a2 ≥ ca ; c +1 ≥2 c ; a2 +1≥ a ; b2 +1 ≥2 b Nªn 3(a2+ b2 +c 2)+3 ≥ 2(a+ b+c +ab+ bc+ ca)=12 ⇔ a2+ b2 +c ≥ (*) DÊu “ =” x¶y a=b=c=1 MÆt kh¸c a3 b3 c3 + ab≥ a2 ; + bc ≥ b2 ; + ac ≥2 c ; b c a 3 T cã a + b + c +( ab+ bc+ca )≥ 2(a 2+b 2+ c 2) b c a Mµ a +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca nªn 3 3 3 a b c a b c + + +a2 +b 2+ c ≥ + + +(ab+ bc+ca )≥ 2(a2+ b2 +c 2) b c a b c a 3 Nªn a + b + c ≥ a2+ b2 +c (**) DÊu “=” Khi a=b=c=1 b c a ( ( ) ) ( ) Tõ (*) vµ (**) ta cã §PCM Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ (7)