bo de thi hoc sinh gioi l9

1 Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn hơn 4 diện tích ABC.. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn nhất...[r]

PGD KRÔNG BÚK TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán – Thời gian 150 phút ĐỀ BÀI: Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A  x  x   x  x  Bài (3đ) Cho biểu thức  2a  a  2a a  a  a  a  a B 1     1 a a  1 a  a1 a/ Rút gọn B B b/ Chứng minh Bài 3: (3đ) Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1  a  b   c  d   2  a  b  c  d  Chứng minh bất đẳng thức: Bài (3đ) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 C            2  2 2 3 2006 2007 2007 20082 là số hữu tỷ Bài (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn Hãy tính tổng x  y  z 2  x  y  z 1  3  x  y  z 1 ABC  AB AC  Bài (3đ) Cho Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC D a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC b/ Gọi M, N là tiếp điểm đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB, BC K là hình chiếu vuông góc C xuống đường thẳng AI Chứng minh M, N, K thẳng hàng Bài (3đ) Cho ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB D và cắt AC E Chứng minh với điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn diện tích ABC Đường thẳng DE vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN – Năm học: 07 – 08 Bài (2đ) A  x   x    x   x  1 1,5 đ    x  1   x  1    x 1 ĐK: x 1 x  1  x  1  x  1 Với x   A  x    x   2 Với x 2  A  x    x   2 x  Bài (3đ) a/ Rút gọn biểu thức M ngoặc (…) 2a  a   a  a      1 a  1 a 1 a  1 a a  1  M Ta có:    0,25đ    a 1 a  a     2a a  a  a a  1 a  1 a  1 a  a  a 1 a  1 a1 2a a  a  a  MTC  1 a 1 a 1 a  a  2 2đ  0,25đ  1 a  1   a  a    2a a  a  1 a  a a  2a  2a a    a a  a 1 a  a   a  a  2a a  a  a 1 a  1 a a  a1 1 a  1  B 1  a a  a1 1 a  1 a a    a 1 a  a1  a 1 a  a  a 1 a   1 a  a 1 a  a 1 a  a a 0, a 1, a  4) (ĐKXĐ: 1  b/ Vì   a  0  a 0  a 1 a 1 a  a  a     a  1 2  a  2 a  1đ Nên a (1) a  a 1 Mặt khác: a  a   nên chia vế (1) cho ta có:   a 1  a  a  và vì a 1 nên dấu “=” không xảy B a 0; a 1; a  với Vậy Bài (3đ) ta có:  a  b   c  d   2  a  b  c  d  1đ   a  b   c  d     a  b    c  d  0   a  b   c  d     c  d   0 1đ   c  d    a  b   0   c d  a b  0 1đ (luôn đúng với a , b, c, d  và ab=cd 1 ) Bài (3đ) Ta có: 1đ 1,5đ 0,5đ C   1    2   32   1 Mỗi số hạng C có dạng:    3    42   1  x 1; y 1; z 1 Bài (3đ) Theo đề ta có 3 Nên x x ; y  y ; z  z 3 2  x  y  z x  y  z   2006    20072   1    2007   20082 1   a b c Trong đó a  b  c 0 M a b c  1 1  1 1 M            abc a b c  a b c Mà 1    a b c là số hữu tỷ  C là số hữu tỷ (Vì a  b  c 0 ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ  x x x 1    y  y2 y 1  z z  z 1  x x  x 0     y  y   y 0  z z   z 0  Đẳng thức xảy 2 Vậy x  y  z x  y  z 1 1đ 0,5đ Bài (3đ) a/  D DC   BD DC (1) B  D  A  B  (T/c góc ngoài tam giác) BI 1,5đ  1   0,5đ 12 Mà A B   D DBI   BI  DBI cân  DB DI b/ A  2 ;  DB DI DC  D là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC  B  BI  MN  MNB  900 mà M I B C N K D 0,25đ A B  C    900 2 A B      MNB   2 Chứng minh điểm I, N, K, C cùng nằm trên đường tròn 0,25đ     CNK CIK (cùng chắn KC ) A B   CIK   2 (T/c góc ngoài tam giác) Mà A C   4   CNK   2   Từ (3), và (4)  MNB CNK M, N, K thẳng hàng B, N, C thẳng hàng M, K hai nửa mặt phẳng bờ BC Bài (3đ) 1đ  0,75đ 1đ 0,25đ A Kẻ AH  BC AH cắt DE K Đặt AH = h, AK = k S DE h  k P  PDE  S ABC BC h k D K E kh k k2 ab a  b  a, b 0  B Áp dụng bất đẳng thức Dấu “=” xảy a b  Tổng không đổi thì tích lớn a b Ta có k + h – k = h không đổi k 0, h  k 0  tích k(h – k) lớn  B  B k h  k  k  h h2 1  p  42   S PDE  S ABC h 4 h S PDE lớn k  tức DE là đường trung bình ABC H P C