Chứng minh rằng tiếp tuyến tại mọi điểm bất kỳ của đồ thị C luôn cắt hai đường tiệm cận tại A, B và tam giác IAB có diện tích không đổi.. Câu 4 1 điểm: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là h[r]
(1)SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT TAM NÔNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN THI: TOÁN - KHỐI B+D (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề) I/PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ĐIỂM): Câu (2 điểm): Cho hàm số : y = x +1 (1) x−2 a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b/ Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) Chứng minh tiếp tuyến điểm đồ thị (C) luôn cắt hai đường tiệm cận A, B và tam giác IAB có diện tích không đổi Câu (2 điểm): 1/ Giải phương trình: s inx + cos x + s inx + cos x = x3 y = 19 x3 − y (1 + xy ) + x = 2/ Giải hệ phương trình: Câu (1 điểm): ∫ Tính tích phân: I= x(e x + + x )dx −1 Câu (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = a và SA vuông góc với mặt đáy 1/ Tính thể tích và diện tích toàn phần tứ diện SBCD 2/ Gọi MNPQ là thiết diện hình chóp và mặt phẳng song song với mặt đáy đó M trên SA và AM=x Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x Câu (1 điểm): Cho các số x, y , z dương Chứng minh rằng: x3 y z + + ≥ x+ y+ z y z x2 II/ PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM): (THÍ SINH CHỈ LÀM PHẦN A HOẶC B) A/ Theo chương trình chuẩn: Câu 6a ( điểm): 1/ Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ ABC, A (-1;-3) phương trình các đường cao từ B và C tương ứng là: BH : x + y − 25 = 0, CK : 3x + y − 12 = Tính diện tích tam giác ABC 2/ Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1;2;3) Tìm các điểm A, B, C trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz cho H là trực tâm tam giác ABC Câu a (1 điểm): x Giải phương trình: log ( ).log x − log ( x3 ) = + log x B/ Theo chương trình nâng cao Câu 6b ( điểm): 1/ Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ ABC A (1;2); B(5;3); C(-1;0) a/ Viết phương trình đường tròn tâm B tiếp xúc đường thẳng AC b/ Viết phương trình đường tròn qua A,C và có tâm trên trục Ox 2/ Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Câu b ( điểm): Giải phương trình:: lo g ( x + ) = x -Hết (Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải tích gì thêm) Họ và tên :……………………………………;.Số báo danh:………………… (2) Trường THPT Tam Nông Câu ý Đáp án- thang điểm đề thi thử đại học khối B+D Đáp án Cho hàm số : y = Thang điểm x +1 (1) x−2 a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b/ Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) Chứng minh tiếp tuyến điểm đồ thị (C) luôn cắt hai đường tiệm cận A, B và tam giác IAB có diện tích không đổi • TXD: D = ℝ \ {2} y'= −3 < ∀x ≠ ( x − 2) a 2đ 0.25 Nên hàm số nghịch biến trên khoảng xác định nó • Giới hạn và tiệm cận: lim y = ⇒ y = là TCN 0.25 x →±∞ lim y = +∞; lim y = −∞ ⇒ x = là TCD x → 2+ • x x → 2− Bảng biến thiên −∞ +∞ y’ 0.25 +∞ y −∞ Đồ thị: - Giao Ox: A(-1;0) - Giao Oy: B(0;-2) y 0.25 -1 x -2 b Gọi M(a;b) thuộc đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến với đồ thị M có dạng: y= −3 a +1 ( x − a) + (a − 2) a−2 0.25 (3) a+4 ) a−2 Giao với TCN: B(2a − 2;1) Giao với TCĐ: A(2; 0.25 Giao hai tiệm cân I(2;1) Tính IA= và IB= a − a−2 Diện tích tam giác IAB: S = 0.25 IA.IB = không đổi Giải phương trình: s inx + cos x + s inx + cos x = 0.25 1đ Điều kiện xác định: s inx + cos x ≥ s inx + cos x = t ≥ Đặt: t = ta phương trình: t + t − = ⇔ t = −2(loai ) Với t=1 : 0.50 s inx + cos x = π ⇔ s inx+ cos x = ⇔ sin( x + ) = −π x = + k 2π ⇔ x = π + k 2π x3 y = 19 x3 − Giải hệ phương trình: y (1 + xy ) + x = x = không là nghiệm pt.Đặt x = z ( y + z ) ( y + z ) − yz = 19 Hệ trở thành: yz ( y + z ) = −6 0.25 0.25 1đ 0.25 Đặt: S = x + y , P = xy Đk: S ≥ P S ( S − 3P) = 19 0.25 Khi đó hệ trở thành: S P = −6 S = S = −1 Giải hệ được: và : (loai ) P = −6 P = −1 Tìm nghiệm ( ;3), ( ; −2) 3 0.25 0.25 ∫ Tính tích phân: I= x (e x + + x ) dx 1đ −1 I= ∫ x (e −1 I1= ∫ −1 2x 0 −1 −1 + + x )dx = ∫ x.e x dx + ∫ x + xdx 0.25 x.e x dx dùng pp tính tích phân phần − e2 Đặt u = x, dv = e dx Tính I1= 4e 2x 0.25 (4) I2= ∫ −1 x + xdx Đặt : u = + x ⇒ u − = x ⇒ dx = 3u du Đổi cận: x = −1 ⇒ u = 0; x = ⇒ u = 0.25 3 I2= ∫ (3u − 3u ).du = u − u = − 0 28 7 I=I1+I2= 21 − 16e2 28e2 0.25 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = a và SA vuông góc với mặt đáy 1/ Tính thể tích và diện tích toàn phần tứ diện SBCD 2/ Gọi MNPQ là thiết diện hình chóp và mặt phẳng song song với mặt đáy đó M trên SA và AM=x Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x 1đ S M N Q P A B VSABCD= D C a3 a3 a3 ;VSABD = ⇒ VSBCD = 6 Stp=dt(SBC)+dt(SBD)+dt(SCD)+dt(BCD) Stp= (1 + + 2)a 0.50 Từ giả thiết suy (MNPQ)// (ABCD) và tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên MNPQ là hình vuông và ∆SAB vuông cân A ⇒∆SMN vuông cân M: AM = x ⇒ SM = MN = a − x ⇒ dt ( MNPQ) = (a − x) (ĐVDT) 0.25 Cho các số x, y , z dương Chứng minh rằng: 0.25 3 x y z + + ≥ x+ y+ z y z x 1đ Áp dụng BĐT Côsi: x3 + y + y ≥ 3x y2 y3 + z + z ≥ 3y z2 z3 + x + x ≥ 3z x2 Cộng vế với vế: 0.50 x3 y z + + ≥ x+ y+ z y z x2 0.50 (5) 6a Dấu ‘=’ xảy : x = y = z Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ ABC, A (-1;-3) phương trình các đường cao từ B và C tương ứng là: BH : x + y − 25 = 0, CK : 3x + y − 12 = Tính diện tích tam giác ABC Đường thẳng AC qua điểm A và vuông góc với BH nên có phương trình 1đ Đường thẳng AB qua điểm A và vuông góc với CK nên có phương trình 0.25 B là giao AB và đường thẳng BH đó B(2;5) C là giao AC và đường thẳng CK đó C(4;0) Phương trình đường thẳng BC: 5x + 2y − 20 = 0.25 3x − 5y − 12 = 8x − 3y − = Khoảng cách d(A;BC)= −5 − − 20 = 29 31 Diện tích tam giác dt(ABC) = (đvdt) 2 31 và BC = 29 29 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1;2;3) Tìm các điểm A, B, C trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz cho H là trực tâm tam giác ABC Gọi A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c) x y z Khi đó pt mp(ABC) dạng: + + = a b c 0.25 0.25 1đ 0.25 Do H là trực tâm tam giác ABC nên: AH ⊥ BC 2b − 3c = a = 14 a = b = c ⇔ a − 3c = ⇔ ⇔ b = BH ⊥ AC + + = H ∈ mp ( ABC ) 1 a b c 14 + + =1 c = a b c 14 Vậy: A(14;0;0); B(0;7;0); C(0;0; ) 3 x3 Giải phương trình: log ( ).log x − log ( ) = + log x x Điều kiện xác định: x > đó phương trình tương đương x3 log ( ).log x − log ( ) = + log x x 1 ⇔ (1 − log x) log x − (3log x − ) = + log x 2 ⇔ log x − log x log x − log x = 7a 0.50 0.25 1đ 0.25 ⇔ log 3.log x − log x log x − log x = ⇔ log x(log − log x − 6) = log x = x = ⇔ ⇔ log x = log x= 64 8 Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ ABC A (1;2); B(5;3); C(-1;0) Vậy nghiệm pt là x =1 và x = 6b a/ Viết phương trình đường tròn tâm B tiếp xúc đường thẳng AC b/ Viết phương trình đường tròn qua A,C và có tâm trên trục Ox 0.50 0.25 1đ (6) 1a Phương trình đường thẳng AC : x − y + = Bán kính R = d ( B; AC ) = PT đường tròn tâm B tiếp xúc với AC : ( x − 5) + ( y − 3) = 1b 0.25 Tâm I thuộc ox đó I(m ;0) Vì đường tròn cần lập qua A,C nên: IA=IC=R IA = (1 − m) + và IC = (1 + m) Có: 4m = m=1 0.25 0.25 I(1;0) và bán kính R=2 Vậy đường tròn cần lập: ( x − 1) + y = Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Pt mp(ABC): 6x + 3y + 2z − = Do H là trực tâm tam giác ABC đó OH ⊥ mp ( ABC ) (Hs CM) 0.25 1đ 0.25 0.25 Do đó OH = tn 6 x + y + z − = x = 6t 36 18 12 ⇒ H( ; ; ) Khi đó tọa độ H là nghiệm hpt 49 49 49 y = 3t z = 2t 7b lo g ( x + ) = x Giải phương trình:: Đk: x > −1 Đặt log ( x + 1) = t ⇒ x = 3t − t t 2 1 Phương trình đã cho thành: = − ⇔ + = 3 3 t 0.50 1đ 0.50 t Ta thấy VT là HSNB và VP là số đồng thời : t=1 là nghiệm suy t= là nghiệm t = ⇔ log ( x + 1) = ⇔ x = TM Chú : Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa 0.50 (7)