Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương

Mục đích nghiên cứu của Luận án nhằm thiết lập các điều kiện đủ cho tính giải được, tính chính quy và tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu của nghiệm, đồng thời xem xét tính giải được của bài toán giá trị cuối. Mời các bạn cùng tham khảo!

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trần Đình Kế Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế Các kết phát biểu luận án trung thực chưa công bố cơng trình tác giả khác Nghiên cứu sinh Lâm Trần Phương Thủy LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ mơn Giải tích Khoa Tốn-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Trần Đình Kế Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc Thầy, PGS.TS Trần Đình Kế người Thầy giảng dạy tác giả từ ngày cịn học đại học sau dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu trình bày luận án Những dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy hướng dẫn dành cho tác giả ln động lực giúp tác giả khơng hồn thành luận án mà cịn có định hướng cho nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy cô giáo Bộ môn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Điện lực, đồng nghiệp cơng tác Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Điện lực tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 15 1.1.1 Các không gian hàm quan trọng 15 1.1.2 Định lí Arzelà-Ascoli 16 1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN 17 1.3 LÝ THUYẾT TỐN TỬ TUYẾN TÍNH 18 1.3.1 Tốn tử tuyến tính đóng 18 1.3.2 Toán tử tự liên hợp 19 1.3.3 Lũy thừa toán tử 21 1.4 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 22 1.4.1 Nguyên lý ánh xạ co 22 1.4.2 Nguyên lý điểm bất động Schauder 22 1.4.3 Nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén 23 1.5 TỐN TỬ ĐẠO HÀM KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG 24 1.5.1 Giới thiệu toán tử đạo hàm không địa phương 24 1.5.2 Nhân hoàn toàn đơn điệu cặp nhân Sonine 25 1.5.3 Một số ví dụ điển hình 25 1.6 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VƠ HƯỚNG 26 1.6.1 Phương trình Volterra vơ hướng 26 1.6.2 Tính chất nghiệm phương trình Volterra 27 1.7 TỐN TỬ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 30 1.7.1 Biểu diễn nghiệm 30 1.7.2 Tính quy tốn tử S(t) R(t) 35 Chương TÍNH CHÍNH QUY VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG 40 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 40 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA BÀI TỐN TUYẾN TÍNH 41 2.2.1 Tính giải 41 2.2.2 Tính quy nghiệm 44 2.3 TÍNH GIẢI ĐƯỢC, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CHO BÀI TỐN NỬA TUYẾN TÍNH 46 2.3.1 Tính giải 46 2.3.2 Tính ổn định nghiệm 49 2.3.3 Tính liờn tc Hăolder ca nghim nh 51 2.4 ÁP DỤNG 52 Chương TÍNH TIÊU HAO VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CÓ TRỄ HỮU HẠN 56 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 56 3.2 TÍNH GIẢI ĐƯỢC 57 3.3 TÍNH TIÊU HAO, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH YẾU CỦA NGHIỆM 62 3.3.1 Bất đẳng thức kiểu Halanay 62 3.3.2 Tính tiêu hao 65 3.3.3 Tính ổn định tiệm cận nghiệm 66 3.3.4 Tính ổn định yếu nghiệm 68 3.4 VÍ DỤ 71 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG NỬA TUYẾN TÍNH 74 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 74 4.2 BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI 75 4.2.1 Cơng thức nghiệm tốn tuyến tính 75 4.2.2 Tính chất toán tử 76 4.2.3 Định nghĩa nghiệm nhẹ 77 4.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 77 4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐIỀU KIỆN KHƠNG CHÍNH QUY 87 4.5 VÍ DỤ 92 4.5.1 Ví dụ (Phương trình khuếch tán siêu chậm) 92 4.5.2 Ví dụ (Phương trình khuếch tán phân thứ nhiều hạng tử) 93 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân khơng địa phương” (nonlocal differential equation) dùng để phương trình vi phân mà đạo hàm hàm trạng thái khơng xác định điểm mà xác định thông qua công thức tích phân (gọi đạo hàm “có nhớ”) Lớp phương trình khơng địa phương tiêu biểu sau mơ tả trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t [k ∗ (u − u0 )] = ∆u, (1) u = u(t, x) hàm trạng thái, k hàm khả tích địa phương, với ‘∗’ ký hiệu tích chập Laplace, ∆ tốn tử Laplace theo biến khơng gian Lớp phương trình nghiên cứu gần cơng trình Zacher cộng [26, 49] Đặc biệt, t−α k(t) = g1−α (t) = , < α < 1, Γ(1 − α) (2) phương trình phương trình vi phân phân thứ cấp α theo biến thời gian mơ tả q trình khuếch tán (subdiffusion), đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học hai thập kỷ qua Phương trình (1) với nhân k cho (2) phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo Có thể thấy phương trình vi phân phân thứ mơ hình tiêu biểu phương trình vi phân khơng địa phương, chủ đề nghiên cứu có tính thời Các kết tính ổn định Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tìm thấy cơng trình [2, 11, 32, 43] tài liệu tham khảo Liên quan đến tính ổn định thời gian hữu hạn cho hệ vi phân phân thứ, kể đến kết gần cơng trình [31, 33, 58] Với hệ vi phân phân thứ không gian vơ hạn chiều, số kết tính ổn định tiệm cận yếu thiết lập cơng trình [7, 19, 23] Trong cơng trình [49], tác giả xem xét trường hợp khác phương trình (1) thay nhân k hàm khả tích, từ dẫn đến mơ hình khuếch tán nhanh (fast diffusion) hay khuếch tán siêu chậm (ultra-slow diffusion) ý nghĩa vật lý chúng Những kết gợi ý cho vấn đề nghiên cứu mới, đối tượng nghiên cứu phương trình vi phân khơng địa phương nửa tuyến tính tổng qt khơng gian Banach Hilbert dạng d [k ∗ (u − u0 )] = Au + f (u), dt (3) với A tốn tử tuyến tính đóng sinh nửa nhóm liên tục mạnh, f hàm phi tuyến cho trước Theo khảo sát chúng tôi, kết nghiên cứu định tính cho phương trình (3) chưa biết đến nhiều, kết biết chủ yếu thiết lập cho trường hợp cụ thể A toán tử elliptic mạnh Những vấn đề cần nghiên cứu lớp phương trình (3) bao gồm: • Tính giải tính quy nghiệm; • Sự tồn lớp nghiệm tuần hoàn, nghiệm tiêu hao; • Tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu; • Tính ổn định/tính hút thời gian hữu hạn; • Bài toán giá trị cuối Chú ý ánh xạ nghiệm (3) nói chung khơng có tính chất nửa nhóm nên việc sử dụng lý thuyết tập hút tồn cục để nghiên cứu dáng điệu nghiệm khơng khả thi Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov khó áp dụng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận nghiệm khơng gian pha (nói chung) khơng gian vơ hạn chiều việc tính đạo hàm có nhớ phiếm hàm Lyapunov khó thực Đặc biệt, (3) có xuất trễ thời gian dẫn đến nhiều khó khăn nghiên cứu tính ổn định nghiệm Do vậy, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, ta cần tìm cách tiếp cận Bên cạnh đó, tốn ngược cho phương trình vi phân khơng địa phương nội dung mẻ có nhiều khía cạnh lí thú Trên thực tế, mơ hình hố tốn hệ phương trình tiến hố, có hai tình xem xét Tình ta xác định hệ số kiện ban đầu hệ phương trình Khi ta giải hệ nghiên cứu tính chất định tính nghiệm cơng cụ giải tích Bài tốn ứng với tình gọi tốn thuận (forward problem) Tình thứ hai xảy ta không xác định đầy đủ hệ số phương trình khơng đo kiện ban đầu Khi lúc ta phải xác định hệ số kiện nghiệm tương ứng hệ dựa vào ‘đo đạc’ bổ sung Lúc ta có tốn ngược (inverse problem) Cần nhấn mạnh rằng, khác với toán thuận, toán ngược thường tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, có độ phức tạp cao cần có cách tiếp cận phù hợp với trường hợp cụ thể Chính vậy, phương pháp giải tốn ngược phong phú Trong thập kỷ qua, toán ngược phương trình đạo hàm riêng phân thứ thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học Bài tốn xác định ngoại lực phương trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đề cập nhiều báo, tiêu biểu kết [4, 14, 27, 40, 53, 59], phương pháp khai triển Fourier sử dụng So với trường hợp tuyến tính, tốn xác định ngoại lực với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp nhiều kết liên quan cịn biết đến Trong cơng trình [34], tác giả sử dụng nguyên lý cực trị để giải tốn xác định ngoại lực cho phương trình khuếch tán nửa tuyến tính Bài tốn tương tự giải cơng trình [42, 44] phương pháp khác phương pháp rời rạc hoá (discretization method) phương pháp tối ưu (optimization method) Đối với tốn khơng đo kiện ban đầu, kiện bổ sung cho thời điểm quan sát t = T dạng u(T ) = g Ta gọi toán toán giá trị cuối (final value problem/terminal value problem) Bài toán giá trị cuối chủ đề nghiên cứu có tính thời ứng dụng xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, địa vật lý, Để cụ thể hóa vấn đề nghiên cứu, trước hết xét hệ sau đây: d [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0, dt u(0) = u0 , (4) (5) ẩn hàm u nhận giá trị không gian Hilbert tách H , nhân k ∈ L1loc (R+ ), A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, f : H → H hàm cho trước Cần lưu ý rằng, lớp phương trình sử dụng làm mơ hình cho nhiều tốn khác có liên quan đến q trình có nhớ (theo [10, 16, 20, 38]) Trong trường hợp đặc biệt, nhân k(t) = g1−α (t) := t−α /Γ(1 − α), α ∈ (0, 1), phương trình (4) 90 h → 0, theo v ∈ B Về phần J2 , ý P (t) = S(t)S(T )−1 ∞ −1 S(T ) v = n=1 ∞ λ2γ n (v, en ) λ2γ n s(T, λn ) + λγn k(T )−1 λγn ≤ ≤ n=1 (λ−γ + k(T )−1 )2 v 2 λ2γ n (v, en ) Vγ Do J2 = (1 ∗ l)(t + h) [S(t + h) − S(t)]S(T )−1 v −1 ≤ (1 ∗ l)(t + h)(λ−γ + k(T ) ) v Vγ S(t + h) − S(t) t+h = (1 ∗ l)(t + h)(λ−γ −1 + k(T ) ) v S (τ )dτ Vγ t t+h dτ Vγ τ t h −1 ln + = M (1 ∗ l)(t + h)(λ−γ + k(T ) ) v Vγ t ≤ M (1 ∗ l)(t + h)(λ−γ −1 + k(T ) ) v → 0, (4.31) h → 0, theo v ∈ B , ta sử dụng Mệnh đề 1.6 Cuối t = h > 0, u(l)(h) − u(l)(0) = u(l)(h) = (1 ∗ l)(h) P (h)v −1 ≤ (1 ∗ l)(h)(λ−γ + k(T ) ) v Vγ → h → 0, (4.32) theo v ∈ B Kết hợp (4.30)-(4.32), ta chứng minh tính đồng liên tục B[l] Bổ đề chứng minh Cuối cùng, ta xét toán với f, g thỏa mãn điều kiện sau (F4) Hàm f : (0, T ] × L2 (Ω) → Vγ liên tục thỏa mãn f (t, u(t)) Vγ ≤ Lf (t)Ψf ( u Cl ), ∀t ∈ (0, T ], u ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), Lf ∈ C((0, T ]) khơng âm Ψf ∈ C(R+ ) không giảm (G4) Hàm g : Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) → Vγ thỏa mãn g(u) Vγ ≤ Ψg ( u Cl ), ∀u ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), Ψg ∈ C(R+ ) hàm không giảm 91 Hàm f, g thỏa mãn điều kiện (F4), (G4) trình bày Mục 4.5.2; Ví dụ Định lí 4.5 Xét hàm nhân l thỏa mãn giả thiết Bổ đề 1.4 Giả sử điều kiện (F4), (G4) thỏa mãn Khi đó, tốn (4.1)-(4.3) có nghiệm nhẹ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), điều kiện sau thỏa mãn lim inf p→∞ Ψg (p) Ψf (p) + Λ(T ) + k(T ) sup (1 ∗ l)(t)Λ(t) lim inf p→∞ p p t∈(0,T ] < k(T )λγ1 , (4.33) Λ định nghĩa (4.27) Chứng minh Chúng sử dụng định lý điểm bất động Schauder để toán tử nghiệm Φ(u) = Φ1 (u)+Φ2 (u) có điểm bất động Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), Φ1 Φ2 định nghĩa (4.22)-(4.23) Trước tiên Φ1 Φ2 toán tử compact Gọi D ⊂ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) tập bị chặn Đặt B = g(D) + F(D) với F định nghĩa T F(u) = − R(T − τ )f (τ, u(τ ))dτ Khi đó, B tập bị chặn Vγ Φ1 (D) = P (·)B Theo Bổ đề 4.2, ta có Φ1 (D) compact tương đối Chứng minh tương tự Bổ đề 4.1, ta Φ2 (D) compact tương đối C([0, T ]; L2 (Ω)), điều đảm bảo Φ2 (D) compact tương đối Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), C([0, T ]; L2 (Ω)) ⊂ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) Bây ta chứng minh tồn ρ > cho Φ(Bρ ) ⊂ Bρ , Bρ hình cầu đóng Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) tâm gốc với bán kính ρ Thật vậy, ta chứng minh phản chứng, giả sử với n ∈ N, tồn un ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) cho un Cl ≤ n Φ(un ) Cl > n Với t ∈ (0, T ], ta có (1 ∗ l)(t) Φ(un )(t) ≤ (1 ∗ l)(t) P (t)g(un ) T + (1 ∗ l)(t) P (t) R(T − τ )f (τ, u(τ ))dτ t + (1 ∗ l)(t) R(t − τ )f (τ, un (τ ))dτ ≤ k(T )−1 g(un ) T r(T − τ, λγ1 ) f (τ, u(τ )) dτ −1 + k(T ) 92 t r(t − τ, λγ1 ) f (τ, un (τ )) dτ + (1 ∗ l)(t) ≤ k(T )−1 λ−γ g(un ) Vγ T + k(T )−1 λ−γ r(T − τ, λγ1 ) f (τ, u(τ )) Vγ dτ r(t − τ, λγ1 ) f (τ, un (τ )) Vγ dτ, t + λ−γ (1 ∗ l)(t) dựa vào Mệnh đề 4.1 Sử dụng (F4)-(G4), ta thu −1 −γ (1 ∗ l)(t) Φ(un )(t) ≤ k(T )−1 λ−γ Ψg (n) + k(T ) λ1 Ψf (n)Λ(T ) + λ−γ Ψf (n)(1 ∗ l)(t)Λ(t) Theo đó, ta có Φ(un ) 1< n Cl ≤ −1 −γ Ψg (n) k(T ) λ1 n + λ−γ k(T )−1 Λ(T ) + sup (1 ∗ l)(t)Λ(t) t∈(0,T ] Ψf (n) n Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức n → ∞ ta nhận mâu thuẫn với (4.33) Định lí chứng minh Nhận xét 4.2 Nếu f nhận giá trị L2 (Ω) g nhận giá trị V γ2 nghiệm nhẹ u(t) ∈ V γ2 Khi đó, u(t) thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet 4.5 4.5.1 VÍ DỤ Ví dụ (Phương trình khuếch tán siêu chậm) Cho k(t) = tβ−1 dβ Xét toán Γ(β) k ∗ ∂t u − ∂x2 u = H(t) ln(1 + u2 ), t ∈ (0, T ], x ∈ (0, 1), u(t, 0) = u(t, 1) = 0, T u(T, x) = (4.35) dt (4.34) K(t, x, y)u(t, y)dy, (4.36) H K hàm cho trước Trong trường hợp này, γ = Vγ = V = H (0, 1) ∩ H01 (0, 1) ∞ Chú ý hàm nhân liên kết l(t) = e−pt dp không tăng 1+p 93 (0, ∞) Xét f (t, v)(x) = H(t) ln(1 + v(x)2 ) với v ∈ L2 (0, 1) Do hàm s → ln(1 + s2 ) có hệ số Lipschitz 1, ta có f (t, v1 ) − f (t, v2 ) |v1 (x) − v2 (x)|2 dx = |H(t)|2 v1 − v2 ≤ |H(t)| T Đặt g(u)(x) = dt K(t, x, y)u(t, y)dy Ta giả sử 0 1) K(t, 0, y) = K(t, 1, y) = 0, với t ∈ [0, T ], y ∈ (0, 1) 2) Hàm x → K(t, x, y) có đạo hàm cấp hai Áp dụng bất ng thc Hăolder, ta cú V g(u1 ) − g(u2 ) T = T 0 dx ∂x2 K(t, x, y)[u1 (t, y) − u2 (t, y)]dy dt + ∂x K(t, x, y)[u1 (t, y) − u2 (t, y)]dy dt dx ≤T +T sup ∂x K(t, x, ·) t∈[0,T ] sup ∂x2 K(t, x, ·) u1 (t, ·) − u2 (t, ·) dx u1 (t, ·) − u2 (t, ·) dx t∈[0,T ] ≤ T u1 − u2 2∞ ( sup ∂x K(t, x, ·) + sup ∂x2 K(t, x, ·) )dx t∈[0,T ] t∈[0,T ] Do vậy, giả thiết Định lí 4.2 thỏa mãn hàm H(t), t ∈ [0, T ] l liờn tc Hăolder vi bc ( 21 , 1], H(T ) = 0, H K đủ nhỏ theo nghĩa Lf (t) = |H(t)|, t ∈ [0, T ], ( sup ∂x K(t, x, ·) Lg = T t∈[0,T ] + sup ∂x2 K(t, x, ·) )dx , t∈[0,T ] thỏa mãn điều kiện (f, g) < nêu Định lí 4.2 4.5.2 Ví dụ (Phương trình khuếch tán phân thứ nhiều hạng tử) Xét tốn ∂tα u(t, x) + µ∂tβ u(t, x) − ∂x2 u(t, x) π = f˜(t, x) u(t, y) sin u(t, y)dy, (4.37) 94 với t ∈ (0, T ], x ∈ (0, π), thỏa mãn điều kiện biên u(t, 0) = u(t, π) = 0, ∀t ∈ [0, T ], (4.38) điều kiện cuối K(t, y)|u(t, y)|δ dydt, < δ < 1, u(T, x) = g˜(x) (4.39) [0,π]×[0,T ] < α < β < 1, µ > 0, f˜, g˜, K hàm cho trước cho tích phân liên quan hội tụ Trong ví dụ ta xét γ = Vγ = V = H (0, π) ∩ H01 (0, π) Gọi k(t) = g1−α (t) + µg1−β (t), π f (t, u)(x) = f˜(t, x) u(t, y) sin u(t, y)dy, K(t, y)|u(t, y)|δ dydt g(u)(x) = g˜(x) [0,π]×[0,T ] Khi đó, hàm f g khơng thỏa mãn điều kiện Lipschitz tồn cục Giả sử 1) f˜(t, 0) = f˜(t, π) = 0, x → f˜(t, x) có đạo hàm đến cấp hai 2) g˜(0) = g˜(π) = 0, g˜ có đạo hàm cấp ba Mặt khác, nhân k hàm hoàn toàn đơn điệu, nên tồn nhân liên kết l biến đổi Laplace cho cơng thức ˆl(λ) = λ−1 k(λ) ˆ −1 = (λα + µλβ )−1 Với λ ∈ C, Reλ > 0, ta có π , α β |arg (λ + µλ )| ∈ (arg λα |, |arg λβ |) |arg λα | < |arg λβ | < Do |arg ˆl(λ)| = |arg (λα + µλβ )−1 | = |arg (λα + µλβ )| ≤ |arg λβ | < Vì l π2 -quạt Hơn nữa, λˆl (λ) = −(αλα + βµλβ )(λα + µλβ )−2 π 95 Chú ý rằng, z1 = λα z2 = µλβ thuộc góc phần tư, |η1 λα + η2 µλβ | ≤ |λα + µλβ | = |ˆl(λ)|−1 , ∀η1 , η2 ∈ (0, 1) (4.40) Điều nghĩa |λˆl (λ)| = |αλα + βµλβ ||ˆl(λ)|2 ≤ |ˆl(λ)| (4.41) Từ ˆ l (λ) = −(αλα−1 + βµλβ−1 )ˆl(λ)2 , suy λ2ˆl (λ) = −[α(α − 1)λα + β(β − 1)µλβ ]ˆl(λ)2 − 2λ(αλα + βµλβ )ˆl(λ)ˆl (λ) Sử dụng (4.40)-(4.41), ta thu |λ2ˆl (λ)| ≤ |α(α − 1)λα + β(β − 1)µλβ ||ˆl(λ)|2 + 2|(αλα + βµλβ )ˆl(λ)||λˆl (λ)| ≤ 3|ˆl(λ)| (4.42) Bây cách tính tốn trực tiếp, ta có λ3ˆl (λ) = −[α(α − 1)(α − 2)λα + β(β − 1)(β − 2)µλβ ]ˆl(λ)2 − 4[α(α − 1)λα + β(β − 1)µλβ ]ˆl(λ)λˆl (λ) − 2(αλα + βµλβ )λ2ˆl (λ)2 − 2(αλα + βµλβ )ˆl(λ)λ2ˆl (λ) Áp dụng (4.40), (4.41) (4.42) ta thu |λ3ˆl (λ)| ≤ 13|ˆl(λ)| Ta chứng minh nhân l 3-chính quy Đối với hàm f , ta thấy π f (t, u(t)) V ≤ π |∂x f˜(t, x)|2 dx + π |∂x2 f˜(t, x)|2 dx |u(t, y)|2 dy 0 L(t) = [(1 ∗ l)(t)]2 u(t, ·) (1 ∗ l)(t) ≤ Lf (t)2 u 2Cl , L(t) Lf (t) = , L(t) = (1 ∗ l)(t) π π |∂x f˜(t, x)|2 dx + Do vậy, f thỏa mãn (F4) với Ψf (r) = r |∂x2 f˜(t, x)|2 dx 96 Đối với hàm g , ỏp dng bt ng thc Hăolder thu c K(t, y)|u(t, y)|δ dydt T ≤T [0,π]×[0,T ] ≤T K(t, y)|u(t, y)|δ dy dt T 2−δ π |K(t, y)| dt 2−δ π δ π |u(t, y)|2 dy dy 0 T M (t) u(t, ·) =T 2δ dt T ≤ T M (t) dt [(1 ∗ l)(t)]2δ 2δ Cl u = L2g u 2δ Cl , (4.43) T Lg = T M (t) dt [(1 ∗ l)(t)]2δ 2−δ π |K(t, y)| , M (t) = 2−δ dy Dùng ước lượng (4.43), ta có g(u) V ≤ ( g˜ 2 + g˜ Vì vậy, g thỏa mãn (G4) với Ψg (r) = ( g˜ )L2g u + g˜ 2δ Cl ) Lg r δ Áp dụng Định lí 4.5, tốn (4.37)-(4.39) có nghiệm nhẹ Cl ((0, T ]; L2 (0, π)), với điều kiện Λ(T ) + k(T ) sup (1 ∗ l)(t)Λ(t) < k(T ), t∈(0,T ] với Λ định nghĩa (4.27) Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn ngược lớp phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính, cho trước điều kiện cuối dạng (4.1)-(4.3) Đối với mơ hình tốn này, chúng tơi: 1) Đưa biểu diễn nghiệm nhẹ trường hợp tuyến tính cách sử dụng lý thuyết giải thức (Định nghĩa 4.1) 2) Chứng minh tồn nghiệm điều kiện f g nhận giá trị khơng gian hàm quy (Định lí 4.1; 4.2 4.3) 3) Chứng minh tính giải cho hệ (4.1)-(4.3) không gian Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), gồm hàm gián đoạn t = (Định lí 4.4 4.5) 97 Về phương diện kỹ thuật, sử dụng tính parabolic phương trình khuếch tán dị thường, chúng tơi thu tính quy giải thức cho phép chúng tơi giải tốn trường hợp hàm phi tuyến không thỏa mãn điều kiện Lipschitz So sánh với kết có cho trường hợp phương trình vi phân phân thứ, chúng tơi giải toán tổng quát đưa điều kiện khả thi cụ thể Tuy nhiên, tốn nửa tuyến tính, kết dừng lại việc đưa điều kiện đủ Các điều kiện chưa tối ưu, nghiên cứu tiếp theo, chúng tơi tìm kiếm điều kiện chặt chẽ trường hợp f g khơng có tính chất Lipschitz 98 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Các kết đạt Trong luận án, nghiên cứu số vấn đề định tính lớp phương trình vi phân không địa phương Luận án đạt kết sau: (a) Thiết lập điều kiện đủ đảm bảo tồn nghiệm địa phương nghiệm tồn cục, tính ổn định tiệm cận nghiệm v tớnh chớnh quy Hăolder ca nghim cho mt lp phương trình vi phân khơng địa phương nửa tuyến tính trừu tượng không gian Hilbert Đây nội dung Chương (b) Chứng minh tính giải tồn cục tính tiêu hao lớp phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính có chứa trễ hữu hạn toán tử Laplace bậc phân Dưới số điều kiện bổ sung, chứng minh tính ổn định tiệm cận/tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm cho lớp phương trình Đây nội dung Chương (c) Chứng minh tính giải toán giá trị cuối cho lớp phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính chứa toán tử Laplace bậc phân, hai trường hợp kiện quy đủ tốt khơng quy Đây nội dung Chương Đề xuất số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: • Tìm điều kiện đủ cho tính giải được, ổn định ổn định yếu nghiệm phương trình vi phân khơng địa phương có trễ vơ hạn; • Nghiên cứu tính phân rã nghiệm phần phi tuyến phương trình vi phân khơng địa phương tăng trưởng tuyến tính; • Nghiên cứu tính quy nghiệm tốn giá trị cuối với phương trình vi phân khơng địa phương 99 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1) T.D Ke, N.N Thang, L.T.P Thuy, Regularity and stability analysis for a class of semilinear nonlocal differential equations in Hilbert spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications 483 (2020), no 2, 123655 (SCI) 2) T.D Ke, L.T.P Thuy, Nonlocal final value problem governed by semilinear anomalous diffusion equations, Evolution Equations & Control Theory (2020), 9(3): 891-914 (SCIE) 3) T.D Ke, L.T.P Thuy, Dissipativity and stability for semilinear anomalous diffusion equations involving delays, Mathematical Methods in the Applied Sciences (2020);43:8449-8465.doi.org/10.1002/mma.6497 (SCIE) 100 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh, Trần Đình Kế, Nửa nhóm tốn tử tuyến tính ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2016 [2] R Agarwal, S Hristova, D O’Regan, A survey of Lyapunov functions, stability and impulsive Caputo fractional differential equations, Fract Calc Appl Anal 19 (2016), 290-318 [3] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina and B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Berlin, 1992 [4] F AL-Musalhi, N AL-Salti, S Kerbal, Inverse problems of a fractional differential equation with Bessel operator, Math Model Nat Phenom 12 (2017), 105-113 [5] N.T Anh, T.D Ke, Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math Methods Appl Sci 38 (2015), 1601-1622 [6] N.T.V Anh, T.D Ke, On the differential variational inequalities of parabolic-elliptic type, Math Methods Appl Sci 40 (2017), 46834695 [7] N.T Anh, T.D Ke, N.N Quan, Weak stability for integro-differential inclusions of diffusion-wave type involving infinite delays, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 21 (2016), 3637-3654 [8] F F Bonsall (1962), Lectures on some fixed point theorems of functional analysis, Bombay [9] T.A Burton Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publ., New York, 2006 [10] Ph Clément, J A Nohel, Asymptotic behavior of solutions of nonlinear Volterra equations with completely positive kernels, SIAM J Math Anal 12 (1981), 514-535 101 [11] N.D Cong, D.T Son, H.T Tuan, On fractional Lyapunov exponent for solutions of linear fractional differential equations, Fract Calc Appl Anal 17 (2014), 285-306 [12] W Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol II, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York, 1971 [13] A F Filippov, Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Translated from the Russian Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1988 [14] K.M Furati, O.S Iyiola, K Mustapha, An inverse source problem for a two-parameter anomalous diffusion with local time datum, Comput Math Appl 73 (2017), 1008-1015 [15] P Giesl, M Rasmussen, Areas of attraction for nonautonomous differential equations on finite time intervals, J Math Anal Appl 390 (2012), 27-46 [16] G Gripenberg, Volterra integro-differential equations with accretive nonlinearity, J Differential Equations 60 (1985), 57-79 [17] G Gripenberg, S.-O Londen, O Staffans, Volterra Integral and Functional Equations Cambridge University Press, Cambridge, 1990 [18] Halanay, Aristide, and Vl Rasvan, Applications of Liapunov Methods in Stability, Vol 245, Springer Place, 2012 [19] L.V Hien, T.D Ke, C.T Kinh, Globally attracting solutions to impulsive fractional differential inclusions of Sobolev type, Acta Math Sci 37 (2017), 1295-1318 [20] V.G Jakubowski, P Wittbold, On a nonlinear elliptic-parabolic integro-differential equation with L1 -data, J Differential Equations 197 (2004), 427-445 [21] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [22] T.D Ke, D Lan, Decay integral solutions for a class of impulsive fractional differential equations in Banach spaces, Fract Calc Appl Anal 17:1 (2014), 96-121 102 [23] T.D Ke, D Lan, Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects, J Fixed Point Theory Appl 19 (2017), 2185-2208 [24] T.D Ke, N.V Loi, V Obukhovskii, Decay solutions for a class of fractional differential variational inequalities, Fract Calc Appl Anal 18 (2015), 531-553 [25] J L Kelley, General topology (1991), Springer-Verlag [26] J Kemppainen, J Siljander, V Vergara, R Zacher, Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in Rd , Math Ann 366 (2016), 941-979 [27] M Kirane, S.A Malik, M.A Al-Gwaiz, An inverse source problem for a two dimensional time fractional diffusion equation with nonlocal boundary conditions, Math Methods Appl Sci 36 (2013), 1056-1069 [28] W Knapp, Basic Real Analysis, Birkhăauser, Berlin, 2005 [29] A.N Kochubei, Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion, J Math Anal Appl 340 (2008), 252-281 [30] Anatoly N Kochubei, General fractional calculus, evolution equations, and renewal processes, Integr Equ Oper Theory 71 (2011), 583-600 [31] M.P Lazarevic, A.M Spasic, Finite-time stability analysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach, Math Comput Modelling 49 (2009), 475-481 [32] Y Li, Y Chen, I Podlubny, Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler stability, Comput Math Appl 59 (2010), 1810-1821 [33] M Li, J.R Wang, Finite time stability of fractional delay differential equations, Appl Math Lett 64 (2017), 170-176 [34] Y Luchko, W Rundell, M Yamamoto, L Zuo, Uniqueness and reconstruction of an unknown semilinear term in a time-fractional reactiondiffusion equation, Inverse Problems 29 (2013), 065019, 1-17 [35] F Mainardi, Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity, Imperial College Press, London, 2010 [36] R.K Miller, On Volterra integral equations with nonnegative integrable resolvents, J Math Anal Appl 22 (1968), 319-340 103 [37] J.C Pozo, V Vergara, Fundamental solutions and decay of fully nonlocal problems, Discrete Contin Dyn Syst (39) 2019, 639-666 [38] J Pră uss, Evolutionary Integral Equations and Applications Monographs in Mathematics 87, Birkhăauser, Basel, 1993 [39] M Rasmussen, Attractivity and Bifurcation for Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 1907 Springer, Berlin, 2007 [40] K Sakamoto, M Yamamoto, Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J Math Anal Appl 382 (2011), 426-447 [41] S.G Samko, R.P Cardoso, Integral equations of the first kind of Sonine type, Int J Math Math Sci 57 (2003), 3609-3632 [42] M Slodicka, K Siskova, An inverse source problem in a semilinear timefractional diffusion equation, Comput Math Appl 72 (2016), 16551669 [43] I.M Stamova, On the Lyapunov theory for functional differential equations of fractional order, Proc Amer Math Soc 144 (2016), 15811593 [44] S Tatar, S Ulusoy, An inverse problem for a nonlinear diffusion equation with time-fractional derivative, J Inverse Ill-Posed Probl 25 (2017), 185-193 [45] M Taylor, Partial Differential Equations I, Second edition Applied Mathematical Sciences, 115 Springer, New York, 2011 [46] N.H Tuan, M Kirane, B Bin-Mohsin, P.T.M Tam, Filter regularization for final value fractional diffusion problem with deterministic and random noise, Comput Math Appl 74 (2017), no 6, 1340-1361 [47] N.H Tuan, L.D Long, N.V Thinh, T.Thanh, On a final value problem for the time-fractional diffusion equation with inhomogeneous source, Inverse Probl Sci Eng 25 (2017), no 9, 1367-1395 [48] N.H Tuan, L.N Huynh, T.B Ngoc, Y Zhou, On a backward problem for nonlinear fractional diffusion equations, Appl Math Lett 92 (2019), 76-84 104 [49] V Vergara, R Zacher, Optimal decay estimates for time-fractional and other nonlocal subdiffusion equations via energy methods, SIAM J Math Anal 47 (2015), 210-239 [50] V Vergara, R Zacher, Stability, instability, and blowup for time fractional and other nonlocal in time semilinear subdiffusion equations, J Evol Equ 17 (2017), 599-626 [51] I.I Vrabie, C0 -Semigroups and Applications North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2003 [52] D.Wang, A Xiao, H Liu, Dissipativity and stability analysis for fractional functional differential equations, Fract Calc Appl Anal 18 (2015), no 6, 1399-1422 [53] T Wei, Z Zhang, Reconstruction of a time-dependent source term in a time-fractional diffusion equation, Eng Anal Bound Elem 37 (2013), 23-31 [54] M Yang, J Liu, Solving a final value fractional diffusion problem by boundary condition regularization, Appl Numer Math 66 (2013), 45-58 [55] F Yang, Y.-P Ren, X.-X Li, The quasi-reversibility method for a final value problem of the time-fractional diffusion equation with inhomogeneous source, Math Methods Appl Sci 41 (2018), no 5, 1774-1795 [56] R Zacher, Boundedness of weak solutions to evolutionary partial integro-differential equations with discontinuous coefficients, J Math Anal Appl 348 (2008), 137-149 [57] R Zacher, Weak solutions of abstract evolutionary integro-differential equations in Hilbert spaces, Funkcialaj Ekvacioj 52 (2009), 1-18 [58] Y Zhang, J.R Wang, Existence and finite-time stability results for impulsive fractional differential equations with maxima,J Appl Math Comput 51 (2016), 67-79 [59] Y Zhang, X Xu, Inverse source problem for a fractional diffusion equation, Inverse Problems 27 (2011), 035010, 1-12 [60] H Zhang, X Zhang, Generalized Tikhonov method for the final value problem of time-fractional diffusion equation, Int J Comput Math 94 (2017), no 1, 66-78 ... ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... thuyết phương trình vi phân khơng địa phương Từ phân tích trên, chúng tơi chọn đề tài luận án là: ? ?Một số vấn đề định tính lớp phương trình vi phân khơng địa phương? ?? Mục đích – Đối tượng – Phạm vi. .. với nhân kì dị Khi giải phương trình vi phân địa phương, ta thường lấy tích phân số lần đưa phương trình dạng phương trình tích phân Với phương trình khơng địa phương tổng qt, ta đưa phương trình