(Luận văn thạc sĩ) một số mở rộng của bất đẳng thức euler và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG MINH AN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC EULER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG MINH AN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC EULER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Bất đẳng thức Euler số mở rộng 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Một số định lý tam giác 1.1.2 Một số bất đẳng thức 1.1.3 Tứ giác nội tiếp 1.1.4 Tứ giác ngoại tiếp 1.1.5 Tứ giác hai tâm 1.2 Bất đẳng thức Euler 1.3 Một số mở rộng bất đẳng thức Euler 11 1.3.1 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho tam giác 11 1.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho tứ giác hai tâm 32 1.3.3 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho đa diện 41 Một số ứng dụng bất đẳng thức Euler 51 2.1 Ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh bất đẳng thức tam giác 51 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh bất đẳng thức tứ giác 59 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn đạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học suốt trình tìm hiểu tài liệu, viết hoàn thiện Luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Bộ mơn tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, Thầy Cơ Viện Tốn học tận tình giảng dạy, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành để em hồn thành khóa học bảo vệ luận văn Thạc sĩ Tôi chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè quan, đồn thể nơi tơi cơng tác Trường Trung học Phổ thông Bạch Đằng, Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, tạo điều kiện vật chất lẫn tinh thần trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Xin cảm ơn thầy giáo Hồng Minh Qn cho phép tơi tham khảo sử dụng thảo thầy Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Tác giả Hồng Minh An Lời nói đầu Năm 1897, thi toán Hội Toán học Vật lý Loránd Eotvos, Giáo sư L F Fejér, vào thời điểm sinh viên, sử dụng hệ thú vị sau định lý hình học sơ cấp tiếng Euler: Nếu R bán kính đường trịn ngoại tiếp r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác R ≥ 2r Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Euler Bất đẳng thức dễ dàng suy từ định lý Euler d2 = R2 − 2Rr với d khoảng cách hai tâm đường tròn ngoại tiếp �� pr = r(r + 4R2 + r2 ) sin θ ⇔ p = (r + 4R2 + r2 ) sin θ Do p ≤ r + √ R , ta chứng minh r √ √ r + 4R2 + r2 ≤ 2R + (4 − 2)r, 4R2 + r2 Đặt x = tương đương với √ √ 4x2 + ≤ 2x + − 2 √ √ √ √ ⇔ 4x2 + ≤ 2x + − 2 ⇔ ≤ 4(3 − 2)x + (3 − 2)2 √ √ ⇔ x ≥ ⇔ R ≥ 2r, 1+ bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy tứ giác hai tâm hình vng Ví dụ 2.20 Chứng minh rằng, tứ giác hai tâm ta có bất đẳng thức: √ p2 ≤ 4R2 + 4Rr + (8 − 2)r2 √ Chứng minh Ta có p ≤ r + 4R2 + r2 , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (r + √ √ 4R2 + r2 )2 ≤ 4R2 + 4Rr + (8 − 2)r2 60 Đặt x = R , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành r √ √ ( 4x2 + + 1)2 ≤ 4x2 + 4x + − 2, tương đương với √ √ 4x2 + + 4x2 + ≤ 4x2 + 4x + − √ √ √ √ ⇔ 4x2 + ≤ 4x + − ⇔ 4x2 + ≤ 2x + − 2 √ √ ⇔ 4x2 + ≤ 4x2 + (12 − 2)x + (3 − 2)2 √ √ ⇔ x ≥ ⇔ R ≥ 2r, bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Fejes Tóth Đẳng thức xảy tứ giác hai tâm hình vng Ví dụ 2.21 Chứng minh với tứ giác hai tâm ta có p2 + 8r2 ≤ ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤ 3(p2 − 8r2 ) Chứng minh Đối với tứ giác hai tâm, ta có đẳng thức √ ab + bc + ca + ad + bd + cd = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 √ Theo bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, suy √ ab + bc + ca + ad + bd + cd = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 ≥ p2 + 8r2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + 2 2 2 2 a +d b +d c + d2 + + + 2 2 2 3(a + b + c + d ) ≤ ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤ Mặt khác thì, tứ giác hai tâm ta có √ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 2[p2 − 2(r2 + r 4R2 + r2 )], suy √ ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤ 3[p2 − 2(r2 + r 4R2 + r2 )] 61 √ 2r lần nữa, ta có √ 3[p2 − 2(r2 + r 4R2 + r2 )] ≤ 3(p2 − 8r2 ) Áp dụng bất đẳng thức R ≥ Do ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤ 3(p2 − 8r2 ) Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tứ giác hai tâm hình vng Ví dụ 2.22 Chứng minh bất đẳng thức sau tứ giác hai tâm: p3 8pr ≤ abc + abd + acd + bcd ≤ + 4pr2 24 Chứng minh Trong tứ giác hai tâm, ta có đẳng thức √ abc + abd + acd + bcd = 2pr(r + 4R2 + r2 ) √ Từ bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, suy abc + abd + acd + bcd ≥ 8pr2 √ Mặt khác p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r), suy √ abc + abd + acd + bcd = 2pr( 4R2 + r2 − r) + 4pr2 p √ = 8r( 4R2 + r2 − r) + 4pr2 p2 ≤ + 4pr2 Đẳng thức xảy tứ giác hai tâm hình vng Ví dụ 2.23 Chứng minh bất đẳng thức sau tứ giác hai tâm 1 1 p2 + 16r2 ≤ + + + ≤ p a b c d 4pr2 Chứng minh Ta có đẳng thức sau tứ giác hai tâm √ 1 1 2( 4R2 + r2 + r) + + + = a b c d pr √ Mặt khác p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r), suy √ 1 1 8r( 4R2 + r2 + r) + + + = a b c d 4pr2 √ p2 + 16r2 8r( 4R2 + r2 − r) + 16r2 ≤ = 4pr2 4pr2 √ Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, ta √ 1 1 2( 4R2 + r2 + r) 8r + + + = ≥ = a b c d pr 8rp p 62 Ví dụ 2.24 Chứng minh bất đẳng thức sau tứ giác hai tâm: 1 1 1 5p2 + 16r2 p2 + 8r2 ≤ + + + + + ≤ p2 r ab bc ca ad bd cd 4p2 r2 Chứng minh Trong tứ giác hai tâm, ta có √ 1 1 p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 + + + + + = ab bc ca ad bd cd p2 r √ Mặt khác p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r), suy √ 1 1 4p2 + 8r(r + 4R2 + r2 ) + + + + + = ab bc ca ad bd cd 4p2 r2 √ 4p2 + 8r( 4R2 + r2 − r) + 16r2 = 4p2 r2 5p2 + 16r2 ≤ 4p2 r2 √ Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, ta √ p2 + 8r2 1 1 p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 ≥ + + + + + = ab bc ca ad bd cd p2 r p2 r Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy tứ giác ABCD hình vng Ví dụ 2.25 Chứng minh bất đẳng thức sau tứ giác hai tâm: p2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ p2 − 8r2 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, có (1 + + + 1) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b + c + d) tương đương (a + b + c + d) ≤ a2 + b2 + c2 + d2 , hay p ≤ a2 + b + c + d Mặt khác áp dụng đẳng thức tứ giác hai tâm √ a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4(r2 + r 4R2 + r2 ) , 63 √ bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2, có √ a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − r2 + r 4R2 + r2 ≤ p2 − 8r2 Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy tứ giác hai tâm hình vng Ví dụ 2.26 Chứng minh bất đẳng thức sau tứ giác hai tâm: p2 + 8r2 ≤ a2 b2 +a2 c2 +a2 d2 +b2 c2 +b2 d2 +c2 d2 ≤ 25p4 − 320p2 r2 + 256r4 16 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, có (1 + + + + + 1) a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 ≥ (ab + ac + ad + bc + bd + cd) , tương đương a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 ≥ (ab + ac + ad + bc + bd + cd) Theo Ví dụ 2.21, có ab + bc + ca + ad + bd + cd ≥ p2 + 8r2 Do p2 + 8r2 a b +a c +a d +b c +b d +c d ≥ Mặt khác, từ đẳng thức tứ giác hai tâm √ a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 = (p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 )2 − √ −8p2 r 4R2 + r2 − 6p2 r2 √ √ bất đẳng thức p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r) bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2, 2 2 2 2 2 2 ta có a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 = √ √ = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 − 8p2 r 4R2 + r2 − 6p2 r2 √ 2  √ 4p2 + 8r 4R2 + r2 − r + 16r2  − 8p2 r 4R2 + r − 6p2 r =  5p2 + 16r2 25p4 − 320p2 r2 + 256r4 2 ≤ − 30p r = 16 16 Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy tứ giác hai tâm hình vng 64 Ví dụ 2.27 Chứng minh bất đẳng thức sau tứ giác hai tâm: 16r2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 8R2 Chứng minh Áp dụng đẳng thức sau tứ giác hai tâm √ a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4(r2 + r 4R2 + r2 ) , √ √ bất đẳng thức p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r) bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2, ta có √ a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − r2 + r 4R2 + r2 ≥ √ √ ≥ 16r( 4R2 + r2 − r) − 4(r2 + r 4R2 + r2 ) √ ≥ 12r 4R2 + r2 − 20r2 ≥ 16r2 √ Áp dụng đẳng thức a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4(r2 + r 4R2 + r2 ) , bất đẳng √ √ thức p ≤ r + 4R2 + r2 bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2, ta có √ a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − r2 + r 4R2 + r2 √ √ ≤ r + 4R2 + r2 − r2 + r 4R2 + r2 √ √ ≤ 4R2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 − r2 + r 4R2 + r2 ≤ 8R2 Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy tứ giác hai tâm hình vuông ... 1.3.3 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho đa diện 41 Một số ứng dụng bất đẳng thức Euler 51 2.1 Ứng dụng bất đẳng thức Euler chứng minh bất đẳng thức tam giác 51 2.2 Ứng dụng. .. 1.2 Bất đẳng thức Euler 1.3 Một số mở rộng bất đẳng thức Euler 11 1.3.1 Mở rộng bất đẳng thức Euler cho tam giác 11 1.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Euler. ..ết mở rộng ứng dụng bất đẳng thức Euler Và hướng mở tác yêu thích Tốn học nghiên cứu, đào sâu thêm mở rộng bất đẳng tức Euler cho tam giác cầu, tam giác hyperbolic ứng dụng chứng minh bất đẳng th