PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC VÒNG 2.. là số chính phương.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC VÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4 điểm): a) Rút gọn biểu thức: A = 4 4 x2 - x - 2x - b) Cho biểu thức: B = x - x - x 10 x - Tìm x nguyên để B nguyên Bài (4 điểm): Cho x > 0, y > 0, x + y £ M = xy + Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (4 điểm): Chứng minh số: 11…….1 xy x (có 1995 chữ số 1) 100………05 + (1994 chữ số 0) là số chính phương Bài (4 điểm): Tìm số chính phương có chữ số cho chữ số cuối là số nguyên tố, bậc số đó có tổng các chữ số là số chính phương Bài (4 điểm): Cho ∆ABC biết AC2 = AB2 + BC.AB Chứng minh : ABC 2ACB - Hết Lưu ý : Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….……… Số BD: ……… (2) HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG II MÔN TOÁN (2012-2013) Bài (4 điểm) : a) A = Dễ thấy A > Ta có: A2 = = 4 4 (0,5 điểm) 4 4 4 4 = 2 Suy A = (Vì A > 0) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) b) Ta có: x2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) Điều kiện để B có nghĩa là: x ≠ và x ≠ x2 x 2x B x x x 10 x Ta có: x2 x 2 x x x x (2 x 4)( x 2) x ( x 5)( x 2) x ( x 5)( x 2) x x 15 ( x 5)( x 3) ( x 5)( x 2) ( x 5)( x 2) điểm) x 3 x x ( x 2) 1 B x x x (0,5 điểm) (0,25 điểm) Với x nguyên, B nguyên và x nguyên điểm) Khi đó x - = x - = - => x = x = Vậy x = 3; x = thì B nguyên Bài (4 điểm): ³ x + y ³ xy Þ < xy £ Áp dụng BĐT côsi, ta có: 1 xy = Û x = y = Ta có: Mặt khác: M = xy + xy (0,5 (0,25 (0,25 điểm) (0,25 điểm) 1 Þ ³ 4 xy (1 điểm) (0,5 điểm) (3) M = xy + 143 143 1 143 145 + ³ xy + ³ + = 16xy 16xy 16xy 16 xy 16 Đẳng thức xảy và khi: 145 x =y= Vậy minM = , đạt điểm) Bài (4 điểm): Ta có: (101994 + 101993 + … + 10 + 1) x ( 101995 + 5)+ x =y= (2 điểm) (0,25 điểm) (0,25 1,5đ = (10 - 1)(101994 + 101993 + … + 10 + 1)( 101995 + 5)+ 1,5đ = (101995 - 1)( 101995 + 5)+ 1đ 101995 = 33…… 342 = ………… = (1994 chữ số 3) Bài (4 điểm): Gọi số phải tìm là abcd; (a,b,c,d nguyên ; 0≤ a,b,c,d≤9) abcd chính phương nên d = { ;1 ;4 ;5 ;6 ; } d nguyên tố nên d =5 Mặt khác: 1000≤ abcd = k2 <10000 Suy : 32 ≤ k < 100 k là số có chữ số mà d = nên k tận cùng là Tổng các chữ số k là số chính phương nên k =45 Vậy số abcd cần tìm là: 2025 Bài (4 điểm): Đáp án 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ Điểm 0,5 Vẽ phân giác BD AD AB AD AB DC BC AC AB BC AD.AC AB2 AC (AB2 AB.BC) 1 (4) AD.AC = AB2 (gt làAC2 = AB2 + BC.AB ) AD AB AB AC ; Và DAB BAC ∆BAD ~ ∆CAB(c.g.c) B1 C1 B B B = C1 B 2C1 Hay Khi BD là phân giác : ABC 2ACB Thí sinh giải cách khác đúng vẩn dạt điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 (5)