Đang tải... (xem toàn văn)
Trên mặt phẳng dựng đờng tròn tâm I, bán kính IA, trên đờng tròn này lấy điểm A’ sao cho A’, B nằm về hai phía so với và A, B đồng ph¼ng.. Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị l[r]
(1)GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ Khai th¸c c¸c c¸ch gi¶i kh¸c vÒ mét sè d¹ng to¸n cùc trÞ h×nh häc kh«ng gian PhÇn 1: C¬ së lý thuyÕt Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) uuur AB = th× ⃗ AB=( x − x2 , y − y , z − z ) (x1 - x2)2 +(y1 - y2)2 + (z1 - z2)2 Cho vect¬: ⃗u=( x , y , z ) , ⃗v =( x , y , z2 ) |u⃗|=√ x1 + y + z * 2 |⃗v|=√ x + y + z 2 2 dấu đẳng thức p xảy và u⃗ , ⃗v cùng chiều vect¬ b»ng ⃗0 hoÆc ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ u v u v * dÊu “=” x¶y vµ chØ ⃗u , ⃗v cïng chiÒu hoÆc vect¬ b»ng ⃗0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b a t R *Điều kiện để hai véc tơ và cùng phơng là để =t b ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a; b c 0 Điều kiện để ba véc tơ a ; c và b không đồng phẵng là * ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a; b c 0 Điều kiện để ba véc tơ a ; c và b đồng phẵng là * * r r rr u ^ v Û u.v = Û x1x2 + y1y2 + z1z2 = AB BC AC * Cho ABC Th× AB+BC BC vµ dấu đẳng thức sãy ba ®iÓm A;B;C th¼ng hµng PhÇn II C¸c d¹ng to¸n - ph¬ng ph¸p chung vµ vÝ dô minh ho¹ (2) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ I D¹ng Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c vµ hai ®iÓm A vµ B Sao cho AB// H·y t×m trªn ®iÓm M cho : MA+MB nhá nhÊt MA MB nhá nhÊt ⃗ ⃗ MA k MB ng¾n nhÊt .A .B M x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho Câu 1; Cho đờng thẳng AB // h·y t×m trªn ®iÓm M Sao cho MA+MB nhá nhÊt : Ph¬ng ph¸p chung C¸ch 1: I A M B M' : x x0 y y0 z z0 a b c A' *chøng minh cho AB // *Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn Ta chøng minh M là điểm cần tìm nh sau : Gọi A’ là điểm đối xứng A qua hiển nhiên ®iÓm A’;M;B lµ th¼ng hµng Gi¶ sö M’ lµ ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B M ' A ' M ' B A ' B MA ' MB MA MB Cách 2: Gọi A’ là điểm đối xứng A qua ,Gọi M là giao điểm A’B và Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gi¶ sö M’ lµ ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B M ' A ' M ' B A ' B MA ' MB MA MB VÝ dô minh ho¹: x y z 1 cho : Víi A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) T×m trªn ®iÓm M cho :MA+MB nhá nhÊt Cách 1: Nhận xét đờng thẳng có vectơ phơng là v ( 1, 2,1) (3) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ Vµ AB (2, 4, 2) // v 2 Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc nªn AB// Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: x 1 t y 2t (t R ) z t Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB th× I=(0,0,0) Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn th× M=(1-t , 2t , t-1) (1) VËy: IM (1 t , 2t , t 1) Ta cã: ⃗⃗ 1 v IM 0 t 4t t 0 t t Thay vào (1) ta đợc 2 2 M , , 3 3 Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua vì AB// nên A’,M, B thẳng hàng và MA’=MB LÊy ®iÓm M’ tuú ý thuéc Ta cã: M’A +M’B=M’A’+M’B A’B= MA’+ MB = MA+ MB v ( 1, 2,1) Cách 2: Nhận xét đờng thẳng có vectơ phơng là AB (2, 4, 2) // v Vµ 2 Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: Vâỵ điểm A không thuộc nªn AB// Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: x 1 t y 2t (t R ) z t Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn Th× H=(1-t,2t,-1+t) (1) VËy AH ( t 2, 2t 2, t 2) Ta cã ⃗⃗ v AH 0 t 4t t 0 6t 8 t t Thay Gäi 1 H , , 3 3 vào (1) đợc toạ độ điểm A ' x1 , y1 , z1 là điểm đối xứng với A qua ⃗ ⃗ 16 A ' B , , // v (1, 8, 1) 3 Ta cã: (4) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ Vậy phơng trình đờng thẳng A’B là: x y z 1 8 1 8 x y 0 y 8z 8 x y 6 y z 6 2 x y VËy ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña lµ: y 2 z 2 x y 2 y z 2 Gọi M=(x,y,z) là giao điểm A’B và thì toạ độ M là nghiệm hệ: x 8 x y 6 y z 6 y x y 2 2 y z 2 2 2 M , , z 3 3 vËy NhËn xÐt M lµ ®iÓm cÇn t×m thËt vËy lÊy ®iÓm M tuú ý trªn Ta cã: M’A+M’B=M’A’+M’B A’B=MA’+MB=MA+MB Câu : Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c vµ hai ®iÓm A vµ B Sao cho AB// H·y t×m trªn ®iÓm M cho : 1.Ph¬ng ph¸p chung C¸ch 1: A I B M M' ⃗ ⃗ MA MB : nhá nhÊt x x0 y y0 z z0 a b c Gọi I là trung điểm AB Gọi M là hình chiếu I trên Tìn toạ độ M và chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gäi M' lµ ®iÓm tuú ý trªn ta cã ⃗ ⃗ M ' A M 'B =2M'I 2MI = ⃗ ⃗ MA MB Cách 2: Lấy M ( x0 at; y0 bt ; z0 ct ) tính độ dài trÞ nhá nhÊt ⃗ ⃗ MA MB tù đó tim đợc giá x y z 1 Víi A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) T×m trªn 2.vÝ dô ninh ho¹: cho : ®iÓm M cho : ⃗ ⃗ MA MB nhá nhÊt (5) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ Cách 1: Nhận xét đờng thẳng có vectơ phơng là Vµ ⃗ v ( 1, 2,1) ⃗ ⃗ AB (2, 4, 2) // v 2 Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc nªn AB// Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: x 1 t y 2t (t R ) z t Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB th× I=(0,0,0) Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn th× M=(1-t , 2t , t-1) (1) ⃗ VËy: IM (1 t , 2t , t 1) ⃗⃗ v IM 0 t 4t t 0 t Ta cã: t vào (1) ta đợc 2 2 M , , 3 3 Thay Ta chøng minh ®iÓm M cÇn t×m: ThËt vËy Gäi M’ lµ ®iÓm tuú ý thuéc Ta cã: M ' A M ' B 2 M ' I 2 M ' I 2 MI MA MB x 1 t y 2t (t R) z t C¸ch 2: Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: LÊy ®iÓm ⃗ ⃗ M ( t ; 2t ; t ) Ta cã AM ( 2-t;2t-2;t-2) vµ BM ( t; 2t 2; t ) ⃗ ⃗ MA MB (2-2t) +16t +(2t-2) 24t 16t AM BM Nªn (2-2t;4t;2t-2) vËy MA MB 2 2 M , , 3 3 nhá nhÊt t= tøc Câu 3: Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho AB // h·y t×m trªn ®iÓm M Sao cho Ph¬ng ph¸p gi¶i ⃗ ⃗ MA k MB ng¾n nhÊt (6) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ x x0 at y y0 bt (t R ) *ViÕt ph¬ng tr×nh vÒ tham sè z z0 ct *LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ⃗ ⃗ MA k MB Thay vµo P= trÞ nhá nhÊt cña P = f (t ) với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc giá x y z 1 Víi A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) T×m trªn VÝ dô minh ho¹: cho : ®iÓm M cho : ⃗ ⃗ MA 3MB nhá nhÊt Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: ®iÓm x 1 t y 2t (t R) z t Gäi M lµ ®iÓm tuú ý thuéc M=(1-t , 2t , t-1)(*) MA ( t 2, t , t ); MB ( t , t , t ) 3MB ( 3t , 6t 6,3t ) Ta cã ⃗ ⃗ P MA 3MB ( 2t 2, 4t 8, 2t 2) ⃗ ⃗ P MA 3MB 4t 8t 16t 64t 64 4t 8t 24t 80t 72 VËy P nhá nhÊt II D¹ng t 10 5 5 M , , t 3 3 Khi vào (*) ta đợc Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c vµ hai ®iÓm A vµ B Sao cho AB c¾t H·y t×m trªn ®iÓm M cho : 1.MA+MB nhá nhÊt ⃗ ⃗ MA MB ⃗ ⃗ MA k MB B nhá nhÊt A ng¾n nhÊt Câu1: Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho AB vµ c¾t ,vµ A;B n»m cïng phÝa so víi h·y t×m ®iÓm M Sao cho MA+MB nhá nhÊt Ph¬ng ph¸p gi¶i C¸ch 1: (7) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ *chøng minh cho AB vµ c¾t vµ A;B n»m cïng phÝa so víi Gọi A’ là điểm đối xứng A qua ,Gọi M là giao điểm A’B và Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gi¶ sö M’ lµ ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B M ' A ' M ' B A ' B MA ' MB MA MB C¸ch 2: *LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ta tinh MA vµ MB P MA MB f (t ) g (t ) Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhÊt cña P 2.vÝ dô minh ho¹: x y 5 z 5 (d) Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng : vµ ®iÓm M1(2 ; 1; 5) ; M2(4 ; ; 9) T×m ®iÓm I (d) cho IM1 + IM2 nhá nhÊt ⃗ a 1, 5, 3 (d) cã vÐc t¬ chØ ph¬ng lµ : Ph¬ng tr×nh tham sè cña : ( d) : x 2 t y 5t z 3t vµ ®i qua ®iÓm A(2 ; -5 ; 0) (t R) Ta có M 1M 2, 2, nên phơng trình tham số đờng thẳng M1M2 là : x m y 1 m z 5 2m (m R) Toạ độ giao điểm có (d) và đờng thẳng M1 M2 là nghiệm hệ phơng tr×nh : 2 t 2 m 5t 1 m t 5 m t m m t Giao ®iÓm E (1, 0, 3) Ta cã : E M 1, , ; E M 3, , E M 3 E M VËy : nên M1 và M2 cùng phía đờng thẳng (d) Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua M1 vµ () (d) nªn ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng () lµ : 1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = x - 5y - 3z + 18 = Giao ®iÓm H cña (d) víi mÆt ph¼ng () : (8) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ t x 5y 3z 18 x x t y t 10 y z t 27 z 10 27 H , , 7 Gọi M' là điểm đối xứng M1 qua (d) nên H là trung điểm M1M', đó : x' x H x 13 y' 2y H y 19 z ' z H z 13 19 M' , , 7 7 Khi đó điểm trên (d) cách điểm M1 và M' Nªn : FM1 + FM2 = FM' + FM2, F (d) Tổng này nhỏ và F là giao điểm (d) với đờng thẳng M2M' ⃗ 32 44 M 1M ; ; 7 (vì M2 và M' hai bên đờng thẳng (d)) Ta có : Phơng trình đờng thẳng qua M' M2 là: x 4 8t ' y t ' z 11 t ' ( t ' R) Giao ®iÓm cña (d) víi M'M2 lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh : M2 M1 t ' E (d) t 10 15 30 I( ; ; ) cÇn t×m lµ : 7 x y z 1 1 víi ®iÓm A=(-1;-1;0) 2 t 4 8t' t t ' 3t 11 t' Toạ độ điểm I VÝ dô 2: cho : ®iÓm B=(5;2;-3) Gi¶i: I M' vµ t×m M thuéc cho MA MB lín nhÊt (9) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: Do M M (1 t , 2t , t 1) x 1 t y 2t (t R ) z t (2 t, 2t 1, t 1) Suy AM BM ( t , 2t 2, t 2) đặt P MA MB (2 t )2 (2t 1)2 (t 1)2 6t 2t 35 P t 36 1 A ' , 6 Chän M’=(t, 0) ; (t 4)2 (2t 2)2 (t 2) 6t 4t 24 35 t 3 35 35 P MA ' MB ' A ' B ' ; B ' , 3 Dấu ⃗đẳng⃗ thức xảy điểm M’,A’,B’ thẳng hàng Hay MA ' k MB '(k R ) ⃗ ⃗ 1 1 35 35 MA ' t , MB ' t , 6 3 VËy ; t ⃗ ⃗ MA ' // MB ' 1 1 t 2t t t 3 3 Mµ 1 M , , 3 lµ ®iÓm cÇn t×m VËy C¸ch 2: §êng th¼ng ®i qua ®iÓm C=(1, 0, -1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v ( 1, 2,1) ⃗ ⃗ AB (6,3, 3) Suy ra: vµ AC (2,1, 1) 3 AB, v , 1 , (9, 3,15) Ta cã: vµ ⃗⃗ ⃗ AB, v AC 18 15 0 Vậy đờng thẳng AB và đồng phẳng x 1 y 1 z x 1 y 1 z 3 1 Ta cã ph¬ng tr×nh AB: x y x z Ph¬ng tr×nh : x y 2 x z 0 x 2 y y z (10) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ Gọi D là giao điểm AB và Toạ độ D là nghiệm hệ: 2 x y 2 x z 0 y z x y 1 x 1 y 0 D (1, 0, 1) z Ta có : xA xD xB A và B nằm khác phía so với đờng thẳng gọi H là hình chiếu của B trên đờng thẳng Toạ độ H=(1-t, 2t, t-1) là điểm thuộc Tacã: HB (t 4, 2t , t ) HB.v 0 (t 4) 2(2 2t ) t 0 t 4t t 0 6t 2 t 1 4 H , , 3 3 VËy Gọi B là điểm đối xứng với B qua đờng thẳng thì H là trung điểm BB’ 10 B ' , , AB ' , , // vAB ' (4, 7, 1) 3 3 3 3 Nên toạ độ Vậy phơng trình đờng thẳng AB’ là: x 1 y 1 z 1 7 x 4 y x 4 z 7 x y x z Gọi M’ là điểm trên đờng thẳng thì: M ' A M ' B M ' A M ' B ' AB ' MA MB ' MA MB 7 x y x z x y x z 0 Vậy toạ độ M là nghiệm hệ: x 3 1 y H , , 3 3 1 z x x0 y y0 z z0 a b c vµ hai ®iÓm A vµ B Câu2: Cho đờng thẳng ⃗ ⃗ MA MB Sao cho AB c¾t H·y t×m trªn ®iÓm M cho : nhá nhÊt : 1.Ph¬ng ph¸p chung A I B (11) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ M : M' x x0 y y0 z z0 a b c Cách 1: Gọi I là trung điểm AB Gọi M là hình chiếu I trên Tìn toạ độ M vµ chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gäi M' lµ ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M 'B =2M'I 2MI = ⃗ ⃗ MA MB ⃗ ⃗ MA MB M ( x at ; y bt ; z ct ) 0 C¸ch 2: LÊy tính độ dài tù đó tim đợc giá trÞ nhá nhÊt x y z 1 víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ ®iÓm B=(5;2;-3) cho : ⃗ ⃗ MA MB t×m M thuéc cho : nhá nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u d¹ng 1) Câu3: Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho AB c¾t h·y t×m trªn ®iÓm M Sao cho Ph¬ng ph¸p gi¶i *ViÕt ph¬ng tr×nh vÒ tham sè ⃗ ⃗ MA k MB ng¾n nhÊt x x0 at y y0 bt (t R ) z z ct *LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ⃗ ⃗ MA k MB Thay vµo P= trÞ nhá nhÊt cña P = f (t ) với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc giá x y z 1 víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ ®iÓm B=(5;2;-3) cho : ⃗ ⃗ MA MB t×m M thuéc cho : nhá nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u d¹ng 1) III.Dạng : Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho AB vµ chÐo ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho P=MA+MB nhá nhÊt (12) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ P= 3.P= MA MB ⃗ ⃗ MA MB §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ng¾n nhÊt (t¬ng tù c©u d¹ng 2) Câu 1: Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho AB vµ chÐo ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho P=MA+MB nhá nhÊt 1.Ph¬ng ph¸p: LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ta tinh MA vµ MB P MA MB f (t ) g (t ) Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhÊt cña P x y z 1 vµ ®iÓm A=(0,1,1), 2.Ví dụ minh hoạ : cho đờng thẳng : B=(1,0,0) T×m ®iÓm M cho: MA+MB nhá nhÊt T×m ®iÓm M cho: MA+MB nhá nhÊt Gi¶i: Nhận xét đờng thẳng qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ phơng là v (1,1, 1) ⃗ AC (1, 1, 2) Ta cã vµ AB (1, 1, 1) ⃗⃗ 1 1 1 AB, v , , ( 2, 0, 2) 1 1 1 Vµ nên đờng thẳng chứa AB và chéo x 1 t (t R ) y t z t ⃗⃗ ⃗ AB, v AC 2 0 VËy ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: LÊy ®iÓm M=(t+1, t, -t-1) (*) lµ ®iÓm tuú ý thuéc 2 2 Ta cã: AM (t 1, t 1, t 2) AM (t 1) (t 1) (t 2) 3t 4t ⃗ 2 2 Vµ BM (t , t , t 1) BM t t (t 1) 3t 2t 2 C¸ch 1: ta cã P MA MB = 3t 4t + 3t 2t 1 P 4t 2t 2 1 t2 t2 t t 3 3 3 (1) (13) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ 14 1 2 A ' , , B ' , , M ' (t , 0) 3 3 Chän P M ' A ' M ' B ' A ' B ' Thay vµo (1) cã: VËy P nhá nhÊt vµ chØ ®iÓm A’, B’, M’ th¼ng hµng ⃗ 1 A ' B ' , 3 Ta cã: 2 14⃗ 14 , A ' M ' t , 3 để điểm A’, M’, B’ thẳng hàng điều kiện là t 3 14 14 7 7 7 3t 3t t 12 6 18 14 13 13 M , , 18 18 18 Thay vào (*) đợc: Cách 2: ta có phơng trình tham số đờng thẳng là: x 1 t (t R ) y t z t Ta lấy điểm M , toạ độ M=(t+1, t, -t-1) Gäi E lµ h×nh chiÕu cña B trªn ®iÓm E=(t+1,t,-1-t) Ta cã BE (t , t , t 1) Vì E là hình chiếu B trên đờng thẳng nên t 1 v BE 0 t t t 0 1 1 2 E , , BE 9 3 3 Vậy toạ độ điểm Gọi I là hình chiếu A trên đờng thẳng thì I=(t+1, t, -1-t) ⃗⃗ 2 ⃗ AI v 0 t t t 0 t AI ( t 1, t 1, t 2) Vµ nªn Ta cã 25 16 42 1 I , , AI 9 9 3 3 ⃗ MI AI AI⃗ ⃗ ⃗ MI ME MI 7.ME (1) BE VËy M cho ME BE Hay ⃗ 2 ⃗ 1 2 1 MI t , t , t , ME t ; t , t 3 3 Ta cã: (14) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ 2 2 t t ( 1)t 3 Thay vµo (1) ta cã: t ( 7)( 1) 18 18 3( 1) 13 13 M , , 18 18 18 Thay t vào toạ độ M ta đợc: Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gäi P lµ mÆt ph¼ng chøa I vµ P vuông góc với Trên mặt phẳng dựng đờng tròn tâm I, bán kính IA, trên đờng tròn này lấy điểm A’ cho A’, B nằm hai phía so với và A, B đồng ph¼ng ta lÊy ®iÓm M tuú ý trªn Ta cã : M’A+M’B=M’A’+M’B A’B=MA’+MB=MA+MB Câu 2: Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho AB MA MB vµ chÐo ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho P= §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Ph¬ng ph¸p :LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ta tinh MA vµ MB P MA MB f (t ) g (t ) Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị lớn nhÊt cña P x y z 1 vµ ®iÓm A=(0,1,1), 2.Ví dụ minh hoạ: cho đờng thẳng : B=(1,0,0) T×m ®iÓm M cho: MA MB lín nhÊt Giải : Nhận xét đờng thẳng qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ phơng là ⃗ v (1,1, 1) ⃗ AC (1, 1, 2) Ta cã vµ AB (1, 1, 1) ⃗⃗ 1 1 1 AB, v , , ( 2, 0, 2) AB, v AC 2 0 1 1 Vµ nên đờng thẳng chứa AB và chéo VËy ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: x 1 t (t R ) y t z t LÊy ®iÓm M=(t+1, t, -t-1) (*) lµ ®iÓm tuú ý thuéc (15) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ 2 2 Ta cã: AM (t 1, t 1, t 2) AM (t 1) (t 1) (t 2) 3t 4t ⃗ 2 2 Vµ BM (t , t , t 1) BM t t (t 1) 3t 2t C¸ch 1: ta cã P MA MB P 4t t 3 = 3t 4t 3t 2t 2t 2 t t 3 3 2 1 t 3 (1) 14 1 2 A ' , , B ' , , M ' (t , 0) 3 3 Chän P M ' A ' M ' B ' A ' B ' Thay vµo (1) cã: VËy P lín nhÊt vµ chØ ®iÓm A’, B’, M’ th¼ng hµng ⃗ 14⃗ 14 A ' B ' , , A ' M ' t , 3 3 Ta cã: để điểm A’, M’, B’ thẳng hàng điều kiện là t 3 14 14 7 13 13 3t 3t t 12 6 18 14 13 M , , 18 18 18 Thay vào (*) đợc: Câu 3: Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c Vµ hai ®iÓm A vµ B cho AB vµ chÐo ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho ⃗ ⃗ MA 2MB ng¾n nhÊt ⃗ ⃗ x at y bt z ct 0 1.Ph¬ng ph¸p: LÊy M tuú ý thuéc : M=( ; ; ) ta tinh MA; MB ⃗ ⃗ P MA 2MB f (t ) Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ cña P x y z 1 vµ ®iÓm A=(0,1,1), 2.Ví dụ minh hoạ : cho đờng thẳng : B=(1,0,0) (16) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ ⃗ ⃗ MA MB T×m ®iÓm M cho: ng¾n nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u d¹ng 1) IV.D¹ng :Trong kh«ng gian cho ®iÓm A,B,C vµ mÆt ph¼ng P T×m trªn P ®iÓm M cho Q= ⃗ ⃗ ⃗ aMA bMB cMC §¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ⃗ ⃗ MA 1.Ph¬ng ph¸p : Gäi M = (x,y,z) thuéc P ta tÝnh a ; b MB vµ c MC ⃗ ⃗ ⃗ Ta có a MA + b MB + c MC = (ax b; ay c; az d ) đặt ⃗ ⃗ ⃗ aMA bMB cMC 2 X ax b Y ay c Z az d VËy Q= = X Y Z =OM’ víi M’=(X,Y,Z) víi O lµ gèc to¹ OM’ nhá nhÊt M’ lµ h×nh chiÕu cña O trªn mÆt ph¼ng (P) 2.VÝ dô minh ho¹ : Cho ΔABC Víi A=(-1,1,0) B =(1,-1,1) C =(0,1,2) vµ mÆt ph¼ng P:2x-y+z-1 =0 H·y t×m ®iÓm M thuéc P cho Q = §¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ⃗ ⃗ ⃗ MA 2MB 3MC ⃗ Gi¶i Gäi M = (x,y,z) thuéc P ta cã MA =(-1-x,1-y,-z) ⃗ ⃗ MB (1 x, y,1 z ); MC ( x,1 y, z ) Ta cã ⃗ v MA MB 3MC = (-6x+1,-6y+2,-6z+8) đặt X x Y y Z z 2 Ta có Q = X Y Z =OM’ với M’=(X,Y,Z) với O là gốc toạ độ và mặt phẳng P trë thµnh 2X-Y+Z-2=0 Ta cã ⃗ nq (2, 1,1) Gọi (d) là đờng thẳng qua O và X Y Z vuông góc với P thì phơng trình phơng đờng thẳng d là Gäi M lµ 23 , , ) giao ®iÓm cña d vµ P th× M = ( 18 18 18 2 V.D¹ng : Cho hÖ thøc ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) = R2 (1) H·y t×m cÆp (x;y;z) tho¶ m·n hÖ thøc (1) cho biÓu thøc P= ax+by+cz (2) lµ lín nhÊt vµ nhá nhÊt Ph¬ng ph¸p: (17) GV: NguyÔn V¨n Th¬i – Trêng PTTH VÜnh Léc, Thanh Ho¸ C¸ch 1: NhËn xÐt (1) lµ ph¬ng tr×nh mÆt cÇu T©m I(x0;y0;z0) b¸n kÝnh R ;cßn (2) lµ ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) §Ó tån t¹i cÆp (x;y;z) th× mÆt ph¼ng (Q) ph¶i c¾t mÆt cÇu T©m I(x0;y0;z0) b¸n kÝnh R.Khi vµ chØ d(I;(P)) R m P M VËy m min P vµ M=MacP C¸ch 2: P= ax+by+cz (2) A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) P Ax By Cz D P Ax0 By0 Cz0 D ( A2 B C ) ( x x0 ) ( y y0 )2 ( z z0 )2 = 2 2 = ( A B C ) R m P M 2 Ví dụ minh hoạ: Cho đẳng thức ( x 1) y ( z 2) 4 (1) và biểu thức P=2x-y+z h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña P víi x;y;z tho¶ m·n (1) C¸ch 1: NhËn xÐt (1)lµ mÆt cÇu cã t©m I(-1.0.2) vµ b¸n kÝnh R=2 cßn P=2x-y+z x y z P 0 lµ ph¬ng tr×nh mÆt (Q) §Ó tån t¹i cÆp (x;y;z) th× mÆt ph¼ng (Q) ph¶i c¾t mÆt cÇu T©m I(-1.0.2) b¸n kÝnh R=2 Khi vµ chØ d(I; 2 (Q)) P 2 P 2 P 2 .VËy Min P= vµ MacP= Từ lý luận trên hiển nhiên xảy dấu đẳng thức C¸ch 2: Ta có A=2(x-1)+y+(z-2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxki Ta có P (22 1) ( x 1) y ( z 2) 24 VËy P 2 x x y z 1 y x y z 2 z 2 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ x x y z 1 y x y z z 2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ - (18)