Đang tải... (xem toàn văn)
Qua M vẽ đờng thẳng song song với AD cắt DF tại H.. Phòng Giáo dục và đào tạo KiÕn x¬ng..[r]
(1)Phòng Giáo dục và đào tạo KiÕn x¬ng ===***=== §Ò kh¶o s¸t chÊt lîng HSG n¨m häc 2011 – 2012 M«n to¸n líp ( thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi (5 ®iÓm) Q Cho biÓu thøc 1) Rót gän Q x2 y2 x y2 xy y xy x xy víi x 0; y 0; x y x2 x y x 1 2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Q biÕt x, y lµ sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n Bµi (4 ®iÓm) 2 1) Chøng minh r»ng: a b c ab ac bc víi mäi a, b, c 2) Cho tam giác ABC đều, đường cao AH có độ dài M là điểm bất kì nằm tam giác Gọi x, y, z là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB Xác định vị trí điểm M để biểu thức E = x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ Bµi (4 ®iÓm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 2) Tìm x, biết: x 2010 x 2012 2 Bµi ( ®iÓm) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M ( M khác A), trên tia đối tia CB lÊy ®iÓm N cho AM = CN Gäi E lµ trung ®iÓm cña MN, tia DE c¾t BC t¹i F, DM cắt CB K Qua M vẽ đờng thẳng song song với AD cắt DF H Chứng minh rằng: 1) Tø gi¸c MFNH lµ h×nh thoi 2) ND2 = NB.NF 1 2 3) DM DK có giá trị không đổi M thay đổi trên AB Bµi ( ®iÓm) Cho ®a thøc f(x) bËc cã hÖ sè nguyªn BiÕt r»ng f(x) nhËn gi¸ trÞ 1890 víi gi¸ trÞ nguyªn kh¸c cña x Chøng minh r»ng víi mäi x Z th× f(x) kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ b»ng 1969 Hä vµ tªn häc sinh:…………………………………………….Sè b¸o danh: Phòng Giáo dục và đào tạo KiÕn x¬ng ===***=== Híng dÉn chÊm m«n to¸n kú kh¶o s¸t chÊt lîng HSG n¨m häc 2011 – 2012 (2) x2 y2 x y2 Q 2 xy y xy x xy víi x 0; y 0; x y Bµi ( ®iÓm) Cho biÓu thøc 1) Rót gän Q x2 x y x 1 2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Q biÕt x,y lµ sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n §¸p ¸n §iÓm 2 2 x y x y Q y x y x y x xy 1® C©u (3 ®iÓm) x y x y3 x y x y y x xy y x x y x y3 x y y x xy y x x y y3x xy y x x y2 y x2 x y2 Q y x víi x 0; y 0; x y VËy x2 x y x 1 Ta cã C©u xy y x x 4 (2 ®iÓm) x 1 y x 4 Do x,y nguyªn d¬ng x + ; y – x lµ sè nguyªn thuéc ¦(4) 1; 2; 4 V× x nguyªn d¬ng nªn x + > ta cã b¶ng sau: x+ x y- x y Đối chiếu với điều kiện ta đợc ( x = ; y = 3) (x = ; y = 4) (Không đối chiếu với điều kiện trừ 0,25 điểm) 32 10 +) Víi x = ; y = => Q 32 42 25 Q 42 +) Víi x = ; y = => x2 x y x th× Q cã gi¸ VËy nÕu x,y lµ sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n 0,5® 0,5® 0,5® 0,5 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® (3) 25 5 trÞ b»ng hoÆc Bµi ( ®iÓm) 2 1) Chøng minh r»ng : a b c ab ac bc víi mäi a,b,c 2) Cho tam giác ABC đều, đường cao AH có độ dài M là điểm bất kì nằm tam giác Gọi x, y, z là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB Xác định vị trí điểm M để biểu thức E = x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ a b c2 ab ac bc 2 C©u a b c 2 ab ac bc 1® (2®iÓm) 2a 2b 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a 2ab b b 2bc c c 2ac a 0 2 0,5 a b b c c a 0 ( điều này là luôn đúng) §¼ng thøc x¶y a = b = c 0,25 2 0,25 VËy a b c ab ac bc víi mäi a,b,c A E F y z x B C D Hđược x + y + z = h = 0,5 +) Chứng minh a C©u +) Áp dụng câu 1) ta có: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (2®iÓm) => 2(x2 + y2 + z2 ) 2(xy + yz + zx) => 3(x2 + y2 + z2 ) (x + y + z)2 0,5 0,5 => 3(x2 + y2 + z2 ) 32 => (x2 + y2 + z2 ) 0,5 Dấu có x = y = z Hay M là giao điểm đường phân giác tam giác ABC Bµi (4 ®iÓm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 x 2010 x 2012 2 2) Tìm x, biết: A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 C©u = (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24 (2®iÓm) Đặt x2 + 7x + 10 = t => x2 + 7x + 12 = t + Khi đó A = t(t + 2) - 24 = t2 + 2t - 24 = (t + 6)(t - 4) => A = (x2 + 7x + 16)( x2 + 7x + 6) = (x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6) 0,5 0,5 (4) x 2010 x 2012 2 Ta có: x 2010 x 2012 x 2010 2012 x x 2010 2012 x 2, x x 2010 x 2012 2 C©u (2®iÓm) Mà => 2010 x 2012 => x = 2011 Vậy x = 2011 Bµi ( 3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M ( M kh¸c A), trªn tia đối tia CB lấy điểm N cho AM = CN Gọi E là trung điểm MN, tia DE cắt BC F, DM cắt CB K Qua M vẽ đờng thẳng song song với AD cắt DF H Chứng minh r»ng: 1) Tø gi¸c MFNH lµ h×nh thoi 2) ND2 = NB.NF 1 2 3) DM DK có giá trị không đổi M thay đổi trên AB §¸p ¸n D A M §iÓm H E C©u 2®iÓm C©u 1,5® F B = NEF (g.c.g) C N + ChøngK minh MEH => EH = EF Mµ EM = EN (gt) => tø gi¸c MHNF lµ h×nh b×nh hµnh (1) + Chøng minh AMD = CND (c.g.c) => DM = DN => DMN cân D nên đờng trung tuyến DE đồng thời là đờng trung trùc cña MN Mµ H DE => HM = HN (2) Tõ (1) vµ (2) => tø gi¸c MHNF lµ h×nh thoi CDN MEH = NEF (cmt) => ADM 0 Mµ ADM CDM 90 CDN CDM 90 MDN 90 => FDN 45 Mµ DBN 45 (tÝnh chÊt h×nh vu«ng) => FDN DBN(45 ) XÐt FDN vµ DBN cã : 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) 0,5 FDN DBN( 450 ) N chung DBN (g.g) => FDN ND NF 0,5 => NB ND => ND2 = NB.NF NDK vuông D có DC là đờng cao => DC.NK = DN.NK ( = 2SDNK) 0,5® NK NK DC DN.DK DC2 DN DK C©u Mà NK2 = DN2 + DK2 (định lí pytago tam giác vuông DNK) 1,5® DN DK 1 0,5® DC2 DN DK DK DN 1 DC DK DM Ta cã DM = DN (cmt) Do hình vuông ABCD cho trớc không đổi nên DC không đổi 0,5® 1 DM DC có giá trị không đổi M thay đổi trên AB VËy DK Bµi ( ®iÓm) Cho ®a thøc f(x) bËc cã hÖ sè nguyªn BiÕt r»ng f(x) nhËn gi¸ trÞ 1890 víi gi¸ trÞ nguyªn kh¸c cña x Chøng minh r»ng víi mäi x Z th× f(x) kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ b»ng 1969 Gäi x1,x2,x3,x4 lµ gi¸ trÞ nguyªn kh¸c cña x, 0,5® mà f(x1)=f(x2)=f(x3)= f(x4) =1890 => x1,x2,x3,x4 là nghiệm f(x)-1890 => f(x) – 1890 = (x – x1)(x – x2)(x – x3)(x – x4).g(x) C©u (víi g(x) lµ ®a thøc cã hÖ sè nguyªn) (2 Giả sử tồn x = a Z để f(a) = 1969 ®iÓm) => 1969 – 1890 = (a – x1)(a – x2)(a – x3)(a – x4).g(a) 0,5® => 79 = (a – x1)(a – x2)(a – x3)(a – x4).g(a) (*) Do x1,x2,x3,x4 Z nªn a – x1, a – x2 , a – x3 , a – x4 lµ sè nguyªn kh¸c 0,5® vµ g(a) Z Mµ 79 lµ sè nguyªn tè chØ cã thÓ ph©n tÝch thµnh mét tÝch cã nhiÒu nhÊt ë thõa sè nguyªn kh¸c : 79 = 1.(-1).(-79) nªn (*) kh«ng x¶y 0,5® VËy víi mäi x Z th× f(x) kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ b»ng 1969 Lu ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tối đa - NÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc sai h×nh th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh - Bài làm không chặt chẽ, không đủ sở phần nào thì trừ nửa số điểm phần đó (6)