Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A, B, C sao cho O.ABC là hình chóp đều.. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC...[r]
(1)ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x m m (1) , m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2) Chứng minh hàm số (1) luôn có cực đại, cực tiểu với m Tìm m để các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cùng với điểm I(1;1), lập thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R = Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: s inx s inx+sin2 x cosx=1 x 3y y 8x 5 x ( x 8) y( y 3) 13 2) Giải hệ phương trình: ln I ex e x dx Câu III (1 điểm) Tính tích phân: Câu IV (2 điểm) Cho cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D Biết AB = 2a, AD = a, DC = a (a > 0), và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc tạo đường thẳng SC với đáy 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mp (SCD) theo a Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: A x ( x 1) y ( y 1) z(z 1) 1 x 1 y 1 z 1 Tìm giá trị nhỏ II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với điểm A(2;-4) và hai đường phân giác các góc B, C có phương trình d1: x+y-2=0; d2: x-3y-6=0 viết phương trình đường thẳng BC 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tương ứng các điểm A, B, C cho O.ABC là hình chóp z 2i z 4i z 2i và z i là số ảo Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;-3), B(3;-2), tam giác ABC có diện tích , trọng tâm G tam giác ABC nằm trên đường thẳng (d) : 3x – y – = Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) là giao tuyến hai mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + = 0, (Q) : x + 2y – 2z – = và mặt cầu 2 (S): x y z x y m 0 Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho độ dài MN = 2 xy log(2x y ) 1 log2 x xy y 81 3 Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình: ……………HẾT………… (2) Hướng dẫn và đáp án; 2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x m m (1) , m là tham số 1)Bạn đọc tự giải 2 2) + Ta có y ' 3 x 6mx 3(m 1) 2 + y ' 0 x 2mx (m 1) 0 Ta có ' 1 y ' 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó Suy hàm số luôn có cực trị với m + Điểm cực đại A(m-1;2-2m), cực tiểu B(m+2;-2-2m) + phương trình AB: 2x + y = 0, từ đó suy A, I, B lập thành đỉnh tam giác + Với R = , Tính AB 2 2 R , suy tam giác AIB vuông I, với AB là đường kính IA IB AB 10m 4m 0 m 1; m Khi đó ta tương đương với điều kiện m thì bài toán thỏa mãn Vậy m Câu II (2 điểm) s inx s inx+sin x cosx=1 1 sinx+ sinx cos2 x cosx ( sinx )2 (cosx- )2 2 1) 1 1 s inx cosxs inx cosx+ 2 (1) 2 (2) Giải phương trình (1) ta nghiệm : x k2 Giải phương trình (2) ta nghiệm : x k2 đó 2) Điều kiện hệ: Khi đó ta có hệ: Với Với U 2 V 3 U 3 V 2 x 3y 0 y x 0 đặt U V 5 U 2 2 V 3 U V 13 (0; U x 3y , V y x 5 ) sin cho (U 0,V 0) U 3 V 2 …… hệ có hai nghiệm (x;y)=(1;1) và (z;y)=(-5;-7) …… hệ có hai nghiệm (x;y)= ( 6;2 2) và (z;y)= ( 6;2 2) Vậy hệ có nghiệm…… Câu III (1 điểm) ln ln S ex ex I e x dx (1 e x 1)dx 0 =……….= ln Câu IV (2 điểm) + Ta có AC= a vì tam giác ACD vuông cân D + Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu SC lên mặt phẳng đáy, A B góc đường thẳng SC với mp đáy 45 Do đó SA= a D C (3) 3a3 S ABCD ( AB DC ) AD 2 1 3a2 a3 VS ABCD SA.S ABCD a 3 2 Vậy: … Câu V (1 điểm) ( x Ta có : Mặt khác ta có 1 y 1 z 1 ) A( x y z 3) A x yz3 x 1 y 1 z 1 x y z2 ( x y z ) x y z2 ( x y z)2 Dễ dàng ta chứng minh : (Sgk 10 nc trang 112) t t t 4 Nếu ta đặt t = x + y + z thì (vì x, y, z dương) 9 y A t nghịch biến nên 3 Hơn hàm số x y z 4 x y z x y z Dấu xãy và : II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Gọi H1 , A1 lần lược là hình chiếu A trên d1 và điểm đối xứng A qua d1 => H1 (4; 2), A1 (6;0) Tương tự Gọi H , A2 lần lược là hình chiếu A trên d2 và điểm đối xứng A qua d2 12 H ( ; ), A2 ( ; ) 5 5 => Phương trình đường thẳng BC là: 3x + 7y – = x y z 1 a a a 2) Phương trình đoạn chắn : Thay tọa độ M(1; 2; 3) vào => (P) : x + y + z – = z 2i z 2i z 4i Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn và z i là số ảo B Theo chương trình nâng cao a b Câu VI.b: 1) Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = 2SABC AB a 5 b 5 a b 8 (1) ; a b 3 a b (2) 3 (d) 3a –b =4 (3) ; Trọng tâm G S 65 89 (1), (3) C(–2; 10) r = p S r p 2 (2), (3) C(1; –1) 2) (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 m IM (m 13) Gọi H là trung điểm MN MH= IH = d(I; d) = m (4) u; AI 3 u u (d) qua A(0;1;-1), VTCP (2;1;2) d(I; d) = Vậy : m =3 m = –12 Câu VII.b: Điều kiện x, y > log ( x y2 ) log log ( xy) log (2 xy) 2 2 x xy y 4 x y 2 xy x xy y 4 ( x y )2 0 xy 4 x y xy 4 x 2 y 2 hay x y (5)