2/Viết phương trình tiếp tuyến d với C tại điểm có hoành độ x =2, tìm m để khoảng cách từ điểm A3;5 tới tiếp tuyến d là lớn nhất.. Câu 2.1 điểmGiải phương trình.[r]
(1)Onthidaihoc24h.com – Hoc24h.violet.vn Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2014 Trường THPT Bình Xuyên Môn thi: TOÁN 12 - KHỐI A, A1 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) mx y x có đồ thị (C) Câu 1.( điểm) Cho hàm số 1/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m =1 2/Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) điểm có hoành độ x =2, tìm m để khoảng cách từ điểm A(3;5) tới tiếp tuyến d là lớn 2 4sin x.sin x sin x 3.cos x.cos x cos x 2 3 3 3 3 Câu 2.(1 điểm)Giải phương trình x y 2x y 0 Câu 3.(1 điểm) Giải hệ phương trình: 2x 3x 4y 12x 11 0 I x e x dx x Câu 4.(1 điểm) Tính tích phân Câu 5.(1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC 600, góc mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng đáy 60 Tính theo a thể tích hình hộp và khoảng cách CD’ và mặt phẳng (A’BD) Câu 6.(1 điểm) Cho a, b, c dương, a +b +c =3 Chứng minh rằng: a 4a 2b b 4b 2c c 4c 2a 7 b 2c c 2a a 2b II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm phần (Phần A phần B) A.Theo chương trình chuẩn 2 x y 1 Câu 7.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) Tìm M thuộc Oy cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn, A, B là tiếp điểm cho đường thẳng AB qua N(4;4) Câu 8.a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1) , B(3;5;2) và C(3;1; 3) Chứng minh điểm A, B, C là đỉnh tam giác vuông Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Câu 9.a (1 điểm) Có bông hoa hồng bạch, bông hoa hồng nhung và bông hoa cúc vàng Chọn ngẫu nhiên bông hoa Tính xác suất để bông hoa chọn không cùng loại B.Theo chương trình nâng cao x y2 1 Câu 7.b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho e líp và đường thẳng : 3x 4y 12 0 Từ điểm M trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đường thẳng AB luôn qua điểm cố định Câu 8.b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 4;2) , B(2;5;0) và C(0;0;7) Tìm điểm M thuộc (Oxy) cho MA MB2 MC2 đạt giá trị nhỏ Câu 9.b (1 điểm) Giải phương trình log x (x 5) log x 2x 0 -Hết (2) Onthidaihoc24h.com – Hoc24h.violet.vn Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh: SBD: KỲ THI KS ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2014 LẦN ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 12 - KHỐI A,A1 Câu Đáp án mx y (2điểm) 1.(1,0 điểm) Khảo sát hàm số x m=1 Khi m=1 y Điểm x 1 x Tập xác định: R \ 1 2 y' 0,25 x 1 x 1 Sự biến thiên: Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1) và (1;+ ) Hàm số không có cực trị lim f (x) lim f (x) Tiệm cận: + Tiệm cận đứng x =1 vì x 1 , x lim f (x) 1 + Tiệm cận ngang y =1 vì x Bảng biến thiên: x 0,25 0,25 y f(x)=(x+1)/(x-1) - -9 -8 -7 -6 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 + 0,25 -2 -3 -4 - -5 -6 -7 -8 -9 Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối xứng, cắt Oy (0;-1), cắt Ox (-1;0) 2.(1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) x =2 y =2m +1 và f '(2) m Phương trình tiếp tuyến d với (C) điểm (2;2m+1) là y (m 1)x 4m Phương trình (d) m(x-4) = -x –y+3 tiếp tuyến d qua điểm cố định H(4;-1) -1 0,5 0,25 (3) Onthidaihoc24h.com – Hoc24h.violet.vn Để khoảng cách từ điểm A(3;5) tới tiếp tuyến (d) là lớn (d) AH 0,25 7 m u d AH 0 1.1 +6(m+1) =0 (1,0 điểm) Giải phương trình (1điểm) 2 4sin x.sin x sin x 3.cos x.cos x cos x 2 3 3 3 3 2 ) 3.cos x.(cos(2x ) cos ) 2 3 2sin x.cos 2x sin x 3.cos x.cos 2x cos x 2 (sin 3x sin x) sin x 3(cos3x cos x) cos x 2 PT 2sin x(cos 2x cos sin 3x cos3x 1 2 2 cos 3x 1 3x k2 3x k2 x k , k Z 6 6 18 3 x y 2x y 0 (1) (1điểm) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2x 3x 4y 12x 11 0 (2) y 1 Từ PT (1) ta x 0 , sin 3x cos3x 2 PT (2) 4y 2x 3x 12x 11 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) y 1 Vế phải (3) 4y 4 vì Đặt f(x) = 2x3 +3x2 -12x +11 với x 0 ta có bảng biến thiên: x f’(x) f(x) 11 + 0,5 + y 1 Vế phải (3) 4y 4 2x 3x 12x 11 vì x 0 , Vậy nghiệm (2) là (x;y)=(1;-1) Thay (x;y)=(1;-1) vào (1) ta thấy thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình là (x;y) = (1;-1) I x e x dx (1điểm) x 1 (1,0 điểm) Tính tích phân: 1 2x I x e x + dx xe x dx dx I1 I x+1 x+1 0 0,25 0,5 (4) Onthidaihoc24h.com – Hoc24h.violet.vn 1 x u x du dx x x x I1 xe dx I xe e dx xe e 1 dv e x dx v e x 0 + Đặt 1 2x I dx dx 2x 2ln(x 1) 2 2ln x+1 x 1 0 + I I1 I 3 2ln (1,0 điểm) Tính theo a thể tích hình hộp (1điểm) Gọi O là tâm hình thoi ABCD AO BD mà AA' (ABCD) A 'O BD x A 'OA là góc mp(A'BD) với đáy ÐA 'OA = 60o o Do ÐABC = 60 neân tam giaùc ABC AO = a Trong tam giaùc vuoâng A'AO, ta coù AA ' = AO tan 60o = a A' D 0,25 C B a a 3a V=SABCD AA'= = 2 Theo chứng minh trên ta có BD ^ (A ' AO) (A ' BD) ^ (A ' AO) Trong tam giác vuông A ' AO , dựng đường cao AH, ta có AH ^ (A ' BD) hay AH = d(A, (A ' BD)) Do CD '/ /BA ' neân CD '/ /(A ' BD) suy d(CD ', (A ' BD)) = d(C, (A ' BD)) = d(A, (A ' BD)) (vì AO = CO ) = AH = AO.sin 60 0,25 D' A o 0,25 C' B' Do đó thể tích hình hộp: 0,25 = 0,5 a a 4a 2b b 4b 2c c 4c 2a 7 (1điểm) (1,0 điểm) Chứng minh rẳng b 2c c 2a a 2b a2 b2 c2 4a 2b 4b 2c 4c 2a 7 c 2a a 2b BĐT b 2c c 2a a 2b + b 2c a2 b 2c 2a a2 b 2c 6a b 2c + Ta có b 2c (1) (Côsi) a b 2c Dấu “=” b 2c b c 2a 6b c2 a 2b 6c 9 Tương tự c 2a (2) a 2b (3) 2 a b c 1 Cộng (1), (2), (3) vế với vế ta b 2c c 2a a 2b (*) dấu “=” 0,5 (5) Onthidaihoc24h.com – Hoc24h.violet.vn a=b=c=1 4a 2b 4b 2c 4c 2a 1 4 a b c b 2c c 2a a 2b c 2a a 2b + Ta có b 2c æ 4é 1 ö ÷ ç ÷ b + 2c) + ( c + 2a ) + ( a + 2b) ù + + - ( ç ÷ ê ú ûç ÷ 3ë b + 2c c + 2a a + 2b è ø ³ 0,5 3 (b + 2c)(c + 2a)(a + 2b).3 - 6=6 3 (b + 2c)(c + 2a)(a + 2b) (**) Cộng (*) và (**) ta điều phải chứng minh, dấu “=” a =b =c =1 7a (1,0 điểm) Tìm M thuộc Oy… (1điểm) A x ;y B x ;y Giả sử A A , B B và M Î Oy ® M(0; y ) , (C) có tâm I(3;2) 2 (1) + Ta có A Î (C) « x A + y A - 6x A - 4y A + 12 = uur uuur ( x - 3) x A + ( y A - 2) ( y A - y ) = + Ta có IA.MA = A 2 x A + y A - 3x A - (y + 2)y A + 2y = 0,5 (2) 3x - (y - 2)y A + 2y - 12 = Lấy (2) trừ (1) vế với vế ta A (3) 3x - (y - 2)y B + 2y - 12 = Tương tự ta có B (4) 3x - (y - 2)y + 2y - 12 = Từ (3) và (4) phương trinh AB là 3.4 - (y - 2).4 + 2y - 12 = « y = AB qua N(4;4) Vậy M(0;4) 8a (1,0 điểm) Chứng minh điểm A, B, C là đỉnh tam giác vuông uuur uuur (1điểm) AC = (2; 0; - 4) không cùng phương AB = (2; 4;1) Ta có , uuur uuur Ta lại có AB.AC = ABC vuông A ABC vuông A theo cm trên có bán kính đường tròn ngoại tiếp R= 0,25 0,25 0,5 0,5 41 BC = 2 9a (1,0 điểm) Tính xác suất… (1điểm) Gọi A, B, C tương ứng là biến cố ‘Chọn ba bông hoa hồng bạch” ‘Chọn ba bông hoa hồng nhung” ‘Chọn ba bông hoa cúc vàng” H là biến cố ‘Chọn ba bông hoa cùng loại” A, B, C đôi xung khắc P(A) = C53 C và H = A È B È C P(H) =P(A) +P(B) +P(C) với C73 C34 35 49 P(B) = = P(C) = = 560 560 P(H) = 560 = 80 C16 C16 , , 16 = P(H) = - P(H) = - 10 560 0,5 , 73 = 80 80 Biến cố chọn ba bông hoa không cùng loại là H , 7b (1,0 điểm) Chứng minh đường thẳng AB luôn qua điểm cố định (1điểm) Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) 0,5 0,25 (6) Onthidaihoc24h.com – Hoc24h.violet.vn xx1 yy1 1 Tiếp tuyến A có dạng x x1 y0 y1 1 Tiếp tuyến qua M nên (1) Ta thấy tọa độ A và B thỏa mãn (1) nên đường thẳng AB có pt xx yy0 1 M thuộc nên 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 4xx 4yy0 4xx y(12 3x ) 4 4 Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB qua với M thì (x- y)x0 + 4y – = x y0 y 1 4y 40 x 1 0,25 0,5 Vậy AB luôn qua điểm cố định F(1;1) 8b (1,0 điểm) (1điểm) Gọi G là trọng tâm ABC Ta có: 2 2 2 MA MB2 MC MA MB MC MG GA MG GB MG GC 3MG GA GB2 GC2 2MG GA GB GC 3MG GA GB2 GC GA GB GC 0 MG GA GB GC 0 Do 2 2 2 0,5 Vì GA GB GC không đổi nên MA MB MC nhỏ MG nhỏ M là hình chiếu G trên (Oxy) G là trọng tâm ABC G 1;3;3 9b (1điểm) Hình chiếu G trên (Oxy) có tọa độ (1; 3;0) Vậy M 1;3;0 (1,0 điểm) Giải phương trình log x (x 5) log x 2x 0 0,5 Điều kiện x>0(*) t 2 t (x 5)t 2x 0 t 3 x Đặt t log x phương trình + Với t 2 log x 2 x 4 thỏa mãn (*) + Với t 3 x log x 3 x x log x 0 Xét f (x) x log x 3, x >0 >0, x >0 hàm số luôn đồng biến x >0 x ln Ta có f(2) =0 x =2 thỏa mãn (*) là nghiệm Vậy nghiệm phương trình là x =2; x =4 f '(x) 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Đáp án có trang Học sinh làm theo cách khác mà đúng cho điểm tối đa theo thang điểm câu đã cho (7) Onthidaihoc24h.com – Hoc24h.violet.vn Câu không vẽ hình hay vẽ không đúng không cho điểm (8)