SKKN giúp học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 1 giải nhanh một số bài toán về môdun của số phức bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ MƠĐUN CỦA SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Người thực hiện: Vũ Thị Phượng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học THANH HÓA NĂM 2021 MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm 2017 đến nay, kỳ thi THPT Quốc gia, mơn Tốn tiếp tục tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm Đề thi gồm 50 câu, mang tính bao quát cao rộng, nhiều dạng đào sâu kiến thức sách giáo khoa Do đó, để làm trắc nghiệm có hiệu học sinh giải tốn khơng phải xác mà cịn phải nhanh, yếu tố quan trọng đánh giá nhanh vấn đề nhanh chóng loại bỏ phương án nhiễu để qua đó, cần kiểm tra đối chiếu đáp án lại với giải Trong chương trình Tốn THPT, phần giải tích mà cụ thể chương “Số phức”, học sinh hoàn thiện hiểu biết tập hợp số Trong chương này, học sinh bắt đầu làm quen với định nghĩa, phép toán: cộng, trừ, nhân chia số phức, môđun số phức Ứng với số phức z = a + bi (a, b ∈ R ) biểu diễn điểm M ( a; b ) mặt phẳng tọa Oxy độ Do đó, Giải tích Hình học ln có mối liên hệ “gần gũi” Chuyển hóa từ tốn giải tích sang tốn hình học phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt tốn liên quan đến mơđun số phức Tuy nhiên, việc chuyển từ tốn giải tích mà cụ thể tốn mơđun số phức sang tốn hình học sử dụng phương pháp vectơ khơng phải đơn giản Nó địi hỏi người học cần có kiến thức tốt giải tích hình học Xuất phát từ lí trên, tơi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương giải nhanh số tốn mơđun số phức phương pháp vectơ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, với số năm kinh nghiệm, rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn, giúp học sinh giải tốn tính môđun số phức Một thao tác quan trọng mà học sinh cần phải có cách chuyển từ tốn mơđun số phức sang tốn hình học Vì vậy, viết này, tập trung vào việc giúp học sinh giải nhanh gọn câu hỏi môđun số phức phương pháp vectơ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài áp dụng chương Số Phức chương trình giải tích lớp 12, học sinh ơn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu Xuất phát từ đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu để đạt mục đích đề ra, q trình nghiên cứu sử dụng phương pháp chủ yếu sau: - Phương pháp điều tra giáo dục - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Định nghĩa số phức a + bi, Mỗi biểu thức dạng 2.1.2 Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức M ( a; b ) z = a + bi a, b ∈ R, i = −1 gọi số phức hoàn toàn xác định cặp số thực ( a; b ) Điểm hệ tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số z = a + bi phức 2.1.3 Số phức liên hợp z = a + bi a − bi z Cho số phức Ta gọi số phức liên hợp kí hiệu z = a − bi 2.1.4 Môđun số phức uuuu r OM z Độ dài vectơ gọi mơđun số phức kí hiệu uuuu r z = OM = a + b 2.1.5 Cộng, trừ, nhân chia số phức z1 = a1 + b1i z2 = a2 + b2i a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R Cho hai số phức (với ) a Cộng hai số phức: b Trừ hai số phức: z z1 + z2 = ( a + a2 ) + ( b1 + b2 ) i z1 − z2 = ( a − a2 ) + ( b1 − b2 ) i c Nhân hai số phức: d Chia hai số phức z1.z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i z1 a a +bb a b −ab = 22 2 + 21 2 i (Ví i z2 ≠ 0) z2 ( a2 ) + ( b2 ) ( a2 ) + ( b2 ) e Nhận xét z1 z = z1 z2 a) Chứng minh: b) z z1 = ( Ví i z2 ≠ 0) z2 z2 a ) z1.z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i z1.z2 = z1 z2 = ( a1a2 − b1b2 ) ( a1 ) 2 + ( a1b2 + a2b1 ) = + ( b1 ) 2 ( a2 ) + ( b2 ) = ( a1a2 ) + ( b1b2 ) + ( a1b2 ) + ( a2b1 ) ( a1a2 ) + ( b1b2 ) + ( a1b2 ) + ( a2b1 ) 2 2 ⇒ z1.z2 = z1 z2 b) z1 a a +bb a b −ab = 22 2 + 21 2 i z2 ( a2 ) + ( b2 ) ( a2 ) + ( b2 ) 2 ( a1a2 )  a a +bb   a b − a b  z1 =  22 2 ÷ +  21 2 ÷ = (a ) +(b ) ÷ (a ) +(b ) ÷ z2 2     = z1 z2 (z ) = 2 + ( b1b2 ) + ( a2b1 ) + ( a1b2 ) ( a2 ) 2 + ( b2 ) 2 z1 z2 2.1.6 Quy tắc ba điểm tổng hiệu hai vectơ A, B, C Với ba điểm ta ln có: uuu r uuur uuur a ) AB + BC = AC uuur uuu r uuur b) AC − AB = BC 2.1.7 Trung điểm đoạn thẳng M AB I Nếu trung điểm đoạn thẳng với điểm ta có: uu r uur uuu r IA + IB = IM 2.1.8 Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến BC = a, CA = b, AB = c ma , mb mc ABC Cho tam giác có cạnh Gọi độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh m = a ( b2 + c ) − a ;m = b ( a2 + c2 ) − b2 A, B ; m = c C tam giác ( a + b2 ) − c 2.1.9 Bất đẳng thức hai vectơ r r r r r r r r a − b ≤ a+b ≤ a + b a b Cho hai vectơ Khi đó: r r r r r r a+b = a + b a b a) hướng r r r r r r a+b = a − b a b b) ngược hướng Chứng minh: r r2 r r r2 rr r a + b = a + b = a + 2ab + b r r r2 r r r2 a + b = a +2a b + b ( ) ( ) r r2 r r a−b = a−b ( ) r2 r r r2 = a −2 a b + b r r rr r r − a b ≤ a.b ≤ a b Ta có: r r r r2 r r a − b ≤ a+b ≤ a + b ( ) r r r r r r ⇔ a − b ≤ a+b ≤ a + b Do đó: r r r r rr r r r r a+b = a + b a.b = a b a b a) xảy tức hướng r r r r rr r r r r a+b = a − b a.b = − a b a b b) xảy tức ngược hướng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Số phức nội dung quan trọng chương trình tốn lớp12 thiếu đề thi THPT Quốc gia Bài tốn tính mơđun số phức phần kiến thức khó địi hỏi học sinh phải nắm kiến thức cách có hệ thống bao quát, phải có kĩ nhận dạng tính toán nhanh nhạy thực giải vấn đề Có nhiều tốn tính mơđun số phức sử dụng trực tiếp phương pháp mà phải thông qua số kỹ thuật định kết hợp nhiều phương pháp với Cụ thể có nhiều tốn cần phải có kết hợp kiến thức việc biểu diễn hình học số phức, vectơ, giải tam giác hình học tọa độ mặt phẳng để đưa lời giải phù hợp cho tốn Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm môđun số phức nhìn đơn giản học sinh khơng nắm dấu hiệu đặc trưng thời gian giải vấn đề lâu, nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, bình tĩnh tiêu tốn thời gian dành cho câu trắc nghiệm khác Trước áp dụng đề tài vào giảng dạy lớp 12C6 năm học 2020 2021 trường THPT Quảng Xương 1, tiến hành làm thực nghiệm lớp cách đặt câu hỏi, yêu cầu học sinh suy nghĩ trả lời thời gian 02 phút z1 + z2 z1 = z2 = z1 − z2 = z1 z2 Câu hỏi: Cho hai số phức , thỏa mãn Tính 2 C D A Kết sau: B Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh trả lời xác Số học sinh trả lời xác 30s – 1ph 2020 - 2021 12C6 45 15 Đứng trước thực trạng trên, nghĩ nên hướng dẫn cho em tới cách giải khác sở kiến thức sách giáo khoa Song song với việc cung cấp tri thức, trọng rèn rũa kỹ phát phân dạng tốn Việc chuyển từ tốn tính mơđun số phức sang tốn hình học sử dụng phương pháp vectơ phương pháp hay nhanh gọn 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.3.1 Bài toán mối liên hệ số phức vectơ z1 , z2 A, B Bài toán: Gọi hai điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ Chứng minh: uur uur uur uur z1 + z2 = OA + OB z1 - z2 = OA - OB a) b) Hướng dẫn giải: Gọi z1 = a1 + b1i ( a1; b1 ∈ ¡ Khi A ( a1; b1 ) ) z2 = a2 + b2i ( a2 ; b2 ∈ ¡ ) B ( a2 ; b2 ) z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) uuu r uuu r OA = ( a1; b1 ) , OB = ( a2 ; b ) uuu r uuu r uuu r uuu r OA + OB = ( a1 + a2 ; b1 + b2 ) ⇒ OA + OB = uuu r uuu r uuu r uuu r OA − OB = ( a1 − a2 ; b1 − b2 ) ⇒ OA − OB = uuu r uuu r z1 + z2 = OA + OB ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) uuu r uuu r z1 − z2 = OA − OB Vậy, 2.3.2 Các ví dụ a Tính giá trị biểu thức z1 = a, z = b z1 z2 a > 0, b > Bài toán 1: Cho hai số phức , thỏa mãn (với ) a/ Biết z1 − z2 = c (với c>0 z1 + z2 = m ) Tính giá trị biểu thức m>0 P = z1 + z2 b/ Biết (với ) Tính giá trị biểu thức Hướng dẫn giải: A, B Gọi điểm biểu diễn số z1 z2 Oxy phức mặt phẳng uuu r z1 = a ⇒ OA = a ⇒ OA = a; uuu r z = b ⇒ OB = b ⇒ OB = b Q = z1 − z2 uuu r uuu r uuu r a / z1 − z2 = c ⇒ OA − OB = c ⇒ BA = c ⇒ AB = c uuu r uuu r uuuu r P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = 2OM (Với Trong tam giác OAB có OM M trung điểm AB ) đường trung tuyến nên: ( a + b2 ) − c2 2(OA2 + OB ) − AB 2 OM = ⇔ OM = 4 ⇒ P = ( a2 + b2 ) − c2 b/ uuu r uuu r uuuu r m z1 + z2 = m ⇒ OA + OB = m ⇒ 2OM = m ⇒ OM = AB uuu r uuu r uuu r Q = z1 − z2 = OA − OB = BA = AB (Với M trung điểm ) Ta có: OAB OM Trong tam giác có đường trung tuyến nên: 2(OA2 + OB ) − AB OM = ⇔ AB = 2(OA2 + OB ) − 4OM ⇔ AB = ( a + b ) − m ⇒ AB = ( a + b ) − m Q = ( a + b2 ) − m2 Vậy Nhận xét: Nếu toán áp dụng phương pháp đại số cách đặt z1 = a1 + b1i ( a1, b1 ∈ R ) , z2 = a2 + b2i ( a2 , b2 ∈ R ) phải thực nhiều phép biến đổi, dễ sai sót tiêu tốn nhiều thời gian Tuy nhiên, chuyển toán cho tốn hình học sử dụng phương pháp vectơ ta thấy trở thành tốn giải tam giác quen thuộc, đơn giản nhiều z1 = z2 = z1 − z2 = z1 z2 Ví dụ 1: Cho hai số phức , thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 10 OM = 2 ( OA2 + OB ) − AB ⇔ AB = ( OA2 + OB ) − 4OM ⇔ AB = 2(62 + 82 ) − 4.52 = 100 ⇒ AB = 10 P = z1 − z2 = AB = 10 Nhận xét: Như vậy, học sinh biết toán áp dụng cơng thức học sinh giải nhanh gọn ví dụ ví dụ chưa đầy 30s Ví dụ 3: Cho hai số phức biểu thức A z1 , z2 P = z1 + z2 − + 6i 11 B thỏa mãn z − + 3i = z1 − z = Giá trị C 11 D 16 Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ 3, đề chưa cho môđun hai số phức Tuy nhiên, đề lại cho hai số phức z1 − + 3i = Mặt khác, z2 − + 3i = tức P = z1 + z2 − + 6i = ( z1 − + 3i ) + ( z2 − + 3i ) Đặt toán Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi thỏa mãn z − + 3i = w1 = z1 − + 3i, w2 = z2 − + 3i Đặt z1 , z2 z1 , z2 Khi đó, ví dụ trở thành dạng quen thuộc w1 = z1 − + 3i, w2 = z2 − + 3i A, B Khi đó: điểm biểu diễn số phức w1 = w2 = ⇒ OA = OB = w1 , w2 12 w1 − w2 = z1 − + 3i − ( z2 − + 3i) = z1 − z2 uuu r uuu r w1 − w2 = z1 − z2 = OA − OB = AB Theo ra: z1 − z2 = ⇒ AB = P = z1 + z2 − + 6i = ( z1 − + 3i ) + ( z2 − + 3i ) 2(32 + 32 ) − 52 = w1 + w2 = 2OM = = 11 (vớ i M trung đ iểm AB ) Ví dụ 4: Cho hai số phức giá trị biểu thức A z1 , z2 thỏa mãn z − i = + iz , biết z1 − z2 = P = z1 + z2 P = B P= P = C P= D Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ 4, đề chưa cho mơđun hai số phức Tuy nhiên, cách đặt môđun hai số phức Tính z1 , z2 z = a + bi ( a; b ∈ ¡ ) z1 , z2 ta nhanh chóng tìm z − i = + iz ⇔ 2a + ( 2b − 1) i = − b + ⇔ ( 2a ) + ( 2b − 1) = ( − b) + a ⇔ a + b = z1 = z2 = a + b = Suy Ví dụ cho đưa dạng tốn Do đó, tốn, ta linh hoạt phối kết hợp nhiều phương pháp với để tạo cách giải toán hiệu Hướng dẫn giải: Chọn B 13 Gọi z = a + bi ( a; b ∈ ¡ ) Ta có: ⇔ z − i = + iz ⇔ 2a + ( 2b − 1) i = − b + ( 2a ) Suy + ( 2b − 1) = ( − b) + a ⇔ a + b = z1 = z2 = a + b = A, B Gọi z1 , z2 điểm biểu diễn số phức z1 = ⇒ OA = 1, z2 = ⇒ OB = 1; z1 − z2 = ⇒ AB = Suy tam giác OAB có cạnh P = z1 + z2 = 2OM = = (Vớ i M trung đ iểm cđa AB) b Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Bài toán 2: Cho hai số phức a , b, c > z1 , z2 thỏa mãn z1 = a, z2 = b z1 − z2 = c ) Tính giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức (Với P = z1 + z2 + z0 z0 (với số phức cho trước) Hướng dẫn giải: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 z0 14 uuu r uuu r uuur uuuu r uuur P = z1 + z2 + z0 = OA + OB + OC = 2OM + OC (Vớ i M trung điểm cña AB) uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur Ta cã: 2OM − OC ≤ 2OM + OC ≤ 2OM + OC ⇔ 2OM − OC ≤ P ≤ 2OM + OC Pmax = 2OM + OC hai vectơ Pmin = 2OM − OC Ví dụ 1: Cho uuuu r OM z1 , z2 hai vectơ uuuu r OM và uuur OC uuur OC hai số phức thỏa mãn hướng ngược hướng z − − 4i = giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A 44 B C z1 − z2 = z + z2 56 D Tổng 20 nhiên, với cách đặt N +n Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ này, đề khơng cho mơđun w1 = z1 − − 4i, w2 = z2 − − 4i Gọi z1 , z2 thành tốn với hai số phức kết xác Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt w1 = z1 − − 4i, w2 = z2 − − 4i ⇒ Tuy tương tự ví dụ mục 2.3.2.a phát huy hiệu tốt giúp ta chuyển toán với hai số phức w1 , w2 N,n z1 , z2 Áp dụng toán nhanh chóng tìm w1 = w2 = 1, w1 − w2 = P = z1 + z2 = w1 + w2 + + 8i 15 Gọi A, B, C C ( 6;8) điểm biểu diễn số phức Khi đó: w1 w2 w0 = + 8i , Điểm OA = OB = 1; AB = ; OC = 10 uuu r uuu r uuur P = w1 + w2 + + 8i = OA + OB + OC uuuu r uuur = 2OM + OC (Vớ i M trung điểm AB) Ta cã: uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur 2OM − OC ≤ 2OM + OC ≤ 2OM + OC ⇔ 2OM − OC ≤ P ≤ 2OM + OC 2(OA2 + OB ) − AB OM = = 3 ⇒ − 10 ≤ P ≤ + 10 5 44 56 56 44 56 44 ≤P≤ ⇒ Pmax = , Pmin = ⇒ N = ,n = 5 5 5 VËy: N + n = 20 ⇒ z1 , z2 z1 = a, z2 = b z1 − z2 = c Bài toán 3: Cho hai số phức thỏa mãn (Với a , b, c > ) Tính giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = mz1 + nz2 + z0 z0 ( Với số phức cho trước ) Hướng dẫn giải: Gọi A, B, C , D điểm biểu diễn số phức z1 , z2 ,w = mz1 + nz2 z0 16 uuur uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 w = mz1 + nz2 ⇒ OC = mOA + nOB ⇒ OC = m OA + n OB + 2mn.OA.OB ⇒ OC = m 2OA2 + n 2OB + 2mn uuur uuur P = mz1 + nz2 + z0 = OC + OD OA2 + OB − AB 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta cã: OC − OD ≤ OC + OD ≤ OC + OD ⇔ OC − OD ≤ P ≤ OC + OD Pmax = OC + OD hai vectơ Pmin = OC − OD uuur OC uuur OC uuur OD uuur OD hướng hai vectơ ngược hướng Ví dụ [Đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2021]: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 1, z2 = z1 − z2 = Giá trị lớn z1 + z2 − 5i − 19 + 19 A B Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi A, B, C , D z0 = −5i C −5 + 19 điểm biểu diễn số phức Điểm D + 19 z1 , z2 , w = z1 + z2 D ( 0; −5 ) z1 = ⇒ OA = 1, z2 = ⇒ OB = z1 − z2 = ⇒ AB = ; uuur uuu r uuu r uuu r uuu r w = z1 + z2 ⇒ OC = 3OA + OB ⇒ OC = 9OA2 + OB + 6OA.OB OA2 + OB − AB ⇒ OC = 9OA + OB + ⇒ OC = 19 ⇒ OC = 19 uuur uuur uuur uuur Ta cã: z1 + z2 − 5i = w − 5i = OC + OD ≤ OC + OD ⇒ 3z1 + z − 5i ≤ 19 + 2 ⇒ z1 + z2 − 5i max = + 19 17 c) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức * Một số kết cần lưu ý tập hợp điểm mặt phẳng A, B MA = MB M Nếu (với cho trước) tập hợp điểm đường trung trực AB đoạn thẳng MA = R R>0 A Nếu (với điểm cho trước, ) tập hợp điểm M đường trịn tâm A , bán kính R Bài tốn 4: Cho số phức z thỏa mãn z − z0 = k trước) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Hướng dẫn giải: Gọi M,A z điểm biểu diễn số phức uuuu r uuu r z − z0 = k ⇒ OM − OA = k ⇒ MA = k k > z0 (với , số phức cho z , z0 mặt phẳng Oxy R=k M Suy ra, tập hợp điểm đường trịn tâm A, bán kính Ví dụ [Chuyên KHTN năm 2018 – 2019 Lần 1]: Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z (1+ i) z − + i = thỏa mãn đường tròn tâm I bán kính R A I ( 2; −3) , R = B I ( −2;3) , R = I ( 2; −3) , R = I ( −2; 3) , R = C D Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ này, để áp dụng tốn ta cần có bước chuyển, cách sử dụng công thức Hướng dẫn giải: Chọn A z1.z2 = z1 z2 18 ( + i ) z − + i = ⇔ ( + i )  z −  5−i ÷ = ⇔ + i z − (2 − 3i) = 1+ i  ⇔ z − (2 − 3i) = ⇔ z − (2 − 3i) = ( 1) Gọi M,I Điểm điểm biểu diễn số phức I ( 2; − 3) ( 1) ⇔ MI = bán kính mặt phẳng Oxy Suy ra, tập hợp tất điểm M đường tròn tâm I ( 2; − 3) , R = Ví dụ 2: Cho ba điểm z , z0 = − 3i z3 ≠ z2 Biết A, B, C z1 = z2 = z3 biểu diễn ba số phức z1 + z2 = ABC C A Tam giác vuông ABC C C Tam giác vuông cân Hướng dẫn giải: Chọn A uuu r uuu r uuur z1 = z2 = z3 ⇒ OA = OB = OC Ta có: ⇒ OA = OB = OC = R R>0 ( Với ) z1 , z2 , z3 với z3 ≠ z1 Mệnh đề sau đúng? ABC B Tam giác ABC C D Tam giác cân A, B, C Suy ra, ba điểm thuộc đường tròn tâm R O, bán kính uuu r uuu r r z1 + z2 = ⇒ OA + OB = A Mặt khác: Suy ra, O B đối xứng với qua hay AB đường ABC kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C Vậy, tam giác vng 19 Bài tốn 5: Cho số phức z z − z1 = z − z2 thỏa mãn trước) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Hướng dẫn giải: Gọi M , A, B z (với z1 , z2 số phức cho điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 mặt phẳng M Oxy AB Suy ra, tập hợp điểm đường trung trực đoạn thẳng Ví dụ [Đề thi KHTN lần năm học 2018 – 2019]: Tập hợp điểm biểu diễn z +2 = z −i z số phức thỏa mãn đường thẳng có phương trình 4x + y + = x + y + 13 = A B x − y + = x − y + 13 = C D Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: z + = z − i ⇔ z − (−2) = z − i ⇒ MA = MB M , A ( −2;0 ) , B ( 0;1) (Với điểm biểu diễn số phức Suy ra, tập hợp điểm M z, z1 = −2, z2 = i đường trung trực đoạn thẳng ) AB : x + y + = Bài tốn 6: Cho số phức Tìm z thỏa mãn tập hợp điểm biểu diễn số phức Hướng dẫn giải: Gọi M , F1 , F2 Điểm z z+c + z−c =k c > 0, k > 0, c < k ) điểm biểu diễn số phức F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) (với z , z1 = −c, z2 = c 20 uuuu r uuur uuuu r uuuu r Ta cã: z + c + z − c = k ⇔ z − ( −c ) + z − c = k ⇔ OM − OF1 + OM − OF2 = k ⇔ MF1 + MF2 = k Suy ra, tập hợp điểm Trong đó: F1 , F2 M đường elip tiêu điểm, x2 y ( E) : + =1 a b k 2a = k ⇒ a = , b = a − c 2 Ví dụ [Sở GD ĐT Bình Phước năm 2017]: Cho số phức z +2 + z −2 =8 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z z thỏa mãn đường có phương trình A ( C ) :( x + ) + ( y − ) = 64 x2 y2 ( E ) : + = 12 16 C Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi M , F1 , F2 Điểm Ta có: B D x2 y ( E ) : + = 16 12 ( x + 2) điểm biểu diễn số phức F1 ( −2;0 ) , F2 ( 2;0 ) + ( y − ) = z, z1 = −2, z2 = z + + z − = ⇔ MF1 + MF2 = Suy ra, tập hợp điểm M đường elip x2 y ( E) : + =1 a b c = 2; 2a = ⇔ a = 4; b = a − c = 12 Vậy x2 y ( E ) : + = 16 12 21 2.3.3 Bài tập tự luyện Câu 1: Xét số phức z1 + z2 z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 13, z1 − z2 = Hãy tính A B C D z1 = z2 = z1 + z2 = z1 z2 Câu 2: Cho hai số phức , thỏa mãn , Giá trị z1 − z2 A B C D z − + 2i = z1 − z2 = z1 z2 Câu 3: Cho hai số phức , thỏa mãn Tìm mơđun số phức w = 13 A w = z1 + z2 − + 4i B w = 16 C w = 10 D w =6 z1 + z2 + z1 − z2 z1 = z2 = z1 z2 Câu 4: Cho hai số phức , thỏa mãn Khi A B Câu 5: Cho hai số phức + 13 Câu 6: Cho M ,m z1 , z2 C z1 , z2 giá trị lớn biểu thức A B thỏa mãn hai số phức thỏa mãn D z1 = 6, z2 = P = z1 + z2 − 4i + 12 z1 − z2 = 13 Tìm C 36 z − + 5i = D 1008 z1 − z2 = giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức z + z2 Gọi Tích 22 Mm 100 A B 112 C 109 D 111 z1 z2 Câu [Chuyên Vinh – Lần – năm 2018]: Cho hai số phức , thỏa mãn iz + − i = z1 − z2 = Giá trị lớn z1 + z2 3 A B C D Câu [Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị năm 2018 – 2019 Lần 01 ]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − + 2i = z + + 2i A C x − y + = x − y = đường thẳng có phương trình x + y = B x + y + = D Câu [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017]: Cho số phức z thỏa mãn z = Biết w = ( + 4i ) z + i tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn r Tính bán kính đường trịn r = r = r = 20 r = 22 A B C D z1 , z2 , z3 A, B, C Câu 10: Xét ba điểm theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt thỏa mãn z1 = z2 = z3 A Tam giác C Tam giác ABC ABC z1 + z2 + z3 = vuông Khẳng định sau đúng? ABC B Tam giác vuông cân D Tam giác ABC có góc 1200 23 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học sinh lớp 12C6, kết sau: Năm 2020-2021 Lớp Trước thực đề tài Sau thực đề tài Số học sinh Số học sinh Số học sinh Số học trả lời trả lời sinh trả lời Sĩ trả lời xác xác xác xác số 30s – 1ph 30s – 1ph 12C6 45 15 35 25 Qua bảng trên, thấy kết học tập học sinh lớp 12C6 sau học xong chủ đề có thay đổi rõ rệt Từ chỗ có 15 em lớp trả lời xác có em trả lời nhanh xác thời gian từ 30s đến phút sau áp dụng chuyên đề vào giảng dạy, số lượng học sinh trả lời xác, đặc biệt số học sinh trả lời nhanh xác tăng lên đáng kể Như vây, thành công bước đầu quan trọng cách làm cải thiện chất lượng học tập học sinh tạo hứng thú, say mê cho học sinh học phần kiến thức KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bài tập tìm mơđun số phức nói chung đa dạng, phong phú phức tạp Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thân có hiệu vào đối tượng học sinh yêu cầu người dạy người học phải không ngừng học hỏi tìm kiếm tri thức Riêng em học sinh phải cố gắng, chăm rèn luyện phát triển tư suy luận logic, phân tích vấn đề khái qt hố vấn đề, từ giải vấn đề cách khoa học, nhanh gọn bắt kịp với xu hướng học Trong khn khổ viết mình, tơi xin mạnh dạn đưa số tốn mơđun số phức như: Tính giá trị biểu thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tìm tập hợp 24 điểm với phân tích gợi mở giúp học sinh đưa toán cho toán Từ đó, giúp em giải tốn cách dễ dàng hơn, đặc biệt hứng thú với môn học Kiến thức khoa học nói chung kiến thức tốn học nói riêng phong phú đa dạng Do đó, viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất kính mong nhận góp ý ủng hộ nhiệt tình bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị Đối với giáo viên : Khi dạy phần kiến thức Số phức, đặc biệt phần tập trắc nghiệm, giáo viên cần ý đến việc hướng dẫn cho học sinh biết cách rút đặc điểm dấu hiệu nhận biết đặc trưng giả thuyết toán Đối với nhà trường: Trong buổi họp tổ chuyên môn, giáo viên tổ chọn chủ đề mà giáo viên cịn gặp khó khăn giảng dạy học sinh lúng túng để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy hệ thống tập hay lớp buổi họp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên Vũ Thị Phượng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Giải tích Giải tích nâng cao 12 [2] Chuyên đề Số Phức Trần Phương - Lê Hồng Đức [3] Chuyên đề trắc nghiệm Số Phức tác giả Đặng Việt Đông [4] Chuyên đề trắc nghiệm Số Phức tác giả Huỳnh Đức Khánh 25 [5] Các dạng toán thường gặp kỳ thi THPT Quốc Gia Chuyên đề 26: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức tác giả Nguyễn Bảo Vương 26 ... dụng học sinh lớp 12 C6, kết sau: Năm 2020-20 21 Lớp Trước thực đề tài Sau thực đề tài Số học sinh Số học sinh Số học sinh Số học trả lời trả lời sinh trả lời Sĩ trả lời xác xác xác xác số 30s – 1ph... người học cần có kiến thức tốt giải tích hình học Xuất phát từ lí trên, tơi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương giải nhanh số toán môđun số phức phương. .. = 12 Vậy x2 y ( E ) : + = 16 12 21 2.3.3 Bài tập tự luyện Câu 1: Xét số phức z1 + z2 z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 13 , z1 − z2 = Hãy tính A B C D z1 = z2 = z1 + z2 = z1 z2 Câu 2: Cho hai số