PHÒNG GIÁO DỤC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN VÀ ĐÀO TẠO BÁ KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN THƯỚC NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1... 0 không phải là nghiệm của hệ đã cho.[r]
(1)ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) Gọi a là nghiệm nguyên dương phương trình √ x + x −1=0 Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức A= a− √ 2(2 a − 2a+3)+2 a Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn − =7 −20 √ a+b √ a − b √3 Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình ¿ (x 2+1)( y +1)+ xy=0 x y + =− x +1 y +1 ¿{ ¿ Câu 3: (4,0 điểm) 1) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn đẳng thức a + b2 - ab = c2 Chứng minh phương trình x2 - 2x + (a - c)(b - c) = có hai nghiệm phân biệt Tìm các số nguyên x, y thoã mãn: (y + 2)x2 + = y2 Câu 4: (6,0 điểm) Từ đỉnh A hình vuông ABCD, ta kẻ hai tia tạo với góc 45 o Một tia cắt cạnh BC E và cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F và cắt đường chéo DB Q Chứnh minh: E; P; Q; F; C cùng nằm trên đường tròn Chứng minh: AB.PE = EB.PF Chứng minh: SAEF = 2SAPQ Goïi M laø trung ñieåm AE Chứng minh: MC = MD Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương và abc =1 CMR 3 a b c + + ≥ (1+b)(1+c ) (1+ c)(1+a) (1+ a)(1+b) -Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: (2) PHÒNG GIÁO DỤC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN VÀ ĐÀO TẠO BÁ KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN THƯỚC NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý Nội dung √ x 2=1 − x Vì Điểm nên 0<a<1 Suy 1− a+a2 a= Ta 0,5 0,5 có (2 a− 3)( √2 (2 a4 −2 a+3)−2 a2 0,25 ) A= 4 a − a+6 − a 0,25 a2 − a4 − a+ √ −a −2 a+ a2 − − a+ 2 √2 −a a2 − a+4 √2 − =− 2 √2 √ √ ĐK a ≠ ±b √3 Từ 0,25 0,25 0,25 giả thiết a, b là các 0,25 số hữu tỉ ta có: a− b √ =7 −20 √ a2 − b2 a =7 a − b2 suy và 0,25 b √3 =20 √ a2 − b2 a= b Từ đó suy 49b b=7 − b2 16 ) b b2 ⇒ = ⇒b=4 16 (b ( 0,25 (3) = không thoả mãn) Lúc này a = Ta thấy (x; y) = (0; 0,5 0) không phải là nghiệm hệ đã cho Chia hai vế 0,5 PT này ta được: ¿ ( x +1)( y +1)+ xy=0 x y + =− x +1 y +1 ¿{ ¿ 2 ⇔ ¿ 1 (x+ )( y + )+8=0 x y 1 + =− 1 x+ y+ x y ¿{ ¿ Đặt 0,25 x + =a x (*) y + =b Thayya , b vào (*) 0,25 Giải a, b ta giải hệ pt ta với tìmẩnđược 0,5 0,25 0,25 tìm b) = (4; - 2) HPT có (a; nghiệm và (a; b) = (- 2; 4) (x; y) = ( 2+ √ ;− ) ; ( 2− √ ; − ) ; (−1 ; 2+ √3);(− 1; − √ 3) 0,5 0< a≤ b ; giả sử đó c=√ b 2+ a(a − b)≥ a , 0,5 0,5 (4) hay a−c≤0 Lại có: c=√ b 2+ a(a − b)≤ b , nên b − c ≥ nên (a - c)(b - c) suy Δ = - (a - c)(b - c) > Vậy pt có hai nghiệm phân biệt Ta có: (y + 2)x2 + 1= y2 (y + 2)x2 = y2 - (1) Dễ thấy y -2 Nên (1) x2 = y 1 y 2 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 nên y y 1 (I) Mà với x Z thì ( y2 - 1) (y + 2) nên -3 ( y + 2) để x2 = y 1 y2 y Z 1, 3,1, 5 kết hợp với (I) ta được: Vậy: (x, y) = (0, -1) Chứng minh: E; P; 0,5 Q; C; F cùng nằm trên đường tròn: 0,5 0,5 (5) Ta có QAE = 45o (gt) và QBC = 45o (t/c hình vuông) (6) A B M P E Q D F C tứ giác ABEQ nội tiếp ABE + AQE = 2v mà ABE =1v AQE = 1v Ta có AQE vuông Q có góc QAE = 45o AQE vuông cân AEQ = 45o Ta lại có EAF = 45o(gt) và PDF = 45o tứ giác APFD nội tiếp APF + ADF = 2v mà ADF = 1v APF =1v và ECF = 1v Từ uvw E; P; Q; F; C cùng nằm trên đường tròn đường kính EF 0,5 (7) Chứng minh: AB.PE 0,5 = EB.PF Xeùt hai tam giaùc 0,5 0,5 vuoâng ABE coù: -Vì ABEQ nt BAE =BQE (Cuøng ∠ BAE = ∠ PFE chaén cung BE) -Vì QPEF nt PQE =PEF (Cuøng chaén cung PE) ñpcm Cm: SAEF = 2SAPQ Theo cm treân thì AQE vuông cân Q AE = 2 √ AQ + QE = √ AQ Vì tứ giác QPEF nt 0,5 PEF = AQP (cuøng 0,5 phụ với góc PQF); Goùc QAP chung AQP~AEF SAEF AE = S AQP AQ ( ) = ( √ )2 = 2 ñpcm Chứng minh: MC = MD Chứng minh hai MAD = MBC vì 0,5 (8) coù BC=AD; MBE = MEB = DAE; AM =BM Do a, b, c là các số dương và abc =1 Áp dụng BĐT cô - si cho ba số dương ta có: 0,25 0,25 a 1+c 1+b a0,5 1+c 1+b + + ≥3 = (1+b)(1+c ) 8 (1+b)(1+c ) 8 √ (1) Chứng minh tương tự: b 1+c 1+a b + + ≥ (1+a)(1+c ) 8 (2) 0,25 c3 1+c 1+b c + + ≥ (1+b)(1+c ) 8 (3) Cộng vế với vế 0,25 (1); (2); (3) ta có: 3 a b c a+b+ c + + + ≥ (1+b)(1+c ) (1+ c)(1+a) (1+ a)(1+b) 0,25 Vì a+b +c ≥ √3 abc=3 (9) a3 b3 c3 + + ≥ (1+b)(1+c ) (1+ c)(1+a) (1+ a)(1+b) 0,25 Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm - Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần và làm tròn số đến 0,5đ ……………………… Hết …………………… (10)