Số phức và một số dạng toán hình học phẳng liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN KIÊN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN KIÊN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách kí hiệu iv Mở đầu 1 Số phức hình học mặt phẳng phức 1.1 Mặt phẳng phức 1.2 Tích thực hai số phức 1.3 Tích phức hai số phức 1.4 Phép quay 1.5 Diện tích tam giác Áp dụng số phức vào giải số toán tam giác 2.1 Tam giác đồng dạng tam giác 2.1.1 Tam giác đồng dạng 2.1.2 Tam giác 12 2.2 Một số điểm quan trọng tam giác 18 2.3 Một số khoảng cách quan trọng tam giác 21 2.4 2.3.1 Bất biến tam giác 21 2.3.2 Khoảng cách OI, ON, OH, OG 23 Một số toán diện tích tam giác 26 Áp dụng số phức vào giải số tốn đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường trịn 37 ii 3.1 Một số định lý 37 3.2 Hai tam giác nội tiếp đường tròn 43 3.3 Một số toán đa giác 47 Bài tốn dựng hình tốn quỹ tích 52 4.1 Một số tốn dựng hình 52 4.2 Một số tốn quỹ tích 55 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 iii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Ngô Văn Định Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS Ngơ Văn Định, người đưa đề tài dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc em suốt q trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô tham gia giảng dạy Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K7B động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Hùng Thắng - Huyện Tiên Lãng - Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập Tơi cảm ơn đại gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn iv Danh sách kí hiệu R tập hợp số thực C tập hợp số phức Im z phần ảo số phức z Re z phần thực số phức z arg z argument số phức z |z| môđun số phức z z số phức liên hợp số phức z A(a) điểm A biểu diễn cho số phức a z·w tích thực hai số phức z w z×w tích phức hai số phức z w Mở đầu Số phức tập hợp số quan trọng toán học Trong chương trình tốn học trường phổ thơng trung học nay, số phức giới thiệu định nghĩa, phép toán, dạng đại số, dạng lượng giác số tính chất Tuy nhiên, số phức có nhiều ứng dụng giải toán Đặc biệt, giải toán sơ cấp, số phức sử dụng để giải tốn thuộc chuyên đề khác như: hình học, đại số tổ hợp, tích phân, lượng giác, Mục đích luận văn trình bày ứng dụng số phức vào giải số dạng tốn hình học phẳng, đặc biệt dạng toán giải tam giác (tức toán liên quan đến vấn đề tam giác) Mỗi số phức biểu diễn điểm mặt phẳng chiều ngược lại, điểm mặt phẳng hai chiều biểu diễn số phức Với tương ứng − này, ta chuyển đổi tính chất hình học mặt phẳng phép toán số phức Từ đó, ta chuyển tốn hình học phẳng thành toán đại số tập hợp số phức Các toán giải tam giác thường quan tâm nhiều chương trình hình học phẳng trường phổ thông Ngay từ học sinh làm quen với hình học phẳng tam giác hình đa giác giới thiệu kĩ lưỡng với nhiều yếu tố Các toán tam giác vơ phong phú Luận văn trình bày ứng dụng số phức vào giải số toán tam giác đồng dạng, tam giác đều, diện tích tam giác, điểm đặc biệt khoảng cách đặc biệt tam giác Ngồi ra, luận văn cịn trình bày số toán đa giác nội, ngoại tiếp đường trịn số tốn quỹ tích dựng hình Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Số phức hình học mặt phẳng phức Trong chương này, chúng tơi trình bày cách sơ lược số phức số phép tốn số phức liên quan đến giải tích mặt phẳng mà sử dụng chương • Chương 2: Áp dụng số phức vào giải số tốn tam giác Chương trình bày ứng dụng số phức vào giải số tốn tam giác Đầu chương chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ hai tam giác đồng dạng tam giác Đồng thời, chúng tơi trình bày thêm số tập áp dụng tính chất Trong mục 2.2 chúng tơi trình bày cơng thức tổng qt xác định tọa độ điểm đặc biệt tam giác, như: trọng tâm, trực tâm, điểm Gergonne, điểm Nagel, Trong mục tiếp theo, chúng tơi trình bày áp dụng số phức tính tốn khoảng cách diện tích tam giác • Chương 3: Áp dụng số phức vào giải số toán đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường trịn Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất đường trịn ngoại tiếp tam giác như: tam giác pedal, đường Simson-Wallance, tính trực giao cực hai tam giác nội tiếp đường trịn Cuối chương, chúng tơi trình bày áp dụng số phức vào số toán đa giác • Chương 4: Áp dụng số phức vào giải số tốn dựng hình số tốn quỹ tích Do khối lượng kiến thức lớn thời gian nghiên cứu chưa đủ dài, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận góp ý thầy cô bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Vũ Văn Kiên Email: kien78thptht@gmail.com Chương Số phức hình học mặt phẳng phức Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược số phức số phép toán số phức liên quan đến hình học phẳng sử dụng cho chương Ở đây, chúng tơi khơng trình bày lại định nghĩa số phức phép toán cộng, trừ, nhân chia số phức thông thường Chúng chủ yếu trình bày chương khái niệm tích thực tích phức hai số phức, Ngồi ra, chúng tơi có trình bày thêm mối liên hệ phép nhân số phức với số phức có môđun phép quay mặt phẳng Phần cuối chương, chúng tơi trình bày số cơng thức tính diện tích tam giác dựa vào tọa độ phức đỉnh 1.1 Mặt phẳng phức Ta biết số phức biểu diễn điểm mặt phẳng chiều Oxy điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn hình học số phức Nếu M điểm mặt phẳng biểu diễn số phức m ta nói số phức m tọa vị điểm M viết M (m) Trong suốt luận văn này, trừ chỗ ghi cụ thể, chúng tơi quy ước sử dụng kí hiệu chữ in hoa cho điểm nằm mặt phẳng chữ thường tương ứng tọa vị phức điểm 1.2 Tích thực hai số phức Định nghĩa 1.1 Cho a b hai số phức Tích thực hai số phức a b số, kí hiệu a · b, xác định công thức sau a·b= ab + ab Theo định nghĩa, ta có a·b= ab + ab = a · b Do a · b số thực, điều giải thích cho tên gọi phép tốn Giả sử a b có dạng đại số là: a = x1 + y1 i, b = x2 + y2 i, với x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R Khi đó, ta có a · b = x1 x2 + y1 y2 Gọi A B điểm mặt phẳng biểu diễn số phức a b Xét mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxy ta dễ thấy tích thực a · b tích vơ hướng hai −→ −−→ véc tơ OA OB Với nhận xét này, dễ dàng có tính chất tích thực Định lí 1.1 Cho số phức a, b, c, z ta có mối quan hệ sau (1) a · a = |a| (2) a · b = b · a (3) a · (b + c) = a · b + a · c (4) (αa) · b = α (a · b) = a · (αb) với α ∈ R (5) a · b = OA ⊥ OB (6) (az) · (bz) = |z| (a · b) Chứng minh Các tính chất (1), (2), (3), (4), (5) suy trực tiếp từ tính chất tích vơ hướng Tính chất (6) dễ dàng có từ định nghĩa tích thực 45 Ta lại có (a − w) (b − w) (c − w) = (m − w) (n − w) (p − w) = abc, suy điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2 Các đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A1 , B1 , C1 Gọi A′1 , B1′ , C1′ điểm đối xứng A, B, C qua tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi hai tam giác ABC A′1 B1′ C1′ trực giao cực Hình 3.3 bc ca ab , − , − a b c Phương trình đường thẳng AH theo tích số thực Chứng minh Tọa vị A1 , B1 , C1 − AH : (z − a).(b − c) = Điều cho thấy điểm với tọa vị − ngoại tiếp tam giác ABC bc nằm hai đường AH đường trịn a Ta có − bc |b| |c| R.R = = = R a |a| R 46 Do điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác, ta nhận bc thấy số phức − nghiệm phương trình đường thẳng AH Điều tương a đương với bc + a (b − c) = a Sử dụng định nghĩa tích số thực, ta bc + a (b − c) + a bc +a b−c =0 a abc + a (b − c) + R2 bc R2 R2 +a − a b c =0 tương đương R2 aR2 abc (b − c) − +a− R2 a bc =0 đẳng thức Suy A′1 , B1′ , C1′ có tọa độ bc ca ab , , Vì a b c bc ca ab · · = abc, a b c ABC A′1 B1′ C1′ trực giao cực Mệnh đề 3.3 Gọi P P ′ hai điểm phân biệt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cho AP AP ′ đối xứng qua đường phân giác góc BAC Khi hai tam giác ABC AP P ′ trực giao cực Chứng minh Ta xét p p′ tọa vị điểm P P ′ Ta có đường thẳng P P ′ BC song song, Sử dụng tích số phức, ta có (p − p′ ) × (b − c) = Điều tương đương với (p − p′ ) b − c − p − p′ (b − c) = 47 Hình 3.4 Xét gốc tọa độ mặt phẳng phức trùng với tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có (p − p′ ) R2 R2 − b c − R2 R2 − ′ p p (b − c) = Vì R2 (p − p′ ) (b − c) 1 − ′ bc pp = Do bc = pp′ có nghĩa abc = app′ Theo Định lí 3.3, suy ABC AP P ′ trực giao cực 3.3 Một số toán đa giác Trong mục này, chúng tơi trình bày lời giải số toán đa giác cách sử dụng số phức Bài toán 3.1 Cho A1 A2 · · · An đa giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Chứng minh điểm M mặt phẳng ta có hệ thức n M A2k = n OM + R2 k=1 Lời giải Xét mặt phẳng phức với O gốc Rεk tọa độ đỉnh Ak , với εk bậc n đơn vị Lấy m tọa vị điểm M 48 Sử dụng tính chất tích thực số phức ta có n n M A2k = k=1 k=1 n = k=1 (m − Rεk ) (m − Rεk ) m.m − 2m.Rεk + R2 εk εk n n = n|m| − 2R εk = n.OM + nR m + R k=1 k=1 |εk | n = n OM + R , εk = k=1 Chú ý 3.2 Nếu M nằm đường tròn ngoại tiếp đa giác n k=1 M A2k = 2nR2 Bài tốn 3.2 (IMO 1977) Cho hình vng ABCD Dựng phía hình vng tam giác ABK, BCL, CDM, DAN Chứng minh trung điểm đoạn KL, LM, M N, N K, KB, BL, LC, DM, DN, N A, AK, M C đỉnh thập nhị giác Lời giải Giả sử hình vng ABCD định hướng dương, chọn tâm O hình vng làm gốc tọa độ Khi b = ia, c = −a, d = ia Đặt π ei = w ta có k = (iw + w) a, l = (−w + iw) a, m = (−iw − w) a, n = (w − iw) a Gọi P1 , P2 , P3 , P4 , Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , S1 , S2 , S3 , S4 theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng KL, LM, M N, N K, M D, N A, KB, LC, KA, LB, M C, N D, ta có đa giác P1 Q1 S1 P2 Q2 S2 P3 Q3 S3 P4 Q4 S4 nhận O làm tâm đối xứng, với f phép quay tâm O, góc quay + π6 ta cần chứng minh f (pk ) = qk , f (qk ) = sk , f (sk ) = pk+1 , với k = 1, 49 Ta có a (k + 1) = [(i − 1) w + (i + 1) w] 2 a p2 = [− (i + 1) w + (i − 1) w] a q1 = [i (1 + w) + w] , a s1 = [1 + iw + w] p1 = π Khi đó, với ei = w a [(i − 1) εw + (i + 1) εw] = q1 a f (q1 ) = εq1 = [iε + iεw + εw] = s1 a f (s1 ) = εs1 = [ε + iεw + εw] = p2 f (p1 ) = εp1 = Một cách tương tự, f (p2 ) = q2 , f (q2 ) = s2 , f (s2 ) = p3 ta có điều phải chứng minh Hình 3.5 50 Bài toán 3.3 (Romania 1996) Cho n > số nguyên f : R2 → R hàm số cho với n-giác A1 A2 · · · An , ta có f (A1 ) + f (A2 ) + · · · + f (An ) = Chứng minh f (A) = với A thuộc R 2π Lời giải Ta đồng R2 với mặt phẳng phức đặt ε = ei n Khi điều kiện đề ứng với số phức z số thực t ta có n f (z + tεj ) = j=1 Từ đó, trường hợp riêng, ta có với k = 1, 2, · · · , n, ta có n j=1 f (z − εk + εj ) = Cộng đẳng thức lại, ta n n m=1 k=1 f z − (1 − εm ) εk = với m = n, tổng n · f (z), với giá trị m khác, tổng lại chạy qua đỉnh n-giác đều, không Vậy f (z) = với số phức z Bài toán 3.4 (Balkan MO 2001) Một ngũ giác lồi có góc có cạnh số hữu tỉ Chứng minh ngũ giác Lời giải Giả sử tọa vị đỉnh ngũ giác lồi số phức v1 , v2 , v3 , v4 , v5 Xét z = v − v , z = v − v2 , z = v − v , z = v − v , z = v − v Khi đó, ta có z1 + z2 + z3 + z4 + z5 = Đặt ωj = zj z1 Ta có ω1 = ω1 + ω2 + ω3 + ω4 + ω5 = Vì ngũ giác lồi có góc nhau, ta có ω2 = a2 ω, ω3 = a3 ω , ω4 = a4 ω , ω5 = a5 ω 51 2p ω = ei aj số hữu tỉ Như ω nghiệm đa thức với hệ số hữu tỉ + a2 ω + a3 ω + a4 ω + a5 ω = đa thức tối tiểu ω Q [x] + t + t2 + t + t , tức + ω + ω + ω + ω = 0, từ suy a2 = a3 = a4 = a5 = 1, tức |ωj | = 1, suy |zj | = |z1 |, nghĩa ngũ giác 52 Chương Bài tốn dựng hình tốn quỹ tích Trong chương chúng tơi trình bày việc áp dụng số phức vào số tốn dựng hình số tốn quỹ tích 4.1 Một số tốn dựng hình Bài tốn 4.1 Cho đường trịn tâm O bán kính R hai dây cung AB, CD Tìm điểm X đường trịn cho XA2 + XB = XC + XD2 Lời giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn cho Ta xét trường hợp hai dây cung AB, CD không cắt trung điểm đường Ta có 2 2 2 2 XA2 = |a − x| = (a − x) (a − x) = |a| + |x| − xa − ax = 2R2 − xa − ax, XB = |b − x| = (b − x) b − x = |b| + |x| − xb − bx = 2R2 − xb − bx, XC = |c − x| = (c − x) (c − x) = |c| + |x| − xc − cx = 2R2 − xc − cx, 2 XD2 = |d − x| = (d − x) d − x = |d| + |x| − xd − dx = 2R2 − xd − dx Gọi I, J trung điểm AB, CD, a + b = 2i, c + d = 2j Từ hệ thức ta XA2 + XB = XC + XD2 53 ⇔ xa + ax + xb + bx =xc + cx + xd + dx ⇔ x a + b + x (a + b) = x c + d + x (c + d) ⇔ xi + xi = xj + xj (4.1) ⇔ x i + j + x (i + j) = Đặt x = x1 + iy1 , i − j = x2 + iy2 (4.1) ⇔ (x1 + iy1 ) (x2 − iy2 ) + (x1 − iy1 ) (x2 + iy2 ) = ⇔ x1 x2 + y1 y2 − i (x1 y2 − x2 y1 ) + x1 x2 + y1 y2 + i (x1 y2 − x2 y1 ) = ⇔ x x2 + y y = −−→ −→ −→ ⇔ OX OI − OJ = −−→ − → ⇔ OX · IJ = Do OX vng góc với IJ Suy điểm X giao đường tròn cho với đường thẳng d qua gốc tọa độ O vng góc với đường thẳng IJ Bài toán 4.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn w Gọi A1 trung điểm cạnh BC A2 hình chiếu A1 tiếp tuyến w A Các điểm B1 , B2 , C1 , C2 xác định cách tương tự Chứng minh đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy Hãy xác định vị trí hình học điểm đồng quy Lời giải Khơng tính tổng qt, coi w đường trịn đơn vị Ta có a1 = b+c đường thẳng A1 A2 đường thẳng qua A1 (a1 ), song song với OA, A1 A2 có phương trình az − az = a b+c − a Do a.a = 1, nên phương trình viết lại dạng z − a2 z = b+c b+c − a2 2 hay z − a2 z = a+b+c a+b+c − a2 2 b+c 54 Gọi N tâm đường tròn Euler tam giác, n = a+b+c đường thẳng A1 A2 qua N Tương tự, có B1 B2 , C1 C2 qua N Hình 4.1 Bài toán 4.3 Trong tất tam giác nội tiếp đường trịn cho trước Hãy tìm tam giác có tổng bình phương cạnh lớn Lời giải Dựng hệ tọa độ vng góc Oxy cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn cho Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có AB + BC + CA2 = GA2 + GB + GC −→2 −−→2 −→2 = GA + GB + GC = (a − g) (a − g) + (b − g) b − g + (c − g) (c − g) 2 2 = |a| − ag − ga + |g| + |b| − bg − gb + |g| + |c| − cg − gc + |g| 2 = |a| + |b| + |g| 2 + 9|g| − 3G a + b + c − 3g (a + b + c) = 9R2 + 9|g| − 3g (3g) − 3g(3g) = 9R2 + 9|g| Từ suy tổng AB + BC + CA2 lớn G trùng với O hay tam giác ABC có tổng lớn 9R2 55 4.2 Một số tốn quỹ tích Bài tốn 4.4 Cho M điểm nằm tam giác ABC M1 , M2 , M3 tương ứng chân đường vng góc từ M hạ xuống cạnh BC, CA, AB Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác M1 M2 M3 Lời giải Đặt 1, ε, ε2 tọa vị điểm A, B, C, ε = cos 120◦ + i sin 120◦ + ε + ε2 = ε3 = Nếu m, m1 , m2 , m3 tọa vị điểm M, M1 , M2 , M3 , ta có (1 + ε + m − εm) , ε + ε2 + m − m , m2 = 2 m3 = ε + + m − ε2 m m1 = Gọi g tọa vị trọng tâm G tam giác M1 M2 M3 g= 1 + ε + ε2 + 3m − m + ε + ε2 (m1 + m2 + m3 ) = = m Từ OG = 21 OM Quỹ tích điểm G phần phía tam giác bao gồm từ tâm O tam giác ABC có độ dài 12 Nói cách khác, đỉnh tam giác có tọa vị 1 , ε, ε Bài tốn 4.5 Cho đường trịn (C) tâm O, bán kính R, BC dây cung cố định khơng phải đường kính đường trịn (C), điểm A chuyển động cung lớn BC Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC Lời giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường (C), trục hoành song song với dây cung BC Do trục tung vng góc với BC qua trung điểm I BC Ta có: b + c = 2i 56 g− 1 (a + b + c) = (a + 2i) 3 Suy g = i = a, 3 kéo theo g − j = a, j = 32 i Vậy G chuyển động đường trịn tâm J bán kính 13 R Vì A chuyển động cung lớn BC nên G chuyển động cung tròn cung tròn đường trịn tâm J bán kính 31 R Bài tốn 4.6 Cho đường trịn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động (C), A′ điểm đối xứng A qua M Tìm tập hợp điểm A′ trọng tâm G tam giác A′ AB Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxy cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C) cho, trục hồnh qua điểm A, B Hình 4.2 57 Tập hợp điểm A′ Ta có b = −a, a′ + a = 2m, suy a′ − b = 2m Từ suy |a′ − b| = |m| = 2R Do điểm A′ chuyển động đường tròn (C1 ) tâm B, bán kính 2R Tập hợp trọng tâm G tam giác A′ AB Gọi G trọng tâm tam giác A′ AB Ta có g− ′ 1 (a + a + b) = a′ = (b + 2m) 3 Suy g = 31 b = 32 m suy g − j = 23 m , j = 31 b Do |g − j| = 2 |m| = R 3 Vậy điểm G chuyển động đường tròn (C2 ) tâm j = 31 b, bán kính 23 R 58 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: Sơ lược số phức, tích thực tích phức số phức Mối quan hệ số phức số yếu tố hình học phẳng như: tính vng góc, thẳng hàng, phép quay diện tích tam giác Một số kết số toán hay liên quan đến tam giác trình bày với việc sử dụng tọa độ phức: tam giác đồng dạng, tam giác đều, điểm đặc biệt tam giác, khoảng cách đặc biệt, diện tích tam giác Một số tốn đa giác nội tiếp đường trịn, đặc biệt tam giác nội tiếp đường tròn Áp dụng số phức vào giải số toán dựng hình số tốn quỹ tích 59 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức hình học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) (2009), Biến phức, Định lí ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quang Nẫm (2000), Tìm tịi để học tốn, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [4] Đồn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục [5] Võ Thanh Vân (Chủ biên) (2009), Chuyên đề ứng dụng số phức giải toán THPT, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh [6] Andreescu T., Andrica D (2002), Complex Numbers from A to Z, Brikhăauser ... ảo số phức z Re z phần thực số phức z arg z argument số phức z |z| môđun số phức z z số phức liên hợp số phức z A(a) điểm A biểu diễn cho số phức a z·w tích thực hai số phức z w z×w tích phức. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN KIÊN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI... dụng số phức vào giải số dạng tốn hình học phẳng, đặc biệt dạng toán giải tam giác (tức toán liên quan đến vấn đề tam giác) Mỗi số phức biểu diễn điểm mặt phẳng chiều ngược lại, điểm mặt phẳng