Số giả nguyên tố và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH HUỆ SỐ GIẢ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH HUỆ SỐ GIẢ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục Danh sách kí hiệu MỞ ĐẦU Chương Số giả nguyên tố lý thuyết mật mã khóa cơng khai 1.1 1.2 Cơ sở toán học lý thuyết mật mã khoá công khai 1.1.1 Hệ mã khoá RSA 1.1.2 Vấn đề lấy bậc hai modulo n 10 1.1.3 Độ khó việc tìm số khơng phương modulo p 11 Vấn đề sinh số nguyên tố lớn Chương Một số loại số giả nguyên tố 2.1 11 14 Số giả nguyên tố 14 2.1.1 Khái niệm 14 2.1.2 Số Carmichael 16 2.2 Kiểm tra Miller số giả nguyên tố mạnh 22 2.3 Số giả nguyên tố Euler 25 2.4 Số giả nguyên tố Catalan 33 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Tốn khóa 9B (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Quang Trung, Huyện Thủy Nguyên, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành tốt luận văn Danh sách kí hiệu   b   n ký hiệu Jacobi π (n) số số nguyên tố nhỏ n mod p modulo p a|b b bội a a ≡ b (mod p) gcd(a, b) m ∑ i=1 m ∏ bi i=1 a đồng dư với b theo modulo p ước chung lớn hai số nguyên a b ký hiệu tổng a1 + a2 + · · · + am ký hiệu tích b1 b2 · · · bm Mở đầu Có thể nói, Lý thuyết số ngành khoa học sớm nhân loại Trước năm 70 kỷ XX, Lý thuyết số coi ngành túy lý thuyết, chí người ta cịn ca ngợi vẻ đẹp xa rời thực tiễn! Tuy nhiên, Issac Newton nói : “Khơng có gần với thực tiễn lý thuyết đẹp”, Lý thuyết số lại trở thành ngành gần thực tiễn nhất, ứng dụng nhất, ảnh hưởng lớn lao bất ngờ đến nhiều ngành, chẳng hạn Lý thuyết mật mã Trong lĩnh vực Lý thuyết mật mã, mật mã hóa khóa cơng khai dạng mật mã cho phép người sử dụng trao đổi thông tin mật mà không cần phải trao đổi khóa chung bí mật trước Điều thực cách sử dụng cặp khóa có quan hệ tốn học với khóa cơng khai khóa cá nhân (hay khóa bí mật) Các kiến thức toán học sử dụng mối quan hệ, tính chất số nguyên tố (prime), số giả nguyên tố (pseudoprime) nhiều khía cạnh khác Lý thuyết số Trong Lý thuyết số, số giả nguyên tố hợp số nguyên dương thỏa mãn nhiều quan hệ số nguyên tố Nếu ta tìm quan hệ (ví dụ đồng dư thức định lý Fermat bé) cho số hợp số thoả mãn quan hệ "rất ít" so với số nguyên tố, số giả nguyên tố xét theo quan hệ sử dụng để tìm số nguyên tố xác suất, tức số mà mặt lý thuyết, hợp số với xác suất nhỏ Luận văn có mục đích, mặt tìm hiểu sơ lược sở Toán học Lý thuyết mật mã, mặt khác, tìm hiểu số loại số giả nguyên tố nhiều người quan tâm Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Số giả nguyên tố lý thuyết mật mã khóa cơng khai Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở số giả nguyên tố lý thuyết mật mã khóa cơng khai bao gồm sở tốn học lý thuyết mật mã độ phức tạp việc sinh số nguyên tố lớn • Chương Một số loại số giả nguyên tố Chương dành để trình bày số loại số giả nguyên tố quan trọng bao gồm số giả nguyên tố Fermat, số giả nguyên tố mạnh, số giả nguyên tố Euler, số giả nguyên tố Catalan Tác giả hy vọng rằng, luận văn làm tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm đến Lý thuyết số vấn đề ứng dụng thực tiễn, ví dụ mật mã, làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu tham khảo Lý thuyết số Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Minh Huệ Chương Số giả nguyên tố lý thuyết mật mã khóa cơng khai 1.1 Cơ sở tốn học lý thuyết mật mã khố cơng khai Trong mục này, thảo luận việc áp dụng phân tích nhân tử kiểm tra tính nguyên tố mật mã Trong mật mã tìm cách truyền tin nhắn bí mật m, chẳng hạn từ Alice cho Bob theo cách mà Oscar người chặn tín hiệu đọc tin Ý tưởng phải đưa khoá mã hoá Φ, hàm toán học biến m thành r := Φ(m) để gửi Số r ký tự mà dường vô nghĩa Oscar thông dịch Bob giải mã cách tính Ψ(r), Ψ = Φ−1 Cho tới gần (trước 1977), hiểu biết khố mã hố Φ cho phép Oscar xác định khoá giải mã Ψ, việc giữ bí mật khố mã hố Φ việc vô quan trọng thường nhiệm vụ khó khăn Nếu Oscar cho khố mã hố dễ dàng xác định khố giải mã cách đảo ngược làm để mã hoá Tuy nhiên, năm 1976, Diffie Hellman , cách đưa hệ mã mũ, dường tạo khố cơng khai Φ, theo Oscar nhìn thấy khơng thể xác định Ψ = Φ−1 Nếu việc khả thi, Alice qn khó khăn việc giữ khố bí mật Trong hệ thống mã hố khố cơng khai ngày nay, khó khăn việc xác định Ψ từ Φ có xu hướng dựa tốn khó chưa giải được, thường tốn mà người giỏi Gauss nhà tốn học sau khơng giải được, ví dụ tốn phân tích nhân tử Bây nghiên cứu hệ thống mật mã khoá cơng khai tiếng 1.1.1 Hệ mã khố RSA Năm 1977, Ron Rivest, Adi Shamir Len Adleman đề xuất hệ thống mật mã khố cơng khai, trung tâm nhiều hệ thống bảo mật máy tính ngày Ý tưởng Bob lấy hai số nguyên tố lớn p < q, tính tích chúng n = pq, xác định hai số nguyên d e thoả mãn de ≡ 1( (mod (p − 1)(q − 1)) (việc dễ dàng) Khố cơng khai, mà Alice sử dụng, bao gồm số n khoá mã hố e, Bob giữ khố giải mã d bí mật (tức giữ p q) Ta giả sử tin nhắn m số nguyên thuộc [1, n − 1] Để mã hoá m, Alice tính r := Φ(m) ≡ me (mod n), với Φ(m) ∈ [1, n − 1], dễ dàng tính Để giải mã Bob tính Ψ(r) := rd (mod n), với Ψ(r) ∈ [1, n − 1] Sử dụng Định lý Euler (cho tích p q) ta dễ dàng kiểm tra mde ≡ m (mod n), Ψ = Φ−1 Oscar biết n, ơng phân tích nhân tử n, ơng dễ dàng xác định Ψ, độ bảo mật hệ thống RSA phụ thuộc vào độ khó việc phân tích nhân tử Như nói trên, việc vượt xa khả thi ngày lấy p q số nguyên tố có chứa 10 nhiều 200 chữ số Ta thấy rằng, việc tìm số nguyên tố (xác suất) lớn dễ dàng cách sử dụng số giả nguyên tố, vấn đề thảo luận luận văn 1.1.2 Vấn đề lấy bậc hai modulo n Từ Định lý Euler ta biết rằng, ta tìm bậc hai b mod n mà khác ±1, điều chứng tỏ n hợp số Thực vậy, từ b suy phép phân tích nhân tử số lẻ n với: gcd(b − 1, n) gcd(b + 1, n) = gcd(b2 − 1, n) = n (1.1) (do b2 ≡ (mod n)) gcd(b − 1, n) gcd(b + 1, n) nhỏ n (vì b ≡ hay −1 (mod n)), kéo theo < gcd(b − 1, n), gcd(b + 1, n) < n (1.1) phép phân tích nhân tử khơng tầm thường n Một cách tổng quát ta giả sử cho trước hợp số lẻ n với hai nhân tử nguyên tố phân biệt, Oscar có hàm fn cho a bình phương (mod n), fn (a)2 ≡ a (mod n) Sử dụng fn , Oscar dễ dàng phân tích nhân tử n (với thời gian đa thức ngẫu nhiên), ơng lấy số ngun b khoảng [1, n − 1] cách ngẫu nhiên gcd( fn (b2 ) − b, n) nhân tử không tầm thường n với điều kiện b ≡ fn (b2 ) hay − fn (b2 ) (mod n); có bốn bậc hai b2 (mod n), xác suất phép phân tích nhân tử n lớn 1/2 Sử dụng ý tưởng này, Rabin xây dựng hệ thống mật mã khố cơng khai mà chất việc phá khố khó tìm phân tích nhân tử n 24 sở 3, dùng để kiểm tra nguyên tố số bé Đối với sở 2, 5, số giả nguyên tố mạnh lẻ bé 25326001, trường hợp sở 2, 3, 5, 7, số tương ứng 3215031751 Trong số nhỏ 25 · 109 , có số giả nguyên tố lẻ với sở 2, 3, 5, 7, 3215031751 Như vậy, n < 25 · 109 số lẻ trải qua kiểm tra Miller sở 2, 3, 5, n số ngun tố khác với 3215031751 Cách làm áp dụng cần kiểm tra nguyên tố số không lớn Đối với số lớn, ta dùng thuật toán xác suất dựa định lý sau đây: Định lí 2.2.4 Nếu n hợp số dương lẻ tồn khơng q n−1 sở b, ≤ b ≤ n − cho n trải qua kiểm tra Miller sở Từ Định lý 2.2.4 suy rằng, số b chọn ngẫu nhiên khoảng ≤ b ≤ n − n trải qua kiểm tra Miller sở b với xác suất bé 1/4 Như vậy, ta chọn k số ngẫu nhiên xác suất để n trải qua kiểm tra Miller k sở bé 4k Khi k đủ lớn, ví dụ k = 20, xác suất nhỏ, nên với n trải qua với 20 sở ngẫu nhiên tin “hầu chắn” n số nguyên tố Từ ta có thuật tốn xác suất sau Thuật toán (Rabin-Miller 1980) Cho N ≥ lẻ, thuật toán sau xác định N hợp số, in thông báo N số nguyên tố với xác suất lớn − 4120 RM1 (Xuất phát) Đặt q ← N −1,t ← 0, q chẵn đặt q ← q/2, t ← t +1 (bây ta có N − = 2t q, với q lẻ) Sau đặt c ← 20 25 RM2 (Chọn a mới) Chọn ngẫu nhiên số a khoảng < a < N Đặt e ← 0, b← aq (mod N) Nếu b =1, chuyển sang RM4 RM3 (Bình phương) Nếu b ≡ ±1 (mod n) e < t −2, ta đặt b ← b2 (mod N), e ← e + Nếu b = N − 1, in thông báo “n hợp số” kết thúc thuật toán RM4 Đặt c ← c − Nếu c > 0, chuyển sang RM2 Nếu c = 0, in thông báo “N số nguyên tố” 2.3 Số giả nguyên tố Euler Giả sử p số nguyên tố lẻ b số nguyên dương không chia hết cho p Khi theo tiêu chuẩn Euler ta có   b p−1 b ≡   (mod p) p Như vậy, để kiểm tra số n có phải ngun tố hay khơng, ta lấy số b nguyên tố với n, kiểm tra xem đồng dư sau có hay khơng b n−1   b ≡   (mod n), n vế bên phải ký hiệu Jacobi Nếu đồng dư thức khơng n phải hợp số Nếu đồng dư thức nghiệm đúng, chưa kết luận n có phải ngun tố hay khơng, “có nhiều khả năng” n số nguyên tố Định nghĩa 2.3.1 Số nguyên dương n gọi số giả nguyên tố Euler 26 sở b hợp số đồng dư thức sau nghiệm   b n−1 b ≡   (mod n) n Ta có mối liên hệ gữa số giả nguyên tố Euler sở b số giả nguyên tố sở b sau đây: Định lí 2.3.2 Mọi số giả nguyên tố Euler sở b số giả nguyên tố sở b Chứng minh Chỉ cần bình phương hai vế đồng dư thức thoả mãn số giả nguyên tố Euler Điều ngược lại không Chẳng hạn, thấy số 341 số giả nguyên tố sở , không số giả nguyên tố Euler sở Định lí 2.3.3 Mọi số giả nguyên tố mạnh sở b số giả nguyên tố Euler sở b Chứng minh Cho n số giả nguyên tố mạnh sở b Khi đó, n − = r 2st, t lẻ, thì, bt ≡ (mod n), b2 t ≡ −1 (mod n), với r m a ≤ r ≤ s − Giả sử ∏ p j j phân tích n thành thừa số nguyên j=1 tố Ta xét riêng hai trường hợp Trường hợp thứ bt ≡ (mod n) Giả sử p ước nguyên tố n Khi ord p b | t, ord p b số lẻ Mặt khác, ord p b ước φ (p) = p − 1, nên phải ước b p−1 p−1 ≡ (mod p) Vậy ta có 27     b b Theo tiêu chuẩn Euler   = 1,   = Mặt khác ta có p n b n−1 s = (bt )2 −1 ≡ (mod p) Vậy n số giả nguyên tố Euler sở b r Trường hợp thứ hai b2 t ≡ −1 (mod n) Nếu p ước nguyên tố r n b2 t ≡ −1 (mod p) Bình phương hai vế đồng dư thức ta b2 r+1t ≡ (mod p) Từ suy ord p b | 2r+1t, ord p b không ước 2rt Như vậy, ord p b = 2r+1 c, c số nguyên lẻ Mặt khác, ord p b | (p−1), 2r+1 | ord p b, nên 2r+1 | (p − 1) Như vậy, ta có p = 2r+1 d + 1, d số nguyên Vì b ord p b ≡ −1 (mod p) nên ta có   ord p b p−1 p−1 p−1 b p−1   ≡ b = b ord p b = (−1) ord p b = (−1) 2r+1 c (mod p) p   b Vì c lẻ nên từ suy   = (−1)d Bây giả sử n có phân tích p m a thành thừa số nguyên tố dạng ∏ p j j Theo chứng minh phần trên, ước j=1 r+1 pi = di + 1, nguyên tố pi có dạng ta có    a m m b b   = ∏   = (−1) ∑ di n i=1 pi i=1 i 28 m Mặt khác, dễ thấy n ≡ + 2r+1 ∑ di (mod 22r+2 ) Do i=1 t2 s−1 m n−1 r = ≡ ∑ di (mod 2r+1 ), i=1 tức s−1−r t2 m ≡ ∑ aidi (mod 2), i=1 b n−1 = b 2r t 2s−1−r m ∑ di = (−1)i=1 (mod n) Như vậy, b n−1   b ≡   (mod n) n n số giả nguyên tố Euler sở b Định lý chứng minh xong Chú ý rằng, điều ngược lại luôn đúng, tức tồn số giả nguyên tố Euler sở b không giả nguyên tố mạnh sở Một ví dụ với n = 1105, b = Tuy nhiên, với điều kiện bổ sung, số giả nguyên tố Euler giả nguyên tố mạnh sở Ta có định lý sau: Định lí 2.3.4 Số n giả nguyên tốEuler  sở b số giả nguyên tố mạnh b sở b n ≡ (mod 4),   = −1 n Chứng minh Trường hợp thứ n ≡ (mod 4) Khi n − = 2t t lẻ Vì n số giả nguyên tố Euler sở b nên   b n−1 bt = b ≡   (mod n) n 29 Như vậy, n số giả nguyên tố mạnh sở b Trong trường hợp thứ hai, ta viết n − = 2st, t lẻ, s số nguyên đương Vì n số giả nguyên tố mạnh sở b nên   b n−1 s−1 b2 t = b =   (mod n) n Theo giả thiết ta có b2 s−1t   b ≡ −1 (mod n) Vì   = ±1 n bt ≡ (mod n), bt ≡ −1 (mod n) Như n số giả nguyên tố mạnh sở b Dùng số giả nguyên tố Euler, ta xây dựng thuật toán xác suất để kiểm tra số ngun tố hay khơng Thuật tốn tìm năm 1977 cơng trình R.M Solovay, V Strassen [8]: Ta bắt đầu bổ đề sau Bổ đề 2.3.5 Giả sử n số nguyên dương lẻ khơng chínhphương Khi  b tồn số b với < b < n, (b, n) = 1, cho   = −1 n Chứng minh Nếu n nguyên tố, số b tồn theo [1, Định lý 4.3] Khi n hợp số khơng phương, ta viết n = rs, (r, s) = r = pe với p số nguyên tố lẻ e số nguyên dương lẻ Bây giả sử t khơng thặng dư bình phương số ngun tố p Ta dùng Định lý Trung Quốc phần dư để tìm số nguyên b cho < b < n, (b, n) = b ≡ t (mod r), b ≡ (mod s) 30 Khi ta có    b b     = (−1)e = −1, pe r   b  =1 s   b tức   = −1 n Bổ đề 2.3.6 Với hợp số lẻ n, tồn số b cho < b < n, (b, n) = b n−1   b ≡   (mod n) n (2.4) Chứng minh Giả sử ngược lại, với số nguyên không vượt n nguyên tố với n, ta có b n−1   b ≡   (mod n) n Từ suy ra, (b, n) = bn−1 ≡ (mod n) Như vậy, n phải số Carmicheal, đó, n = q1 q2 qr tích số nguyên tố lẻ khác Ta b n−1 ≡ (mod n) số nguyên b không vượt n nguyên tố với n Giả sử ngược lại, tồn b thoả mãn b n−1 ≡ −1 (mod n) Dùng Định lý Trung Quốc phần dư, ta tìm số a, < a < n, (a, n) = cho a ≡ b (mod q1 ), a ≡ (mod q2 q3 qr ) 31 Như a n−1 =b n−1 ≡ −1 (mod q1 ), a n−1 ≡ −1 (mod q2 q3 qr ) Do a n−1 ≡ ±1 (mod n), trái với giả thiết phản chứng (2.4) Như vậy, với b, < b < n, (b, n) = ta có b n−1 ≡ ±1 (mod n) Từ đồng dư (2.4) ta có b n−1   b ≡   ≡ (mod n) n Điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.3.5 nên Bổ đề 2.3.6 chứng minh Định lý dùng làm sở cho thuật toán kiểm tra nguyên tố xác suất Ta có định lý sau Định lí 2.3.7 Đối với hợp số lẻ n, tồn không φ (n) số nguyên dương b nhỏ n, nguyên tố với n, cho n số giả nguyên tố Euler sở b Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.6, tồn số b, < b < n, (b, n) = cho   b n−1 b ≡   (mod n) n Giả sử a1 , a2 , am số thoả mãn ≤ a j < n, (a j , n) =   n−1 aj a j ≡   = (mod n) n 32 Giả sử r1 , r2 , rm thặng dư dương bé số ba1 , ba2 , bam Các số r j khác nguyên tố với n Ta chứng tỏ chúng không thoả mãn đồng dư thức số a j Thật vậy, ngược lại n−1 rj ta có   rj ≡   = (mod n) n  n−1 ba j ≡  b n−1 n−1 aj2 Từ suy b n−1 mâu thuẫn với tính chất b ba j n   = (mod n)    b aj ≡     (mod n) n n   b ≡   (mod n) n Như vậy, tập hợp số a j r j không giao Gộp hai tập hợp này, ta 2m số khác nhau, bé n nguyên tố với n Từ suy m < φ (n) , định lý chứng minh Nhận xét 2.3.8 Từ định lý trên, ta thấy rằng, n hợp số lẻ, b số chọn ngẫu nhiên số 1, , n − 1, xác suất để n giả nguyên tố Euler sở b bé 1/2 Ta có định lý sau Định lí 2.3.9 (Thuật tốn kiểm tra ngun tố xác suất Solovay-Strassen) Cho n số nguyên dương Ta chọn ngẫu nhiên k số b1 , b2 bk từ 33 số 1, 2, , n − Đối với số nguyên b j , xét đồng dư thức   n−1 bj b j ≡   (mod n) n Ta có kết luận sau: • Nếu đồng dư thức khơng nghiệm n hợp số • Nếu n ngun tố đồng dư thức nghiệm • Nếu n hợp số, xác suất để đồng dư thức nghiệm bé 1/2k Như vậy, k đủ lớn n trải qua kiểm tra xác suất đây, “hầu chắn” n số nguyên tố 2.4 Số giả nguyên tố Catalan Số Catalan nói đến lần thư Euler gởi cho Goldback năm 1751, đếm số tam giác phân đa giác lồi Số Catalan định nghĩa sau: Cn = 2(2n − 1) Cn−1 n+1 Cn = Cn−1C0 +Cn−2C1 + .+C1Cn−2 +C0Cn−1 , với C0 = Số Catalan xuất nhiều toán tổ hợp mà chúng dùng để liệt kê tất đối tượng hình đại số Mục tiêu mục tìm hiểu liên hệ số Catalan số nguyên tố 34 Trước hết ta thảo luận số kết số nguyên tố., để giúp ích choviệc nghiên cứu số Catalan Một tiêu chuẩn kiểm tra tính nguyên tố Định lý Wilson, phát biểu sau: Định lí 2.4.1 (Wilson) Số tự nhiên p số nguyên tố (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Trong số tài liệu, dùng để chứng minh Định lý Fermat nhỏ, mà trường hợp cụ thể là: Định lí 2.4.2 Nếu p số nguyên tố p ≡ (mod p) Mặc dù Định lý 2.4.2 công cụ kiểm tra tính nguyên tố hữu ích, điều ngược lại không đúng, chẳng hạn, 2341 ≡ (mod 341) 341 không số nguyên tố Theo cách tương tự, ta có Định lí 2.4.3 Nếu p số nguyên tố lẻ (−1) p−1 ·C p−1 ≡ (mod p) Phép chứng minh Định lý 2.4.3 trình bày C Aebi, G Cairns [5] Giống Định lí 2.4.2, Định lí 2.4.3 điều kiện cần để số p số nguyên tố, giống Định lí 2.4.2, ngược lại khơng đúng; ví dụ C2953 ≡ −2 (mod 5907) 5907 không số nguyên tố Ta gọi hợp số số giả nguyên tố Catalan Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.4.4 Nếu p số nguyên tố lẻ số sau đồng dư theo modulo p2 : 35 (a) ·C p2 −1 ; (b) (−1) p−1 · p−1 p−1 ; (c) p − 1; (d) p − 1; (e) + 2p + 13 + 51 + · · · p−2 , i ký hiệu cho nghịch đảo i theo modulo p Chứng minh Phép chứng minh dài, tham khảo C Aebi, G Cairns [5] (và tài liệu trích dẫn đó) Nhắc lại p số nguyên tố p ≡ (mod p2 ) p số nguyên tố Wiferich Cho đến nay, có hai số 1093 3511 hai số ngun tố Wiferich tìm ra, khơng có số nguyên tố Wiferich khác mà nhỏ 1.25 × 1025 (xem Knauer, J Richstein [6]), chưa biết liệu có có hữu hạn hay vô hạn số nguyên tố Wiferich Năm 1990 Wiferich chứng minh phương trình Fermat x p + y p = z p có nghiệm với số ngun tố lẻ p khơng ước xyz, số nguyên tố p nhỏ số nguyên tố Wiferich (xem P Ribenboim [7]) Cuối cùng, lưu ý, mệnh đề có hệ sau: Hệ 2.4.5 Nếu p số nguyên tố, kết sau tương đương: (a) p số nguyên tố Wiferich (b) p2 số giả nguyên tố 36 (c) p2 số giả nguyên tố Catalan Do 1194649 = 10932 12327121 = 35112 ví dụ số giả nguyên tố Catalan Số giả nguyên tố Catalan nhiều so với số giả nguyên tố 5907,10932 35112 số giả nguyên tố Catalan mà biết tới 37 Kết luận kiến nghị Những kết đạt Luận văn “Số giả nguyên tố ứng dụng” đạt kết sau: Thảo luận sơ lược sở toán học lý thuyết mật mã khố cơng khai độ phức tạp việc sinh số nguyên tố lớn Trình bày kiến thức sở quan trọng số loại số giả nguyên tố, bao gồm • số giả nguyên tố Fermat, • số giả nguyên tố mạnh, • số giả nguyên tố Euler, • số giả nguyên tố Catalan Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận văn, có số vấn đề tiếp tục nghiên cứu, chẳng hạn ứng dụng sâu số giả nguyên tố lý thuyết mật mã 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục [3] Hà Huy Khoái (2015), Sinh số nguyên tố lớn, Hàm băm, Chữ ký số Đề tài nghiên cứu khoa học “Chữ ký số”, Trường Đại học Thăng Long Tiếng Anh [4] W.R Alford, A Granville, C Pomerance (1994), “There are infinitely many Carmichael numbers”, Annals of Mathematics 139, pp 703-722 [5] C Aebi, G Cairns (2016), “Catalan numbers, primes and twin primes”, Preprint [6] J Knauer, J Richstein (2005), “The continuing search for Wieferich primes”, Mathematics of Computation 74, pp 1559-1563 [7] P Ribenboim (1979), 13 lectures on Fermat’s Last Theorem, SpringerVerlag, New York [8] R.M Solovay, V Strassen (1977), “A fast Monte-Carlo test for primality”, SIAM Journal on Computing 6, pp 84-85 ... sinh số nguyên tố lớn • Chương Một số loại số giả nguyên tố Chương dành để trình bày số loại số giả nguyên tố quan trọng bao gồm số giả nguyên tố Fermat, số giả nguyên tố mạnh, số giả nguyên tố. .. việc sinh số nguyên tố lớn Trình bày kiến thức sở quan trọng số loại số giả nguyên tố, bao gồm • số giả nguyên tố Fermat, • số giả nguyên tố mạnh, • số giả nguyên tố Euler, • số giả nguyên tố Catalan... giả nguyên tố Euler Điều ngược lại khơng Chẳng hạn, thấy số 341 số giả nguyên tố sở , không số giả nguyên tố Euler sở Định lí 2.3.3 Mọi số giả nguyên tố mạnh sở b số giả nguyên tố Euler sở b Chứng