Số nguyên tố và ứng dụng

Vấn đề số nguyên tố là một trong những vấn đề trung tâm của số học, nó đã chiếm mất khoảng thời gian hàng nghìn năm của các nhà toán học các thời đại.. Không ở đâu như trong số học, đặc

KHOA TOÁN

Ngô Thị Vân

SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Thạc sỹ: Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2016

để khóa luận của em được hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2016

Sinh viênNgô Thị Vân

Lời cam đoan

Tôi xin khẳng định rằng đây là công trình nghiên cứu khoa học của tôi dobản thân tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đãđược học và tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2016

Sinh viênNgô Thị Vân

Lời mở đầu 1

1.1 Sơ lược các giai đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên tố 3

1.1.1 Giai đoạn 1(Trước công nguyên) 3

1.1.2 Giai đoạn 2 (Trước thế kỉ 17) 4

1.1.3 Giai đoạn 3 (Sau thế kỉ 17) 4

1.2 Định nghĩa và tính chất 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Tính chất 6

1.3 Một số định lý cơ bản của số học 8

1.3.1 Định lý Euclid 8

1.3.2 Định lý cơ bản của số học 8

1.3.3 Dạng phân tích tiêu chuẩn 9

1.3.4 Một số ứng dụng của định lý cơ bản 10

1.4 Một số định lý nổi tiếng về số nguyên tố 14

1.4.1 Định lý Wilson 14

1.4.2 Định lý Fermat nhỏ 16

1.4.3 Định lý Korelt 18

1.4.4 Một số định lý khác về số nguyên tố 19

1.5 Bảng các số nguyên tố 19

1.5.1 Sàng Eratosthène 19

1.5.2 Sự phân bố số nguyên tố 21

1.6 Kiểm tra số nguyên tố 24

1.6.1 Các phương pháp thô sơ 24

1.6.2 Kiểm tra theo xác suất 25

1.6.3 Các phép kiểm tra bất định 25

1.6.4 Các phương pháp lý thuyết số 26

2 Một số bài tập áp dụng 27 2.1 Các bài toán về tập hợp số nguyên tố 27

2.1.1 Loại 1 Tìm tập hợp số nguyên tố 27

2.1.2 Loại 2.Các bài toán áp dụng định lý cơ bản của số học, định lý Fermat 30

2.2 Nhận biết số nguyên tố 35

2.3 Chứng minh một số, một biểu thức cho trước là số nguyên tố 38

2.4 Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước 39

2.5 Một số bài tập dạng khác 45

3 Ứng dụng số nguyên tố trong lý thuyết mật mã 50 3.1 Hệ mã mũ 51

3.2 Hệ mã RSA 54

3.2.1 Cơ sở xây dựng thuật toán RSA 54

3.2.2 Thuật toán RSA 55

Kết luận 59

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đại số và số học là một bộ phận quan trọng đối với Toán học Từ rất

lâu, các bài toán số học đã làm say mê nhiều người, từ những nhà toán

học lỗi lạc mọi thời đại tới đông đảo bạn đọc yêu toán Vấn đề số nguyên

tố là một trong những vấn đề trung tâm của số học, nó đã chiếm mất

khoảng thời gian hàng nghìn năm của các nhà toán học các thời đại

Không ở đâu như trong số học, đặc biệt là số nguyên tố, chúng ta lại có

thể lần theo được dấu vết của những bài toán cổ xưa để đến được với

những vấn đề mới đang chờ người giải Hơn nữa, trong thực tế ở trường

phổ thông, những bài toán số học nổi bật và đáng lưu ý là những bài

toán về số nguyên tố luôn có mặt trong các bài thi, các đề thi chọn học

sinh giỏi ở tất cả các cấp học và ở hầu hết các nước trên thế giới Còn

trong thực tế ngoài xã hội thì số nguyên tố được áp dụng rộng rãi trong

hệ mật mã công nghệ thông tin, làm tăng tính bảo mật trong quân sự,

ngoại giao,

Chính vì những lý do trên, em đã chọn đề tài "Số nguyên tố và

ứng dụng"

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về số nguyên tố: định nghĩa, tính chất, lịch sử, nguồn gốc

ra đời và các ứng dụng của nó giúp cho các bạn có cách nhìn bao quát

hơn về số nguyên tố

3 Đối tượng nghiên cứu

-Số nguyên tố

-Ứng dụng của số nguyên tố trong công nghệ thông tin.

4 Phương pháp nghiên cứu

-Thu thập tài liệu thông tin qua sách giáo trình, sách tham khảo

-Nghiên cứu lí luận: So sánh, phân tích, tổng hợp,

SỐ NGUYÊN TỐ

số nguyên tố

1.1.1 Giai đoạn 1(Trước công nguyên)

Số nguyên tố và các tính chất của nó lần đầu tiên được nghiên cứu

rộng rãi bởi các nhà toán học Hy Lạp cổ đại Các nhà toán học của

trường học của Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) đã quan tâm đến

các tính chất của số nguyên tố Họ đã quan tâm đến sự hoàn hảo và

thân thiện của các con số

Cho đến thời gian xuất hiện cuốn "Nguyên lý" của Euclid (Khoảng

300 TCN), một số kết quả quan trọng về số nguyên tố đã được chứng

minh Trong sách Nguyên lý IX đã chứng minh rằng có vô hạn số nguyên

tố Đây là một trong những bằng chứng được biết đến từ rất sớm trong

đó sử dụng phương pháp phản chứng

Euclid cũng đưa ra một bằng chứng của Định lý cơ bản của số học là

mỗi số nguyên có thể viết thành tích của các số nguyên tố

Euclid cũng cho thấy nếu 2n − 1 là số nguyên tố thì 2n−1(2n − 1) làmột số hoàn hảo Nhà toán học Euler (Năm 1947) đã chỉ ra rằng tất cả

các số hoàn hảo đều có dạng trên

Trong khoảng 200 TCN, Eratosthenes (Hy Lạp) đã nghĩ ra một thuật

toán để tính các số nguyên tố, được gọi là sàng Eratosthenes

1.1.2 Giai đoạn 2 (Trước thế kỉ 17)

Sau những kết quả đạt được về việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên

tố của các nhà toán học Hy Lạp (Trước công nguyên) Thì sau đó một

khoảng cách dài trong lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt được

thành tựu nào đáng kể, thường gọi là thời kì đen tối

1.1.3 Giai đoạn 3 (Sau thế kỉ 17)

Những phát triển quan trọng tiếp theo được thực hiện bởi Fermat vào

đầu thế kỷ 17 Ông chứng minh một sự suy đoán của Albert Giard rằng

mỗi số nguyên tố có dạng 4n-1 có thể được viết theo một cách duy nhất

dưới dạng tổng bình phương

Ông nghĩ ra một phương pháp mới để tìm thừa số của những số lớn

và khai triển số 2027651281=44021.46061

Ông lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18/10/1640

cho bạn ông là Fréniclede Bessy Như thường lệ Fermat không chứng

minh Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào năm 1736 trong

một bài báo, nhưng Lebniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trong

bản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683 Điều mà ngày

nay được biết đến như là Định lý Fermat nhỏ Định lý Fermat nhỏ là

một cơ sở cho nhiều kết quả khác trong lý thuyết số và là cơ sở cho

phương pháp kiểm tra lý thuyết số.[11]

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1

Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự nhiên nào khác ngoài 1

và chính nó được gọi là số nguyên tố

+Số 0 và số 1 không phải số nguyên tố cũng không phải là hợp số

+Trong tập hợp các số nguyên tố thì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất,

các số nguyên tố còn lại đều là các số lẻ

+Số tự nhiên a là hợp số nếu a>1 và a có một ước là d và 1< d < a

+Ước số tự nhiên khác 1 và chính nó gọi là ước thực sự

Từ đó ta có định nghĩa khác về số nguyên tố: số tự nhiên lớn hơn 1 được

gọi là số nguyên tố nếu nó không có ước thực sự

Ví dụ

2; 3; 5; 7; 11; 13; là những số nguyên tố

4; 6; 8; 9; 12; là những hợp số

Giả sử p > 1 là ước nhỏ nhất của a Ta chứng minh p là số nguyên tố.

Thật vậy, giả sử p không là số nguyên tố thì p là hợp số vì p 6= 1, nghĩa

là p có một ước thực sự là p1 và 1 < p1 < p

Từ đó ta có p1 cũng là ước của a và 1 < p1 < p (mâu thuẫn với giả thiết

p là ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của a)

Vậy p là số nguyên tố

Nhận xét Tính chất này chỉ ra sự tồn tại của số nguyên tố

Tính chất 2 Cho số tự nhiên a và số nguyên tố p Khi đó hoặc (a,p)=1

hoặc p |a

Chứng minh

Gọi d=(a,p) Suy ra d |p

Mà p là số nguyên tố nên hoặc d=1 hoặc d = p

Giả sử a = p.p1, vì a là hợp số nên a 6= p Suy ra p1 > 1.

Vậy p1 cũng là một ước lớn hơn 1 của a

Theo giả thiết p ≤ p1 nên p2 ≤ p.p1 = a

Do đó p ≤ √

a

Nhận xét Tính chất này cho ta cách kiểm tra xem một số tự nhiên a

lớn hơn 1 có phải là số nguyên tố hay không

"Nếu số tự nhiên a>1 không có một ước nguyên tố nào trong khoảng từ

Nếu số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số nguyên tố thì nó phải

trùng với một trong các số nguyên tố đó

1.3 Một số định lý cơ bản của số học

1.3.1 Định lý Euclid

Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn

Chứng minh

Giả sử các số nguyên tố là hữu hạn, bao gồm các số p1, p2, , pm được

viết theo thứ tự tăng dần Ta đặt D = p1.p2 pm+ 1

Nếu D là số nguyên tố thì D phải là một trong các số p1, p2, , pm Điều

này vô lý vì từ cách xác định D ta có ngay D ≥ pm + 1 Vậy D là hợp

Mọi số tự nhiên a > 1 đều phân tích được thành tích những thừa số

nguyên tố Sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các

thừa số

Chứng minh

a.Sự phân tích được

Giả sử a ∈ N, a > 1 Khi đó a có ít nhất một ước pi nào đó và ta có

a = p1a1, trong đó 1 ≤ a1 ≤ a

Nếu a1=1 thì a=p1 là sự phân tích của a

Nếu a1 > 1 thì a1 có ước nguyên tố p2 nào đó và ta có a1 = p2a2

⇒ a = p1p2a2 và 1 ≤ a2 ≤ a1

Nếu a2=1 thì a = p1.p2 là sự phân tích của a.

Nếu a2 > 1 thì tiếp tục lặp lại quá trình trên ta được thừa số nguyên tố

Lặp lại lý luận trên với p2, p3, cho tới khi ở một vế không còn thừa số

nguyên tố nào nữa, ta được p2 = q2, p3 = q3 vì không thể xảy ra các

đẳng thức qn+1.qn+2 qm = 1 hoặc là pm+1.pm+2 pn = 1

Nên ta có m = n và pi=qi, ∀i= 1, 2, , n

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.3.3 Dạng phân tích tiêu chuẩn

Trong sự phân tích a > 1 thành một tích những thừa số nguyên tố có

thể xảy ra nhiều thừa số lặp lại Gọi p1, , pk là các ước nguyên tố đôi

một khác nhau của a và αj (1 ≤ j ≤ k) là số các nhân tử cùng là pi

trong sự phân tích thành thừa số nguyên tố, ta sẽ có

a = p1α1pα2

2 pkαk

Sự phân tích như trên được gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của a.

Nếu thừa số nguyên tố pm không có mặt trong sự phân tích ta có thể

a.Tiêu chuẩn chia hết

Định lý.Cho a là một số tự nhiên với dạng phân tích tiêu chuẩn

Giả sử d > 1, theo định lý cơ bản, đẳng thức a = d.q chứng tỏ mọi ước

nguyên tố của d là ước nguyên tố của a và số mũ của ước nguyên tố

ấy trong dạng phân tích tiêu chuẩn của d không lớn hơn số mũ của nó

trong dạng phân tích tiêu chuẩn của a

Do đó, d = p1β1pβ2

2 pkβk với 0 ≤ βi ≤ αi, i = 1, k

⇐]

Cho a và b là hai số tự nhiên khác 0 nguyên tố cùng nhau Khi đó số tự

nhiên d là ước của tích a.b khi và chỉ khi d = r.s, trong đó r là ước của

a, s là ước của b với r, s nguyên tố cùng nhau

b.Ước chung lớn nhất - Bội chung nhỏ nhất

Giả sử p1, p2, , pn là tất cả các ước nguyên tố phân biệt của ít nhất một

trong hai số a và b, ta có thể viết

a=p1α1p2α2, , pnαn, αi ≥ 0, i = 1, n

b = p1β1p2β2, , pnβn, βi ≥ 0, i = 1, n

Khi đó ta có

a) ƯCLN (a, b)=p1x1p2x2 pnxn, trong đó xi = min(αi, βi), i = 1, n

b) BCNN (a, b)=p1y1p2y2 pnyn, trong đó yi = max(αi, βi), i = 1, n

Nghĩa là zi ≤ xi cho nên d| p1x1p2x2 pnxn

Vậy ƯCLN (a, b) = p1x1p2x2 pnxn

b)Từ giả thiết với i = 1, n ta có αi ≤ yi, βi ≤ yi nên p1y1.p2y2 pnyn làbội chung của a và b

Hơn nữa, giả sử m là một bội chung của a và b thì m phải có dạng m=

p1t1.p2t2 pntn, ở đó αi ≤ ti, βi ≤ ti (i = 1, n), nghĩa là ti ≥ yi cho nên

c.Số các ước và tổng các ước tự nhiên của một số tự nhiên

Với số tự nhiên n ≥ 1, ta kí hiệu

+τ (n) là số các ước tự nhiên của n

+σ(n) là tổng số các ước tự nhiên của n

Khi đó ƯCLN(2k−1,b)=1 nên σ(n) = σ(2k−1)σ(b)

Theo giả thiết n là số hoàn chỉnh, nghĩa là σ(n) = 2n = 2k.b

Thật vậy, nếu b không là số nguyên tố và c 6= 1 thì do b > 1 phải có ít

nhất là ba ước tự nhiên là b, c và một ước khác nữa

Khi đó σ(b)>b + c ( vô lý )

⇒ b là số nguyên tố và c = 1

Do đó n = 2k−1(2k − 1) trong đó k ≥ 2 và 2k-1 là một số nguyên tố.Nhận xét

i) Nếu b=2k-1 là số nguyên tố thì k cũng phải là số nguyên tố Các số

nguyên tố dạng 2k-1 được gọi là số nguyên tố Mersenne Như vậy là mỗi

số nguyên tố Mersenne cho ta một số hoàn chỉnh chẵn và ngược lại

ii) Người ta chưa tìm được số hoàn chỉnh lẻ nào và bài toán có hay không

một số hoàn chỉnh lẻ chưa được giải quyết

Giả sử p là số nguyên tố Ta chứng minh (p − 1)! + 1 p

Vậy ta chứng minh được k0 ∈ A

Tiếp theo ta chứng minh k 6= k0

Thật vậy, nếu k = k0 thì từ k.k0 ≡ 1 (mod p) ta có k2 ≡ 1 (mod p)(k-1)(k+1)≡ 0 (mod p)

⇒ k = 1 hoặc k = p − 1 Điều này mâu thuẫn vì k ∈ {2, 3, , p − 2}.Các phần tử của A = {2, 3, , p − 2} được ghép thành p−32 cặp (k, k0)

với k.k0 ≡ 1(mod p) ( Dop lẻ nên có p−32 cặp chẵn)

Từ đó suy ra 2.3.4 (p − 3)(p − 2) ≡ 1 (mod p)

⇒ (p-1)!≡ (p − 1) (mod p)

Theo giả thiết [(p − 1)! + 1] p = a.b

Suy ra [(p − 1)! + 1] a (mâu thuẫn)

Do đó điều giả sử là sai

Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất

trong kiểm tra Fermat

Chứng minh

Cách 1

Nhận xét.

Do (a, p) = 1 nên a không chia hết cho p Vì thế các số 2a, 3a, , (p − 1)

cũng không chia hết cho p

Giả sử các số 2a, 3a, , (p−1) chia cho p được các số dư là r1, r2, , rp−1

Giả sử mệnh đề đúng với a = k Ta có (kp− k) p

Xét khi a = k + 1 Theo Nhị thức Newton ta có

Một dạng tổng quát của định lý Fermat là :" Nếu p là số nguyên tố và

m, n là các số nguyên dương thỏa mãn m ≡ n (mod p − 1) thì ∀a ∈ Zsao cho am ≡ an (mod p)

Định lý Fermat còn được tổng quát bởi định lý Euler: Với môdun n bất

kì và số nguyên a bất kì nguyên tố cùng nhau với n ta có aϕ(n) ≡ 1 (modn) Trong đó ϕ(n) là hàm Euler

Nếu n = p là số nguyên tố thì ϕ(n)=p − 1

1.4.3 Định lý Korelt

Như ta đã biết, nếu p là số nguyên tố thì theo định lý Fermat nhỏ ta có

p là ước của ap− a, ∀a ∈ Z Câu hỏi được đặt ra là:"nếu p là số tự nhiên

lẻ và p là ước của ap− a, ∀a ∈ Z thì p có là số nguyên tố hay không?Nếu điều này đúng thì ta có một tiêu chuẩn để kiểm tra một số tự nhiên

có phải là số nguyên tố hay không?" Năm 1899, nhà toán học Korelt

chứng minh được định lý sau

" Số nguyên tố n > 1 là ước của ap− 1, ∀a ∈ Z∗ khi và chỉ khi n không

có ước chính phương lớn hơn 1 và nếu r là ước của n thì r − 1 phải là

ước của n − 1"

Năm 1910, nhà toán học Carmichael lần đầu tiên tìm ra được một hợp

số thỏa mãn các điều kiện của định lý Korelt được gọi là số Carmichael

Nếu một cấp số cộng n số hạng gồm toàn số nguyên lẻ thì công sai của

nó chia hết cho mọi số nguyên tố nhỏ hơn n

c)Định lý Tsebusep

Với mọi số nguyên n > 1 thì giữa n và 2n luôn có một số nguyên tố

1.5.1 Sàng Eratosthène

Trong lịch sử toán học, số nguyên tố được các nhà toán học nghiên

cứu từ rất sớm Người ta đã lập bảng các số nguyên tố không vượt quá

một số nào đó, đó chính là phương pháp sàng Eratosthène

Nhà toán học cổ Hy Lạp Eratosthène (276-194 TCN) là người đầu

tiên sử dụng phương pháp này bằng cách viết các số trên giấy cỏ sậy

căng trên một cái khung rồi dùi thủng các hợp số được một vật tương

tự như cái sàng: tất cả các hợp số được ”sàng qua” cái sàng này, chỉ

có các số nguyên tố được giữ lại Bảng nguyên tố này được gọi là sàng

Eratosthène

Để lập được bảng này ta dựa vào định lý và hệ quả của định lý sau

Định lý: Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số a là một số nguyên tố

Do tập các số nguyên tố là vô hạn nên ta không thể có được bảng tất

cả các số nguyên tố Thông thường, người ta lập các bảng số nguyên tố

không vượt quá một số tự nhiên A cho trước

Ta thực hiện như sau

Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến A

Trước tiên ta gạch bỏ số 1 vì 1 không phải là số nguyên tố

Số 2 là số đầu tiên chưa bị xóa và là số nguyên tố vì không có số tự

nhiên nào lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2 Ta giữ lại số 2 và gạch đi trong bảng

tất cả các số là bội của 2 (đó là các chữ số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8)

Số đầu tiên không bị xóa sau số 2 là số 3, đó là số nguyên tố Thật

vậy, nếu 3 không là số nguyên tố thì 3 phải có ước nguyên tố nhỏ hơn

nó, đó là 2, và như vậy thì đã bị xóa, suy ra mâu thuẫn Vậy nên 3 là

số nguyên tố Ta giữ lại số 3 và xóa đi tất cả các bội của 3 (khác 3) có

trong bảng

Số đầu tiên lớn hơn 3 chưa bị gạch là số 5, đó là số nguyên tố Thật

vậy, nếu 5 không là số nguyên tố thì 5 phải có một ước nguyên tố nhỏ

hơn nó, đó là 2 và 3, nghĩa là 5 là bội của 2 hoặc 3, nếu vậy thì 5 đã bị

xóa, suy ra mâu thuẫn Vậy nên 5 là số nguyên tố Ta giữ lại số 5 và xóa

đi tất cả các bội của 5 (khác 5) có trong bảng.

Tiếp tục quá trình trên đối với các số nguyên tố tiếp sau

Theo định lý trên thì quá trình này sẽ dừng lại sau khi xóa đi các

bội của số nguyên tố pn ≤ √A Cuối cùng ta sẽ thu được một bảng vớinhững số không bị xóa là những số nguyên tố không vượt quá A

1.5.2 Sự phân bố số nguyên tố

Bằng phương pháp ”sàng” ta có thể đưa ra được bảng gồm các số

nguyên tố không vượt quá 1000 như sau

Nhìn vào sàng chúng ta thấy rằng, ở đầu bảng các số nguyên tố phân

bố dày hơn ở hàng sau Chẳng hạn như từ 1 đến 100 có 25 số nguyên

tố, từ 100 đến 200 có 21 số nguyên tố,

Giữa các số nguyên tố 997 và 1009 toàn bộ 11 số đều là hợp số Nhưng

sau khoảng cách 11 số đó là tiếp theo đến khoảng cách từ 1009 đến 1019

cũng bao gồm 11 số nhưng có ba số nguyên tố là 1009, 1013, 1019 Như

vậy chúng ta thấy rằng, càng xa dần dãy số tự nhiên các số nguyên tố

càng thưa dần và khoảng cách giữa hai số nguyên tố ngày càng lớn, do

đó sự phân bố các số nguyên tố là rất phức tạp

Bài toán đầu tiên đặt ra là hãy xác định số nguyên tố thứ n là pn

(theo n) Ý nghĩ đơn giản đầu tiên là xét khoảng cách giữa hai số nguyên

tố liên tiếp pn+1 − pn Ta thấy rằng có một cặp duy nhất số nguyên tốliên tiếp p1=2, p2=3, đồng thời là hai số tự nhiên liên tiếp Còn lại ta có

pn+1 − pn ≥ 2 với mọi n>1 Hai số nguyên tố liên tiếp mà khoảng cáchbằng 2 được gọi là hai số nguyên tố sinh đôi, chẳng hạn như 3; 5; 11;

13; 5879; 5881; 1000000009649; 1000000009651 Trong khi đó dễ chứng

minh được rằng với mọi số tự nhiên m>1 cho trước tất có những cặp số

nguyên tố liên tiếp mà khoảng cách lớn hơn m Thật vậy, m số tự nhiên

liên tiếp sau đây: (m+1)!+2, (m+1)!+3, ,(m+1)!+m+1 đều là hợp số

Vì vậy vấn đề có bao nhiêu cặp số nguyên tố sinh đôi cũng là bài toán

chưa giải được

Một vấn đề thứ hai cũng đơn giản đã được đặt ra là: Có hay không

một biểu thức chỉ lấy giá trị là số nguyên tố với mọi giá trị tự nhiên của

biến? Cho đến nay cũng chưa có hy vọng chỉ ra được biểu thức như vậy

a) Đối với đa thức, người ta thấy được rằng đa thức x2+x+41 lấy giá trị

nguyên tố với x = 0; 1; ; 39; x = 40 thì nó là hợp số; đa thức x2+x+17

lấy giá trị nguyên tố với x=0; 1; ;15; đa thức 2x2+29 lấy giá trị nguyên

tố với x=0,1, , 28 Ta dễ chứng minh được rằng mọi đa thức với hệ số

nguyên đều lấy vô số giá trị hợp số Song, cho một đa thức, hỏi nó có

lấy vô số giá trị số nguyên tố hay không, hoặc đơn giản hơn là có hay

không một đa thức nguyên, bậc lớn hơn 1 mà lấy vô số giá trị nguyên

tố là những bài toán chưa có lời giải

Riêng đối với nhị thức bậc nhất thì đã đạt được những kết quả triệt để

như sau "Cho a là một số tự nhiên lớn hơn 1, thế thì tập hợp các số

nguyên tố có dạng ax+b với (a,b)=1 là vô hạn"

b) Fermat phát biểu rằng Fk= 22k+1 là số nguyên tố với mọi k = 0, 1, 2 Các số Fk gọi là số Fermat Hiển nhiên rằng nếu 2m+1 là số nguyên tố

m thì m phải có dạng m=2k Ta có F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 =

257, F4 = 65537 là những số nguyên tố Fermat Euler đã kiểm tra được

rằng F5 641 và như vậy F5 là hợp số Như vậy có hay không vô số sốnguyên tố Fermat, cũng như có hay không vô số hợp số Fermat vẫn đang

còn là những bài toán chưa có lời giải

c) Các số nguyên tố có dạng Mp=2p-1 gọi là số nguyên tố Mersenne Dễ

chứng minh rằng nếu Mp=2p-1 nguyên tố thì p là số nguyên tố

Ta có M2=3, M3=7, M5=31, M7=127 là những số nguyên tố Mersenne,

nhưng M11=2047=23.89 là một hợp số Có hay không vô số số nguyên tố

Mersenne là một bài toán chưa có lời giải Số nguyên tố M127 = 2127− 1tìm được năm 1876 là số nguyên tố lớn nhất biết được suốt trong khoảng

hơn bảy chục năm Gần đây người ta đã xác định được nhiều số nguyên

tố Mersenne khác nữa như M621, M607 Năm 1960 người ta xác định số

M4423− 1 là số nguyên tố lớn nhất biết được hiện nay, nó gồm 1332 chữ

số trong hệ ghi số cơ số 10 Như chúng ta đã biết số nguyên tố Mersenne

có quan hệ với bài toán về số hoàn chỉnh

Nhà toán học kiệt xuất thế kỉ XVIII là Euler đã giả thiết rằng các số

nguyên tố gặp " thưa loãng vô hạn số nguyên tố " Để hiểu ý nghĩa của

câu nói đó chúng ta đi khảo sát một số tự nhiên A bất kì Giả thiết các

số nguyên tố A tổng cộng chỉ có n số Tỉ số An chỉ ra rằng các số nguyên

tố không vượt quá A đã chiếm một bộ phận lớn như thế nào so với tất

cả các số tự nhiên không vượt quá số tự nhiên A ấy Và Euler đã giả

thiết rằng tỉ lệ An sẽ là một số rất nhỏ khi N rất lớn Nhưng Euler chưa

chứng minh được ý kiến của mình một cách hoàn toàn chặt chẽ Nhà

toán học Pháp Lơgiăngđrơ lần đầu tiên đã chứng minh một cách hoàn

thiện chân lý đó, năm 1798 ông đã công bố chứng minh của mình

Như vậy là, vấn đề mật độ số nguyên tố đã được giải quyết Nhưng

đây chỉ là nói đến quy luật: khi số A tăng không ngừng thì mật độ số

nguyên tố giảm vô hạn

1.6.1 Các phương pháp thô sơ

Phương pháp đơn giản nhất để kiểm tra xem một số n có phải là số

nguyên tố hay không là kiểm tra xem nó có chia hết cho các số từ 2 đến

n-1 hay không? Nếu n chia hết cho một số m nào đó thì n là hợp số

Ngược lại n là số nguyên tố

Thực ra việc kiểm tra tính chia hết từ 2 đến n − 1 không cần thiết

vì chúng đều chia hết cho 2 hoặc 3 Do đó nếu n là số nguyên tố thì chỉ

có dạng 6k+1, 6k-1 mà thôi

Tiếp tục các nhận xét đó ta có thể tổng quát hóa thành thuật toán

sàng Eratosthènes

1.6.2 Kiểm tra theo xác suất

Các phép kiểm tra tính nguyên tố hay dùng nhất là các thuật toán

Vào năm 2002, Manindra Agrawall, Nitin Saxeno và Neeraj Kayal

đề xuất một giải thuật tất định kiểm tra tính nguyên tố Trên thực tế

thuật toán này chạy chậm hơn các phương pháp xác xuất

1.6.4 Các phương pháp lý thuyết số

Có một vài phương pháp khác trong lý thuyết số để kiểm tra tính nguyên

tố như kiểm tra Lucas Lilner và kiểm tra Proth Chúng thường dựa vào

việc phân tích n+1, n-1 hoặc những số khác nhau Tuy nhiên phương

pháp này không dùng cho các số tự nhiên n bất kì mà chỉ dùng cho một

số dạng đặc biệt nào đó