Số nguyên tố và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Ngô Thị Vân SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Ngô Thị Vân SỐ NGUYÊN TỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Thạc sỹ: Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2016 i Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo tổ đại số, thầy cô khoa Toán, thầy cô giáo trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Dương Thị Luyến - người tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận mình.Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian có hạn lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em xin kính mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2016 Sinh viên Ngô Thị Vân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Lời cam đoan Tôi xin khẳng định công trình nghiên cứu khoa học thân nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2016 Sinh viên Ngô Thị Vân i Mục lục Lời mở đầu 1 SỐ NGUYÊN TỐ 1.1 1.2 1.3 1.4 Sơ lược giai đoạn phát triển lý thuyết số nguyên tố 1.1.1 Giai đoạn 1(Trước công nguyên) 1.1.2 Giai đoạn (Trước kỉ 17) 1.1.3 Giai đoạn (Sau kỉ 17) Định nghĩa tính chất 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất Một số định lý số học 1.3.1 Định lý Euclid 1.3.2 Định lý số học 1.3.3 Dạng phân tích tiêu chuẩn 1.3.4 Một số ứng dụng định lý 10 Một số định lý tiếng số nguyên tố 14 1.4.1 Định lý Wilson 14 1.4.2 Định lý Fermat nhỏ 16 1.4.3 Định lý Korelt 18 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.4.4 1.5 1.6 Ngô Thị Vân Một số định lý khác số nguyên tố 19 Bảng số nguyên tố 19 1.5.1 Sàng Eratosthène 19 1.5.2 Sự phân bố số nguyên tố 21 Kiểm tra số nguyên tố 24 1.6.1 Các phương pháp thô sơ 24 1.6.2 Kiểm tra theo xác suất 25 1.6.3 Các phép kiểm tra bất định 25 1.6.4 Các phương pháp lý thuyết số 26 Một số tập áp dụng 2.1 27 Các toán tập hợp số nguyên tố 27 2.1.1 Loại Tìm tập hợp số nguyên tố 27 2.1.2 Loại 2.Các toán áp dụng định lý số học, định lý Fermat 30 2.2 Nhận biết số nguyên tố 35 2.3 Chứng minh số, biểu thức cho trước số nguyên tố 38 2.4 Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước 39 2.5 Một số tập dạng khác 45 Ứng dụng số nguyên tố lý thuyết mật mã 50 3.1 Hệ mã mũ 51 3.2 Hệ mã RSA 54 3.2.1 Cơ sở xây dựng thuật toán RSA 54 3.2.2 Thuật toán RSA 55 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 59 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Lời mở đầu Lý chọn đề tài Đại số số học phận quan trọng Toán học Từ lâu, toán số học làm say mê nhiều người, từ nhà toán học lỗi lạc thời đại tới đông đảo bạn đọc yêu toán Vấn đề số nguyên tố vấn đề trung tâm số học, chiếm khoảng thời gian hàng nghìn năm nhà toán học thời đại Không đâu số học, đặc biệt số nguyên tố, lại lần theo dấu vết toán cổ xưa để đến với vấn đề chờ người giải Hơn nữa, thực tế trường phổ thông, toán số học bật đáng lưu ý toán số nguyên tố có mặt thi, đề thi chọn học sinh giỏi tất cấp học hầu giới Còn thực tế xã hội số nguyên tố áp dụng rộng rãi hệ mật mã công nghệ thông tin, làm tăng tính bảo mật quân sự, ngoại giao, Chính lý trên, em chọn đề tài "Số nguyên tố ứng dụng" Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số nguyên tố: định nghĩa, tính chất, lịch sử, nguồn gốc đời ứng dụng giúp cho bạn có cách nhìn bao quát số nguyên tố Đối tượng nghiên cứu -Số nguyên tố Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân -Ứng dụng số nguyên tố công nghệ thông tin Phương pháp nghiên cứu -Thu thập tài liệu thông tin qua sách giáo trình, sách tham khảo -Nghiên cứu lí luận: So sánh, phân tích, tổng hợp, Chương SỐ NGUYÊN TỐ 1.1 Sơ lược giai đoạn phát triển lý thuyết số nguyên tố 1.1.1 Giai đoạn 1(Trước công nguyên) Số nguyên tố tính chất lần nghiên cứu rộng rãi nhà toán học Hy Lạp cổ đại Các nhà toán học trường học Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) quan tâm đến tính chất số nguyên tố Họ quan tâm đến hoàn hảo thân thiện số Cho đến thời gian xuất "Nguyên lý" Euclid (Khoảng 300 TCN), số kết quan trọng số nguyên tố chứng minh Trong sách Nguyên lý IX chứng minh có vô hạn số nguyên tố Đây chứng biết đến từ sớm sử dụng phương pháp phản chứng Euclid đưa chứng Định lý số học số nguyên viết thành tích số nguyên tố Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Nếu q = ta có 4=k(k + 1) Suy tìm k ∈ N Vậy q > Vì q ∈ ℘nên (2, q)=1 Từ (2) ta có + Nếu k = q = k + k = 2, q = Khi p = 2.2 + = + Nếu q = k = k + q = (loại) Vậy p = 5, q = Bài Tìm tất số nguyên dương a, b phân biệt cho a2 +b b2 +a lũy thừa số nguyên tố Giải Từ giả thiết, ta có a2 ≡ −b(modpk ); b2 ≡ −a(modpk ) Với pk =b2 +a → a2 b2 ≡ ab(modpk ) Suy ta có hai trường hợp Trường hợp 1: pk |ab Do pk a2 + b (giả thiết) ⇒ p k a2 b + b ⇒ pk b2 (vô lý pk = b2 + a) Trường hợp 2: pk |ab − Ta có pk a2 + b + ab − ⇒ pk |(a + 1)(a + b − 1) + Nếu pk |a + a = b = (thỏa mãn) + Nếu pk |a + b − (vô lý) + Nếu p |a + pk |a + b − ta có a ≡ −1(modp) ⇒ a2 ≡ 1(modp) ⇒ b ≡ −1(modp) (do pk a2 + b) Mặt khác, từ p |a + b − ta có b ≡ (mod p) Do a ≡ −1 (mod p) 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Vậy −1 ≡ (mod p) Suy p = 3, a = 2, b = ( loại) Vậy a = b = Bài Cho số nguyên dương N có 12 ước số dương khác kể 1, có ước nguyên tố khác tổng ước nguyên tố 20 Tính giá trị nhỏ có N? Giải Do N có tối đa 12 ước nên ta đặt N = (p1 )a (p2 )b (p3 )c (p4 )d (a, b, c, d > 0) Và (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)=12=1.2.2.3 (1) Mà a, b, c, d > (2) Từ (1) (2) suy vô lý Vậy N = (p1 )a (p2 )b (p3 )c Ta tìm giá trị nhỏ có N Lại có (a + 1)(b + 1)(c + 1)=12=2.2.3 Suy hai ba số a, b, c = số lại Vì p1 + p2 + p3 = 20 nên có số Giả sử p1 =2 → p2 + p3 = 18 N = 22 (p2 )1 (p3 )1 ( p2 , p3 không chia hết p2 , p3 ≥ 5) số nguyên tố dễ chứng minh p2 =13, p3 =5 số thỏa mãn đề Vậy N=25 51 131 = 260 Bài Tìm số nguyên tố abcd cho ab ac số nguyên tố b2 = cd + b − c? Giải 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Vì abcd, ab, ac số nguyên tố nên b, c, d số lẻ khác Ta có b2 = cd + b − c ⇔ b(b − 1) = cd − c = 10c + d − c = 9c + d Do 9c + d ≥ 10 nên b(b − 1) ≥ 10 ⇒ b ≥ Vậy b = b = + Nếu b = ta có 9c + d=42 ⇒ d ⇒ d = d = Nếu d = 9c = 39 Do không tồn c ∈ N Nếu d = 9c + d 9, 42 không chia hết (loại) + Nếu b = 9, ta có 9c + d = 72 ⇒ d Vậy d = Ta có 9c + = 72 → c = ab = a9 số nguyên tố ⇒ a = 3; 4; 6; ac = a7 số nguyên tố ⇒ a = 2; 5; 7; Mặt khác a = Suy a = Vậy số cần tìm 1979 Các tập tương tự Chứng minh có cặp số nguyên dương (a, b) để a4 + 4b4 số nguyên tố Cho p số nguyên tố Chứng minh 7p+3p -4 số phương Cho p, q hai số nguyên tố khác Chứng minh pq−1 +q p−1 ≡ (mod p.q) Cho n số nguyên dương Chứng minh 2n +1 ước nguyên tố dạng 8k − với k nguyên dương Cho a, b số nguyên, p số nguyên tố lẻ Chứng minh p4 ước a2 + b2 a(a + b)2 p4 ước a(a+b) Nhận xét Ngoài dạng tập số nguyên tố, phần số nguyên tố 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân có nhiều tập dạng khác mà giải cần vận dụng cách linh hoạt kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết phải xét khả xảy 49 Chương Ứng dụng số nguyên tố lý thuyết mật mã Hơn hết mà xã hội phát triển vấn đề bảo mật thông tin trở nên cấp thiết, mối quan tâm không dừng lại cấp quốc gia mà mang tính toàn cầu Mã hóa thông tin xuất từ sớm Người áp dụng mật mã cách có hệ thống để bảo đảm bí mật thông tin quân nhà quân thiên tài Julius Caesar Cho đến khoảng cuối năm 70, người ta xem việc nghiên cứu số nguyên tố ngành lý thuyết túy toán học, ứng dụng thực tiễn Quan niệm thay đổi hẳn sau số nguyên tố áp dụng để xây dựng hệ mật mã khóa công khai Các lý thuyết số học, đặc biệt số học thuật toán tìm thấy ứng dụng trực tiếp vào thực tiễn Sau xin trình bày điểm lý thuyết mật mã xây dựng sở lý thuyết số nguyên tố 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.1 Ngô Thị Vân Hệ mã mũ Hệ mã mũ (chưa phải mã khóa công khai) Pohig Hellman đưa năm 1978 Tuy thuộc vào làng khóa bí mật, xem tiền thân hệ mã đối xứng (khóa công khai) Hệ mã đối xứng sử dụng chìa khóa cho hai trình lập mã giải mã Để giải mã văn gửi từ A B phải có chìa khóa A gửi đến, nên A gửi đến B văn đồng thời A phải gửi cho B chìa khóa để giải vô tình chìa khóa dễ bị phát So với hệ mã đối xứng hệ mã mũ có tiến mặt này, khóa lập mã bị lộ thời gian chấp nhận được, người có khóa lập mã khó tìm khóa giải mã bí mật thông tin xem tương đối an toàn khoảng thời gian Mục tiêu hệ khắc phục số nhược điểm lớn hệ mã có trước đó: bị lộ số văn bị lộ khóa Đối với hệ mã mũ, việc lộ bí mật số văn không làm ảnh hưởng đến tính bảo mật toàn hệ thống Nguyên lý thực Để tiến hành thực mã hóa A B tìm cho khóa lập mã giữ bí mật khóa ( có người lập khóa biết chìa khóa ) Khóa lập mã cặp số nguyên dương e p, p số nguyên tố lẻ e số nguyên dương cho e ϕ(p) = p − hai số nguyên tố Để mã hóa văn cần gửi, trước tiên A phải tiến hành số hóa chia khối văn Số hóa văn tức ta chuyển văn thành văn số cách ghép đặt tương ứng chữ số Ví dụ 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân bảng chữ tiếng Anh gồm 26 chữ ta quy ước chữ tương ứng với số, chẳng hạn chữ a tương ứng 01, b tương ứng 02, , z tương ứng 26 Khi ta có chữ "cogang" văn số tương ứng "031507011407" Ở ta không kể khoảng trắng, muốn thêm vào khoảng trắng ta quy ước tương tự Tuy nhiên ta quy ước phép đặt tương ứng theo cách khác ngược lại tùy theo thỏa thuận A B Và ta thấy việc có khóa giải mã chưa hiểu nội dung văn ta quy ước A B phép đặt tương ứng chữ số Điều lần khẳng định an toàn hệ mã mũ Chia khối văn thao tác chia nhỏ văn số để tiến hành mã hóa thuận lợi Ví dụ ta có văn "cogang" văn số tương ứng "031507011407" Nếu không chia khối ta làm việc với số nguyên lớn Tuy nhiên để đơn giản ta chia nhỏ thành hai khối, ta làm việc với số nguyên tố nhỏ nhiều khóa gồm chữ đồng nghĩa với việc ta thực tính toán số nguyên không chữ số Vậy việc chia khối cần thiết, nhiên nhỏ đem nhiều bất lợi cho người dùng mã ( dễ bị lộ khóa ) Như cách đặt tương ứng khối gồm N chữ số tương ứng không vượt số nguyên 2626 26 ( gồm N lần số 26 viết liên tiếp ) Tuy nhiên lúc văn chia thành nguyên lần khối N, mà thiếu vài chữ thành khối N, gặp trường hợp ta phải tiến hành làm 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân khối văn cách thêm vào chữ cuối văn Để cho văn ta nguyên lần khối N, không làm thay đổi nội dung văn Khi chia khối văn xong, A cần tiến hành mã hóa khối văn mã hóa hết tất khối công thức C ≡ N (mod p) C văn mã dạng số, N văn số Và A gửi cho B tất khối C Khi có khối C gửi từ A B tiến hành giải mã Trước tiên, B tiến hành tìm mã giải khóa d cách giải phương trình đồng dư e.d ≡ 1(modϕ(p))(1) Ta thấy, số nguyên d tìm thuật toán Euclid Khi có khóa giải mã, B tiến hành giải mã khối C công thức C.d ≡ N.e.d ≡ N (modp)(2) (theo hệ định lý Euler) Khi có tất khối N, B tiếp tục tìm lại văn gốc cách sử dụng lại phép đặt tương ứng ban đầu Từ công thức (1), ta thấy hai số N1 , N2 có số dư chia cho p hai khối mã tương ứng C1 , C2 trùng Vì xảy tình trạng hai khối văn mã giống nhau, điều nảy sinh vấn đề sai lệch nội dung giải mã dẫn đến nội dung văn giải mã khác nội dung văn ban đầu Để khắc phục tình trạng trình chia khối cần đảm bảo khối N lớn số nguyên tố p Điều đảm bảo tính toàn vẹn nội dung văn bản, tức nội dung văn sau giải mã văn gốc trùng khớp Do N số nguyên không lớn số nguyên tố p nên N p hai số 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân nguyên tố nhau, điều dẫn đếnN.e.d ≡ N (modp) Từ công thức (2) ta thấy khối C số nhỏ p Để đảm bảo C N.e số e chọn không nhỏ cho thường xuyên có N.e>p 3.2 3.2.1 Hệ mã RSA Cơ sở xây dựng thuật toán RSA Định lý Euler: Nếu m số nguyên dương p nguyên tố với m pϕ(m) ≡ (mod m) Vậy m p nguyên tố , ta đặt s = ϕ(m) ps ≡ (mod m) Suy với a = + ks Ta có pa ≡ p1+ks ≡ p.pks ≡ p.1k (modm) ≡ p(modm) Với e số nguyên dương nguyên tố với s, tức (e, s)=1 Khi tồn nghịch đảo d e modun s, tức e.d ≡ 1(mods) hay e.d = + ks Đặt E(p) ≡ C ≡ pe (mod m) Đặt D(C) ≡ C d (mod m) Ta thấy D(C) ≡ C d ≡ (pe )d ≡ pe.d ≡ p(1+ks) ≡ p (mod m) Ví dụ m = 10, p = 9, ta có (10;9)=1 s = ϕ(10)=4 e=7, ta có (7;4)=1 Nghịch đảo modul d=3 7.3=1+5.4 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Lúc đó, ta có E(p) ≡ C ≡ pe ≡ 97 ≡ 4782969 ≡ 9(mod10) ⇒ C = D(C) ≡ C d ≡ 93 ≡ 729 ≡ (mod 10) Vậy D hàm ngược E Đây sở cho việc xây dựng thuật toán RSA mà nói sau 3.2.2 Thuật toán RSA a) Mô tả thuật toán Thuật toán RSA có hai khóa khóa công khai khóa bí mật (hay khóa cá nhân) Mỗi khóa số cố định sử dụng trình mã hóa giải mã Khóa công khai công bố rộng rãi cho người dùng để mã hóa Những thông tin mã hóa khóa công khai giải mã khóa bí mật tương ứng Nói cách khác, người mã hóa có người biết khóa cá nhân giải b) Cách tạo khóa Chúng ta cần tạo cặp khóa lập mã giải mã theo phương pháp sau - Chọn hai số nguyên tố lớn p q với p = q, lựa chọn ngẫu nhiên độc lập - Tính n = p.q - Tính giá trị hàm số Ơle ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) - Chọn số tự nhiên e cho < e < ϕ(n) số nguyên tố với ϕ(n) 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân - Tính d cho d.e ≡ 1(modϕ(n)) Khóa công khai bao gồm: + n, môdun +e, số mũ công khai (số mũ mã hóa) Khóa bí mật bao gồm: + n, môdun, +d, số mũ bí mật c) Mã hóa Giả sử có đoạn thông tin M cần gửi Đầu tiên M chuyển thành số m < n theo hàm đảo ngược ( từ m xác định lại M ) thỏa thuận trước Lúc ta có m biết n e người nhận Ta tính C mã hóa m theo công thức C ≡ me ( mod n) Hàm tính dễ dàng việc sử dụng phương pháp tính hàm mũ ( theo môdun ) thuật toán bình phương nhân Cuối gửi C cho đối tác d) Giải mã Khi đối tác nhận C, đối tác sử dụng khóa bí mật d, tìm m từ C theo công thức sau m ≡ C d (modn) Biết m, đối tác tìm lại M theo phương pháp thỏa thuận trước Ta có C d ≡ (me )d ≡ med (modn) Do e.d ≡ (mod (p-1)) e.d ≡ (mod (q-1)), (theo định lý Fermat nhỏ) nên med ≡ m (mod p) med ≡ m (mod q) Do p q hai số nguyên tố (theo định lý số dư), ta có med ≡ m (mod pq) 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Hay C d ≡ m (mod n ) e) Ví dụ Sau ví dụ với số cụ thể Ở sử dụng số nhỏ để tiện tính toán thực tế phải dùng số có giá trị đủ lớn Lấy p=5 Số nguyên tố thứ ( giữ bí mật hủy sau tạo khóa ) q=7 Số nguyên tố thứ hai ( giữ bí mật hủy sau tạo khóa ) n = p.q=5.7=35 Môdun ( công khai ) ϕ(n)=(p − 1)(q − 1)=24 Giá trị hàm số Ơle e=5 Số mũ công khai ( chọn e thỏa mãn điều kiện < e < n ) d=29(vì 29.5=6.24+1≡ 1(mod24)) Số mũ bí mật ( tìm d cho ed-1 chia hết cho ϕ(n)) Như ta có cặp khóa (e, n)=(5;35) (d, n)=(29;35) Áp dụng mã hóa chuỗi: SECURE Trong bảng chữ tiếng Anh có 26 chữ cái, kí tự ứng với số Do ta có bảng sau Nội dung Vị trí Me Nội dung bị mã hóa S 19 2476009 24 E 3125 10 C 243 33 U 21 4084101 21 R 18 1889568 23 E 3125 10 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Nếu đây,dữ liệu đường chuyển đến người nhận bị người khác biết được, người nội dung muốn nói điều gì, mà nhận số, không nói lên điều Khi liệu đến tay người nhận, muốn khôi phục lại liệu gốc ban đầu, ta giải mã lại với n=35, d=29 Giải mã chuỗi SECURE Nội dung bị mã hóa M ≡ cd (modn) Dữ liệu gốc 24 19 S 10 E 33 C 21 21 U 23 18 R 10 E f) Kết luận Hệ mã RSA đơn giản, dễ hiểu dễ cài đặt Tuy nhiên, hệ RSA chạy chậm việc phát sinh khóa công khai, khóa bí mật hay trình mã hóa, giải mã tốn nhiều thời gian phải tính toán số nguyên dương cực lớn, có chiều dài vượt khả chứa ghi nên phải thực lại nhiều lần sử dụng nhiều đến xử lý Do đó, RSA không sử dụng vào mục đích mã hóa khối liệu lớn mà ứng dụng chữ kí điện tử để giải thuật trao đổi khóa bí mật, hay mã hóa liệu với số lượng nhỏ 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngô Thị Vân Kết luận Số nguyên tố đơn vị kiến thức quan trọng ngành số học Ta thường gặp toán số nguyên tố kì thi đặc biệt thi học sinh giỏi, thi Olympic toán học diễn hàng năm Đặc biệt số ứng dụng quan trọng số nguyên tố lĩnh vực công nghệ thông tin mà ngày toàn cầu phát triển Đó dùng số nguyên tố làm mật mã bí mật công nghệ thông tin Trong khóa luận này, trình bày nét số nguyên tố, lịch sử đời phát triển số nguyên tố với số tập có liên quan Do nhiều hạn chế thời gian, tài liệu, trình độ nên chưa thể hết vấn đề số nguyên tố ứng dụng Qua đây, lần cho gửi lời cảm ơn trân trọng đến Th.s Dương Thị Luyến, người tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 59 Tài liệu tham khảo [1] Lại Đức Thịnh (1997), Giáo trình số học, NXB Giáo dục [2] Hoàng Chúng (1997), Số học - bà chúa toán học, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Tiến Quang (2003), Bài tập số học, NXB Giáo dục [4] Phạm Huy Điển - Hà Huy Khoái (2004), Mã hóa thông tin ứng dụng, Viện toán học [5] Phan Huy Khải (2004), Các toán số học, NXB Giáo dục [6] Vũ Hữu Bình (2007), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT, NXB Giáo dục [7] Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số số học, NXB Giáo dục [8] Ngô Thúc Lanh, Bài tập Đại số số học, NXB Giáo dục [9] Tạp chí toán học tuổi trẻ [10] http://123doc.org/document/1420407-luan-van-lich-su-phat-trienso-nguyen-to.htm 60 ... khác gọi số nguyên tố Kí hiệu tập hợp số nguyên tố ℘ ℘={p ∈ N |p số nguyên tố} Định nghĩa 1.2.2 Một số tự nhiên lớn có nhiều hai ước số (1 nó) gọi hợp số Nhận xét +Số số số nguyên tố hợp số +Trong... tập hợp số nguyên tố số nguyên tố chẵn nhất, số nguyên tố lại số lẻ +Số tự nhiên a hợp số a>1 a có ước d 1< d < a +Ước số tự nhiên khác gọi ước thực Từ ta có định nghĩa khác số nguyên tố: số tự... Nếu b=2k -1 số nguyên tố k phải số nguyên tố Các số nguyên tố dạng 2k -1 gọi số nguyên tố Mersenne Như số nguyên tố Mersenne cho ta số hoàn chỉnh chẵn ngược lại ii) Người ta chưa tìm số hoàn chỉnh