Nghịch đảo suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGÔ THỊ LOAN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đinh Nho Hào THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan Mở đầu Chương Các khái niệm đại số tuyến tính giải tích hàm 1.1 Khơng gian Euclide 1.2 Khơng gian Banach tốn tử liên tục 1.2.1 Không gian Banach 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên tục 1.3 Đạo hàm theo nghĩa Fréchet Chương Nghịch đảo suy rộng không gian Hilbert 2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu 2.2 Nghịch đảo suy rộng 10 2.3 Định lý Picard 14 Chương Nghịch đảo suy rộng không gian hữu hạn chiều 15 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị ma trận 15 3.2 Giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) 19 ii 3.3 Nghiệm bình phương tối thiểu 24 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K11C (khóa 2017-2019), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập Lời cam đoan Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo GS.TSKH Đinh Nho Hào với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan kết luận văn kết nghiên cứu thân, không trùng với luận văn tác giả khác Thái Nguyên, ngày tháng Tác giả năm 2019 Mở đầu Phương pháp bình phương tối thiểu xuất phát từ nghiên cứu thiên văn khoa đo đạc Từ quan sát khác tượng người ta cần xấp xỉ Phương pháp có cội nguồn từ nghiên cứu khác Roger Cotes vào năm 1722, Tobias Mayer nghiên cứu chuyển động mặt trăng năm 1750, Pierre-Simon Laplace nghiên cứu chuyển động Mộc Thổ năm 1788 Người mô tả cách tường minh ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu Adrien-Marie Legendre [5] vào năm 1805 ơng phân tích kiện Laplace hình dạng đất Phương pháp Legendre nhà thiên văn học nhà đo đạc hàng đầu thời cơng nhận sử dụng Vào năm 1809, Carl Friedrich Gauss công bố phương pháp ơng cách tính quỹ đạo thiên thể [4] khẳng định rằng, phương pháp ơng tìm từ năm 1795, trước Legendre Gauss cịn liên hệ phương pháp bình phương tối thiểu với kết quan trọng lý thuyết xác suất phân bố chuẩn Có nhiều tranh cãi việc có hay khơng, Gauss tìm phương pháp bình phương tối thiểu trước Legendre ơng cơng bố sau Cơng trình [10] đưa khẳng định, có lẽ điều Dù người phát minh phương pháp nữa, phương pháp bình phương tối thiểu phương pháp tồn hiệu giải tích số, thống kê, Phương pháp bình phương tối thiểu cho ta hiểu nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính, gọi nghiệm bình phương tối thiểu - phần tử tối thiểu hóa bình phương chuẩn Euclide độ lệch (discrepancy) Nghiệm bình phương tối thiểu giải pháp lý tưởng để hiểu hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình nhiều số ẩn - hệ thường xuyên gặp tốn đo đạc Tuy nhiên, nghiệm bình phương tối thiểu khơng nhất, để khắc phục khiếm khuyết này, Moore [6] vào năm 1920 sau Penrose [8, 9] vào năm 1955, 1956 đưa khái niệm nghịch đảo suy rộng nghiệm suy rộng dựa lý thuyết phổ Có nhiều cách tiếp cận đến nghịch đảo suy rộng khác nhau, luận văn sử dụng định nghĩa nghiệm suy rộng nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ Chúng tơi dùng khái niệm dùng ta tiếp cận tốn đặt khơng chỉnh Các kết luận văn dựa vào tài liệu [1, 2, 3, 7] Luận văn gồm ba chương Trong chương đầu tóm tắt số khái niệm Đại số tuyến tính Giải tích hàm Chương đề cập đến nghịch đảo suy rộng khơng gian Hilbert cịn chương cuối đề cập đến khái niệm không gian Rn Chương Các khái niệm đại số tuyến tính giải tích hàm 1.1 Không gian Euclide Định nghĩa 1.1 Cho E khơng gian vectơ trường số thực R, tích vô hướng E ánh xạ : E × E → R (x, y) →< x, y > thỏa mãn điều kiện sau < x, y >=< y, x >, < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, < λx, y >= λ < x, y >, < x, x >≥ ∀x ∈ E < x, x >= ⇔ x = Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ E trường số thực R gọi không gian vectơ Euclide E có tích vơ hướng Định nghĩa 1.3 Độ dài vectơ x không gian vectơ Euclide E với tích vơ hướng xác định bởi: √ x = < x, x > Định nghĩa 1.4 Đối với hai vectơ x y khơng gian vectơ Euclide ta gọi góc ϕ x y xác định công thức: < x, y > cos ϕ = x y Khi không gian vector Euclide E Rn , ta viết vector x ∈ Rn dạng   x  1   x =     xn với xi ∈ R Khi vector chuyển vị x xt = (x1 , , xn ) Giả sử M = (mij ) ∈ Rm,n , u, v ∈ Rk , α1 , , αℓ ∈ R, u1 , , uℓ ∈ Rk Ta ký hiệu ma trận đơn vị, I Mt ma trận chuyển vị củaM, ut v tích vơ hướng u với v, chuẩn max{ M x |x ∈ Rn , x ≤ 1}, M M F chuẩn Frobenius of M, M F := i,j |mi,j | , < u1 , , u ℓ > bao tuyến tính u1 , , uℓ , diag(α1 , , αℓ ) ma trận đường chéo Rp,ℓ với thành phần α1 , , αℓ (u1 | |uℓ ) đường chéo (p ≥ 1), ma trận Rk,ℓ với cột u1 , , uℓ 15 Chương Nghịch đảo suy rộng khơng gian hữu hạn chiều 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị ma trận Định lý 3.1 Giả sử A ∈ Rm,n Khi tồn ma trận U ∈ Rm,m V ∈ Rn,n số thực σ1 ≥ ≥ σn ≥ cho A = U DV t , U t U = U U t = I, V t V = V V t = I, (3.1) với D = diag(σ1 , , σn ) ∈ Rm,n Chứng minh Vì ma trận At A đối xứng xác định không âm, nên tồn số thực σ1 ≥ ≥ σn ≥ cho σ12 , , σn2 giá trị riêng At A Gọi v1 , , ∈ Rn hệ vector riêng trực giao tương ứng với σ12 , , σn2 giả sử r ≤ n với σr > 0, = σr+1 = = σn Đặt V1 := (v1 | |vr ), V2 := (vr+1 | |vn ) D1 := diag(σ1 | |σr ) ∈ Rr,r 16 Ta có D1−1 = diag(σ1−1 , , σr−1 ), V1t V t AV1 = D12 , D1−1 V1t At AV1 D1−1 = I ∈ Rr,r , V2t At AV2 = 0, AV2 = Đặt U1 = A1 V1 D1−1 ∈ Rm,r Nếu ta chọn U2 ∈ Rm,m−r cho U = (U1 |U2 ) ∈ Rm,m U t U = U U t = I ta nhận     t t U1 AV1 U1 AV2 D =  U t AV =  t t U2 AV1 U2 AV2 0 Nhận xét 3.1 Số r chứng minh hạng ma trân A Do giá trị riêng At A xác định nhất, nên σ1 , , σn xác định Định nghĩa 3.1 Cho A ∈ Rm,n với m ≥ n Phân tích có dạng (3.1)được gọi phân tích giá trị kỳ dị A σ1 , , σn gọi giá trị kỳ dị A Từ định nghĩa ta nhận kết sau: Hệ 3.1 Giả sử A ∈ Rm,n A = U DV t phân tích giá trị kỳ dị A U = (u1 | |um ), V = (v1 | |vn ) D = diag(σ1 , , σr , 0, , 0), σ1 ≥ · · · ≥ σr > Khi đó, i) At Avi = σi2 vi , AAt ui = σi2 ui , ≤ i ≤ r; ii) Avi = σi ui , At ui = σi vi , ≤ i ≤ r; iii) rank(A) = r; iv) v1 , , vr = N (A)⊥ , vr+1 , , vr = N (A); v) u1 , , ur = R(A), ur+1 , , um = R(A)⊥ ; vi) A = σ1 = At ; A+ = σr 17 Hệ 3.2 Giả sử A ∈ Rm,n có hạng r Khi đó, tồn ma trận B ∈ Rm,r C ∈ Rr,n số thực σ1 ≥ · · · ≥ σr > cho A = BC, B t B = I, CC t = diag(σ12 , , σr2 ) (3.2) rank (B) = rank (C) = r Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử m ≥ n Giả sử A = U DV t phân tích giá trị kỳ dị A với D = diag(σ1 , , σr , 0, , 0), U = (u1 | |um ), V = (v1 | |vn ) Khi đó, ta đặt B := (u1 | |ur ), C1 := (v1 | |vr ), C := diag(σ1 , , σr )C1 ta suy điều phải chứng minh Kết sau liên quan đến nhiễu giá trị riêng ma trận đối xứng Chúng ta cần đến kết để thấy giá trị kỳ dị ma trận bị ảnh hưởng nhiễu nhỏ Ta ký hiệu Vjn := {V ∈ Rn | V không gian với dim V ≤ j} Định lý 3.2 Giả sử C ∈ Rn,n ma trận đối xứng với giá trị riêng λ1 ≥ · · · ≥ λn Khi với k = 1, , n ta có λk = max n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 xt Cx = maxn V ∈Vk x∈V, x =1 xt Cx Chứng minh: Gọi v1 , , hệ véctơ riêng trực chuẩn tương ứng n Khi đó, dim V ∩ v1 , , vk ≥ với λ1 , , λn Giả sử V ∈ Vn−k+1 x = k i=1 αi vi ∈ V ∩ v1 , , vk với x = 1, ta thu k t x Cx = i=1 Điều chứng tỏ λk ≤ αi2 λi ≥ λk max n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 xt Cx 18 Mặt khác, với x = n αi vi V := vk , , , x = ta i=k có n t x Cx = i=k αi2 λi ≤ λk , chứng tỏ λk ≥ n max V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 xt Cx Do đó, đẳng thức thứ chứng minh Ta áp dụng đẳng thức với −C thu đẳng thức thứ hai Định lý 3.3 Giả sử C, F ∈ Rn,n ma trận đối xứng cho λ1 ≥ , λn , γ1 ≥ · · · ≥ γn µ1 ≥ · · · ≥ µn giá trị riêng C, F C + F Khi đó, với k ∈ {1, , n}, ta có i) λk + γn ≤ µk ≤ λk + γ1 ; ii) |λk − µk | ≤ F Chứng minh: Cho v1 , , hệ véctơ riêng trực chuẩn C n i) Với V ∈ Vn−k+1 , ta có µk ≤ ≤ max xt (C + F )x max xt Cx + x∈V, x =1 x∈V, x =1 max x∈V, x =1 xt F x Áp dụng khẳng định vào không gian V := vk , , , ta thu µk ≤ λk + max xt F x = λk + γ1 x∈V, x =1 Bằng lập luận tương tự, ta thu bất đẳng thức lại ii) Từ phần i), ta có µk − λk ≤ |γ1 |, λk − µk ≤ −γn ≤ |γn | Vì |γ1 |, |γn | ≤ F nên ta suy điều phải chứng minh Áp dụng Định lý 3.2 vào C := At A ta có kết sau: 19 Định lý 3.4 Cho A ∈ Rm,n σ1 ≥ · · · ≥ σn giá trị kỳ dị A Khi đó, với k ∈ {1, , n} σk = max n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 Ax = maxn V ∈Vk x∈V, x =1 Ax Để thuận tiện, từ sau ta ký hiều giá trị kỳ dị ma trận C ∈ Rm,n σ1 (C), , σn (C), ta ln giải thiết chúng thỏa mãn σ1 (C) ≥ · · · ≥ σn (C) Từ Định lý 3.4 với lập luận tương tự trường hợp Định lý 3.3 từ Định lý 3.2, ta suy ra: Định lý 3.5 Cho A, F ∈ Rm,n Khi với k ∈ {1, , n} |σk (A) − σk (A + F )| ≤ F     −1 0 , F =   Ví dụ 3.1 Cho A =  0 0.1 Bằng tính tốn trực tiếp cho thấy F = 0.1 σ1 (A) = 1.4142 σ1 (A + F ) = 1.4160 σ2 (A) = 0.0000 σ2 (A + F ) = 0.0707 3.2 Giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) Ta xét tốn tìm nghiệm phương trình Ax = y (3.3) A ∈ Rm,n y ∈ Rm cho trước Nếu m = n A khơng suy biến tốn có nghiệm cho công thức x = A−1 y Trong trường hợp tổng quát, A suy biến ma trận hình 20 chữ nhật (m = n), phương trình vơ nghiệm, có nghiệm vơ số nghiệm Ta tìm mà trận G ∈ Rn,m cho x := Gy nghiệm (3.3) theo nghĩa suy rộng Đó ma trận thỏa mãn tính chất y ∈ R(A), tức y = Az, z ∈ Rn , ta có AGy = AGAz = y Điều thỏa mãn ma trận G có tính chất sau AGA = A (3.4) Mục đích phần xây dựng ma trận Cho TA : Rn → Rm ánh xạ song tuyến tính xác định ma trận A ∈ Rm,n , tức TA x := Ax, x ∈ Rn Khi đó, ánh xạ tuyến tính TA −1 N (A)⊥ : R(A) → N (A)⊥ xác định ma trận G ∈ Rn,m biểu diễn ánh xạ tuyến tính thỏa mãn điều kiện (3.4) Điều cho ta gợi ý định nghĩa sau Định nghĩa 3.2 Cho A ∈ Rm,n Định nghĩa ánh xạ tuyến tính TA+ : Rm → Rn   θ, y ∈ R(A)⊥ + TA y :=  TA −1 y, y ∈ R(A) N (A)⊥ Khi đó, ma trận A+ ∈ Rn,m biểu diễn ánh xạ tuyến tính TA+ gọi giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) A, tức TA+ = TA+ Rõ ràng, ma trận giả nghịch đảo A+ A ma trận nghịch đảo A−1 thông thường trường hợp A ∈ Rn,n A không suy biến Tuy nhiên, ta cần để ý rằng, số tính chất trường hợp nghịch đảo thông thường không không với trường hợp giả nghịch đảo 21  Ví dụ 3.2 Cho A :=  −1   Khi đó, R(At ) sinh véctơ 0       sở N (A)⊥ = R(At ) cho trước véctơ −1           1 2   Bây ta thấy A   =   nên A+   =   −1 −1 0 −1   ⊥ t ⊥ Sử dụng đẳng thức  sở R(A) (A), tathấy  R(A) = N 0 cho véctơ  ; A+   =   Từ đây, ta có 1     =  A+  −1   −1     = 1  A+ =  −1 0 −1 Do đó, ta có A2 = A, (A+ )2 = A+ Từ ví dụ trên, ta thấy hai vấn đề, thứ nhất, trường hợp tổng qt tính chất sau khơng (AB)+ = B + A+ AB = BA thứ hai, toán đặt để tìm A+ từ A (với m, n kích thước nhỏ) Trước đưa cách tính ma trận giả nghịch dựa phân tích giá trị kỳ dị, ta đưa định nghĩa tương đương với khái niệm giả nghịch Để định nghĩa được, ta cần ký hiệu sau: Nếu S khơng gian đóng không gian Hilbert (Rn ), ta ký hiệu PS phép chiếu trực giao lên S Theo định lý phép chiếu: z = PS x (z − x, u) = 0, ∀u ∈ S; đây, (·, ·) tích vơ hướng khơng gian Hilbert (Rn ) 22 Định lý 3.6 Giả sử A ∈ Rm,n G ∈ Rn,m Khi đó, điều kiện sau tương đương a) G = A+ b) AG = PR(A) , GA = PR(G) c) AGA = A, GAG = G, (AG)t = AG, (GA)t = GA Chứng minh: a) ⇒ b) Từ định nghĩa A+ , ta thu đồng AA+ y = θ y ∈ R(A)⊥ , AA+ y = y y ∈ R(A), A+ Ax = θ x ∈ R(A+ )⊥ , A+ Ax = x x ∈ R(A+ ), điều suy tính chất b) b) ⇒ c) Vì phép chiếu đối xứng nên rõ ràng thấy điều kiện (AG)t = AG, (GA)t = GA thỏa mãn Đẳng thức AGA = A, GAG = G suy từ AGA = PR(A) A, GAG = PR(G) G c) ⇒ b) Ta có (AG)(AG) = AG, GAG = PR(G) G, điều chứng tỏ AG phép chiếu trực giao Từ R(A) = R(AGA) ⊂ R(AG) ⊂ R(A) ta thu R(A) = R(AG), AG = PR(A) Bằng lập luận tương tự ta chứng minh GA = PR(G) b) ⇒ a) Vì ta biết ma trận giả nghịch A+ tồn thỏa mãn điều kiện b) c) nên ta cần chứng minh nghiệm phương trình c) Giả sử G := G1 G := G2 thỏa mãn phương trình c) Nếu V := G1 − G2 , ta có AV A = θ, (AV )t = AV, (V A)t = V A 23 Từ suy (AV )t AV = (AV A)V = θ, (V A)t V A = V (AV A) = θ, điều chứng tỏ θ = AV = AG1 − AG2 , θ = V A = G1 A − G2 A Do đó, G1 = G1 AG1 = G2 AG1 = G2 AG2 = G2 Ví dụ 3.3 Cho A ∈ Rm,n Khi ta có   (At A)−1 At rank (A) = n + A =  At (AAt )−1 rank (A) = m Điều chứng minh cách sử dụng điều kiện c) Định lý 3.6 Định lý 3.7 Cho A ∈ Rm,n A = U DV t phân tích giá trị kỳ dị A Khi đó, D+ = diag(σ1+ , , σn+ ), A+ = V D + U t , σ1 ≥ · · · ≥ σn giá trị kỳ dị A   σ −1 σi > i , ≤ i ≤ n σi+ =  0 σi = Chứng minh: Ta có D = diag(σ1 , , σn ) D+ = diag(σ1+ , , σn+ ) Ví dụ 3.3 Đẳng thức A+ = V D+ U t chứng minh cách sử dụng đồng c) Định lý 3.6 cho G = V D+ U t Bây giờ, ta đưa số tính chất ma trận giả nghịch đảo Từ Định lý 3.6 dễ dàng kiểm tra khẳng định sau đây: 24 Hệ 3.3 Giả sử A inRm,n Khi đó, i) R(A) = R(AA+ ) = R(AAt ) R(A+ ) = R(At ) = R(A+ A) = R(At A); ii) R(A)⊥ = N (A+ ) = N (At ) = N (AA+ ); iii) (A+ )+ = A, (A+ )t = (At )+ ; iv) At = At AA+ = A+ AAt , (At A)+ = A+ (At )+ ; v) Nếu λ ∈ R (λA)+ = λ+ A+ λ+ = λ−1 λ = = λ = 3.3 Nghiệm bình phương tối thiểu Trong phần này, ta xét lại phương trình Ax = y (3.5) A ∈ Rm,n y ∈ Rm Sử dụng ma trận giả nghịch A+ A, ta thu nghiệm tổng quát A+ y (3.5) Trong phần này, ta coi nghiệm giả A+ y nghiệm bình phương tối thiểu, tức véctơ mà làm cho chuẩn Euclidean Ax − y nhỏ Định lý 3.8 Cho A ∈ Rm,n y ∈ Rm Khi đó, a) Bài tốn min{ Ax − y | x ∈ Rn } (3.6) ln có nghiệm x¯ b) Nghiệm (3.6) xác định N (A) = {θ} c) Mọi nghiệm x¯ (3.6) nghiệm phương trình At Ax = At y (3.7) Chứng minh: Cho y1 y2 phép chiếu y R(A) R(A)⊥ , tức y = y1 + y2 , y1 ∈ R(A), y2 ∈ R(A)⊥ , y1t y2 = 25 a) Vì y1 − Ax ∈ R(A) với x ∈ Rn nên theo định lý Pythago ta có Ax − y = Ax − y1 + y2 , x ∈ Rn DO đó, x¯ nghiệm (3.6) x¯ nghiệm Ax = y1 Vì y1 ∈ R(A) nên tồn nghiệm x¯ phương trình Ax = y1 b) Khẳng định suy từ khẳng định nghiệm Ax = y1 xác định cách N (A) = {θ} c) Ta có A¯ x = y1 ∈ R(A), y − A¯ x ∈ R(A)⊥ Vì R(A) = N (At )⊥ nên ta thu θ = At y2 = At (y − A¯ x) Định nghĩa 3.3 Cho A ∈ Rm,n y ∈ Rm Một véctơ x¯ ∈ Rn gọi nghiệm bình phương tối thiểu phương trình Ax = y x¯ nghiệm phương trình chuẩn tắc At Ax = At y Chú ý 3.1 1) Nếu y ∈ R(A) nghiệm nghiệm bình phương tối thiểu trùng 2) Thay xét tốn (3.6), ta xét tốn min{ Ax − y ∗ | x ∈ Rn } ∗ chuẩn Rn Các chuẩn khác dẫn đến nghiệm tối ưu khác nghiệm tổng quát phương trình Ax = y khác Giá trị nhỏ chuẩn l1 chuẩn l∞ phức tạp ánh xạ x → Ax − y ∗ không khả vi theo chuẩn Từ Định lý 3.8, dễ dàng thấy tập L(y) := {¯ x ∈ Rn | x¯ nghiệm bình phương tối thiểu Ax = y} tập lồi, đóng, khác rỗng Rn Do đó, theo định lý phép chiếu, tồn véctơ x∗ ∈ L(y) cho x∗ = min{ x¯ | x¯ ∈ L(y)} 26 Định nghĩa 3.4 Cho A ∈ Rm,n y ∈ Rm Khi nghiệm bình phương tối thiểu Ax = y gọi nghiệm có chuẩn bé theo Ax = y x = min{ x¯ | x¯ nghiệm tối thiểu Ax = y} Sau đây, ta nghiệm có chuẩn bé sử dụng để tính tốn ma trận giả nghịch Định lý 3.9 Cho A ∈ Rm,n y ∈ Rm Khi đó, x := A+ y nghiệm có chuẩn bé nhất, xác định phương trình Ax = y Chứng minh: Với x ∈ Rn , ta có Ax − y = (Ax − AA+ y) + (AA+ − I)y = Ax − AA+ y ≥ Ax − AA+ y + (AA+ − I)y 2 AA+ − I phép chiếu trực giao lên R(A)⊥ (theo Định lý 3.6) Điều chứng tỏ x := A+ y nghiệm bình phương tối thiểu nghiệm bình phương tối thiểu Ax = y nghiệm Ax = AA+ y Tuy nhiên, nghiệm Ax = AA+ y có dạng x =PR(A) x + (I − PR(A) )x = A+ Ax − (x − A+ Ax) =A+ AA+ y + (x − A+ y) = A+ y + (x − A+ y) từ dẫn đến x = A+ y + x − A+ y ≥ A+ y Từ đây, ta suy x = A+ y nghiệm có chuẩn bé xác định 27 Kết luận Luận văn nhằm tìm hiểu khái niệm giải phương trình tốn tử tuyến tính, hệ phương trình đại số tuyến tính mà phương trình khơng có nghiệm, có nhiều nghiệm: nghịch đảo suy rộng Khái niệm mô tả cho tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert, sau trình bày cho tốn tử sinh ma trận 28 Tài liệu tham khảo [1] Baumeister J., Stable Solution of Inverse Problems Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1987 [2] Ben-Israel A., Generalized inverses of matrices and their applications Extremal methods and systems analysis (Internat Sympos., Univ Texas, Austin, Tex., 1977), pp 154–186, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 174, Springer, Berlin-New York, 1980 [3] Ben-Israel A and Greville T.N.E., Generalized Inverses Theory and Applications Second edition Springer-Verlag, New York, 2003 [4] Gauss C.F., Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium, Frid Perthes et I.H Besser, Hamburg 1809, 265 pages [5] Legendre A.-M., Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes [New Methods for the Determination of the Orbits of Comets] (in French), Paris: F Didot, 1805 [6] Moore E.H., On the reciproral of the general algebraic matrix, Bull Amer Math Soc 26(1920), 394–395 [7] Nashed M.Z., Generalized Inverses and Applications (Proc Sem., Math Res Center, Univ Wisconsin, Madison, Wis., 1973) Publ Math Res Center Univ Wisconsin, No 32, Academic Press, New York, 1976 [8] Penrose R.A., Generalized inverse for matrices Proc Cambridge Philos Soc 51(1955) 406–413 29 [9] Penrose R.A., On best approximation solutions of linear matrix equations Proc Cambridge Philos Soc 52(1956), 17–19 [10] Stigler S.M., Gauss and the Invention of Least Squares Ann Stat 9(1981), 465—474 ... 1955, 1956 đưa khái niệm nghịch đảo suy rộng nghiệm suy rộng dựa lý thuyết phổ Có nhiều cách tiếp cận đến nghịch đảo suy rộng khác nhau, luận văn sử dụng định nghĩa nghiệm suy rộng nghiệm bình phương... tuyến tính TA+ gọi giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) A, tức TA+ = TA+ Rõ ràng, ma trận giả nghịch đảo A+ A ma trận nghịch đảo A−1 thơng thường trường hợp A ∈ Rn,n A không suy biến Tuy nhiên,... Chương Nghịch đảo suy rộng không gian Hilbert 2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu 2.2 Nghịch đảo suy rộng 10 2.3 Định lý Picard 14 Chương Nghịch