Về véctơ trọng số RBF cho phương pháp không lưới RBF FD trong không gian ba chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 6/2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG THỊ OANH Thái Nguyên, 6/2020 ii Mục lục Lời cảm ơn iv Danh mục ký hiệu v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Cơ sở toán nội suy hàm số với liệu phân tán 1.2 Một số định nghĩa khái niệm 1.3 Lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng khơng gian chiều 10 1.4 Kết luận 14 Chương Phương pháp không lưới RBF – FD giải phương trình Poisson khơng gian ba chiều 15 2.1 Bài toán mở đầu 15 2.2 Véctơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính 2.2.1 Véctơ trọng số từ vi phân số tâm phân bố không 2.2.2 Nội suy khơng có thành phần đa thức 2.2.3 Nội suy có thành phần đa thức 16 16 18 20 2.3 2.2.4 Véctơ trọng số RBF không gian ba chiều 23 Thuật toán chọn tâm dựa góc khối 26 2.4 Lược đồ RBF-FD giải toán Elliptic không gian ba chiều 27 2.5 Thử nghiệm số 27 Kết luận 31 iii Tài liệu tham khảo 32 iv Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cô khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đặng Thị Oanh - Người tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Ân Thi, Hưng Yên tập thể thầy cô giáo tổ Toán Tin Trường tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian tác giả tham gia học cao học Cuối xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K12A6, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Vũ Xuân Hiển v Danh mục ký hiệu Ω Miền hình học Ξ Tập các tâm miền biên Ω Ξint Tập tâm nằm miền Ω ∂Ω Tập tâm nằm biên ∂Ω ζ Tâm thuộc tập Ξint g f Hàm biên Hàm vế phải phương trình Poisson w véc tơ trọng số u Nghiệm giải tích u˜ Nghiệm xấp xỉ ∞ Vơ Rn Không gian n chiều λ φ Giá trị riêng ma trận Hàm sở bán kính ǫ Tham số hình dạng A Ma trận hệ phương trình đại số tuyến tính b x Véc tơ vế phải hệ phương trình đại số tuyến tính Nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính E Ma trận đơn vị X Bộ tâm gồm ξ ζ Ký hiệu: X = {ζ, ξ1 , , ξk } k Số điểm ξi cần thiết tập Ξζ Mở đầu Trong suốt kỷ XX, loạt phương pháp số hình thành phát triển phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference - FD), phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM), phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method -FVM), phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM) Những phương pháp đem lại đóng góp to lớn việc ứng dụng toán học vào thực tiễn Tuy nhiên, chúng nhiều hạn chế áp dụng vào lớp tốn thực tế có cấu trúc phức tạp như: lưới biến dạng phạm vi rộng, số chiều không gian cao, hàm vế phải hàm điều kiện biên có kì dị (có độ dao động lớn) Khó khăn lớn sinh lưới, trì lưới cập nhật lưới Đó lý thúc đẩy nhà khoa học thuộc lĩnh vực khác nhau, tìm kiếm phương pháp nhằm khắc phục hạn chế phương pháp lưới Để khắc phục số nhược điểm phương pháp lưới, người ta đưa phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng [4, 5, 9, 11, 12, 14] Một cách tiếp cận không lưới phương pháp RBF – FD (Radial Basis Funcion - Finite Difference) [9, 11, 12, 14] - Hàm sở bán kính Φ : Rd → R hàm xác định dương giá trị phụ thuộc vào chuẩn véctơ biến, tức Φ(x) = φ(||x||2 ) với x ∈ Rd φ : [0; ∞) → R hàm cho trước [6, 10] Sử dụng thay đổi hàm để xây dựng nội suy hàm sở bán kính (RBF – Interpolation) [6, 10] Tiếp nội suy hàm sở bán kính sử dụng xấp xỉ tốn tử vi phân, nhằm tạo phương pháp xấp xỉ giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương pháp RBF – FD xây dựng theo lược đồ Phương pháp RBF – FD phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm sở bán kính với cách tiếp cận địa phương, dựa rời rạc hóa giống phương pháp FD để tính xấp xỉ nghiệm số điểm rời rạc miền xác định Khi sử dụng phương pháp RBF – FD giải toán d chiều với d lớn tùy ý, thay phải làm việc với hàm d biến, ta cần làm việc với hàm biến Một lợi kỹ thuật rời rạc không lưới cần dựa tập điểm độc lập phân bố bất kỳ, không cần tạo cấu trúc lưới Do đó, khơng cịn cần chi phí dành cho sinh lưới, trì lưới cập nhật lưới - Các nghiên cứu phương pháp không lưới dựa hàm sở bán kính (Radial Basis Function – RBF) ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà khoa học nước quan tâm Luận văn tập trung trình bày cách tính véctơ trọng số dựa nội suy RBF không gian ba chiều cho phương pháp sai phân hữu hạn không lưới sở đọc hiểu tổng hợp từ sách [1, 6, 7, 10] báo [14, 15] Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở toán nội suy hàm số với liệu phân tán; nội suy hàm số với liệu phân tán; số hàm sở bán kính lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng khơng gian chiều Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1, 6, 7, 10] 1.1 Cơ sở toán nội suy hàm số với liệu phân tán Trong thực tế nhiều phải phục hồi hàm số f (x) giá trị x đoạn [a; b] mà biết số hữu hạn giá trị hàm số số hữu hạn điểm rời rạc đoạn Các giá trị cung cấp qua thực nghiệm hay tính tốn, nảy sinh vấn đề tốn học sau: Trên đoạn [a; b] cho lưới điểm chia (điểm nút) xi , i = 0, 1, 2, · · · , n nút xi cho giá trị hàm số y = f (x) yi = f (xi ), i = 0, 1, 2, · · · , n Cần xây dựng đa thức nội suy Pn (x) cho Pn (x) trùng với f (x) tất nút xi , nghĩa là: Pn (xi ) = yi ; i = 0, 1, 2, · · · , n Một số phương pháp nội suy truyền thống đưa giải tốt tốn trên, điển hình phương pháp nội suy Lagrange phương pháp nội suy Newton Đa thức nội suy Lagrange đơn giản dễ tính, nút nội suy cố định Nhưng ta bổ sung thêm nút nội suy q trình tính lại phải tính lại từ đầu Phương pháp nội suy Newton khắc phục nhược điểm nội suy Lagrange chỗ thêm vào lưới nội suy nút nội suy xn+1 , ta cần thêm vào đa thức nội suy Pn (x) số hạng Tuy nhiên, số mốc nội suy lớn nội suy đa thức thường xảy tượng phù hợp trội (overfitting) bậc đa thức thường tăng theo số mốc nội suy Hơn nữa, đa số toán nội suy ứng dụng thực tiễn lại toán nội suy nhiều biến Để khắc phục nhược điểm này, phương pháp nội suy đề xuất Powell vào năm 1987 phương pháp nội suy hàm sở bán kính (Radial basis function-RBF) chuyển từ tốn nội suy hàm nhiều biến nội suy hàm biến Hơn cho kết tốt, đặc biệt với toán nội suy hàm nhiều biến tập liệu phân tán 1.2 Một số định nghĩa khái niệm Bài toán 1.1 Cho liệu (xi ; yi ), i = 1, 2, , n, xi ∈ Rd ; yi ∈ R, xi vị trí đo; yi kết đo vị trí xi B1 , B2 , , Bn hàm sở không gian tuyến tính hàm liên tục d biến Ký hiệu là: n F = span{B1 , B2 , , Bn } = k=1 c k B k ; ck ∈ R (1.1) Tìm hàm Pf ∈ F cho Pf (xi ) = yi ; i = 1, 2, , n, (1.2) Pf ∈ F nên ta có n Pf (x) = ck Bk (x), k=1 x ∈ Rd (1.3) Từ (1.2) (1.3) ta có Ac = y, (1.4) 19 Khi đó, ta viết (2.10) dạng ma trận Φ|X a = u|X Vì φ hàm xác định dương nên ma trận Φ|X xác định dương với tâm X phân biệt đơi Do đó, véctơ a xác định a = Φ|X −1 (2.11) u|X Hàm nội suy sở hàm bán kính s(x) xấp xỉ tốt hàm u(x) hàm u(x) đủ trơn tâm x1 , x2 , , xn ∈ Rd đủ dầy lân cận x Hơn nữa, đạo hàm hàm s(x) xấp xỉ tốt với đạo hàm hàm u(x) hàm φ đủ trơn Vì vậy, D tốn tử vi phân tuyến tính Ds(x) xấp xỉ Du(x) xét dạng n Du(x) ≈ Ds(x) = j=1 T aj DΦ(x − xj ) = a D Φ(x − ·)|X = u|TX Φ|X −1 D Φ(x − ·)|X (2.12) T Ký hiệu w = w1 , w2 , , wn Ta đặt w = Φ|X −1 D Φ(x − ·)|X , (2.13) D Φ(x − ·)|X = (DΦ(x − x1 ), , DΦ(x − xn ))T Từ (2.12) (2.13) ta viết n Du(x) ≈ Ds(x) = wi u(xi ), (2.14) i=1 ta nhận công thức vi phân số (1.8) với véctơ trọng số w = [w1 , w2 , , wn ]T xác định (2.13) Quan sát công thức (2.13) ta thấy w nghiệm hệ phương trình n j=1 wj Φ(xi − xj ) = DΦ(x − xi ), i = 1, 2, , n, (2.15) Điều có nghĩa véctơ trọng số w cho hệ số nội suy hàm sở bán kính với liệu cho hàm D Φ(x − ·)|X Vì 20 Φ(xi − xj ) = Φ((x − xi ) − (x − xj )) nên ta nội suy hàm DΦ tâm x − xj , j = 1, 2, , n ta thu hệ số nội suy cơng thức (2.13) véctơ trọng số Vì có phương pháp tính véctơ trọng số sau: Mệnh đề 2.2.1 Cho tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ Rd , u : Rd → R hàm liên tục đủ trơn Giả sử φ : R+ → R hàm xác định dương đủ trơn, D tốn tử vi phân tuyến tính hàm nội suy sở bán kính s(x) hàm u(x) biểu diễn dạng (2.8)–(2.9) Khi đó, véctơ trọng số w vi phân số x tìm cách giải hệ phương trình (2.15), hay véctơ trọng số hệ số nội suy hàm sở bán kính với liệu cho hàm D Φ(x − ·)|X 2.2.3 Nội suy có thành phần đa thức Cho tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ Rd , u : Rd → R hàm liên tục đủ trơn Giả sử φ : R+ → R hàm xác định dương hàm xác định dương có điều kiện bậc cao ℓ + đủ trơn Khi s(x) hàm nội suy sở bán kính hàm u(x) viết dạng n s(x) = j=1 aj Φ(x − xj ) + ℘(x), s(xi ) = u(xi ), i = 1, 2, , n, Φ(x) := φ( x ), (2.16) ℘ đa thức bậc ℓ (2.17) i = 1, 2, , n (2.18) Từ (2.16) (2.17), ta viết n j=1 aj Φ(xi − xj ) + ℘(xi ) = u(xi ), Vì φ hàm xác định dương xác định dương có điều kiện bậc cao ℓ + nên hệ số aj đa thức ℘(x) xác định 21 [10, Định lý 8.21] điều kiện n j=1 n aj Φ(xi − xj ) + ℘(xi ) = u(xi ), aj p(xj ) = 0, (2.19) i = 1, 2, , n, p đa thức bậc ℓ (2.20) j=1 Giả sử p1 , p2 , , pk sở đa thức bậc ℓ, ta ký hiệu k xj )]n,n i,j=1 , a = [a1 , a2 , , an ] , u|X = [u(x1 ), , u(xn )]T , [pj (xi )]n,k i=1,j=1 , Φ|X = [Φ(xi − T ℘(x) = cj pj (x), j=1 P |X = c = [c1 , c2 , , ck ]T Khi đó, viết hệ (2.19)–(2.20) dạng ma trận Φ|X a + P |X c = u|X , P |TX a = Do đó, véctơ a c xác định a c = Φ|X P |X P |TX −1 u|X Quay lại Phần 2.2.1, thấy m = n + k, si = φi , i = 1, 2, , n, sn+j = pj , j = 1, 2, , k, ma trận B thu từ ma trận ΦX P | X −1 cách bỏ k cột cuối P |TX Hàm nội suy sở bán kính s(x) xấp xỉ tốt hàm u(x) hàm u(x) đủ trơn điểm x1 , x2 , , xn ∈ Rd đủ dầy lân cận x Hơn nữa, đạo hàm hàm s(x) xấp xỉ tốt với đạo hàm hàm u(x) hàm φ đủ trơn Những khẳng định xem Vì vậy, xấp xỉ Du(x), D tốn tử vi phân 22 tuyến tính xét dạng, k n Du(x) ≈ Ds(x) = j=1 aj DΦ(x − xj ) + T a = DP (x) u|X T u|X = j=1 DΦ(x − ·)|X c = cj Dpj (x) T Φ|X P |X P |TX w v −1 DΦ(x − ·)|X DP (x) n = wi u(xi ), (2.21) i=1 đó, DP (x) = (Dp1 (x), Dp2 (x), , Dpk (x))T w v = Φ|X P |X P |TX −1 DΦ(x − ·)|X DP (x) (2.22) Bằng cách nhân hai vế (2.22) với Φ|X P |X P |TX , dẫn đến véctơ trọng số w thỏa mãn Φ|X w + P |X v = DΦ(x − ·)|X , P |TX w = DP (x) hay véctơ trọng số w tìm từ hệ phương trình n j=1 n wj Φ(xi − xj ) + ℘(xi ) = DΦ(x − xi ), i = 1, n, (2.23) wj p(xj ) (2.24) = Dp(x) j=1 Những lập luận dẫn đến Mệnh đề 2.2.2 Cho tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ Rd , u : Rd → R hàm liên tục đủ trơn Giả sử φ : R+ → R hàm xác định dương xác định dương có điều kiện 23 bậc cao ℓ + đủ trơn, D toán tử vi phân tuyến tính hàm nội suy sở bán kính s(x) hàm u(x) biểu diễn dạng (2.16)–(2.17) Khi đó, véctơ trọng số w vi phân số x tìm từ hệ phương trình (2.23)–(2.24) Nếu ℓ ≤ có nghĩa φ hàm xác định dương xác định dương có điều kiện bậc cao p đa thức bậc Trong trường hợp này, toán (2.23)–(2.24) giống toán nội suy (2.19)–(2.20) toán (2.23)–(2.24) viết lại sau n j=1 n wj Φ(xi − xj ) + v = DΦ(x − xi ), i = 1, n, (2.25) wj (2.26) = j=1 Nhận xét dẫn đến phát biểu sau Mệnh đề 2.2.3 Cho tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ Rd , u : Rd → R hàm liên tục đủ trơn Giả sử φ hàm xác định dương xác định dương có điều kiện bậc cao đủ trơn, D tốn tử vi phân tuyến tính Khi véctơ trọng số w vi phân số x cho hệ số nội suy hàm sở bán kính φ với tâm x − xj , j = 1, 2, , n liệu cho hàm DΦ(x − xi ), i = 1, 2, , n Cụ thể w nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2.25)–(2.26) 2.2.4 Véctơ trọng số RBF không gian ba chiều Cho tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ R3 , u : R3 → R hàm liên tục đủ trơn Giả sử φ : R+ → R hàm xác định dương đủ trơn [6] Khi hàm nội suy RBF s(x) hàm u(x) xác định công thức: n s(x) = j=1 aj Φ(x − xj ), Φ(x) := φ(||x||), (2.27) 24 cho s(xi ) = u(xi ), i = 1, 2, , n (2.28) Các số aj chọn để điều kiện nội suy (2.28) thoả mãn Từ (2.27) − (2.28) ta có: n j=1 aj Φ(xi − xj ) = u(xi ), i = 1, 2, , n (2.29) Ký hiệu: Φ|X = [Φ(xi − xj )]n,n i,j=1 , u|X = [u(x1 ), u(x2 ), , u(xn )]T , a = [a1 , a2 , , an ]T , ta viết (2.29) dạng ma trận: Φ|X a = u|X Vì φ hàm xác định dương nên ma trận Φ|X xác định dương với tâm X phân biệt đơi Do đó, véctơ a xác định bởi: a = [Φ|X ]−1 u|X (2.30) Thay tính đạo hàm hàm u(x), ta tính đạo hàm hàm s(x) Để làm việc này, ta áp toán tử đạo hàm D lên hàm s(x) biểu diễn công thức (2.27) ta có: n Ds(x) = j=1 aj DΦ(x − xj ) = aT DΦ(x − )|X (2.31) = u|TX [Φ|X ]−1 DΦ(x − )|X Ký hiệu: w = [w1 , w2 , , wn ]T Ta đặt w = [Φ|X ]−1 DΦ(x − )|X , (2.32) 25 đó, DΦ(x − )|X = (DΦ(x − x1 ), , DΦ(x − xn ))T Từ (2.31) − (2.32) ta viết: n wi (x)u(xi ) Ds(x) = (2.33) i=1 Ta nhận công thức đạo hàm số (2.33) với véctơ trọng số w = [w1 , w2 , , wn ]T xác định (2.32) Quan sát cơng thức (2.32) ta thấy véctơ trọng số w nghiệm phương trình: n j=1 wj Φ(xi − xj ) = DΦ(x − xi ), i = 1, 2, , n (2.34) Điều có nghĩa véctơ trọng số w cho hệ số nội suy hàm sở bán kính với liệu cho hàm DΦ(x − )|X Vì Φ(xi − xj ) = Φ((x − xi ) − (x − xj )) nên ta nội suy hàm DΦ tâm x − xj , j = 1, 2, , n, ta thu hệ số nội suy cơng thức (2.32) véctơ trọng số Vì có phương pháp tính véctơ trọng số sau: Mệnh đề 2.2.4 Cho tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ R3 , u : R+ → R hàm liên tục đủ trơn, D toán tử đạo hàm hàm nội suy sở bán kính s(x) hàm u(x) biểu diễn dạng (2.27) − (2.28) Khi véctơ trọng số w đạo hàm x tìm cách giải hệ phương trình (2.34), hay véctơ trọng số hệ số nội suy hàm sở bán kính với liệu cho hàm DΦ(x − )|X Giả sử cho tâm Ξ ⊂ Ω, để tính đạo hàm điểm ζ ∈ Ξ theo công thức (2.33), ta chọn tâm cho nội suy hàm RBF, từ ta ký hiệu tâm Ξζ gọi tâm hỗ trợ tính véctơ trọng số hay hỗ trợ tính đạo hàm, Ξζ bao gồm ζ số điểm nằm vị trí lân cận với 26 2.3 Thuật tốn chọn tâm dựa góc khối Thuật tốn 2.3.1 (Thuật tốn góc khối) Đầu vào: Ξ, ζ ∈ Ξint ′ Đầu ra: Ξζ , Ξζ Tham số: m ≥ 16 (số điểm chọn ban đầu gồm ζ) ′ Khởi tạo: Ξζ := {ζ} , Ξζ := ⊘ I Tìm m điểm ξ1 , , ξm thuộc Ξ \ {ζ} gần ζ II Phân hoạch điểm ξ1 , , ξm vào góc khối Oj = {ξj1 , ξj2 , } , j = 1, 2, , tương ứng với góc khối, thỏa mãn ξj1 − ζ ≤ ξj2 − ζ ≤ · · · ≤ ξj8 − ζ III Cho j = đến a Nếu #Oj = Ξζ := Ξζ ∪ {ξj1 } b Ngược lại, #Oj > Ξζ := Ξζ ∪ {ξj1 , ξj2 } IV Với ξ ∈ Ξ\{ζ}, xét đoạn thẳng (ζ, ξ) = {ζ + α(ξ − ζ) : < α < 1} ′ ′ ′ V Nếu (ζ, ξ) ∂Ω = ∅ Ξζ := Ξζ \ {ξ} ξ Ξζ := Ξζ ′ ξ điểm thuộc (ζ, ξ) ∂Ω gần ζ ′ ξ , Sau áp dụng Thuật toán 2.3.1 cho tất điểm ζ ∈ Ξint , ta cập nhật Ξ công thức Ξ := Ξ ∪ ′ Ξζ ζ∈Ξint Thuật toán 2.3.2 (Thuật tốn 16 góc khối) ′ Đầu vào: Ξ, ζ ∈ Ξint Đầu ra: Ξζ , Ξζ Tham số: m ≥ 16 (số điểm chọn lựa ban đầu gồm ζ) ′ Khởi tạo: Ξζ := {ζ} , Ξζ := ⊘ I Tìm m điểm ξ1 , , ξm thuộc Ξ \ {ζ} gần ζ II Phân hoạch điểm ξ1 , , ξm vào 16 tập Oj = {ξj1 , ξj2 , } , j = 1, 2, , 16 tương ứng với 16 góc khối, thỏa mãn ξj1 − ζ ≤ ξj2 − ζ ≤ · · · ≤ ξj16 − ζ III Cho j = đến 16: (2.35) 27 Nếu #Oj ≥ Ξζ := Ξζ ∪ {ξj1 } IV Với ξ ∈ Ξ \ {ζ}, xét đoạn thẳng (ζ, ξ) ′ ′ ′ ′ ξ , V Nếu (ζ, ξ) ∂Ω = ∅ Ξζ := Ξζ \ {ξ} ξ Ξζ := Ξζ ′ ξ điểm thuộc (ζ, ξ) ∂Ω gần ζ Tương tự phía trên, sau áp dụng Thuật toán 2.3.2 cho tất điểm ζ ∈ Ξint , ta cập nhật Ξ công thức (2.35) Tương tự phía trên, sau áp dụng Thuật tốn 2.3.2 cho tất điểm ζ ∈ Ξint , ta cập nhật Ξ công thức (2.35) 2.4 Lược đồ RBF-FD giải tốn Elliptic khơng gian ba chiều Đầu vào: Ξ ⊂ Ω tập tâm rời rạc, Ξint := Ξ ∩ Ω tập tâm miền ∂Ξ := Ξ ∩ ∂Ω tập tâm nằm biên Đầu ra: Nghiệm xấp xỉ uˆ(ξ) hệ phương trình (2.1) Bước I Đối với ζ ∈ Ξint : Chọn tập hộ trợ Ξζ Thuật toán 2.3.1 Thuật toán 2.3.2 phía Tính véctơ trọng số wζ,ξ với ξ ∈ Ξζ cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.34) Thay véctơ wζ,ξ vào hệ phương trình (2.3) Bước II Giải hệ phương trình (2.3), ta thu nghiệm xấp xỉ uˆ(ξ) Bước III Đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ uˆ(ξ) vừa tìm 2.5 Thử nghiệm số Chúng xem xét hai tốn kiểu (2.1) Thu nghiệm với hai thuật tốn phía trên, tâm Ξ tạo PDE Toolbox MATLAB (phiên 2017b) 28 Bài toán 2.5.1 Cho phương trình Poisson ∆u = −3π sin πx sin πy sin πz miền Ω = [0, 1]3 với kiện biên Dirichlet u| ∂Ω = Nghiệm xác đưa u(x, y, z) = sin πx sin πy sin πz Sai số trung bình phương (RRMS) định nghĩa sau Ec = RRMS(u, uˆ, Ξint ) := ζ∈Ξint (u (ζ) − uˆ (ζ))2 (u (ζ))2 (2.36) ζ∈Ξint Ngoài lỗi đưa bảng 2.1 hình 2.1(a), Hình 2.1(b) so sánh mật độ ma trận hệ thống Mật độ ma trận A ∈ Rn×n số lượng trung bình mục nhập khác hàng, tính nnz(A)/n, nnz(A) tổng số mục nhập khác A Lưu ý đo mật độ ma trận (2.3) ma trận độ cứng phần tử hữu hạn sau loại bỏ điều kiện biên Dirichlet Do mật độ thấp cho rời rạc thơ tỉ lệ phần trăm đáng kể nút nằm ranh giới Mật độ đạt gần 16 RBF-FD RBF-FD nhóm nút lớn, đương nhiên giống FEM RBF-FD cách tiếp cận 14 RRMS lỗi nút bên (Ec ) #Ξint FEM RBF-FD RBF-FD RBF-FD 33 9.19e-02 5.79e-02 4.87e-02 8.44e-02 80 7.19e-02 3.38e-02 1.80e-02 4.15e-02 179 4.64e-02 2.03e-02 1.25e-02 3.24e-02 479 2.19e-02 1.01e-02 7.21e-03 1.78e-02 1008 1.31e-02 4.47e-03 3.90e-03 1.34e-02 2213 7.58e-03 4.11e-03 2.34e-03 8.45e-03 4633 4.72e-03 2.49e-03 1.51e-03 4.83e-03 9684 3.12e-03 1.42e-03 9.93e-04 3.11e-03 19776 2.02e-03 8.16e-04 6.66e-04 1.85e-03 41409 1.06e-03 4.93e-04 3.42e-04 1.79e-03 Bảng 2.1: RRMS lỗi nghiệm xác cho tốn thử nghiệm số 2.5.1 29 rms error by FEM and RBF-FD 16 15 14 10-2 density rms error FEM RBF-FD RBF-FD RBF-FD density of the FEM and RBF-FD system matrix FEM RBF-FD RBF-FD RBF-FD 13 12 11 10-3 10 102 103 104 102 103 number of interior nodes 104 number of interior nodes (a) Lỗi nút bên (Ec ) (b) Mật độ ma trận Hình 2.1: Bài tốn kiểm tra 2.5.1 Biểu đồ trực quan hóa lỗi RRMS nút bên Biểu đồ thứ hai cho thấy mật độ ma trận hệ thống thưa thớt hệ thống tuyến tính (2.3) cho phương pháp RBF-FD ma trận độ cứng cho FEM Bài tốn 2.5.2 Phương trình Poisson ∆u = 3ex+y+z miền hình cầu đơn vị Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y + z ≤ 1} với điều kiện biên Dirichlet chọn cho nghiệm xác u(x, y, z) = ex+y+z Các kết báo cáo Bảng 2.2 hinh 2.2 Tam giác thô thu cách tạo lưới với Hmax = 0.25 có 349 đỉnh bên Chúng tơi đánh giá hiệu suất thuật tốn cách sử dụng số đo Ec trước RRMS lỗi nút bên (Ec ) #Ξint FEM RBF-FD RBF-FD RBF-FD 349 4.20e-03 1.40e-03 1.70e-03 1.77e-03 650 2.61e-03 1.11e-03 1.19e-03 8.68e-04 1318 1.66e-03 8.48e-04 7.74e-04 8.68e-04 2559 1.02e-03 4.90e-04 4.98e-04 4.93e-04 5254 6.04e-04 2.51e-04 2.18e-04 3.15e-04 10662 3.80e-04 1.72e-04 1.56e-04 1.80e-04 21777 2.38e-04 7.30e-05 8.46e-05 4.99e-04 43813 1.45e-04 4.67e-05 4.03e-05 1.43e-03 Bảng 2.2: RRMS lỗi nghiệm xác cho tốn thử nghiệm số 2.5.2 30 rms error by FEM and RBF-FD 16 15 density rms error 10-3 density of the FEM and RBF-FD system matrix FEM RBF-FD RBF-FD RBF-FD 14 13 10-4 FEM RBF-FD RBF-FD RBF-FD 10 12 10 number of interior (a) Lỗi nút bên (Ec ) 103 104 number of interior nodes (b) Mật độ ma trận Hình 2.2: Bài tốn thử nghiệm 2.5.2 RRMS lỗi nút bên ma trận mật độ 31 Kết luận Trong trình tìm hiểu thực đề tài luận văn, sở kiến thức học tập tồn khóa học tìm hiểu tài liệu thuộc lĩnh vực đề tài, em hoàn thành luận văn đạt kết sau: - Trình bày kiến thức sở xung quanh luận văn - Trình bày lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng khơng gian ba chiều - Trình bày phương pháp nội suy hàm sở bán kính, ứng dụng tính véctơ trọng số RBF - Trình bày cách xác định véctơ trọng số RBF khơng gian ba chiều - Đưa hai tốn thử nghiệm số để minh họa cho Thuật toán trình bày bên 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Tạ Văn Đĩnh (2002), “Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn”, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà nội [2] Đặng Thị Oanh (2012), Phương pháp không lưới giải phương trình Poisson, Luận án TS tốn học, Viện cơng nghệ thông tin – Viện hàn lâm khoa học Việt Nam [3] Đàm Văn Mạnh (2013), “Nghiên cứu số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số”, Luận văn thạc sỹ toán, Trường Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên Tiếng Anh [4] I Boztosun, A Charafi (2002), An analysis of the linear advection – diffusion equation using mesh-free and mesh-dependent methods Engineering Analysis with Boundary Elements, 26(1), 889–895 [5] I Boztosun, A Charafi, D Boztosun (2003), On the Numerical Solution of Linear Advection-Diffusion Equation using Compactly Supported Radial Basis Functions, Meshfree Methods for Partial Differential Equations, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 26, 63-73 [6] M D Buhmann (2003), Radial Basis Functions, Cambridge University Press, New York, NY, USA 33 [7] G F Fasshauer (2007), Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, USA [8] C K Lee, X Liu, S.C Fan (2003), Local multiquadric approximation for solving boundary value problems Comput Mech 30 (5–6), 396–409 [9] A I Tolstykh and D A Shirobokov (2003), On using radial basis functions in a ‘finite difference mode with applications to elasticity problems Computational Mechanics, 33(1): 68-79 [10] H Wendland (2005), Scattered Data Approximation, Cambridge University Press [11] G B Wright, Grady and B, Fornberg (2006), Scattered node compact finite difference-type formulas generated from radial basis functions, J Comput Phys., 212(1): 99-123 [12] Oleg Davydov and D T Oanh (2011), Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation J Comput, Phys., 230(1): 287-304 [13] Oleg Davydov and D T Oanh (2011), On the optimal shape parameter for Gaussian radial basis function finite difference approximation of the Poisson equation, Computers and Mathematics with Applications, 62(1): 2143-2161 [14] Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), Adaptive RBF-FD method for elliptic problems with point singularities in 2D Applied Mathematics and Computation, 313: 474-491 [15] Oleg Davydov, Dang Thi Oanh and Ngo Manh Tuong (2019), Octant-Based Stencil Selection for Meshless Finite Difference Methods in 3D Vietnam Journal of Mathematics ... riêng không gian ba chiều 15 Chương Phương pháp không lưới RBF – FD giải phương trình Poisson khơng gian ba chiều Trong chương tơi trình bày số phương pháp xác định véctơ trọng số: Véctơ trọng số. .. ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF- FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN... xác cho tốn thử nghiệm số 2.5.1 29 rms error by FEM and RBF- FD 16 15 14 10-2 density rms error FEM RBF- FD RBF- FD RBF- FD density of the FEM and RBF- FD system matrix FEM RBF- FD RBF- FD RBF- FD 13