Đồng nhất thức liouville và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ THỊ HƯƠNG ĐỒNG NHẤT THỨC LIOUVILLE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên, 04/2019 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số lẻ, hàm số chẵn 1.2 Một số tính chất hàm số lẻ, hàm số chẵn 1.3 Số nguyên tố dạng toàn phương 1.4 Dạng toàn phương ba biến 13 1.5 Phương trình u2 + dδ = n 15 Chương Đồng thức Liouville 17 2.1 Định lí Liouville 17 2.2 Một số hệ đồng thức Liouville 25 Chương Một vài ứng dụng định lí Liouville 30 3.1 Biểu diễn số nguyên thành tổng số bình phương 30 3.2 Ứng dụng định lí Liouville cho hàm số lẻ 39 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Bảng ký hiệu Q Dạng toàn phương Q(x, y) Dạng toàn phương biến x, y Q(x, y, z) Dạng toàn phương biến x, y, z F (x, y, z) Hàm ba biến x, y, z σ(n) Hàm tổng ước n σ ∗ (n) Hàm tổng ước n mà ước liên hợp chúng lẻ σr (n) Hàm tổng lũy thừa bậc r ước n R(n) Tập tất biểu diễn số nguyên n Q Rs (n) Số cách biểu diễn n thành tổng s số bình phương Cna Số tổ hợp chập a b phần tử b a Số tổ hợp chập a n phần tử n, d, δ Các số nguyên dương u Số nguyên Mở đầu Trong danh sách mười tám báo xuất năm 1858 1865, Liouville khám phá giới thiệu phương pháp đặc biệt hiệu lý thuyết số mà từ suy nhiều kết Ngày nay, gọi kết đồng thức Liouville Các đồng thức bao hàm nội dung phát biểu nhiều định lí số học Kết vấn đề Liouville xuất chuỗi 90 báo Theo Liouville, nhiều cơng thức, định lí số học đưa nhà toán học Jacobi, Kronecker nhà toán học khác phải tuân theo nguyên lý số học Ví dụ, với công thức số cách biểu diễn số nguyên dương thành tổng số bình phương, mà suy từ cơng trình Jacobi hàm Elliptic, chứng minh hồn tồn kiến thức số học Điều khơng có nghĩa đánh giá thấp việc sử dụng phân tích, lý thuyết số phức, dạng mô đun, hàm Elliptic hàm Theta việc chứng minh công thức số học mà để nhận công thức công thức Từ đồng thức Liouville, đưa nhiều chứng minh sơ cấp nhiều công thức số học Nhận thấy đẹp đẽ, gọn gàng, tổng quát tính ứng dụng cao đồng thức Liouville, hướng dẫn PGS TS Nông Quốc Chinh, xin chọn đề tài “Đồng thức Liouville ứng dụng” để làm luận văn cao học Mục tiêu luận văn trình bày số đồng thức quan trọng Liouville chứng minh chúng, áp dụng chúng để có định lí số cách biểu diễn số nguyên thành tổng số chẵn số bình phương sở nội dung tài liệu [1] M.B Nathanson (2000), Elementary methods in number theory (SpringerVerlag) [2] Aeran Kim, Keum Yeon Lee and Hwasin Park (2014), “Applications of Liouville’s Identity with an Odd Function”, Britsh Journal of Mathematic and Computer Science (8), pp 1074–1090 Ngoài phần Bảng ký hiệu, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn chia làm ba chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số kiến thức chuẩn bị khái niệm hàm số lẻ, hàm số chẵn, tính chất hàm số lẻ, hàm số chẵn, dạng toàn phương hai biến, dạng toàn phương ba biến Chương Đồng thức Liouville Chúng tơi trình bày phát biểu đồng thức Liouville chứng minh số hệ trực tiếp từ đồng thức Chương Một vài ứng dụng định lí Liouville Ứng dụng đồng thức Liouville mà chúng tơi trình bày tốn đếm số cách biểu diễn số nguyên dương thành tổng số bình phương Sau đó, chúng tơi trình bày đồng thức suy từ đồng thức Liouville ứng dụng cho hàm số lẻ Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Nơng Quốc Chinh Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, thầy tận tình bảo hướng dẫn tác giả hoàn thiện nhiều mặt kiến thức phương pháp nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn, kính trọng sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phịng Đào tạo, thầy giáo khoa Tốn – Tin, thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K11D chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập để tác giả hồn thành khóa học hoàn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn Vũ Thị Hương Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số kiến thức chuẩn bị khái niệm hàm số lẻ, hàm số chẵn, tính chất hàm số lẻ, hàm số chẵn, dạng toàn phương hai biến, dạng toàn phương ba biến 1.1 Hàm số lẻ, hàm số chẵn Trong toán học, hàm chẵn hàm lẻ hàm mà phân loại theo quan hệ đối xứng đặc biệt theo phép nghịch đảo phép cộng Chúng đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực tốn giải tích, đặc biệt lý thuyết chuỗi lũy thừa chuỗi Fourier Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho f (x) hàm giá trị thực biến thực Ta nói f hàm chẵn f (x) = f (−x) với x −x nằm miền xác định f Về mặt hình học, đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục Oy Một số ví dụ hàm chẵn hàm |x|, x2 , x4 , cos(x), Hàm xn n chẵn hàm chẵn Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Cho f (x) hàm giá trị thực biến thực Ta nói f hàm lẻ −f (x) = f (−x) với x −x nằm miền xác định f Về mặt hình học, đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ Một số ví dụ hàm lẻ hàm x, x3 , sin(x), Nếu f (x) lẻ f (0) = −f (0) nên f (0) = Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Hàm F (x, y, z) gọi hàm lẻ theo biến x F (−x, y, z) = −F (x, y, z), hàm chẵn theo cặp biến (y, z) F (x, −y, −z) = F (x, y, z) Nếu F (x, y, z) hàm lẻ theo biến y z suy F (x, y, z) chẵn theo cặp biến (y, z) Ví dụ, với hàm F (x, y, z) = xyz ta có F (x, −y, z) = −xyz = −(xyz) = −F (x, y, z) F (x, −y, −z) = −xyz = −(xyz) = −F (x, y, z) Hay F (x, y, z) hàm lẻ theo biến y, z Mặt khác, ta có F (x, −y, −z) = −(−xyz) = xyz = F (x, y, z) Hay F (x, y, z) hàm chẵn theo cặp biến (y, z) 1.2 Một số tính chất hàm số lẻ, hàm số chẵn Tính chất 1.2.1 ([3]) Nếu hàm vừa hàm chẵn, vừa hàm lẻ điểm miền xác định Chứng minh Giả sử f (x) vừa hàm chẵn, vừa hàm lẻ x Khi ta có −f (x) = f (−x) = f (x) ⇔ 2f (x) = ⇔ f (x) = Tính chất 1.2.2 ([3]) Nếu hàm hàm lẻ hàm giá trị tuyệt đối hàm hàm chẵn Chứng minh Cho f (x) hàm lẻ Đặt g(x) = |f (x)| Khi đó, ta có g(x) = |f (x)| = | − f (x)| = |f (−x)| = g(−x) Vậy g(x) hàm chẵn Tính chất 1.2.3 ([3]) a) Tổng hai hàm chẵn hàm chẵn, hiệu hai hàm chẵn hàm chẵn b) Tổng hai hàm lẻ hàm lẻ, hiệu hai hàm lẻ hàm lẻ c) Tổng hàm chẵn với hàm lẻ không hàm chẵn không hàm lẻ trừ hai hàm miền xác định Ví dụ 1.2.4 Từ tính chất ta thấy x2 +cos(x), −2x4 +x−2 +5 cos(3x)+3 hàm chẵn, x − sin(x), −2x3 + x + sin(3x) hàm lẻ, cos x + sin x không làm chẵn không hàm lẻ Tính chất 1.2.5 ([3]) a) Tích hai hàm chẵn hàm chẵn, thương hai hàm chẵn hàm chẵn b) Tích hai hàm lẻ hàm chẵn, thương hai hàm lẻ hàm chẵn c) Tích hàm chẵn hàm lẻ hàm lẻ, thương hàm chẵn với hàm lẻ hàm lẻ Ví dụ 1.2.6 Từ tính chất ta thấy, hàm 13 cos(2x) cos(3x), hàm chẵn, x cos x, hàm lẻ x x , cos x sin x Tính chất 1.2.7 ([3]) a) Tích hợp hai hàm chẵn hàm chẵn b) Tích hợp hai hàm lẻ hàm lẻ c) Tích hàm chẵn với hàm lẻ hàm chẵn d) Tích hợp hàm với hàm chẵn hàm chẵn Tính chất 1.2.8 ([3]) Tất hàm số biểu diễn dạng tổng hàm chẵn hàm lẻ, chúng gọi phần chẵn phần lẻ hàm số Chứng minh Thật vậy, định nghĩa fe (x) = f (x) + f (−x) (1.1) fo (x) = f (x) − f (−x) (1.2) fe hàm chẵn fo hàm lẻ f (x) = fe (x) + fo (x) Ngược lại, f (x) = g(x) + h(x), g hàm chẵn h hàm lẻ Khi đó, g = fe h = fo 2fe (x) = f (x) + f (−x) = g(x) + g(−x) + h(x) + h(−x) = 2g(x), 2fo (x) = f (x) + f (−x) = g(x) − g(−x) + h(x) − h(−x) = 2h(x) 1.3 Số nguyên tố dạng toàn phương Định nghĩa 1.3.1 ([1]) Số nguyên tố số nguyên p lớn mà có ước dương p Số nguyên dương lớn số nguyên tố gọi hợp số Các số nguyên tố nhỏ 100 thứ tự tăng dần sau: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Định nghĩa 1.3.2 ([1]) Đa thức bậc hai n biến có dạng n n aij xi xj = w(x) i=1 j=1 (với aij = aji , aij ∈ R) gọi dạng tồn phương n biến Ví dụ, ta có w(x) = a11 x2i + a12 x1 x2 + a21 x2 x1 + a22 x22 (a12 = a21 ) dạng toàn phương biến Tương tự, w′ (x) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + a22 x22 + 2a23 x2 x3 + a33 x23 dạng toàn phương biến Định nghĩa 1.3.3 ([1]) Dạng toàn phương theo hai biến dạng toàn phương hai biến Dạng toàn phương theo ba biến gọi dạng toàn phương ba biến Dạng tổng quát dạng toàn phương biến, hai biến ba biến tương ứng Q(x) = ax2 Q(x, y) = ax2 + bxy + cy Q(x, y, z) = ax2 + by + cz + dxy + exz + f yz a, b, , f hệ số Chú ý, hàm toàn phương ax2 + bx + c khơng dạng tồn phương biến khơng (trừ b c 0) Định nghĩa 1.3.4 ([1]) Dạng toàn phương Q(x, y, , z) gọi biểu diễn số nguyên n tồn số nguyên a, b, , c cho Q(a, b, , c) = n Trong phần này, kí hiệu u, v w số nguyên, d, δ ℓ số nguyên dương Ta bắt đầu với số kết ước số Nhắc lại d gọi ước số nguyên dương n tồn số nguyên δ cho n = dδ Số nguyên δ gọi ước liên hợp d Hàm ước số σ(n) hàm tổng tất ước n, tức hàm xác định d σ(n) = d|n Ký hiệu σ ∗ (n) tổng tất ước n mà ước liên hợp chúng lẻ Ví dụ 1.3.5 Ta có σ(10) = + + + 10 = 17 σ ∗ (10) = + 10 = 12 Ta có tính chất p số nguyên tố lẻ σ(p) = σ ∗ (p) = p + Bổ đề 1.3.6 ([1]) Cho n số nguyên dương lẻ Khi σ(n) lẻ n số phương Chứng minh Gọi p vp n= p|n phân tích thừa số n thành tích số nguyên tố lẻ Số nguyên dương d ước n d viết dạng pup , d= p|n 31 Ta có R3 (1) = có số nguyên có thứ tự thỏa mãn = x21 + x22 + x23 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (−1, 0, 0), (0, −1, 0), (0, 0, −1) Tương tự, ta có R3 (2) = 12 R3 (3) = Ta áp dụng đồng thức Liouville để thu công thức tường minh số cách biểu diễn số nguyên dương thành tổng s = số bình phương Trong mục này, d δ ký hiệu số nguyên dương, d|n n=dδ ký hiệu tổng ước dương n Ta có cơng thức truy hồi sau Rs (n) Định lí 3.1.2 ([1]) Với số nguyên dương s n, ta có √ |u|≤ n (3.1) (n − (s + 1)u2 )Rs (n − u2 ) = Chứng minh Nếu n = x21 + · · · + x2s + x2s+1 , x2s+1 ≤ n nên |xn+1 | ≤ √ n Với j = 1, , Rs+1 (n), ký hiệu s+1 x2i,j n= i=1 Rs+1 (n) biểu diễn n thành tổng s + số bình phương Với i = 1, , s, định nghĩa ánh xạ τi tập (s + 1) số τi (x1 , , xi−1 , xi , xi+1 , , xs , xs+1 ) = (x1 , , xi−1 , xs+1 , xi+1 , , xs , xi ) Đây đối hợp tập Rs+1 (n) biểu diễn n thành tổng s + số bình phương nên Rs+1 (n) Rs+1 (n) x2s+1,j j=1 x2i,j = với i = 1, , s j=1 Cộng tất biểu diễn n lại, ta thu Rs+1 (n) s+1 s+1 Rs+1 (n) x2i,j nRs+1 (n) = j=1 i=1 x2i,j = i=1 j=1 32 Rs+1 (n) x2s+1,j = (s + 1) j=1 = (s + 1) √ |u|≤ n u2 Rs (n − u2 ), √ với số nguyên u thỏa mãn |u| n có Rs (n − u2 ) biểu diễn n = (3.2) s+1 i=1 xi,j với xs+1,j = u Điều kéo theo Rs+1 (n) = √ |u|≤ n Rs (n − u2 ) Cho nên nRs+1 (n) = n √ |u|≤ n Rs (n − u2 ) (3.3) Lấy (3.3) trừ (3.2) ta √ |u|≤ n (n − (s + 1)u2 )Rs (n − u2 ) = Điều phải chứng minh Định lí 3.1.3 ([1]) Cho Φ(n) hàm xác định tập số nguyên không âm sau Φ(0) = √ |u|≤ n (n − (s + 1)u2 )Φ(n − u2 ) = với n ≥ Khi đó, Φ(n) = Rs (n) với n ≥ Chứng minh Chứng minh suy trực tiếp từ Định lí 3.1.2 Hệ thức truy hồi (3.1) cho phép ta tính Rs (n) với số nguyên dương s n Ta có nRs (n) = − √ 1≤|u|≤ n (n − (s + 1)u2 )Rs (n − u2 ) 33 =2 √ 1≤u≤ n Rs (n) = √ 1≤u≤ n ((s + 1)u2 − n)Rs (n − u2 ), (s + 1)u2 − Rs (n − u2 ) n (3.4) Ví dụ 3.1.4 Với s = ta có · 12 · 22 − R3 (4 − 12 ) + − R3 (4 − 22 ) 4 R3 (4) = = · 3R3 (0) = · 22 · 12 − R3 (5 − 12 ) + − R3 (5 − 22 ) 5 11 11 · = 24 = − R3 (4) + R3 (1) = − · + 5 5 R3 (5) = Định lí 3.1.5 Cho n số nguyên dương Nếu n lẻ d3 R8 (n) = 16 d|n Nếu n chẵn n = 2α m, a ≥ m lẻ R8 (n) = 16(8a+1 − 15) d3 = d|m 8a+1 − 15 R8 (m) Chứng minh Ta xẽ áp dụng đồng thức Liouville cho ba đa thức (−1)y xy , (−1)y xy (2y − z) (−1)y xy Thay (−1)y xy vào đồng thức Liouville, ta thu vế trái đồng thức u2 +dδ=n (−1)u+d (δ − 2u)(u + d)4 =2 u2 +dδ=n =2 u2 +dδ=n (−1)u+d (d4 δ − 8u2 d3 + u4 δ − 8u4 d + 6u2 d2 δ) (−1)u+d (d3 (n − 9u2 ) + u4 (δ − 14d) + 6u2 d2 δ) Số hạng vế phải đồng thức (−1)u (d + δ)u4 = u2 +dδ=n (−1)u du4 u2 +dδ=n 34 Nếu n = ℓ2 2ℓ−1 ℓ 2T1 (ℓ) = (−1) 2ℓ j=1 j = (−1)ℓ (4ℓ6 − 2ℓ5 ) ℓ−1 ℓ−1 j (−1)j j (−1) j = 4ℓ T2 (ℓ) = 2ℓ j=1 j=−ℓ+1 = (−1)ℓ−1 (2ℓ5 − 4ℓ4 + 2ℓ2 ), số hạng thứ hai vế phải đồng thức Liouville 2T1 (ℓ) − T2 (ℓ) = (−1)ℓ (4ℓ6 − 4ℓ4 + 2ℓ2 ) = (−1)n (4n3 − 4n2 + 2n) Chia cho 2, ta thu u2 +dδ=n (−1)u+d d3 (n − 9u2 ) + + 6n u2 +dδ=n u2 +dδ=n (−1)u u4 (−1)d (δ − 14d) − d (−1)u+d du2 = {(−1)n (2n3 − 2n2 + n)}n=ℓ2 (3.5) Tiếp theo, xét thức (−1)y xy (2y − z) Vế trái đồng thức Liouville (u,d,δ)∈S(n) (−1)u+d (δ − 2u)(u + d)3 δ =2 (u,d,δ)∈S(n) =2 (u,d,δ)∈S(n) =2 (u,d,δ)∈S(n) (−1)u+d (3dδ u2 + d3 δ − 2δu4 − 6d2 δu2 ) (−1)u+d (3δu2 (n − u2 ) + d(n − u2 )2 − 2δu4 − 6du2 (n − u2 )) (−1)u+d (nu2 (3δ − 8d) + u4 (7d − 5δ) + n2 d) Số hạng vế phải đồng thức u2 +dδ=n (−1)u (d + δ)u3 (2u − d + δ) = (−1)u (d + δ)u4 u2 +dδ=n (−1)u du4 =4 u2 +dδ=n Nếu n = ℓ2 2ℓ−1 2T1 (ℓ) = j=1 (−1)ℓ jℓ3 (2ℓ − j) 35 2ℓ−1 ℓ = (−1) 4ℓ = 2ℓ−1 ℓ j − (−1) 2ℓ j=1 n (−1) 2(4n3 − n2 ) j2 j=1 T2 (ℓ) = Do vậy, ta thu u2 +dδ=n = (−1)u+d (nu2 (3δ − 8d) + u4 (7d − 5δ) + n2 d) − (−1)n 2(4n3 − n2 ) (−1)u du4 u2 +dδ=n , n=ℓ2 hay tương đương u2 +dδ=n (−1)u u4 (−1)d (7d − 5δ) − 2d (−1)u+d u2 (3δ − 8d) + 3n2 + 3n u2 +dδ=n n = (−1) (4n − n ) n=ℓ2 (−1)u+d d u2 +dδ=n (3.6) Với số nguyên dương n ta có u2 +dδ=n (−1)u u4 (−1)d (δ − 14d) − d + (−1)u u4 =7 u2