Về một số hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU THỦY VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU THỦY VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Hệ với định thức khác không 1.2 Sử dụng tính chất nghiệm đa thức 1.3 Sử dụng công thức nội suy 1.4 Sử dụng ma trận, định thức đặc biệt 10 1.5 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hệ 11 1.6 Hệ với yếu tố thực tế 13 Chương Hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính 20 2.1 Một số hệ phương pháp giải 20 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng 20 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai x y 23 2.1.3 Hệ có yếu tố đẳng cấp 25 2.1.4 Hệ có hai phương trình bán đẳng cấp bậc hai 25 2.1.5 Hệ đẳng cấp phận 27 2.1.6 Hệ bậc hai tổng quát 30 ii 2.2 Ứng dụng hệ không tuyến tính 33 2.2.1 Giải phương trình 33 2.2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 35 2.3 Ứng dụng đại số máy tính 35 2.3.1 Thứ tự từ sở Groebner 35 2.3.2 Giải hệ phương trình 39 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 49 iii MỞ ĐẦU Giải hệ phương trình tốn cổ điển có nhiều ứng dụng toán học đời sống Hệ phương trình có nhiều dạng phương pháp giải khác Đây dạng toán thường gặp kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh đại học Luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình đa thức: hệ phương trình tuyến tính, hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính Cụ thể, luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình tuyến tính đặc biệt sử dụng cơng cụ ma trận, định thức số phương pháp đặc biệt để giải Hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính tốn khó, bên cạnh việc giới thiệu phương pháp tổng quát để giải công cụ Đại số máy tính, luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình đa thức đặc biệt giải công cụ sơ cấp Luận văn chia làm hai chương Chương giới thiệu hệ phương trình tuyến tính Luận văn khơng lặp lại Đại số tuyến tính thơng thường mà giới thiệu nhiều dạng hệ phương trình tuyến tính "khơng mẫu mực” Hệ phương trình tuyến tính tốn có lời giải trọn vẹn có nhiều ứng dụng thực tế Chương luận văn trình bày hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính Luận văn phân tích số dạng hệ giải công cụ sơ cấp Nhiều ví dụ phân tích kỹ nhằm giúp người đọc có cơng cụ sáng tác tốn Để tìm hiểu hệ tổng quát người ta phải dùng đến cơng cụ Đại số máy tính, Hình học đại số Luận văn phân tích việc sử dụng sở Groebner để giải số lớp hệ có hữu hạn nghiệm Nhằm giảm tải nội dung trình bày luận văn khơng sâu phân tích lý thuyết sở Groebner mà hướng người đọc đến việc sử dụng máy tính để tính tốn việc hướng dẫn sử dụng phần mềm CocoA Maple Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Ngun An Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, giáo sư trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè đồng nghiệp lớp Cao học Toán K9B2 ln giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017, Trần Thị Thu Thủy Chương Hệ phương trình tuyến tính Trong chương luận văn giới thiệu số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đặc biệt Kiến thức tổng hợp giải hệ phương trình tuyến tính tham khảo [2] Trong suốt luận văn ta giả thiết K trường 1.1 Hệ với định thức khác không Ta ý số kiến thức chuẩn bị sau: Cho A ∈ M atn (K), A = (aij ), vết ma trận A n aii , ký hiệu tr(A) i=1 Định nghĩa 1.1.1 Cho ma trận vuông A cấp n K Số λ ∈ K gọi giá trị riêng A tồn vectơ x ∈ Kn x = cho Ax = λx Khi đó, vectơ x gọi vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ Định nghĩa 1.1.2 Cho ma trận vuông A cấp n K Đa thức det (A − λI) gọi đa thức đặc trưng A ký hiệu PA (λ) Phương trình PA (λ) = gọi phương trình đặc trưng A Chú ý 1.1.3 (i) λ giá trị riêng ⇔ AX = λX ⇔ (A − λI) X = có nghiệm X = ⇔ |A − λX| = a11 a12  a21 a22 (ii) Cho A =   an1 an2   a1n a2n    ann PA (X) = |A − XI| a11 − X a12 a1n a21 a22 − X a2n = an1 an2 ann − X = (a11 − X) (ann − X) + ldots = (−1)n X n + bn−1 X n−1 + + b1 X + b0 Khi λ giá trị riêng A ⇔ λ nghiêm PA (X) (iii) Nếu PA (X) = có n nghiệm λ1 , , λn tr(A) = n i=1 n i=1 λi |A| = λi (iv) Nếu λ giá trị riêng A λn gia trị riêng An (v) Giả sử f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K [x] Khi f (A) = an An + + a1 A + a0 I đa thức ma trận A Nếu λ gia trị riêng A f (λ) giá riêng f (A) Ví dụ 1.1.4 Cho aij số nguyên, giải hệ phương trình    x1  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn =  n    x2 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = n       an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = xn n I X = Ta có n A ma trận với hệ số nguyên nên đa thức đặc trưng p(t) A đa thức định Giải Đặt A = (aij ) ∈ Mn (Z) Hệ cho tương đương với A − chuẩn (hệ số cao 1) với hệ số ngun Do p(t) khơng thể có nghiệm 1 = 0, nghĩa det A − I = Như vậy, hệ hữu tỷ không nguyên Suy p n n phương trình có nghiệm tầm thường Ví dụ 1.1.5 Giải hệ phương trình sau:  x1 x +2x2 + +2017x2017 = 2017    1 2 x1 +2 x2 + +2017 x2017 = 2017 x2   x +22017 x + +20172017 x 1 2017 = 2017 x2017 Giải Viết hệ phương trình cho dạng Ax = Giả sử det (A − I ) 2017 2017 1 x ⇔ (A − I2017 )x = 2017 2017 = Điều chứng tỏ λ = 2017 giá trị riêng A Vì đa thức đặc trưng A PA (t) = (−1)n tn + (−1)n−1 Tr(A)tn−1 + + det A ∈ Z[t] đa thức nhận λ = 2017 lý chứng tỏ (A −  det     x =    nghiệm Từ suy 2017 ước (−1)n Vô I ) 2017 2017 = 0, hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ 1.1.6 Cho A = [aij ] ∈ Mn (R) thỏa mãn A2 = A Hãy giải hệ phương trình  a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = −x1    11 a12 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = −x2   a x + a x + · · · + a x = −x n1 n2 nn n n Giải Hệ cho tương đương với  (a + 1)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn =    11 a12 x1 + (a22 + 1)x2 + · · · + a2n xn =   a x + a x + · · · + (a + 1)x = n1 n2 nn n Ma trận hệ số hệ phương trình có dạng M = A + I Ta có M (A − 2I) = (A + In )(A − 2In ) = A2 − A − 2In = −2In Suy det(M ) = 0, nghĩa M khả nghịch Do hệ cho có nghiệm tầm thường Chú ý Bài tốn xây dựng dựa ý tưởng phân tích đa thức t2 − t − = (t + 1)(t − 2) Dựa ý tưởng này, ta thay đổi hệ số −1 vế phải hệ số α khác khác 1, áp dụng phân tích (t − α)(t + α − 1) = t2 − t − α(α − 1) ta kết tương tự Ví dụ 1.1.7 Cho số thực aij + aji = 0, ∀i, j = 1, 2, , 2017 Hãy giải hệ phương trình tuyến tính sau:  (a11 + 2017)x1 + a12 x2 + + a12017 x2017 =    a x + (a + 2017)x + + a 21 22 22017 x2017 =     a20171 x1 + a20172 x2 + + (a20172017 + 2017)x2017 = Giải Đặt   x1  x2   X=   xn Hệ cho trở thành (A + 2017E)X = Lấy chuyển vị hai vế ta X t (A + 2017X)t = Dẫn đến X t (−A + 2017E) = 0, hay −X t A + 2017X t E = Từ suy −X t AX + 2017X t EX = Ta có AX + 2017X = ⇔ AX = −2017X Kết hợp lại, ta X t (−2017X) + 2017X t X = ⇔ X t X + X t X = ⇔ X t X = Như vậy, x1 x2 x2017   x1  x2  2     = ⇔ x1 + x2017 = ⇔ x1 = = x2017 = x2017 1.2 Sử dụng tính chất nghiệm đa thức Định lý 1.2.1 Cho R miền nguyên Cho = f (x) ∈ R[x] a1 , a2 , , ar ∈ R nghiệm phân biệt f (x) Giả sử nghiệm bội ki f (x) với i = 1, 2, , r Khi ta có f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 (x − ar )kr g(x) g(x) ∈ R[x] g(ai ) = với i = 1, , r Hệ 1.2.2 Cho R miền nguyên f (x) ∈ R[x] đa thức khác Khi số nghiệm f (x), nghiệm tính với số bội nó, khơng vượt q bậc của f (x) Hệ 1.2.3 Cho R miền nguyên f (x), g(x) ∈ R[x], deg(f (x)) deg(g(x)) n n Nếu f (x) g(x) có giá trị n + phần tử khác R f (x) = g(x) Ví dụ 1.2.4 Cho đa thức P (x) = (x − 2)(x − 3) (x − 2017) Giả sử P (x) = a1 + a2 x + + a2017 x2016 Giải hệ phương trình sau:  ax +a2 x2 + +a2016 x2016 +a2017 x2017 =    1 a2017 x1 +a1 x2 + +a2015 x2016 +a2016 x2017 =    ax +a3 x2 + +a2017 x2016 +a1 x2017 = Giải Tách ma trận hệ số dạng  a1 a2 a2017 a1  a2016 a2017     a a a2 a3  0 0 0 0  0 0 = a1  0 0 0 0 0 0 Đặt  a3 a2016 a2017 a2 a2015 a2016   a1 a2014 a2015     a5 a1 a2  a4 a2017 a1   0 0 0 0   0 0 0  + a2  0 0 0 0 0  1 0   0 0 1 0 0 0   0 0 0 + + a2017   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 B= 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0  0 1  0  0  0 1 Theo trên, ta có A = a1 I + a2 B + + a2017 B 2016 Đa thức đặc trưng B P (x) = x2017 − Đa thức có 2017 nghiệm trường số phức Ví dụ: I = (xy , x3 y , x4 y) iđêan đơn thức Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = (X a ; a ∈ A) viết dạng I = (X a(1) , , X a(s) ), a(1), , a(s) ∈ A Nói riêng I hữu hạn sinh Định nghĩa 2.3.3 Giả sử ≤ thứ tự toàn phần tập M tất đơn thức K[X] Thứ tự ≤ gọi thứ tự từ thỏa mãn tính chất sau: (i) Với m ∈ M, ≤ m (ii) Nếu m1 , m2 , m ∈ M mà m1 ≤ m2 mm1 ≤ mm2 Cho ≤ thứ tự từ Sau đổi số biến ln giả thiết: x > x > > xn Định nghĩa 2.3.4 Thứ tự từ điển thứ tự ≤lex xác định sau: xα1 xαnn ≤lex xβ1 xβnn αi = βj , với ≤ i ≤ n thành phần khác kể từ bên trái véctơ (α1 − β1 , , αn − βn ) số âm Nói cách khác trường hợp thứ hai tồn ≤ i ≤ n cho α1 = β1 , , αi = βi αi+1 < βi+1 Định nghĩa 2.3.5 Thứ tự từ điển phân bậc thứ tự ≤glex xác định sau: xα1 xαnn ≤glex xβ1 xβnn αi = βj với ≤ i ≤ n deg(xα1 xαnn ) < deg(xβ1 xβnn ) deg(xα1 xαnn ) = deg(xβ1 xβnn ) thành phần khác kể từ bên trái véctơ (α1 − β1 , , αn − βn ) số âm Nói cách khác xα1 xαnn z : f = −3x4 + x3 y z + 5xyz − 2y + 7x3 y + z in≤lex (f ) = −3x4 (ii) Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z : f = x3 y z − 2y − 3x4 + 7yx3 + z + 5xyz in≤glex (f ) = x3 y z (iii) Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z : f = −2y + x3 y z − 3x4 + 7yx3 + z + 5xyz in≤rlex (f ) = −2y Định nghĩa 2.3.11 Cho I iđêan R ≤ thứ tự từ Iđêan khởi đầu I, kí hiệu in≤ (I) iđêan R sinh từ khởi đầu phần tử I, nghĩa là: in≤ (I) = (in≤ (f )|f ∈ I) Cũng ta viết in(I) thay inleq (I) thứ tự từ ≤ rõ Mệnh đề 2.3.12 Cho I ⊂ K[x1 , , xn ] iđêan, (i) in(I) iđêan đơn thức (ii) Tồn g1 , , gt ∈ I cho in(I) = in(g1 ), , in(gt ) 37 Định nghĩa 2.3.13 Cho ≤ thứ tự từ I iđêan R Tập hữu hạn đa thức khác không g1 , , gs ∈ I gọi sở Groebner iđêan I thứ tự từ ≤ in≤ (I) = (in≤ (g1 ), , in≤ (gs )) Tập g1 , , gs ∈ I gọi sở Groebner, sở Groebner iđêan sinh phần tử Từ Bổ đề Dickson 2.3.2 suy iđêan có sở Groebner (hữu hạn) Bổ đề 2.3.14 Cho I iđêan tùy ý R Nếu g1 , , gs sở Groebner I thứ tự từ đó, g1 , , gs hệ sinh I CocoA phần mềm nhà toán học A.capani, G.Niesi L.Robbiano ĐHTH Genova (Italia) đạo soạn thảo Nó cơng cụ hữu ích cho việc giải toán Đại số giao hoán Hình học đại số Trong phần trình bày phiên dùng cho Windown CocoA-4.7 Khi làm việc CocoA mở hai cửa sổ Cửa sổ - hiển thị kết câu lệnh Cửa sổ dùng để soạn thảo câu lệnh Sau nhập xong câu lệnh cửa sổ ta nhấn tổ hợp phím "Ctrl+Enter" nhấn vào biểu tượng hình bánh xe cơng cụ để lệnh chuyển lên cửa sổ thực tính kết Sau báo kết thực phép tốn CocoA in dịng dấu gạch "—–" để phân biệt Một số lệnh thông dụng Lệnh DivAlg(X, L); GBasis(I); ReducedGBasis(I); Elim (X,I) Radical(I); IsInRadical(f ;I) Ý nghĩa Chia đa thức X đa thức bị chia, L đa thức chia Tính sở Groebner iđêan I Kết danh sách đa thức Tính sở Groebner rút gọn iđêan I Tìm iđêan khử I iđêan, X tập biến bị khử √ Tính I √ Kiểm tra đa thức f có thuộc I hay khơng Kết True (đúng) Fale (sai) 38 Ví dụ 2.3.15 Tìm sở Groebner iđêan I = 2x2 +2xy+y −2x−2y, x2 +y −1 vành R[x, y] Giải Use R ::= Q[x, y]; I:= Ideal(2x2 + 2xy + y − 2x − 2y, x2 + y − 1); GBasis(I); Nhấn " Ctrl + Enter" máy cho kết [2x2 + 2xy + y − 2x − 2y, −xy + 1/2y + x + y − 1, 5/4y + 1/4y + 1/2x − 1/2] 2.3.2 Giải hệ phương trình Trước hết, ta trình bày số khái niệm sau đây: Định nghĩa 2.3.16 Cho R = K[X] = K[x1 , , xn ], A, B ⊆ R (i) Z(A) = {(a1 , , an ) ∈ An : f (a1 , , an ) = 0, ∀f ∈ A} gọi tập không điểm A (ii) I(W ) = {f ∈ R : f (a) = 0, ∀a = (a1 , , an ) ∈ W }, W ⊆ Kn gọi tập đa thức bị triệt tiêu điểm W f (X) = f (X) = tương đương và (iii) Hai hệ phương trình f ∈B f ∈A Z(A) = Z(B) √ (iv) Cho I iđêan R Khi I = {f ∈ R cho ∃n ∈ N : f n ∈ I} √ iđêan R gọi iđêan I Nếu I = I I gọi iđêan Chú ý 2.3.17 Z(A) I(W ) phụ thuộc vào trường K Chẳng hạn, A = {f = x2 + 1} Z(A)R = ∅, Z(A)C = {i, −i}, I({1})R = {g = (x − 1)k h(x) : k ≥ 1, = h(x) ∈ R[x]}, I({1})C = {g = (x − 1)k h(x) : k ≥ 1, = h(x) ∈ C[x]} Nhắc lại rằng, A ⊆ R A iđêan nhỏ chứa A, gọi iđêan sinh A Từ ta dễ thấy bổ đề sau: Bổ đề 2.3.18 Hai hệ phương trình sau tương đương: 39 f (X) = f ∈A , f (X) = f∈ A Chứng minh Đặt I = A , ta có A ⊆ I suy Z(I) ⊆ Z(A) Ngược lại, a = (a1 , , an ) ∈ Z(A), ∀g ∈ I ta có: g(a) = rf f (a) = f ∈A Suy a ∈ Z(I) Vậy Z(A) ⊆ Z(I) Bổ đề 2.3.19 Mọi hệ phương trình tương đương với hệ phương trình gồm hữu hạn đa thức Chứng minh Ta có A hữu hạn sinh theo Bổ đề 2.3.14 tồn sở Groebner Giả sử A = (f1 , , fk ), fi ∈ R, ∀i = 1, , k Thế từ Bổ đề 2.3.18 ta có:   f1 (X) =    f2 (X) = f (X) = f (X) = ⇔ ⇔  f∈ A f ∈A    f (X) = k f (X) = Bổ đề 2.3.20 Hai hệ phương trình f ∈I √ √ I = J, I, J hai iđêan R , f (X) = f ∈J tương đương √ Chứng minh Trước hết ta chứng minh Z(I) = Z( I) √ Thật vậy, ∀a ∈ Z(I), ∀f ∈ I ∃n ∈ N : f n ∈ I Suy f n (a) = Do đó, √ √ √ f (a) = 0, ∀a ∈ Z(I) Vậy a ∈ Z( I) Với a ∈ Z( I), I ⊆ I nên a ∈ Z(I) √ Vậy Z(I) = Z( I) √ √ √ Vì I = J nên Z(I) = Z( I) = Z(J) Do đó, hai hệ phương trình tương đương Vấn đề tìm nghiệm đa thức bậc lớn phức tạp, chuyển qua hệ phương trình đa thức nhiều biến việc tìm nghiệm cụ thể hệ lại khó khăn Người ta đưa điều kiện cần đủ để hệ vơ nghiệm, có hữu hạn nghiệm, đánh giá độ lớn tập nghiệm 40 trường đóng đại số Ở đây, ta tìm cách giải xác, xấp xỉ tập nghiệm số hệ phương trình   f1 (x1 , , xn ) = Bài tốn: Giải hệ phương trình sau K :  f (x , , x ) = m n fi ∈ K[x1 , , xn ], ∀1 ≤ i ≤ m Đặt I = (f1 , , fm ) G = {g1 , , gs } sở Groebner I thứ tự từ Khi G sở I nên theo Bổ đề 2.3.18 Z(I) = Z(G) Như vậy, tốn tìm nghiệm hệ phương trình ban đầu chuyển tìm nghiệm hệ g1 = · · · = gs = Hơn nữa, hầu hết toán chuyển hệ sau thường dễ giải (vì có hỗ trợ máy tính phần mềm tính tốn) Ví dụ 2.3.21 Giải hệ phương trình:   f1 := x + xz f2 := y + 2xy + z  f := z + x =0 =0 =0 (2.1) Giải Xét thứ từ điển với x > y > z I = (f1 , f2 , f3 ) có sở Groebner : g1 = x + z , g2 = −y + 2yz − z , g3 = −z + z Vì g3 phụ thuộc vào z nên dễ dàng giải z = hai nghiệm phương trình g3 = Thay z = 0; vào g1 , g2 ta có tập nghiệm hệ là: √ √ −1 + −1 − , ; −1, ,1 (0, 0, 0); (−1, 1, 1); −1, 2 Ta tìm nghiệm hệ cách tương đối đơn giản sở Groebner iđêan sinh đa thức hệ có tính chất đặc biệt Đó tồn đa thức chứa biến, hai biến, ba biến Nhờ đó, giải phương trình đa thức biến vào phương trình cịn lại cho ta nghiệm hệ Câu hỏi đặt sở lý thuyết cho ta tính chất đặc biệt ấy? Đó kết Lý thuyết khử định lý mở rộng nghiệm sau: 41 Định nghĩa 2.3.22 Cho I = (f1 , , fm ) iđêan vành R = K[x1 , , xn ] Iđêan khử thứ l I, kí hiệu Il , đinh nghĩa bởi: Il = I ∩ K[xl+1 , , xn ] Bổ đề 2.3.23 Cho R = K[x1 , , xn ], S = K[xl+1 , , xn ] f ∈ R Nếu in≤lex (f ) ∈ S f ∈ S Chứng minh Vì in≤lex (f ) ∈ S nên chứa biến có số lớn l Theo định nghĩa thứ tự từ điển, đơn thức chứa biến có số nhỏ l thực lớn in≤lex (f ) Do đó, từ f nhỏ in≤lex (f ) khơng thể chứa biến có số nhỏ l Vậy f ∈ S Định lý 2.3.24 Cho I iđêan vành R = K[x1 , , xn ] sở Groebner I thứ tự từ điển x1 > · · · > xn Khi đó, với ≤ l ≤ n, tập Gl = G ∩ K[xl+1 , , xn ] sở Groebner Il Chứng minh Rõ ràng in(Gl ) ⊆ in(Il ) Gl ⊆ Il Ta chứng minh chiều ngược lại Với f ∈ Il ⇒ f ∈ I nên in(f ) ∈ ((in(g)/g ∈ G)) Theo tính chất i đêan đơn thức tồn g ∈ G cho in(f ) in(g) (*) Vì f ∈ Inên in(g) chứa biến xl+1 , , xn Áp dụng Bổ đề 2.3.23 suy g ∈ K[xl+1 , , xn ] Từ (*) suy in(f ) ∈ in(Gl ) Thuật toán Giải hệ phương trình f1 = · · · = fm = 0, biết hệ có hữu hạn nghiệm Bước :Tìm sở Groebner G = {g1 , , gn , , gr } I = (f1 , , fm ) thứ tự từ điển xn > · · · > x1 , g1 chứa biến x1 ; g2 chứa biến x1 , x2 ; ; gn chứa biến x1 , , xn Tìm tập Z1 không điểm g1 (dễ dàng thực g1 chứa biến x1 ) Lần lượt thay x1 giá trị Z1 vào g2 đa thức biến x2 Giải phương trình ta Z2 tập không điểm g1 , g2 Tiếp tục trình ta tập hữu hạn không điểm Zn g1 , , g n 42 Lần lượt thay phần tử Zn vào đa thức lại G, thỏa mãn nghiệm hệ, ngược lại loại bỏ Ví dụ 2.3.25 Giải hệ phương trình sau C : x2 + y − xy + = xy + =0 (2.2) Giải Đặt I = (x2 + y − xy + 4, xy + 1) Xét thứ tự từ điển x > y I có sở Groebner là: g1 = y + 5y + 1, g2 = x − y − 5y Ta thấy in(g1 ) = y , in(g2 ) = x nên từ người ta hệ có hữu hạn nghiệm Hơn nữa, có tối đa nghiệm là: Z1 = Giải phương trình g1 = ⇔ (y + 1).(y + y + 1) = 0, ta có tập nghiệm √ √ √ √ √ √ √ √ ( − 3)i ( − 3)i ( + 3)i ( + 3)i , , ,− − 2 2 Thay giá trị vào phương trình g2 = ta được: √ √ √ √ √ √ √ √ ( + 3)i ( − 3)i ( + 3)i ( − 3)i Z2 = (− ,− ); ( , ); 2 2 √ √ √ √ √ √ √ √ (− + 3)i ( + 3)i ( − 3)i ( + 3)i ,− ); ( , ) ( 2 2 tập không điểm g1 g2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: √ √ √ √ √ √ √ ( + 3)i ( − 3)i ( + 3)i ( − 3)i − ,− , ; 2 2 √ √ √ √ √ √ √ √ ( − 3)i ( + 3)i (− + 3)i ( + 3)i , ,− ; 2 2 √ Ví dụ 2.3.26 Giải hệ phương trình sau:   =0 f1 := xy + z − xz f2 := x − z =0  f := x3 − x2 yz − = Giải Người ta hệ có tối đa 20 không điểm 43 ; (2.3) (i) Xét thứ tự từ điển x > y > z, ta có sở Groebner G I = (f1 , f2 , f3 ) là: g1 = −yz − y + z − 2z + 2z − 1, g2 = z − 2z + z − z + 1, g3 = −y − 2y + 2z − 4z − z + 5z − 2, g4 = −x − y + z (ii) Từ phương trình g2 = suy z = −1, z −2z +z −1 = Thay z = 1, z = −1 vào phương trình g1 = g3 = g4 = ta (1, 0, 1), (i, −1, −i, −1), (−i, −1+ i, −1) nghiệm hệ Đối với phương trình z − 2z + z − = 0, Maple dùng lệnh f solve(z − 2z + z − 1, z, complex) Ta giải xấp xỉ nghiệm sau: z1 = 1.754877666, z2 = 0.1225611669 − 0.7448617666i, z3 = 0.1225611669 − 0.7448617666i Lần lượt thay giá trị vào phương  trình g1 = g3 = g4 = giải xấp xỉ  x = −0.6623589786 − 0.5622795124i ; ta nghiệm gần hệ là: y = 0.7849201755 + 1.307141279i  z = 0.1225611669 + 0.7448617666i   x = 1.324717956 y = 0.4301597103  z = 1.754877666 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1, 0, 1); (i, −1 − i, 1); (−i, −1 + i, −1);     x = 1.324717956 x = −0.6623589786 − 0.5622795124i ; y = 0.4301597103 y = 0.7849201755 + 1.307141279i   z = 1.754877666 z = 0.1225611669 + 0.7448617666i Chú ý 2.3.27 Khi thay giá trị Z(Il ) vào đa thức iđêan khử thứ l − 1, gặp đa thức bậc lớn không giải thức Khi sử dụng máy tính giúp tính gần nghiệm 44 Phương pháp dùng lý thuyết khử để giải hệ phương trình phương pháp Ưu điểm giải tốn trọn vẹn mặt lý thuyết, nhược điểm dùng thứ tự từ thứ tự từ điển Thông thường, ta hay dùng thứ tự từ điển để tìm sở Groebner sau giải hệ phương trình thứ tự từ điển thứ tự từ khử số biến Tuy nhiên, lúc dùng thứ tự từ điển tối ưu Hơn khơng có tiêu chuẩn hay phương pháp cho ta biết hệ phương trình nên dùng thứ tự Do việc chọn thứ tự phù hợp để giải hệ phương trình cách nhanh quan trọng phụ thuộc vào kinh nghiệm giải hệ người Ta nghiên cứu vấn đề thơng qua số ví dụ sau: Ví dụ 2.3.28 Giải hệ phương trình sau C:   =0 f1 := x − yz f2 := xz + y =0  f := x2 + y + z + = (2.4) Giải Đặt I = (f1 , f2 , f3 ) (i) Đối với thứ tự ≤glex ≤rlex I có sở Groebner sau: g1 = xz + y g2 = x2 − yz, g3 = y + yz + z + 1, g4 = −yz − xy, g5 = z − yz + z + x Tuy nhiên, việc giải hệ g1 = g2 = g3 = g4 = g5 vơ khó khăn khơng có đa thức sở chứa biến (ii) Đối với thứ tự ≤lex I có sở Groebner G′ sau: g1′ = y + yz + z + 1, g2′ = x − yz + z + z , g3′ = yz + y − z − z , g4′ = z + z + z + 45 Giải phương trình g4′ = lệnh slove(g4′ , z) Maple ta nghiệm là: + i − i −1 − i −1 + i i, −i, √ , √ , √ , √ 2 2 Thay giá trị vào g1′ g2′ ta tập nghiệm hệ g1′ = g2′ = g4′ = là: Z3 = (0, 0, i); (1, −i, i); (0, 0, −i); (1, i, −i); √ 1+i −1 + i + i (2 − 2i, −i 2, √ ); (−i, √ , √ ); 2 √ −1 + i + i −1 + i (2 + 2i, −i 2, √ ); (i, √ , √ ); 2 √ −1 − i − i −1 − i (2 − 2i, i 2, √ ); (−i, √ , √ ); 2 √ 1−i −1 − i − i (2 + 2i, i 2, √ ); (i, √ , √ ) 2 Lần lượt thay phần tử Z3 vào g3′ = loại giá trị không phù hợp ta tập nghiệm hệ phương trình ban đầu là: (0, 0, i); (1, −i, i); (0, 0, −i); (1, i, −i); −1 + i + i + i −1 + i √ , √ ); (i, √ , √ ); 2 2 −1 − i − i − i −1 − i (−i, √ , √ ); (i, √ , √ ) 2 2 (−i, Ví dụ 2.3.29 Giải hệ phương trình sau C:   f1 := x + yz + = f2 := y − 2x =0  f := xy − z =0 (2.5) Giải (i) Đối với ≤lex I = (f1 , f2 , f3 ) có sở Groebner là: g1 = z 12 + 6z 10 + 12z + 8z + 4, g2 = 2y − z − 4z − 4z , g3 = 2x + z + 2z Ta thấy đa thức g1 phụ thuộc vào z Tuy nhiên, g1 có bậc 12 nên việc giải phương trình g1 = khơng thể thực Bằng lệnh solve(g1 , z) Maple, ta có 46 11 nghiệm vơ phức tạp Do việc nghiệm vào phương trình g2 = g3 = để tìm nghiệm hệ lại khó khăn (ii) Đối với ≤rlex (x > y > z), dễ thấy I có sở Groebner là: f1 = x2 + yz + 1, f2 = y − 2x, f3 = −z + xy Ta thấy hệ có hữu hạn nghiệm y2 Từ f2 = 0, suy x = Thế vào f1 , f3 ta có: √ √ 2z + 2z + = y + 4yz + = √ ⇔ y =z32 y3 = 2z √ √ Rõ ràng phương trình 2z + 2z = giải tay đơn giản nhiều so với phương trình z 12 + 6z 10 + 12z + 8z + = √ √ Giải phương trình 2z + 2z + = ta nghiệm z là: −1 + i −1 + −1 − i −1 + √ √ 4; − −1 + i 4; − −1 − i −1 + √ 4; √ −1 + Thế vào phương trình lại ta tập nghiệm hệ là: √ √ 3 √ √ ( a , a 2, a); ( a , −a 2, −a); 2 √ √ 3 √ √ ( b , b 2, b); ( b , −b 2, −b) 2 đó, a = −1 + i −1 + √ 4, b = −1 − i −1 + Ví dụ 2.3.30 Giải hệ phương trình sau C:  f1 := x7 + xy + 2yz +    f := y + x3 y + xz − 3xy  f3 := z + xyz + 2yz    f4 := x2 yz + xy + xz √ =0 =0 =0 =0 (2.6) Giải Đặt I = (f1 , f2 , f3 , f4 ) (i) Nếu chọn thứ tự từ điển ≤lex : (x > y > z) tính sở Groebner I Maple phải 3048 giây, sở Groebner là: {z, y, x7 + 1} 47 (ii) Tương tự, ta sở Groebner chọn thứ tự từ điển ngược hay thứ tự từ điển phân bậc, phải 4217 giây (iii) Nếu chọn thứ tự tích từ điển hai thứ tự ≤rlex : (x > y) ≤lex : (x > y > z) sau 0.5 giây ta tính sở Groebner là: {y, z, x7 + 1} Trong Maple dùng lệnh Basis(I, prod(tdeg(x, y), plex(x, y, z))) Giải phương trình x7 + = suy nghiệm x là: π π π π −1; cos( ) + isin( ); cos( ) − isin( ); 7 7 2π 2π 2π 2π −cos( ) + isin( ); −cos( ) − isin( ); 7 7 3π 3π 3π 3π cos( ) + isin( ); cos( ) − isin( ) 7 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: π π π π (−1, 0, 0); (cos( ) + isin( ), 0, 0); (cos( ) − isin( ), 0, 0); 7 7 2π 2π 2π 2π (−cos( ) + isin( ), 0, 0); (−cos( ) − isin( ), 0, 0); 7 7 3π 3π 3π 3π (cos( ) + isin( ), 0, 0); (cos( ) − isin( ), 0, 0) 7 7 48 KẾT LUẬN Luận văn "Một số hệ phương trình đa thức" hồn thành với kết đạt được: Hệ thống kiến thức Đại số tuyến tính giải hệ phương trình tuyến tính, phân loại số hệ phương trình tuyến tính Tìm hiểu ứng dụng hệ phương trình tuyến tính Hệ thống số dạng cách giải hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính tìm hiểu ứng dụng việc giải hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Tìm hiểu Đại số máy tính, sở Groebner để ứng dụng việc giải hệ phương trình khơng tuyến tính Hệ thống ví dụ tìm hiểu từ nhiều nguồn liệu khác nhau, phân tích để làm rõ mục đích đưa Một số ví dụ đưa nhằm sáng tạo toán Hướng phát triển Luận văn: Tìm hiểu kỹ dạng hệ phương trình đặc biệt; tìm hiểu ứng dụng thực tiễn Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Điển (1999), Hướng dẫn sử dụng Maple, NXB Thống kê Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính- Cơ sở Groebner, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Tài Chung (2014), Sáng tạo giải phương trình hệ phương trình bất phương trình, Nhà xuất Tổng hợp TP Hồ Chí Minh [5] Tuyển tập Tạp chí Toán học tuổi trẻ, 1999 – 2015; Tuyển tập đề thi Olympic toán sinh viên, Olympic 30-4, học sinh giỏi toàn quốc quốc tế Tiếng Anh [6] D Cox, T Little and D’Oshea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer Verlag, 1991 [7] Loren C Larson(1992), Problem-solving through problems, Spinger-Verlag [8] S Lipschutz (1968), Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill Book Comp [9] B Stumfels (2002), Solving system of polynomial equation, American Mathematical Society 50 ... đại học Luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình đa thức: hệ phương trình tuyến tính, hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính Cụ thể, luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình tuyến tính đặc biệt... Chương Hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính 2.1 Một số hệ phương pháp giải 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng Trước hết ta tìm hiểu hệ phương trình đối xứng loại x y, hệ mà thay x y y x, hệ không... khác 2.2.1 Giải phương trình Để giải phương trình cách đưa hệ phương trình ta thường đặt ẩn phụ, phép đặt ẩn phụ với phương trình giả thiết cho ta hệ phương trình Sau ta trình bày phương pháp sáng