Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG MẠNH HÙNG GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MA TRẬN VỚI RÀNG BUỘC ĐA TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG MẠNH HÙNG GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MA TRẬN VỚI RÀNG BUỘC ĐA TẠP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân 1.1.1 Phương pháp Runge-Kutta 1.1.2 Phương pháp Runge-Kutta phân hoạch 1.1.3 Phng phỏp Nystrăom Khái niệm đa tạp 1.2.1 Đa tạp khả vi 1.2.2 Đa tạp 10 1.2.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc 12 Đa tạp Riemann 13 1.3.1 Khái niệm 13 1.3.2 Khoảng cách 14 1.2 1.3 Bảo tồn tích phân phương pháp giải 16 2.1 Khái niệm bất biến tích phân 16 2.2 Bất biến bậc hai 20 2.3 Phương pháp chiếu 23 2.4 Tích phân phương trình vi phân đa tạp Stiefel 26 2.4.1 Sơ lược đa tạp Stiefel 26 2.4.2 Cung trắc địa đạ tạp Stiefel 27 i 2.5 2.6 2.4.3 Di chuyển song song 29 2.4.4 Tích phân số 30 2.4.5 Phương pháp kiểu Runge-Kutta bậc hai 32 2.4.6 Phương pháp giải số mặt cầu đơn vị 34 Phương trình vi phân nhóm Lie 36 2.5.1 Sơ lược nhóm Lie 36 2.5.2 Phương trình vi phân nhóm ma trận Lie 38 2.5.3 Phương pháp Crouch-Grossmann 38 Ví dụ số 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Bảng ký hiệu ⊗ tích tenxơ khơng gian vectơ C ∞ (M) tập tất hàm trơn M Hx = ∇x H gradiant theo biến số x PM hình chiếu M sym(A) phần đối xứng ma trận vuông A skew(A) phần phản đối xứng ma trận vuông A ΠTY (Z) hình chiếu từ Rn×k lên khơng gian C k (U, Rm ) tập tất ánh xạ khả vi liên tục tới cấp k C ∞ (U, Rm ) tập tất ánh xạ trơn C ω (U, Rm ) tập tất ánh xạ giải tích từ U vào Rm Mở đầu Với phương trình vi phân (PTVP) ma trận thơng thường, nghiệm chúng hàm ma trận khả vi biến thỏa mãn phương trình Tuy nhiên, PTVP mơ hình tốn học mơ tả tượng học, hóa học, thiên văn học ràng buộc ma trận thường xuất Về mặt tốn học, chúng đơn giản biểu thức đại số Nhưng chúng biểu thị quy luật bất biến, chẳng hạn bất biến lượng, bất biến khối lượng, bất biến thể tích Trong ngành khoa học tương ứng, định luật bảo tồn tiếng Trong nhiều trường hợp, ràng buộc nghiệm tạo lên đa tạp không gian pha Chẳng hạn, Định lý 1.2.7 Chương ra, đa tạp nhúng Rn mơ tả biểu thức dạng g(x) = c, g : Rn → Rm Do đó, ta gọi chung phương trình loại PTVP với ràng buộc đa tạp Phương pháp giải số PTVP với ràng buộc đa tạp, ngồi việc đảm bảo u cầu tính xác tính ổn định thơng thường phương pháp số phải đảm bảo nghiệm xấp xỉ ln nằm đa tạp Cụ thể giả sử x0 điều kiện ban đầu phương trình, tức g(x0 ) = c với nghiệm xk bước, xk nói chung ta phải có g(xk ) = c Lẽ đương nhiên, phương pháp trình bày Chương khơng đảm bảo việc Ta cần phải có điều chỉnh, thay đổi thích hợp q trình giải số Những điều chỉnh tương đối đơn giản nhiều hồn cảnh khác lại địi hỏi kiến thức sâu sắc đa tạp liên quan Với luận văn “Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp ”, mục tiêu chúng tơi trình bày số cách tiếp cận giải số cho phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp Để đạt điều đó, chúng tơi bố cục luận văn sau Chương giành để trình bày kiến thức chuẩn bị Trước tiên, chúng tơi tóm lược số phương pháp giải số phương trình vi phân thường phổ biến phương pháp BDF, Nystrăom, Runge-Kutta Tip ú, chỳng tụi nhc li mt s kiến thức đa tạp Riemann Do việc trình bày tương đối dài, chúng tơi tóm lược mang tính diễn giải Chương chương luận văn Trước tiên, chúng tơi xác hóa khái niệm việc trình bày khái niệm bất biến tích phân, lấy ví dụ minh họa Sau đó, chúng tơi trình bày phương pháp chính, phương pháp chung để giải số phương trình vi phân với ràng buộc đa tạp Thêm vào đó, chúng tơi trình bày phương pháp giải số cho hai loại ràng buộc cụ thể đa tạp Stiefel nhóm Lie Chúng tơi cố gắng đưa số ví dụ số để minh họa cho vấn đề trình bày Cuối cùng, luận văn kết thúc phần kết luận tài liệu tham khảo Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn khó tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hoàn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K11C; Nhà trường phòng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Đặng Mạnh Hùng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày hai mảng kiến thức riêng biệt vốn sử dụng phần luận văn Mục chương dành để nhắc lại vài phương pháp giải số phương trình vi phân quen thuộc Tài liệu cho mục Chương II sách [5] Mục thứ hai chương số kiến thức liên quan đến đa tạp Để cho tiện, chúng tơi tham khảo hai tài liệu [1] [2] 1.1 Một số phương pháp số giải phương trình vi phân Trong mục này, chúng tơi xét phương trình vi phân thường cấp phụ thuộc vào thời gian y˙ = f (t, y), y (t0 ) = y0 (1.1) Ở đây, ta hiểu y = y(t) ∈ Rn véctơ cỡ n Hàm f phụ thuộc vào n + biến f (t, y1 , , yn ) hàm véctơ n thành phần f = (f1 , , fn ) Ta giả sử hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện để có nghiệm Các lập luận y f ma trận có cấp tương thích với 1.1.1 Phương pháp Runge-Kutta Định nghĩa 1.1.1 Cho bi , aij (i, j = 1, , s) số thực cho ci = s j=1 aij Một phương pháp Runge-Kutta s-bước tính cách lấy s ki = f t0 + ci h, y0 + h , i = 1, , s aij kj j=1 (1.2) s b i ki y1 = y0 + h i=1 Các hệ số phương pháp Runge-Kutta s-bước thường viết dạng bảng Butcher sau: c1 a11 a1s (1.3) cs as1 ass b1 bs Định nghĩa 1.1.2 Phương pháp Runge-Kutta (hay phương pháp 1-bước tổng quát) có p bậc, với toán đủ trơn (1.1) sai số địa phương y1 − y (t0 + h) thỏa mãn y1 − y (t0 + h) = O hp+1 h → Để kiểm tra bậc phương pháp Runge-Kutta phải khai triển chuỗi Taylor y (t0 + h) y1 quanh điểm h = Điều dẫn đến điều kiện đại số cho hệ số có bậc 1, 2, tương ứng sau: i thêm vào thêm vào i i bi = cho bậc 1; bi ci = 1/2 cho bậc 2; bi c2i i,j (1.4) = 1/3 bi aij cj = 1/6 cho bậc Người ta tìm điều kiện phương pháp có độ xác cao Song, có ý nghĩa mặt lý thuyết Trong thực tế, phương pháp bậc không tương đối tốt để giải toán nảy sinh 32 2.4.5 Phương pháp kiểu Runge-Kutta bậc hai Xét phương pháp Runge-kutta kiểu bước xác định bảng Butcher sau c1 c2 a21 b1 b2 Sử dụng ý tưởng trình bày trên, phương pháp áp dụng cho phương trình vi phân đa tạp Stiefel có dạng Algorithm Phương pháp Runge-Kutta hai bước cho PTVP đa tạp Stiefel 1: K1 = F (Y0 )Y0 ; Y01 = G (a21 h, Y0 , K1 ); ˜ = F (Y01 )Y01 ; 3: K ˙ (a21 h, Y0 , K1 ); 4: Y˙ 01 = G ˜ + a21 hΓ K˜2 , Y01 , Y˙ 01 ; 5: S2 = K 6: K2 = πτY0 (S2 ); 2: 7: K = b K1 + b K2 ; 8: Y1 = G (h, Y0 , K) Ta thấy Thuật tốn 1, bước bước tính cung trắc địa sử dụng công thức (2.27) công thức đạo hàm đường trắc địa (2.29) Các bước đỉnh xấp xỉ ∆ −a21 h, K˜2 , Y01 , Y˙ 01 thực chất di chuyển song song véctơ tiếp xúc Y0 , K˜2 dọc theo cung trắc địa G(t, Y01 , Y˜01 ) Phép chiếu đưa vào để đảm bảo nghiệm phương trình dịch chuyển song song (2.32) nằm khơng gian tiếp xúc TY0 Vn,k Định lý sau độ xác bậc hai Thuật tốn Định lí 2.4.2 Phương pháp kiểu Runge-Kutta K1 = F (Y0 )Y0 , Y1 = G (h, Y0 , K1 ) , áp dụng vào hệ (2.35), với < p ≤ n, có độ xác bậc hai b1 + b2 = a21 b2 = 1/2 33 ˜ , Y01 , Y˙ 01 phương trình (2.32) Chứng minh Bằng khai triển Taylor, nghiệm ∆ t, K t = 0, viết ˜ + a21 h Γ K ˜ , Y01 , Y˙ 01 + O(h2 ) = S2 + O(h2 ) ∆(0) = K Từ ∆(0) ∈ TY0 nên ∆(0) = πY0 [∆(0)] ∆(0) = K2 + O(h2 ), K = b1 K1 + b2 K2 = b1 K1 + b2 ∆(0) + O h2 (2.38) h ˜ , Y01 , Y˙ 01 + O h2 = b1 K1 + b2 F (Y01 ) Y01 + b2 a21 Γ K Cho S(Y ) = F (Y )Y , Y01 = Y0 + a21 hK1 + O(h2 ), nên viết S(Y01 ) = S(Y0 ) + a21 hSY (K1 ) + h2 a SY Y (K1 ) + · · · , 21 (2.39) với n p SY (K1 ) = i=1 j=1 ∂S(Y0 ) , SY Y = ∂yij n p i=1,k j,e=1 ∂ S(Y0 ) (K1 )ij (K1 )ke ∂yij ∂yke Ngoài ra, giả sử ˜ , Y01 , Y˙ 01 + O(h) Γ K Do đó, (2.33) có Γ K1 , Y0 , Y˙ = 2K1 K1⊤ Y0 + 2Y0 K1⊤ In − Y0 Y0⊤ K1 (2.40) Kết hợp (2.39) (2.40), (2.38) dẫn đến K = (b1 + b2 ) K1 + b2 a21 hSY (K1 ) + b2 ha21 K1 K1⊤ Y0 + 2Y0 K1⊤ (2.41) In − Y0 Y0⊤ K1 + O(h ) Bây giờ, từ (2.30) ta suy Y1 = G (h, Y0 , K) = Y0 + hK + h2 Y0 K ⊤ Y0 Y0⊤ K + KY0⊤ K − Y0 K ⊤ K + O(h3 ), từ K = (b1 + b2 ) K1 + O(h) có Y1 = Y0 + hK + h2 (b1 + b2 ) Y0 K1⊤ Y0 Y0⊤ K1 + K1 Y0⊤ K1 − y0 K1⊤ K1 + O(h3 ) 34 Vì vậy, (2.41) nên Y = Y0 + h (b1 + b2 ) K1 + b2 a21 h2 SY (K1 ) +b2 a21 h2 K1 K1⊤ Y0 + Y0 K1⊤ In − Y0 Y0⊤ K1 + h2 (b1 + b2 ) Y0 K1⊤ Y0 Y0⊤ K1 + K1 Y0⊤ K1 − Y0 K1⊤ K1 + O(h3 ) = Y0 + h (b1 + b2 ) K1 + b − 2a21 h2 SY (K1 ) + h2 [(b1 + b2 − 2b2 a21 )Yo K1⊤ Y0 Y0⊤ K1 + (2b2 a21 − b1 − b2 )Y0 K1⊤ K1 +K1 Y0⊤ (2b2 a21 F ⊤ (Y0 ) + (b1 + b2 )F (Y0 ))Y0 ] + O(h3 ) Vì vậy, F (Y ) thỏa mãn điều kiện đối xứng lệch yếu (2.36) có h2 Y (h) = Y0 + hY˙ + SY (Y˙ ) + O(h3 ) Vì b1 + b2 = 2b2 a21 = ta có điều cần chứng minh Chú ý 2.4.3 Ngay ta áp dụng lược đồ bậc cao ta tăng độ xác kể Lí giải xấp xỉ phương trình dịch chuyển song song ta sử dụng phương pháp có độ xác bậc hai Trong mục sau, ta xét trường hợp k = đa tạp Sitefel trở thành mặt cầu đơn vị 2.4.6 Phương pháp giải số mặt cầu đơn vị Điều khác biệt so với trường hợp tổng qt ta có cơng thức cho cung trắc địa dịch chuyển song song Xét phương pháp Runge-Kutta s bước định nghĩa bảng Butcher c A b c = (ci ), b = (bi ) A = (aij ) với phần tử trừ phần tử hàng i + 1, cột i, i = 1, · · · , s − Khi ta có thuật tốn 35 Algorithm Phương pháp Runge-Kutta giải số mặt cầu đơn vị 1: K1 = F (Y0 ) Y0 ; 2: for i = 1, · · · , s − 3: Y0i = G (ai+1,i h, Y0 , Ki ); ˜ i+1 = F (Y0i ) Y0i ; K 4: Y˙ 0i = G˙ (ai+1,i h, Y0 , Ki ); ˜ i+1 , −ai+1,i h, Y0i , Y˙ 0i ; Ki+1 = ∆ K 5: 6: 7: end fors 8: K= b i Ki ; i=1 9: Y1 = G (h, Y0 , K) Ta lưu ý cung trắc địa dịch chuyển song song bước sử dụng công thức (2.31) (2.34) Định lý sau cho ta thông tin tính xác thuật tốn Định lí 2.4.4 Thuật toán áp dụng cho (2.35) với p = bảo tồn bậc xác sơ đồ Runge-Kutta Chứng minh Sử dụng kí hiệu Định lí (2.4.2), khai triển Taylor điều kiện bậc hai lược đồ Runge-Kutta bậc hai- giai đoạn (5) Y1 = Y0 + h (b1 + b2 ) K1 + h2 b2 a21 SY (K1 ) + h2 (b2 a21 − 1/2) K1 Y0 + O h Bằng điều kiện bậc hai lược đồ Runge-Kutta bậc hai nên Y1 = Y (h) = O(h3 ) Sử dụng tính chất phép đối xứng tích vơ hướng Sn , khai triển Taylor 36 nghiệm phương pháp Runge-Kutta bậc giai đoạn bi )K1 + h2 (b2 a21 + b3 a32 ) (K1 ) Y1 =Y0 + ( i=1 + h2 b2 a21 + b3 a32 − + 2 bi i=1   ||K1 ||2 Y0  h3  h3 b2 a221 + b3 a232 SY Y (K1 ) + b2 a21 + b3 a232 − 2 +h b2 a221 + b3 a232 + b3 a32 a21 − bi 3 bi i=1   ||K1 ||2 K1 (b2 a21 + b3 a32 ) SY (K1 )⊤ K1 Y0 i=1 + O(h4 ) Kỹ thuật tương tự dùng để chứng minh bậc xác p lược đồ s bước 2.5 Phương trình vi phân nhóm Lie Trong mục này, chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến nhóm Lie như: sơ lược nhóm Lie, phương trình vi phân nhóm ma trận Lie, Những nội dung chủ yếu dựa vào tài liệu [5] 2.5.1 Sơ lược nhóm Lie Một nhóm Lie G đa tạp khả vi đồng thời nhóm mà phép tốn đó, tạm gọi phép nhân, ánh xạ khả vi Nhóm Lie khái niệm tương đối rộng, song khuôn khổ luận văn này, ta xét nhóm Lie ma trận, tức nhóm Lie mà nhóm GL(n), nhóm ma trận khả nghịch với phép nhân ma trận thông thường Ví dụ 2.5.1 Nhóm Lie ma trận trực chuẩn O(n) = {Y ∈ GL(n) : Y ⊤ Y = Y Y ⊤ = I} 37 Ta dễ dàng chứng minh đa tạp nhúng Rn×n việc xét ánh xạ Y −→ Y ⊤ Y − I từ Rn×n vào sym(n) áp dụng Định lý hàm ẩn hình học vi phân Hơn phép nhân ma trận phép tốn nên khả vi Do O(n) nhóm Lie với phần tử đơn vị ma trận đơn vị I Bảng 2.1: Một vài nhóm ma trận Lie & đại số Lie tương ứng Nhóm Lie Đại số Lie GL(n)= {Y | det Y = 0} gl(n)= {A| ma trận bất kỳ} nhóm đơn tuyến tính tổng quát SL(n)= {Y | det Y = 1} nhóm đại số ma trận m × n sl(n)= {A| vết (A)} đại số Lie tuyến tính đặc biệt nhóm tuyến tính đặc biệt OL(n)= Y | Y TY = I so(n)= nhóm trực giao ma trận đối xứng lệch SO(n)= {Y ∈ O(n)| detY = 1} so(n)= nhóm trực giao đặc biệt Sp(n) = Y | Y T JY = J A| AT + A = A| AT + A = ma trận đối xứng lệch sp(n)= A| JA + AT J = nhóm ngẫu đối Ký hiệu g = TI G không gian tiếp xúc nhóm ma trận Lie G phần tử đơn vị Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.5.2 Móc Lie tập g = TI G, định nghĩa [A, B] = AB − BA, xác định tốn tử g, song tuyến tính, phản đối xứng thỏa mãn đẳng thức Jacobi [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = Do kết luận Mệnh đề 2.5.2, g trở thành đại số gọi đại số Lie nhóm Lie G Trước kết thúc mục ta phát biểu mệnh đề sau 38 Mệnh đề 2.5.3 Ánh xạ mũ ma trận exp : g → G A → eA vi phôi địa phương lân cận A = 2.5.2 Phương trình vi phân nhóm ma trận Lie Cho G nhóm ma trận Lie, giả sử Y ∈ G bất kì, A ∈ g Khi đó, theo định ˙ = A Xét cung nghĩa, phải tồn cung trơn α(t) G cho α(0) = I γ(0) γ(t) := α(t)Y ˙ = α(0)Y ˙ Rõ ràng γ(t) ∈ G, ∀t γ(0) = AY Như vậy, không gian tiếp xúc nhóm G điểm Y có dạng TY G = {AY : A ∈ g} Bây giờ, ta xét phương trình vi phân dạng Y˙ = A(Y )Y (2.42) Theo Định lý 2.3.1, phương trình (2.42) phương trình vi phân G thỏa mãn A(Y )Y ∈ TY G hay A(Y ) ∈ g Nếu điều kiện A(Y ) ∈ g với y ta thêm G = {Y : g(Y ) = const}, nhóm Lie ma trận g(Y ) trở thành bất biến phương trình (2.42) theo Định nghĩa 2.5.1 2.5.3 Phương pháp Crouch-Grossmann Trong mục này, ta xét phương trình vi phân Y˙ = A(Y )Y, Y (0) = Y0 , (2.43) 39 thỏa mãn Y0 thuộc nhóm Lie ma trận G A(Y ) phần tử đại số Lie g tương ứng G Đương nhiên ta sử dụng phương pháp chiếu trình bày Mục 2.3 để giải (2.43) Tuy nhiên, ta xét phương pháp nội tại, tức cho ta xấp xỉ đa tạp xét Như biết, phương pháp Runge-Kutta gồm hai thao tác (i) Tính trường vectơ f (Y ) = A(Y )Y (ii) Cập nhật nghiệm dạng Y + haf (Z) Ta quan sát thấy trường hợp phương trình vi phân nhóm Lie, Y Z ∈ G, cập nhật Y + haA(Z)Z khơng thuộc G Ý tưởng Crouch Grossmann thay cập nhật exp (haA(X)) Y Định nghĩa 2.5.4 Cho bi , aij , i, j = 1, · · · s số thực Một phương pháp CroughGrossmann s-bước cho Y (i) = exp (hai,i−1 Ki−1 ) · · exp (hai1 K1 ) Yn , Ki = A Y (i) , (2.44) Yn+1 = exp (hbs ks ) · · exp (hb1 k1 ) Yn Chẳng hạn với s = 2, a21 = 1, b1 = b2 = 1/2, phương pháp Định nghĩa 2.5.4 Yn+1 = exp h K2 exp h K1 Yn , với K1 = A(Yn ), K2 = A (exp(hki )Yn ) Rõ ràng nhân tử (2.44) thuộc G nên phương pháp cho xấp xỉ nghiệm nằm G Ta xem phương pháp xác Định lí 2.5.5 Giả sử ci = j aij Một phương pháp Crouch-Grossman có bậc p (p ≤ 3) điều kiện tương ứng sau thỏa mãn: Bậc 1: Bậc 2: i i bi = (2.45) bi ci = 1/2 (2.46) 40 Bậc 3: i bi c23 = 2/3 ij i (2.47) (2.48) bi aij cj = 1/6 b2i ci + i