Binoid và đại số binoid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANH BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANH BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Tơi khơng chép từ cơng trình nghiên cứu khác Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Người viết luận văn Lưu Hoàng Anh Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Người viết Luận văn Lưu Hoàng Anh ii Mục lục Chương Binoid 1.1 Binoid đồng cấu binoid 1.2 Tập sinh binoid 1.3 Một số lớp binoid đặc biệt 10 1.4 Quan hệ tương đương 15 1.5 Tích smash 20 1.6 Tác động binoid tập định điểm 22 1.7 Địa phương hóa 23 1.8 Iđêan binoid giao hoán 25 Chương Đại số binoid 31 2.1 Đại số 31 2.2 Đại số binoid 35 2.3 Iđêan đại số binoid 39 2.4 R[N]–môđun 41 2.5 Đại số binoid N -binoid 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 iii MỞ ĐẦU Năm 2015, Simone Bottger luận án tiến sĩ “Monoids with absorbing elements and their associated algebras” [3] giới thiệu khái niệm binoid đại số binoid mở rộng, khái niệm vị nhóm, đại số vị nhóm: Cho R vành giao hốn, cho M vị nhóm với phép cộng Phần tử a ∈ M thỏa mãn a + b = a, với b ∈ M gọi phần tử hút (absorbing element) Phần tử tồn ký hiệu ∞ Một vị nhóm có phần tử hút gọi binoid Đại số kết hợp với binoid gọi đại số binoid M, ký hiệu R[M ] xác định đại số thương R[M ] := RM/(X ∞ ), RM = a∈M RX a đại số vị nhóm, (X ∞ ) iđêan RM sinh X ∞ Như vậy, đại số binoid mở rộng đại số vị nhóm Đại số binoid vành thương đại số đa thức iđêan đơn thức iđêan nhị thức sinh nhị thức túy (pure difference binomial) Nhắc lại giả sử S = R [x1 , , xn ] , n ≥ vành đa thức, đa thức dạng xa11 xa22 xann , ∈ N, i = 1, n gọi đơn thức, đa thức dạng axa11 xa22 xann − bxb11 xb22 xbnn ; a, b ∈ R, , bi ∈ N gọi nhị thức, nhị thức mà a, b ∈ {0; 1} gọi nhị thức túy Các đại số binoid đối tượng Tổ hợp, Đại số giao hốn hình học đại số Các đại số phải kể đến là: Vành tọa độ đa tạp affin (xạ ảnh), vành Stanley-Reisner, vành Toric Mục đích luận văn tìm hiểu binoid đại số binoid theo hai tài liệu [2], [3] Luận văn bao gồm chương Chương tìm hiểu binoid, đồng cấu binoid, tập sinh binoid, số lớp binoid đặc biệt, tích smash, tác động binoid tập định điểm, địa phương hóa iđêan binoid giao hốn Chương tìm hiểu đại số đại số binoid, iđêan đại số binoid, cấu trúc môđun đại số Chương Binoid 1.1 Binoid đồng cấu binoid Phần giới thiệu định nghĩa binoid số tính chất binoid Trong luận văn ta ln quy ước R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 (1) Một nửa nhóm (M, ∗) tập hợp M phép toán ∗ kết hợp ∗ : M × M → M (a, b) → a ∗ b Một vị nhóm (M, ∗, e) nửa nhóm tồn phần tử e thỏa mãn a ∗ e = e ∗ a = a với a ∈ M Một phần tử gọi phần tử đơn vị M phần tử đơn vị (2) Một vị nhóm vị nhóm M nửa nhóm có chứa phần tử đơn vị M Trong phép toán cộng, phần tử đơn vị ký hiệu phép toán nhân ta ký hiệu (3) Một phần tử a ∈ M nửa nhóm phần tử hút (absorbing) a ∗ x = x ∗ a = a với x ∈ M Một phần tử hút tồn (4) Một binoid (M, ∗, e, a) (nửa binoid (M, ∗, a)) vị nhóm (hay nửa nhóm) với phần tử hút a Một binoid (nửa binoid con) M vị nhóm (hay nửa nhóm con) M chứa phần tử hút M Trong phép toán cộng, phần tử hút ký hiệu ∞ phép toán nhân ta ký hiệu Theo định nghĩa, nửa binoid vị nhóm ln tập khác rỗng, đặc biệt binoid Ta ký hiệu tập binoid B tập binoid giao hoán com B Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm binoid trang bị phép toán cộng (kể binoid khơng giao hốn) Hơn nữa, trừ có nhầm lẫn, viết tắt là: na = a + + a nA = {a1 + + an | ∈ A} , với n ∈ N, a ∈ M, A ⊆ M, 0a = 0A = ∅ Ví dụ 1.1.2 (1) Binoid {∞}, tức = ∞ gọi binoid không binoid {0, ∞} gọi binoid tầm thường (2) Thêm phần tử hút ∞ vào vị nhóm giao hốn (Nn , +, (0, , 0)) , n ≥ 1, ∞ cách xác định k + ∞ = ∞ tạo binoid, ký hiệu (Nn ) (3) Cho (R, +, ·) vành Khi (R, ·) binoid Ví dụ 1.1.3 Cho V tập tùy ý Tập lũy thừa P (V ) tập tập V Khi ta có hai binoid sau: P (V )∩ = (P (V ), ∩, V, ∅) P (V )∪ = (P (V ), ∪, ∅, V ) Ta có P (∅) tạo binoid không P ({1}) binoid tầm thường Nếu V hữu hạn, viết tắt P ({1, , n}) = Pn , n ≥ viết Pn,∩ Pn,∪ cho binoid tương ứng Các binoid P (V )∩ P (V )∪ cho tập hợp M ⊆ P (V ) chúng đóng phép toán ∪ ∩, chứa ∅ V Nếu M binoid P (V )∪ (tương ứng P (V )∩ ), M c = {U c | U ∈ M } , U c = V \ U phần bù U , binoid P (V )∩ (tương ứng P (V )∪ ) U c ∪ W c = (U ∩ W )c (tương ứng U c ∩ W c = (U ∪ W )c ) với U, W ⊆ P (V ) Đặc biệt, topo T = U | U ⊆ V mở tập khác rỗng V xác định binoid giao hoán liên quan đến phép hợp phép giao, cụ thể (T , ∩, V, ∅) = T∩ (T , ∪, ∅, V ) = T∪ , tập hợp tất tập đóng T c = {U c | U ∈ T } Các binoid P (V )∪ P (V )∩ sinh từ tôpô rời rạc V binoid tôpô tầm thường V binoid tầm thường {V, ∅} Định nghĩa 1.1.4 Nửa binoid vị nhóm thành lập thêm phần tử hút phần tử đơn vị vào nửa nhóm M ký hiệu M ∞ M Nếu M chứa phần tử hút, viết M • = M \ {∞} Định nghĩa 1.1.5 Một tập định điểm (pointed set) (S, p) tập S có phần tử đặc biệt p ∈ S Một ánh xạ (S, p) → (T, q) tập hợp điểm với p → q gọi ánh xạ định điểm (pointed map) Tập hợp tất ánh xạ định điểm S → T ký hiệu mapp→q (S, T ) Trong trường hợp T = S p = q, cần viết mapp S Tập mapp S binoid với phép hợp thành ánh xạ S → S Phần tử đơn vị cho idS phần tử hút xác định ánh xạ không đổi cp : s → p, s ∈ S Trong phần tiếp theo, binoid nhúng vào binoid gồm ánh xạ mapp S, ◦, idS , cp Đặc biệt, ta có tập hợp M vị nhóm nửa nhóm định điểm (M, 0) với tính chất bổ sung phần tử đơn vị Tương tự, nửa binoid M nửa nhóm định điểm (M, ∞) với tính chất xác định ∞ Khi quan sát điều này, binoid M coi tập hợp định điểm (M, p) theo hai cách khác nhau: Một tập hợp định điểm với p = tập hợp định điểm với p = ∞ Tích tổng trực tiếp họ (Si , pi )i∈I tập định điểm tập định điểm với phần tử (pi )i∈I chúng trùng I hữu hạn; trường hợp này, ký hiệu i∈I Si thay i∈I Si Tương tự cấu trúc khác, ta có khái niệm tổng, tích binoid Định nghĩa 1.1.6 Cho M N binoids (hoặc nửa binoid) Một ánh xạ ϕ : M → N đồng cấu binoid (nửa binoid) đồng cấu (nửa nhóm) ϕ(∞M ) = ∞N Hơn nữa, gọi ϕ đơn cấu phép nhúng đơn ánh, tồn cấu tồn ánh, đẳng cấu song ánh, ta viết M ∼ = N Tập im ϕ = ϕ (M ) ảnh ϕ tập ker(ϕ) = {a ∈ M | ϕ (a) = ∞N } hạt nhân ϕ Tập hợp tất đồng cấu binoid từ M đến N ký hiệu hom(M, N ) Định nghĩa 2.1.8 Cho A = An R-đại số M -phân bậc Một iđêan I n∈M A gọi phân bậc I = n∈M (I ∩ An ) Ví dụ 2.1.9 (i) Cho A = ⊕An R-đại số phân bậc I iđêan A sinh phần tử Khi I phân bậc (ii) Cho A = R [x] , I = x + Khi I khơng phân bậc I khơng chứa đơn thức ∞ n=0 (I ∩ R [x]n ) = {0} = I Mệnh đề 2.1.10 Cho A = An R-đại số M -phân bậc I iđêan phân bậc A Đặt (A/I)n = (An + I) /I ∼ = An /I ∩ An ảnh An A/I Khi A/I = n∈M n∈M (A/I)n R-đại số M -phân bậc Định nghĩa 2.1.11 Cho A = n∈M An B = n∈M Bn R-đại số Một ánh xạ ϕ : A → B gọi R-đồng cấu đại số phân bậc ϕ R-đồng cấu đại số ϕ (An ) ⊆ Bn , ∀n ∈ M Định nghĩa 2.1.12 Cho M vị nhóm tùy ý Đại số vị nhóm RM M R R-mơđun trái có sở {T a | a ∈ M } với phép nhân cho phần tử sở xác định cách sử dụng phép toán M , T a T b = T a+b , với a, b ∈ M sau tính chất phân phối mở rộng với phép nhân RM Trong trường hợp M nhóm, RM gọi nhóm đại số M R R vành RM thông qua đơn cấu vành R ֒→ RM, r → rT Nếu R = ta có phép nhúng vị nhóm M ֒→ RM với a → T a cho M xem vị nhóm RM Mọi phần tử f ∈ RM viết dạng T a , f= a∈M với ∈ R cho hữu hạn = 0, a ∈ M Hơn nữa, RM R-đại số M -phân bậc RT a , RM = a∈M 33 RT a = {rT a | r ∈ R} Các phần tử R-môđun RT a gọi bậc a Theo quy ước, phần tử bậc Đại số vị nhóm RM giao hốn M giao hốn Ví dụ 2.1.13 Đại số đa thức R [Xi /i ∈ I] ∼ = RN(I) R đại số vị nhóm Đặc biệt R[Nn ] ∼ = R[X1 , , Xn ] Tính phổ dụng đại số vị nhóm thể mệnh đề sau Mệnh đề 2.1.14 Cho R-đại số A đồng cấu vị nhóm: φ : M → (A, ) , tồn đồng cấu R-đại số φ˜ : RM → A với φ˜ (T a ) = φ (a) , với a ∈ M Hệ 2.1.15 Cho M vị nhóm (1) Gọi α : R → S đồng cấu vành ϕ : M → N đồng cấu vị nhóm Khi đó, có phép đồng vành RM → SN xác định → α (r) ϕ (a) (2) Nếu a iđêan R, RM/aRM ∼ = (R/a) M (3) Nếu S tập đóng nhân R (RM )S ∼ = RS M (4) Cho họ hữu hạn (Mi )i∈I vị nhóm, ta có đẳng cấu tắc Mi R ∼ = i∈I R RMi i∈I (5) Nếu A R-đại số A ⊗R RM ∼ = AM Người ta quan tâm đến câu hỏi đại số vị nhóm RM miền nguyên Câu trả lời đưa mệnh đề sau Mệnh đề 2.1.16 Cho M vị nhóm R = Đại số vị nhóm RM miền nguyên R miền nguyên M ∞ không xoắn có luật giản ước Chứng minh Xem ([7], Định lý 8.1) ([4], Định lý 4.18) 34 2.2 Đại số binoid Định nghĩa 2.2.1 Cho M binoid Đại số binoid M ký hiệu R[M ], định nghĩa đại số R [M ] := RM/(T ∞ ), RM = RT a đại số vị nhóm, (T ∞ ) iđêan RM sinh a∈M phần tử T ∞ Một cách tổng quát, I iđêan M , biểu thị iđêan (tương ứng R-môđun con) RM sinh T a , a ∈ I RI = (T a | a ∈ I) ⊆ RM, R [I] = RI/ (T ∞ ) = (T a | a ∈ I) ⊆ R [M ] , iđêan (tương ứng R-môđun con) R [M ] Theo định nghĩa, R [M ] đồng với tập hợp tất tổng hình thức T a với ∧ ⊆ M • hữu hạn ∈ R, phép nhân a∈∧   r s T a+b , a + b = ∞, a b a b T sb T =  0, trường hợp cịn lại Đẳng cấu R-mơđun: R [M ] ∼ = RM/ t∞ suy từ đồng cấu R-đại số phân bậc KM → R [M ] với ker = RT ∞ Với iđêan I ⊆ M , iđêan RI R[I] ∼ = K[t]/ t∞ = R[t] iđêan đơn thức RM R [M ] Nếu R = 0, hợp thành M ֒→ RM → R [M ] tạo phép nhúng binoid ιM : M → R [M ] , a → Ta cho M coi binoid (R [M ] , , 1, 0) Ví dụ 2.2.2 Cho R vành Khi đó: 35 (1) Đại số binoid binoid không {∞}, tức = ∞ vành vành không (trong đại số vị nhóm khơng R) (2) Đại số binoid binoid tầm thường {0; ∞}, tức với = ∞ R R (trong đại số vị nhóm R[x]/(x2 )) Mệnh đề 2.2.3 Cho binoid M , R-đại số A phép đồng cấu binoid ϕ : M → A Khi tồn phép đồng cấu R-đại số φ : R [M ] → A cho sơ đồ sau giao hoán M ι ϕ < / A φ  R [M ] Đặc biệt, A = R, R- spec M ∼ = R- Spec R [M ] π Chứng minh Xét hợp thành ánh xạ tắc M → RM → R [M ] Theo tính chất phổ dụng đại số vị nhóm, xem Mệnh đề 2.1.14, ϕ cảm sinh đồng cấu R-đại số ϕ˜ : RM → A với rT a → α (r) ϕ (a), α : R → A đồng cấu đại số, r ∈ R a ∈ M Vì ker π = RT ∞ ⊆ ker ϕ, ˜ đồng cấu Rđại số ϕ˜ cảm sinh phép đồng cấu vành φ : R [M ] → A với φπ = ϕ∼ cho rT a → α (r) ϕ (a) , r ∈ R, a ∈ M Vậy φ phép đồng cấu R-đại số Hệ sau đại số binoid xác định tính chất phổ dụng Hệ 2.2.4 Cho α : R → S đồng cấu vành φ : M → M ′ đồng cấu binoid Khi có đồng cấu vành ′ φ : R [M ] → S[M ] với φ (rT a ) → α (r) ϕ (a) , r ∈ R, a ∈ M Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3, ϕ cảm sinh phép đồng cấu R-đại số φ˜ cho biểu đồ sau giao hoán 36 M ϕ / M ιM ′ ιM  R [M ] φ˜ /R ′  M ′ α ˜ / L M ′ Khi φ = α ˜ φ˜ phép đồng cấu vành nhất, α ˜ : rT a → α (r) T a Ghi 2.2.5 Có hai trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.4 (1) Nếu ϕ = idM có đồng cấu vành α [M ] : R[M ] → S[M ] Hơn nữa, tập hợp S sinh S R-môđun (hoặc R-đại số) sinh S[M ] R[M ]-môđun (hoặc R[M ]-đại số) tập phần tử độc lập tuyến tính S R độc lập tuyến tính S[M ] R[M ] Đặc biệt, sở giữ nguyên không thay đổi chuyển sang đại số binoid Hơn nữa, α tồn cấu, α [M ] tồn ánh (2) Xét S = R Trong trường hợp có đồng cấu R-đại số R [ϕ] : R [M ] → R [N ] ϕ đơn cấu (toàn cấu) R [ϕ] đơn cấu (toàn cấu) Hệ 2.2.6 Cho M binoid (1) Nếu N binoid M đại số binoid R [N ] R-đại số R [M ] (2) Nếu a iđêan R (R/a) [M ] ∼ = R [M ] /aR [M ] (3) Nếu M giao hoán I iđêan M R [M/I] ∼ = R [M ] /R [I] ∼ = RM/RI (4) Nếu M giao hốn S binoid M S˜ = {T a | a ∈ S} tập đóng nhân R [M ] có đẳng cấu S˜−1 (R [M ]) ∼ = R (MS ) (5) Nếu A R-đại số A ⊗R R [M ] ∼ = A [M ] 37 (6) Nếu S tập đóng nhân R R [M ]S ∼ = RS [M ] Chứng minh (1) Kiểm tra theo định nghĩa (2) Đặt π : R → R/a tồn ánh tắc Hạt nhân đơn cấu vành cảm sinh R [π] : R [M ] → (R/a) [M ] , xem Hệ 2.2.4, bao gồm tất f ∈ R [M ] với hệ số a, điều chứng tỏ (2) (3) Toàn cấu binoid M → M/I cảm sinh toàn cấu R-đại số R [M ] → R [M/I] Hệ 2.2.4 Hạt nhân xác định R [M/I] ∼ = R [M ] /R [I] a∈I • RT a = R [I] , (4) Theo Hệ 2.2.4, ánh xạ tắc ιS : M → MS cảm sinh đồng cấu R-đại số ˜ιS : R [M ] → R [MS ] Đặt ι : R [M ] → S˜−1 (R [M ]) biểu thị đồng cấu × vành tắc Vì ι (S) ⊆ S˜−1 (R [M ]) , nên theo tính chất phổ dụng địa phương hóa ta có sơ đồ giao hốn sau: ι/ R [M ] ιS˜ ψ x  S˜−1 (R [M ]) R [MS ] Trong đồng cấu R-đại số cảm sinh ψ đẳng cấu với nghịch đảo đưa cách viết lại phần tử R [MS ] theo cách sau n n rj T aj −fj = j=1 rj T aj −0 i=j T fi −0 n → rj T aj n i=1 T fi −0 j=1 i=j T T fi fi = n a′ j=1 rj T , Tf i=1 ′ với a = aj + S˜−1 (R [M ]) i=j fi ∈ M f = n i=1 fi ∈ S Đây phần tử (5) Ta có A ⊗R R [M ] ∼ = (A ⊗R RM ) / (1 ⊗ T ∞ ) ∼ = AM/(T ∞ ) ∼ = A [M ] , đẳng cấu Hệ 2.1.15 (2) (6) Ta có R [M ]S ∼ = RS ⊗R R [M ] ∼ = RS [M ] , với đẳng cấu sau (5) Hệ 2.2.7 Cho I ⊆ M iđêan e ∈ I phần tử lũy đẳng (tức e2 = e) cho RI K-đại số với đơn vị e Khi đó: RM → RI × R[M/I] 38 xác định φ(x) = (ex, π(x)), π : RM → R[M/I] kí hiệu cho đồng cấu tắc, đẳng cấu đại số Đặc biệt, RM ∼ = R × R[M ] R-đại số Chứng minh Theo giả thiết, có đẳng cấu R-đại số RM ∼ = RI × (1 − e)RM (1 − e)RM ∼ = RM/RI ∼ = R[M/I], theo Hệ 2.2.6 Vì π((1 − e)x) = π(x), với x ∈ RM ker π ∩ (1 − e)RM = RI ∩ (1 − e)RM = 0, nên giới hạn π (1 − e)RM đẳng cấu (1 − e)RM ∼ = R[M/I] Từ ta có RM → RI × R[M/I] Trường hợp I = RT ∞ , ta có RM ∼ = K × K[M ] Để tìm hiểu R[M ] miền nguyên ta giới thiệu khái niệm binoid quy khơng xoắn Định lý 2.2.8 Đại số binoid R [M ] miền nguyên R miền M binoid quy khơng xoắn Chứng minh Nếu R [M ] miền nguyên, binoid M phải nguyên Do R [M ] ∼ = RM • Từ Mệnh đề 2.1.16 ta suy điều phải chứng minh 2.3 Iđêan đại số binoid Chú ý iđêan I binoid M xác định iđêan đơn thức R [M ], cụ thể là: RT a R [I] = a∈I Ngược lại, với iđêan a ⊆ R [M ] có iđêan số mũ M , I (a) = {a ∈ M | T a ∈ a} Ta dễ dàng kiểm tra tính chất sau Bổ đề 2.3.1 (1) Giả sử I J hai iđêan M Khi đó: (a)R [I ∪ J ] = R [I] + R [J ] (b) R [I ∩ J ] = R [I] ∩ R [J ] 39 (c) R [I + J ] = R [I] R [J ] (2) R [I (a)] ⊆ a với iđêan a R [M ] Hơn nữa, a b iđêan đơn thức R [M ] thì: (a) R [I (a)] = a Cụ thể, I (−)thành lập song ánh tập hợp iđêan M tập hợp iđêan đơn thức R [M ] với ánh xạ nghịch đảo R [−] , I → R [I] a → I (a) (b) b ⊆ a I (b) ⊆ I (a) (c) Nếu a iđêan I (a) Mệnh đề 2.3.2 Cho R trường Nếu M dương R [M+ ] iđêan tối đại R [M ] Chứng minh Chúng ta có R∼ = R [{0, ∞}] = R [M/M+ ] = R [M ] /R [M+ ] , đồng thức sau Hệ 2.2.6 (3) Kết sai binoids khơng dương Ví dụ, ta xét nhóm binoid M = (Z/nZ) ∞ với n ≥ Khi R [M ] /R [M+ ] = R [M/M+ ] = R [M ] ∼ = R [X] / (X n − 1) , trường X − ước khơng Cụ thể, ta có R [M+ ] = R [(∞)] = iđêan tối đại R [M ] Hệ 2.3.3 Cho R trường Nếu M hữu hạn sinh dương n dimR R [M ] / (R [M+ ]) = H (n, M ) , ta sử dụng quy ước a0 = R cho iđêan a vành R Chứng minh Chúng ta có n RT a R [M ] / (R [M+ ]) = R [M ] / (R [nM+ ]) = R [M/nM+ ] = a∈(M/nM+ )• R-khơng gian vectơ, n dimR R [M ] / (R [M+ ]) = (M/M+ ) 40 −1 = H (n, M ) 2.4 R[N]–môđun Khái niệm đại số binoid cho binoid tổng quát cho N -tập tùy ý (S, p); nghĩa là, với N -tập (S, p) người ta liên kết R [N ]-môđun R [S] Định nghĩa sau R [S] cho thấy nhiều kết đại số binoid đưa Mục 2.2 tổng quát cho N -tập R [N ]-môđun liên kết chúng binoid {0, ∞}-tập Định nghĩa 2.4.1 Cho N -tập hợp (S, p) R [S] định nghĩa R [N ]-môđun xác định tập hợp tất tổng thức rs X s với T ⊆ S ∗ hữu hạn, s∈T rs ∈ R phép nhân vô hướng xác định  r r X a+s , a + s = p, a s a s X rs X =  , a+s=p a ∈ N s ∈ S Ví dụ 2.4.2 Iđêan R [I] R [M ]-mơđun hiểu xây dựng từ M -tập (I, ∞) Bằng kiểm tra trực tiếp, ta có kết sau Bổ đề 2.4.3 S N -tập hợp hữu hạn sinh R [S] R [N ]-môđun hữu hạn sinh Mỗi R [N ]-môđun V N -tập hợp với phép toán (trái) N (V, 0) xác định N × V → V, (a, v) → a + v = X a · v Đặc biệt, R [S] lại N -tập với N −tập (S, p) R = 0, ta có đơn cấu tắc N -ánh xạ ıS : S → R [S] , s → X s R[N ]-môđun N -tập xác định sai khác đẳng cấu Mệnh đề 2.4.4 Cho (S, p) N -tập hợp V R [N ]-môđun Khi đó, N -ánh xạ ϕ : (S, p) → (V, 0) cho ta đồng cấu R [N ]-môđun 41 φ : R [S] → V cho sơ đồ sau giao hoán: ϕ S ιS /V < φ  R [S] Chứng minh : Ánh xạ φ xác định rs X s φ = s∈T rs ϕ (s) , s∈T với rs ∈ R, s ∈ T T ⊆ S • hữu hạn, đồng cấu R-môđun định nghĩa φıs = ϕ Để chứng minh φ đồng cấu R [N ]-các mơđun có ϕ (a + s) = a + ϕ (s) = X a ϕ (s) cho tất a ∈ N s ∈ S Do đó, F = a∈A X a ∈ R [N ] s∈T rs X s ∈ R [S] với tập hữu hạn A ⊆ N • T ⊆ S \ {p} rs X s φ F s∈T  = φ F a∈A,s∈T =  rs X a+s  rs ϕ (a + s) a∈A,s∈T rs X a ϕ (s) = a∈A,s∈T rs ϕ (s) = F s∈T rs X s = F.φ s∈T Hệ 2.4.5 Cho N -ánh xạ ϕ : S → T N -tập hợp (S, p) (T, q) , tồn đồng cấu R [N ]-môđun φ : R [S] → R [T ] cho sơ đồ sau giao hoán: ϕ S /T ιS ιT  R [S] R[ϕ]  / R [T ] Đặc biệt, tồn đồng cấu binoid mapp S, o, idS, ϕ∞ → EndR R [S] , o, idR[S] , 0R[S] 42 với ϕ → R [ϕ] , EndR R [S] biểu thị vành tất đồng cấu Rmôđun R [S] → R [S] 0R[S] ánh xạ không Chứng minh Đây kết suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.4.4 áp dụng cho N −ánh xạ xác định hợp thành ıT ϕ : S → T → R [T ] Cụ thể, R [ϕ] : R [S] → R [T ] cho rs X ϕ(s) với F = R [ϕ] (F ) = s∈S ′ s∈S ′ ′ rs X s ∈ R [S] ′ rs ∈ R, s ∈ S S ⊆ S hữu hạn Điều chứng tỏ R [ϕoψ] = R [ϕ] oR [ψ] , R [idS ] = idR[S] R [ϕ∞] = 0R[S] Suy khẳng định thứ hai Mệnh đề 2.4.6 Cho (S, p) N -tập hợp Khi R [S] R [N ]-môđun cho sơ đồ sau giao hoán ϕ N / map ιN pS R[−]  φ R [N ] /  EndR R [S] ϕ đồng cấu binoid φ đồng cấu vành Chứng minh Phép tốn N × S → S, (a, s) → a + s cảm sinh phép tốn tắc R [N ] × R [S] → R [S] sinh (ra T a , rs T s ) → rs T a+s Do đó, có phép đồng cấu vành φ : R [N ] → EndR R [S] với F → (φ (F ) : G → G.F ) mà làm cho sơ đồ giao hoán 2.5 Đại số binoid N -binoid Theo Ghi 2.2.5 (2), đồng cấu cấu trúc ϕ : N → M N -binoid M cảm sinh đồng cấu vành R [ϕ] : R [N ] → R [M ] Điều xác định cấu trúc R [N ]-đại số R [M ] Hệ 2.5.1 Mọi đồng cấu ϕ : M → M N -binoids cảm sinh ′ ′ đồng cấu R [N ] −đại số φ : R [M ] → R[M ] với φ (rT a ) = rT ϕ(a) , r ∈ R, a ∈ M ∗ 43 Chứng minh Điều suy từ Hệ 2.2.4 (với R = L α = idR ) sơ đồ giao hoán N ψ M ψ ~ ϕ ′ /M ′ ′ ψ ψ ′ đồng cấu cấu trúc M M Hệ sau khái quát thành N -tập hợp Hệ 2.5.2 Cho (Mi )i∈I họ hữu hạn N -binoids giao hoán Khi R N Mi ∼ = R[N ] R [Mi ] i∈I i∈I R-đại số Đặc biệt, Mi ∼ = R R R [Mi ] i∈I i∈I Chứng minh Sử dụng quy nạp ta cần chứng minh với I = {1; 2} Đặt M1 = M ′ M2 = M binoid giao hoán Ta có sơ đồ giao hốn R-đại số: R [M ]  R [N ] ϕ ι R [M ] ⊗R[N ] R M ) ′ R M ∧N M ′ O ι ′ ' R M ϕ ′ ′ ′ ′ ι ι bao hàm thức tắc, ϕ ϕ đồng cấu R [N ]-đại ′ ′ ′ số cảm sinh phép nhúng M ֒→ M ∧N M M ֒→ M ∧N M theo Hệ 2.5.1 Do tính phổ dụng tích tensor, có đồng cấu R-đại số ψ : R [M ] ⊗R[N ] R M ′ → R M ∧N M ′ , ′ ′ với ψ : R F ⊗R[N ] G = ϕ (F ) ϕ (G) , đồng cấu R [N ]-đại số ϕ ϕ đồng cấu R[N ]-đại số Mặt khác, ta có đồng cấu binoid: ′ M ∧N M → R [M ] ⊗R[N ] R M 44 ′ ′ ′ , a ∧N a → T a ⊗R[N ] T a Do theo Mệnh đề 2.2.3 ta có đồng cấu R-đại số R M ∧N M ′ với r a ∧N a ′ → r T a ⊗R[N ] T a → R [M ] ⊗R[N ] R M ′ ′ , Đó đồng cấu R[N ]-đại số nghịch đảo ψ Hệ 2.5.3 Nếu M N -binoid giao hốn hữu hạn sinh, R [M ] R [N ]-đại số hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử {x1 , , xr } tập hợp sinh M Theo Ghi 2.2.5 (2) Hệ 2.5.2, toàn cấu binoid ϕ : N ∧ (Nr ) ∞ → M, a ∧ (n1 , , nr ) x → ϕ (a) + n1 x1 + + nr xr cảm sinh toàn cấu R-đại số R [ϕ] : R [N ] [X1 , , Xr ] → R [M ] , với rT a X ν → rT ϕ(a) X ν , ν = (n1 , , nr ) Rõ ràng, R [ϕ] đồng cấu R [N ]đại số Do ta có điều phải chứng minh 45 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu binoid đại số binoid Luận văn đạt kết sau: - Tìm hiểu binoid, tập định điểm mối liên hệ - Tìm hiểu số lớp binoid đặc biệt: binoid hữu hạn sinh, binoid tự do, binoid nửa tự do, binoid rút gọn, rút gọn mạnh, binoid dương khơng xoắn, tích smash - Tìm hiểu tích smash, tác động binoid tập định điểm, địa phương hóa, tập sinh binoid - Tìm hiểu đại số binoid, iđêan đại số binoid đại số binoid 46 Tài liệu tham khảo [1] D D Anderson, E W Johnson (1984), Ideal theorey in commutative semigroups, Semigroup Forum 30, 127–158 [2] B Batsukh (2014), Hilbert-Kunz theorem for binoids, PHD thesis, Osuabruck [3] S Boettger (2015), Monoid with absorbing elements and their associated algebras, PHD Thesis, Osnabruck [4] W Bruns, J Gubeladze (2009), Polytopes, rings and K-theory, Monographs in mathematics, Springer, New York [5] R Gilmer (1984), Commutative semigroup ring, Chicago lectures in mathematics, Chicago [6] P A Grillet (1995), Semigroups - An introduction to the structure theory, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 193, New York [7] P A Grillet (2001), Commutative semigroups, Advances in mathematics 2, Dordrecht [8] E Miller, B Sturmfels (2005), Combinatorial commutative algebra, Graduate texts in mathematics 227, Springer, New York [9] D P Patil, U Storcho (2010), Introduction to Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Singapore [10] J C Rosales, P A García-Sánchez (2009), Numerical semigroups, in mathematics 20, Springer, New York 47 ... iđêan binoid giao hốn Chương tìm hiểu đại số đại số binoid, iđêan đại số binoid, cấu trúc môđun đại số Chương Binoid 1.1 Binoid đồng cấu binoid Phần giới thiệu định nghĩa binoid số tính chất binoid. .. ∈ I ⊆ N+ 30 Chương Đại số binoid Trong chương này, tìm hiểu đại số mơđun liên kết với binoid, N-tập N -binoid Trước tìm hiểu đại số binoid, nhắc lại số khái niệm đại số đại số vị nhóm cần thiết... gọi binoid Đại số kết hợp với binoid gọi đại số binoid M, ký hiệu R[M ] xác định đại số thương R[M ] := RM/(X ∞ ), RM = a∈M RX a đại số vị nhóm, (X ∞ ) iđêan RM sinh X ∞ Như vậy, đại số binoid