Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực biểu diễn toán học ở lớp 10 THPT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NÔNG THỊ PHƯƠNG DẠY TOÁN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NƠNG THỊ PHƯƠNG DẠY TỐN THEO HƯỚNG TIẾP CẬN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC Ở LỚP 10 THPT Ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS.TS Đào Thái Lai nhiều thầy, cô giáo Những kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nơng Thị Phương i LỜI CẢM ƠN Luận văn “Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển lực biểu diễn toán học lớp 10 THPT” hoàn thành kết trình học tập nghiên cứu tác giả với hướng dẫn tận tình nhiều thầy cô, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đào Thái Lai, người tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy khoa tốn trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên quan tâm tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời biết ơn đến quý tác giả cơng trình, báo, luận văn, luận án mà tác giả dùng làm tài liệu nghiên cứu, tham khảo cho luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện, giúp đỡ mặt để hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót cần góp ý sửa chữa Tác giả mong nhận ý kiến, góp ý thầy giáo, giáo bạn bè, đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Nông Thị Phương ii MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Quan niệm lực, lực toán học 1.1.1 Năng lực 1.1.2 Năng lực toán học 1.2 Năng lực biểu diễn toán học 1.2.1 Biểu diễn toán học 1.2.2 Biểu diễn tốn học mơn tốn THPT 1.2.3 Đặc điểm biểu diễn toán học sách giáo kh 1.2.4 Năng lực biểu diễn toán học 1.2.5 Các mức độ, thành tố lực biểu diễn toán h 1.2.6 Ảnh hưởng lực biểu diễn toán học kết học tập mơn tốn học sinh THPT 1.3 Ngơn ngữ tốn học iii 1.3.1 Ngơn ngữ, ngơn ngữ tốn học 32 1.3.2 Ngôn ngữ toán học sách giáo khoa toán 10 36 1.3.3 Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học 38 1.4 Mối quan hệ lực BDTH với lực sử dụng NNTH lực GTTH 39 1.4.1 Mối quan hệ lực BDTH lực sử dụng NNTH 39 1.4.2 Mối quan hệ lực BDTH lực GTTH 40 1.5 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ hoạt động học tập HS lớp 10 41 1.5.1 Đặc điểm nhân cách, trí tuệ học sinh lớp 10 41 1.5.2 Đặc điểm hoạt động học tập học sinh lớp 10 42 1.6 Khảo sát thực trạng vấn đề phát triển lực BDTH dạy học toán 10 trường THPT 43 1.6.1 Mục đích khảo sát 43 1.6.2 Đối tượng khảo sát 43 1.6.3 Nội dung khảo sát 43 1.6.4 Phương pháp khảo sát 43 1.6.5 Kết khảo sát .43 1.7 Kết luận chương .47 Chương BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 THPT 49 2.1 Định hướng đề xuất biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT .49 2.2 Biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT 51 2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức cho HS hoạt động nhận biết, hiểu sử dụng dạng biểu diễn đối tượng, quan hệ bước biến đổi toán học .51 iv 2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức cho HS hoạt động liên kết, biến đổi tạo BDTH trình tư để biểu diễn biểu diễn để tư .64 2.2.3 Biện pháp 3: Xây dựng tổ chức hoạt động học tập theo hướng tăng cường hoạt động BDTH 72 2.3 Kết luận chương .82 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 84 3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 84 3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm .100 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 101 3.4.1 Đánh giá định tính 101 3.4.2 Đánh giá định lượng .102 3.5 Kết luận chương 105 KẾT LUẬN 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 108 PHỤ LỤC .112 v Viết tắt HS GV BDTH GTTH SGK SBT NNTN NNTH THCS THPT CTGD PISA NCTM vi DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b .11 Bảng 1.2: Khối lượng nhóm cá mè thứ 18 Bảng 1.3: Khối lượng nhóm cá mè thứ 19 Bảng 1.4: Bảng minh họa định lí dấu tam thức bậc hai 31 Bảng 1.5 32 Bảng 1.6: Ý kiến GV việc bồi dưỡng lực BDTH cho HS .43 Bảng 1.7: Nhận xét GV khả hiểu sử dụng NNTH BDTH HS lớp 10 Bảng 1.8: 44 Tự nhận xét hs lớp 10 khả hiểu sử dụng NNTH BDTH 44 Bảng 1.9: GV đánh giá khả sử dụng bdth học tập 45 Bảng 1.10: GV nhận xét việc sử dụng bdth học toán 46 Bảng 2.1: Khối lượng 30 củ khoai tây thu hoạch nông trường T 66 Bảng 2.2: Bảng phân bố tần số, tần suất khối lượng 30 củ khoai tây 67 Bảng 2.3: Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp khối lượng 30 củ khoai tây 68 Bảng 2.4: Phân tích đại lượng 75 Bảng 3.1: Kết hai lớp trước thực nghiệm .103 vii DANH MỤC HÌNH, BIỂU ĐỒ Hình 1.1: Minh họa nội dung định lí dấu nhị thức f(x)=ax+b đồ thị 11 Hình 1.2: Minh họa biểu diễn hình vẽ 13 Hình 1.3: Minh họa biểu diễn cơng cụ hỗ trợ .14 Hình 1.4: Biểu diễn không tiêu chuẩn 16 Hình 1.5: Minh họa biểu diễn bên ngồi .17 Hình 1.6: Biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn 3x 2y = 721 Hình 1.7: Minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn .22 Hình 1.8: Biểu diễn hình học miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 2x + y ≤ Hình 1.9: 22 (Nguồn: SBT Đại số 10) 24 Hình 1.10: (Nguồn: SBT Đại số 10) 24 Hình 1.11: Minh họa miền nghiệm Graph 27 Hình 1.12: Minh họa hình học dấu tam thức bậc hai 31 Hình 1.13: (Nguồn: SBT Đại số 10) 34 Hình 1.14: Giá trị lượng giác góc đặc biệt .38 Hình 2.1 56 Hình 2.2: Cổng parabol trường Đại học Bách khoa Hà Nội 56 Hình 2.3 57 Hình 2.4 58 Hình 2.5 60 Hình 2.6 62 Hình 2.7 63 Hình 2.8 64 Hình 2.9 68 Hình 2.10 68 Hình 2.11 68 viii Phụ lục BÀI KIỂM TRA TRƯỚC THỰC NGHIỆM Câu 1: Cho hình vẽ mô tả đồ thị vận tốc v (m/s) theo thời gian t (s) xe lộ trình ngắn 45s a) Vận tốc xe giây thứ 10 bao nhiêu? b) Vận tốc tối đa (m/s) xe quãng đường là: c) Viết biểu thức vận tốc v theo thời gian khoảng thời gian từ [5; 15] d) Tính độ dài quãng đường mà xe di chuyển từ lúc người lái đạp chân phanh để giảm tốc độ ? Nêu phương pháp giải trình bày lời giải Câu 2: Cho hình vẽ sau: a) Đặt đề phù hợp với hình vẽ b) Nêu phương pháp giải c) Trình bày lời giải Phụ lục ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM Câu 1: Cho quỹ đạo chuyển động sau: a) Đặt đề toán theo quỹ đão cho (gợi ý: cho tìm) b) Hãy tìm hàm số bậc hai mô tả quỹ đạo chuyển động Nêu phương pháp giải trình bày lời giải Câu 2: Cho đồ thị hàm số sau, cho biết: Điểm A B đồ thị có tọa độ ? Tìm thêm số điểm thuộc đồ thị ? Đồ thị hàm số: Câu 3: Bài toán cầu Gateshead Millennium (Anh) Cầu Gateshead Millennium (Anh) cầu có dạng parabol bề lõm quay xuống Giả sử lập hệ tọa độ Oxy cho chân cầu qua gốc O (x y(m)) chân cầu bên vị trí có tọa độ (162; 0) Biết điểm A thân cổng có tọa độ (10; 43) Hãy tính tọa độ điểm cao cầu Phụ lục BIỂU DIỄN TOÁN HỌC TRONG MỘT SỐ NỘI DUNG CỦA ĐẠI SỐ 10 Chương 1: Mệnh đề Tập hợp Mệnh đề: (mệnh đề chưa biến, phủ định mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương) Có hai cách đưa mệnh đề, GV nên rèn luyện cho HS cách biểu diễn thứ để HS dễ dàng tìm mệnh đề chứa biến, phủ định mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương C1: (Dùng NNTN) C2: (Dùng NNTH) Ví dụ: Cách P: “a số nguyên” P: “ABC tam giác đều” Kí hiệu ∀ ∃: rèn luyện cho HS cách chuyển đổi hai biểu diễn, HS thành thạo làm tập chuyển đổi từ NNTN sang NNTH với thuật ngữ, kí hiệu xác Ví dụ: NNTN: “Có số nguyên nhỏ 0” NNTH:∃ ∈ ℤ: 0, xuống a <  Chiều biến thiên hàm số bậc hai Nội dung định lí biểu diễn NNTH bảng, đồ thị, Tùy vào đặc điểm HS, GV lựa chọn cách biểu diễn tốn học phù hợp Chương 3: Phương trình Hệ phương trình Đối với nội dung phương trình, hệ phương trình, BDTH sử dụng chủ yếu nêu định nghĩa phương trình, hệ phương trình minh họa, biểu diễn tập nghiệm phương trình, hệ phương trình Tập nghiệm phương trình biểu diễn qua tập hợp, qua dạng công thức, kí hiệu tốn học, qua bảng hay đồ thị Ví dụ: định nghĩa hệ phương trình bậc ba ẩn theo NNTH: Hệ phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát 1+1+1=1 {2+2+2=2 3+3+3=3 Trong x, y, z ba ẩn; chữ lại hệ số Mỗi ba số (xo; yo; zo) nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình Ví dụ: giải phương trình √3 − + = √3 − + ta nghiệm x=1 hay tập nghiệm phương trình tập A={1} Ví dụ: Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn: 3x - 2y = Cách biểu diễn 1:Tập nghiệm A ={(x; y)/ 3x - 2y = 7} Cách biểu diễn 2: X Y Cách biểu diễn 3: Bên cạnh đó, dạng phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối chuyển đổi thành dạng biểu diễn tương đương giúp HS dễ dàng giải tìm nghiệm phương trình Ví dụ trường hợp | ( )|=g(x) chuyển thành [ ( )= ( ) trường hợp | ( )|=-g(x) chuyển thành [ ( )=− ( ) − ( )= ( ) − ( )=− ( ) Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình NNTH sử dụng nhiều nêu nội dung định nghĩa, khái niệm bất đẳng thức, bất phương trình bất đẳng thức hệ quả, bất đẳng thức tương đương, bất đẳng thức cô – si hệ quả, khái niệm bất phương trình ẩn, hệ bất phương trình ẩn,  Các tính chất BĐT tóm tắt biểu diễn bảng:  Dấu nhị thức bậc Định lí dấu nhị thức bậc phát biểu dạng biểu diễn ngơn ngữ, kí hiệu: Nhị thức f(x)=ax+b có giá trị dấu với hệ số a x lấy giá trị − − khoảng ( ; +∞), trái dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng (-∞; ) Minh họa trục số Minh họa đồ thị  Bất phương trình bậc hai ẩn – Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bất phương trình bậc hai ẩn, hệ bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm nên để mô tả nghiệm chúng người ta thường sử dụng BDTH, cụ thể biểu diễn hình học Ví dụ: Miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 2x + y ≤ Cách 1: A = {M(x0; y0)|2 + ≤ 3} Cách 2: biểu diễn hình học  Dấu tam thức bậc hai Định lí dấu tam thức bậc hai (SGK Đại số 10, trang 101) Đầu tiên định lí phát biểu dạng biểu diễn ngơn ngữ, kí hiệu: Cho f(x) = ax2 + bx +c (a ≠0), ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < f(x) ln dấu với hệ số a, với x ∈ ℝ Nếu ∆ = f(x) dấu với hệ số a, trừ x = − Nếu ∆ > f(x) dấu với hệ số a x < x1 x > x2, trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 x1, x2, (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Minh họa bảng: ∆ 0 Trong đó: x1, x2, (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Minh họa hình học: (SGK Đại số, trang 102) Chương 5: Thống kê Trong chương này, BDTH sử dụng chủ yếu thống kê, trình bày số liệu thu thập để giải tối ưu yêu cầu toán Các số liệu thu thập biểu diễn bảng phân bố tần số tần suất (tùy theo yêu cầu bài), biểu diễn biểu đồ hình cột hay đường gấp khúc, biểu đồ hình quạt, tùy vào lực tốn học thân mà HS có lựa chọn biểu diễn phù hợp để giải yêu cầu toán nhanh xác Ví dụ: cho bảng chiều cao 36 HS (SGK ĐS 10, trang 111) 158 150 164 Yêu cầu: nêu nhận xét chiều cao 36HS Đa số HS có chiều cao bao nhiêu? Để giải yêu cầu bài, HS cần xử lí số liệu cách lập bảng tần số tần suất ghép lớp Từ bảng, nhiều HS đưa kết để dễ dàng nên vẽ biểu đồ tần suất hình cột Ngồi ra, cịn tốn xử lí số liệu dạng phần trăm hay cho bảng phân bố tần số, tần suất, tùy yêu cầu ta cần chọn cách biểu diễn phù hợp dạng đường gấp khúc, biểu đồ hình cột, biểu đồ quạt, Như tập 2, SGK ĐS 10, trang112 Chương 6: Cung góc lượng giác Cơng thức lượng giác NNTH sử dụng nhiều nêu nội dung khái niệm đường tròn định hướng, cung lượng giác, góc lượng giác,  BDTH cung lượng giác: C1: Cung lượng giác AM có số đo -25 C2: sđ ↷ =-25 4 C3: Biểu diễn đường tròn lượng giác  Giá trị lượng giác cung Cách 1: Biểu diễn sử dụng kí hiệu tốn học cos sin tan Trong đó:sđ ↷ = = ; ̅̅ ; ; M=(x;y) ̅̅ = Cách 2: Biểu diễn ngôn ngữ Trên đường trịn lượng giác cho cung ↷ có sđ ↷ = sin (sin ≠ 0) ̅̅̅ Tung độ y =của điểm M gọi sin ̅̅̅ Hoành độ x = Nếu cos ≠ 0, tỉ số kí hiệu tg ) Nếu sin ≠ 0, tỉ số cos sin gọi cơtang kí hiệu cot (người ta cịn dùng kí hiệu cotg ) Cách 3: Biểu diễn hình vẽ minh họa  BDTH tan hay cot : sin tan = cos ̅̅̅ Tan = ; cot = ... pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học mơn tốn lớp 10 THPT Xuất phát từ lí trên, tơi chọn nghiên cứu đề tài: Dạy toán theo hướng tiếp cận phát triển lực biểu diễn toán học lớp. .. PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 THPT 49 2.1 Định hướng đề xuất biện pháp phát triển lực biểu diễn toán học cho học sinh dạy học toán 10 THPT .49... vấn đề phát triển lực biểu diễn toán học dạy học mơn tốn cho học sinh vấn đề phát triển lực biểu diễn tốn học dạy học mơn toán cho học sinh lớp 10 đến chưa có Đối với mơn tốn cấp THPT, học sinh