de hsg dap an 11 de xuat cum thpt quoc oai

Câu IV 6 điểm: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên đều là hinh vuông.. a Tính diện tích thiết diện bởi mặt phẳng MNE cắt lăng trụ.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học: 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút SỞ GD&ĐT HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT THẠCH THẤT – QUỐC OAI Câu I (4 điểm): Giải phương trình: (1  cosx)(1+cos2x)(1+cos3x)  Câu II (5 điểm) 1) (2 điểm): Tính A = lim ( x  x3  27 x  1) x   2) (3 điểm): Cho dãy số (un) xác định u1  2011  un1  2011un  2012; n  Chứng minh dãy số (un) là dãy số tăng và bị chặn Câu III (3 điểm): Một hộp đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Hỏi phải rút từ hộp này ít bao nhiêu thẻ để xác suất có ít thẻ ghi số chia hết cho phải lớn Câu IV (6 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, các mặt bên là hinh vuông Gọi M,N,E là trung điểm các cạnh AB, AA’; A’C’ a) Tính diện tích thiết diện mặt phẳng (MNE) cắt lăng trụ b) Tính góc tạo đường thẳng MN và mặt phẳng (BCC’B’) n Câu V (2 điểm): Chứng minh k  ( n  x) C k n x k (1  x) n k  k 0 Hết - x (1  x ) n HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn TOÁN CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM x 3x 2cos 2cos x= 2 x 3x  (cos cos xcos ) = 2 16 x 3x   cos cos xcos    cos x cos xcos 3x    2 BIỂU ĐIỂM  2cos 1.5 đ x 3x (1)  cos cos xcos   2cosx (cos2x +cosx)  2  (2cosx +1)(2cos x  1)  I 2  x =   k 2   cosx =3   2   x =   k  cos2x =0  1.5 đ x 3x (2)  cos cos xcos    4cos3x+2cos2 x-2cosx+1  2 Với cosx   0;1 1 VT  4cos3 x  2(cosx- )    VP 2 Với cosx   -1;0 1.0 đ  4cos x  4cosx=4cosx(cos x  1)    VT  VP  2 c os x  c osx+1=2(cosx+ )    2  PT (2) vô nghiệm 2  k Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =   k 2 ; x =  Chứng minh (un) tăng quy nạp Vì (un) tăng nên un+1>un>2011; n  N *  2011un  2012  un  2011 n  N * II.1  u  2011u n  2012  n  N *  1  u n  2012 n  N *  2011  un  2012 n  N *  (un) bị chặn 1.0 đ 1.0 đ lim ( x  x3  3x  3x  27 x6  1) x   x3  lim (  ) x   x  5x3  3x x  3x 27 x   (27 x  1) A II.2 1.5 đ x5 lim x (  )   1 x      3 27   (27  ) x x x lim x   x   Vì A 1.5 đ x5 III 5 lim   0 x      3 27   (27  ) x x6 x6 Gọi x là số thẻ cần rút để xác suất có ít thẻ ghi số chia hết cho lớn (1  x  10; x  N ) Số cách lấy x thẻ 10 thẻ là C10x Số cách lấy x thẻ thẻ không chia hết cho là C8x C8x C8x      x  14 C10x C10x Vậy x nhỏ 0.5 đ 1.5 đ Ta có  1.Dựng thiết diện K I A C M H B N 2.0 đ IV A’ C’ E B’ F J Trên (ACC’A’) NE  AC  I ; NE  CC '  J  AJ=C'J= Trên (ABC) IM  BC  H  BH = a a Trên (BCC’B’) HJ  B ' C '  F  FC '= a  Thiết diện là ngũ giác MNEFH Tính diện tích thiết diện a 3a 3a 3a 3a IH  3MH   ; HJ  ( )  ( )  2 4 S MNI IM IN 2 S EFJ JE.JF 1    ;    S IHJ IH IJ 3 S HIJ JI JH 3 2.0 đ 3a 3a a 15  S MNEFH  S IHJ  S MNI  S JEF  S HIJ   3 4 16 MN  HF  K  K  BB ' MH  ( BCC ' B ')  Góc MN và (BCC’B’) là góc MKH   a a a MH   ; MK  MN  2.2 a 3  sin =  a 2    arcsin ( ) 2 n n k k 2kx k k nk (  x ) Cn x (1  x )  (   x )Cnk x k (1  x ) nk  n k 0 n k 0 n n 2x n    k (k  1)  k  Cnk x k (1  x) nk   kCnk x k (1  x ) nk n k 0 n k 0 2.0 đ n V x k n C x k (1  x ) nk k 0 n x   n(n  1)Cnk22 x k 2 (1  x) nk  n k 2 x n x2 n k 1 k 1 n k +  nCn1 x (1  x)  nCnk11 x k 1 (1  x ) nk  x ( x   x) n  n k 1 n k 1 x ( n  1) x  x  x x(1  x )    x2  x2   n n n n * Lưu ý: - Thí sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa - Làm tròn đến 0.5 điểm 2.0