Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm D,E,F không trùng với các đỉnh của tam giác s/c các đoạn thẳng AE, BF, CD không đồng qui.. Cmr các tứ giác DRQB, EQPC, FP[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2001-2002 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề - x y mx Câu Cho hpt y x my (với m là tham số) a) Giải hệ với m=1 b) Tìm tất các giá trị m để hệ có nghiệm dạng x y (a b)(b c)(c a) a b c p 1 , a, b, c abc abc Câu Tìm số p lớn cho Câu Cho tứ diện ABCD vuông A Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên (BCD), cho AH=h Gọi B1 , C1 , D1 là hình chiếu vuông góc điểm H lên các đường thẳng AB, AC , AD a) Cmr B, C , D, B1 , C1 , D1 cùng thuộc mặt cầu (S) Giải sử BCD là tam giác cạnh a Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) theo h b) Cho A,H cố định còn B,C,D thay đổi Cmr (S) luôn qua hai điểm P,Q cố định, rõ cách xác định hai điểm P,Q 2 Câu Cho f1 ( x) a1 x b1 x c1; f ( x ) a2 x b2 x c2 là hai đa thức bậc hai với hệ số nguyên dương, đa thức có nghiệm chúng không có nghiệm chung Với số tự nhiên n (n=0,1,2, ), gọi d n là ước chung lớn f1 ( n) & f (n) Cmr dãy d n là dãy bị chặn Câu Hãy xác định tất các hàm số f : thỏa mãn hai điều kiện sau: i ) f ( f ( n)) n 4, n ii ) f (2001) 2004 -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (2) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2002-2003 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề - Câu Cho bpt x (1 | x |)(3mx x ) a Gbpt với m b Tìm GTLN m để bpt đã cho nghiệm đúng với x ( x x 13) y 20 ( y y 13) z 20 ( z z 13) x 20 Câu Cho hệ phương trình a) G/sử ( x0 ; y0 ; z0 ) là nghiệm hệ Chứng tỏ Max x0 ; y0 ; z0 4 b) Giải hpt a b5 1 a, b, x, y 0 & 5 x y 1 Cmr: a x b y 1 Câu Cho Câu Cho G/sử h/số f ( x) xác định trên tập số nguyên x và thỏa mãn hệ điều x ; y x y f ( x y ) f ( x) f ( y ) kiện a) Cho 2 & f (2) 0 Cmr f ( x) 0, x 2 b) Tìm tất các giá trị h/s f ( x) Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi F là giao điểm hai đường chéo AC,BD E MN AB CD EF CD AB là giao điểm AD, BC M,N là trung điểm AB, CD Cmr -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (3) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2004-2005 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề - Câu Cho h/s P ( x ) cos x m(cos x sin x) 2,(m ) a Tìm Max, h/s m=1 x 2k , k b Tìm các giá trị m để h/s đạt cực trị Câu Giải hpt ( x y 1) x ( x y 1) y log ( x 2) 1 log (1 y ) Câu Cho tam giác ABC có chu vi và có góc không nhỏ 90 a Tính diện tích tam giác A=90, B=30 b Tim diện tích lớn tam giác ABC Câu Trên các cạnh AB, BC, CA tam giác ABC tương ứng lấy các điểm D,E,F không trùng với các đỉnh tam giác s/c các đoạn thẳng AE, BF, CD không đồng qui Gọi P BF CD; Q AE BF ; R AE CD Giả sử tam giác ADR, BEQ, CFD, PQR có diện tích a Cmr BQP BPA b Cmr các tứ giác DRQB, EQPC, FPRA có diện tích và tính diện tích chúng Câu Tìm tất các đa thức bậc n với hệ số thực, có nghiệm thực và t/m điều kiện f ( x) f (2 x ) f (2 x3 x), x -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (4) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2005-2006 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề - Câu Giải các phương trình sau 2 2 x x a b log 2005 ( x x 2004) log 2006 ( x x 2010) 2 Câu 2 a Xác định k lớn để Bpt sau đúng với x thuộ đoạn [0;1]: k ( x x 1) x x 1 y ; x sin x cos x b Tìm Max, h/s: Câu Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K là trung điểm các đoạn AB, CH Một đường thẳng (d) di động luôn song song với cạnh AB cát AC M và cắt BC N Dựng hcn MNPQ với P,Q thuộc AB J là tâm hcn MNPQ Cmr I, J, K thẳng hàng Câu Cho a, b 0; a b 1 Cmr a b 1 5 a b f ( x ) ax bx c thỏa mãn điều kiện: Câu Xét các tam thức bậc hai f ( x ) , x [-1;1] 2 Tìm GTLN biểu thức P 2006a 2005b -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (5) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2006-2007 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề - x ( x 2) Câu Gpt: Câu Gbpt: x x x Câu Tìm m để hệ sau có nghiệm và giải hệ với giá trị tìm m: sin x cos y m 2m cos x cos y m Câu Cho các số dương a, b,c t/m: a+b+c=1 Tìm GTLN biểu thức P 3a 3b 3c Câu Cho a,b,c>0 Cmr: a3 b3 c3 1 a (b c )3 b (c a )3 c (a b)3 Còn bài hình -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (6) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề - x y x y x y x y 2 Câu Ghpt: Câu Gpt 2log (cot x) log (cos x) Câu Tìm tất các cặp số thực (a;b) để với x ta có a(cos x 1) b cos( ax b ) 0 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy 2, chiều cao h Gọi C1(O;r) là hình cầu nội tiếp C2(K;R) là hình cầu tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết O, K cách mp (ABCD) h2 r h a Cmr b Tìm h và suy thể tích hình chóp Cho f là h/s liên tục trên [0;1] t/m f (0) f (1) Cmr với bất kì số nguyên dương n c [0;1] s/c f (c) f (c ) n nào tồn số thực Câu -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (7) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 3x x 6 (x ) x Câu Giải phương trình: Câu Giải hệ phương trình: y xy 0 2 8 x ( x y) (x,y ) Câu Tìm tất các số thực a, b, p, q cho phương trình: (2 x 1)20 (ax b)20 ( x px q)10 thỏa mãn với x Câu Cho tam giác ABC có diện tích Các điểm M, N nằm trên hai cạnh AB, AC cho AN=BM Gọi O là giao điểm hai đường thẳng BN và CM Biết diện tích tam giác BOC MB a Tính tỷ số AB b Tính góc AOB Câu Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: xy yz zx 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 3y yz y 3z zx z x xy -Hết Chú ý: Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: SBD: (8) LỜI GIẢI VẮN TẮT Câu *) Cách (ngắn nhất) Nhận xét x Đặt a x 9, a x a2 a2 3x 6a x VT 6 VP x x a x a Vậy x 3 *) Cách Vì x , nên bình phương hai vế *) Cách Đạo hàm, khảo sát (dài) Câu (Hệ đẳng cấp bậc 2, xét trường hợp âm, dương – không thỏa mãn) Sử dụng phương pháp biểu thức, Câu Điều kiện cần 20 10 + Cho x=0 được: b q (1) + Cho x , phương trình đã cho có vế trái không dương, vế phải không âm, điều đó cho ta a b 1 p q 0 hai phương trình: Thế a, q vào phương trình đã cho ta được: (2) (3) (2 x 1)20 ( 2bx b)20 ( x px p 10 ) (4) p b20 ( )10 (5) Trong (4), cho x=1 ta p 3 p p q p p ( Lo¹i) 4 Từ (1) và (5) ta suy ra: Từ đó suy cặp giá trị a, b là b 20 ; a b 220 (9) Điều kiện đủ Thay vào thấy hiển nhiên ( x y z) Câu Xét P Vậy ( x y z) xyz 3( xy yz zx ) xyz SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC y Câu Cho hàm số x ( 3y yz ) P( 3( xy yz zx ) xyz) y yz x 3 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— ( m 1) x m log (mx m 2) ( m là tham số thực) Tìm tất các giá trị m để hàm số xác định với x 1 Câu Giải phương trình: x x 3 x 2 x x 16 ( x R) x 2( x x y ) ( x, y R ) y 2( y y x ) Câu Giải hệ phương trình: Câu Cho hình vuông ABCD có cạnh Hai điểm M, N di chuyển trên cạnh AD và DC cho AM x, CN y với x 1; y và MBN 45 (kí hiệu là góc) a) Chứng minh x y 1 xy b) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác BMN Câu Tìm tất các giá trị thực tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 4x2 x 5 ( x 2) x x 16mx 16m 32m 16 0 Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức (10) P đó a là tham số thực và 4a a 4a a a -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1.(2,5 điểm) Giải phương trình x x 2 x x x 1,( x ) 2 x y 3 x y 3 x y 4 Câu 2.(2,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu 3.(1,5 điểm) Tìm tất các giá trị m để hàm số f ( x) (2m 3)sin x (2 m) x đồng biến trên Câu 4.(2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, BC a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=b Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD a) Chứng minh AC ( BMN ) b) Gọi (P) là mặt phẳng qua B, M và cắt (SAC) theo đường thẳng vuông góc với đường thẳng BM Tính khoảng cách từ S đến (P) theo a và b 2 Câu 5.(1,5 điểm) Cho x, y, z 0 & x y z 1 Tìm GTLN biểu thức: P 6( y z x) 27 xyz -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (11) SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình x y 4 z z y 2 x 2 z x 3 y (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— x, y , z Câu (2.5 điểm) 2 Tìm phương trình tất các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y ( x 1) đúng hai điểm phân biệt Tìm tất các giá trị thực tham số m cho phương trình sau có nghiệm thực | sin x | ( m 2) | sin x | (2 m) | cos x | 2 m 0 Câu (3 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác vuông B với AB a, AA 2a, AC 3a Gọi M là trung điểm cạnh C A , I là giao điểm các đường thẳng AM và AC Tính thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( IBC ) Oxy cho tam giác ABC và đường thẳng có Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc D 4; , E 1;1 , N 3;3 phương trình : x y 0 Giả sử theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M cạnh BC nằm trên đường thẳng và điểm M có hoành độ lớn a, b, c với a và đa thức P x x ax bx c có ba nghiệm âm Cho các số thực Câu (1.5 điểm) phân biệt Chứng minh b c Câu (1 điểm) Tìm số các cặp thứ tự ( A; B) hai tập tập hợp S {1, 2,3, , 2011} cho số phần tử tập hợp A B là chẵn Hết Họ và tên thí sinh ………………………………………………… SBD ………… Ghi chú: Cán coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không sử dụng máy tính bỏ túi (12)