1 Tìm m để phơng trình 1 có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối b»ng nhau 2 Tìm m để phơng trình 1 có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vu«ng cña mét tam g[r]
(1)I.ĐẠI SỐ CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất phương trình Khái niệm bất phương trình Nghiệm bất phương trình Bất phương trình tương đương Phép biến đổi tương đương các bất phương trình Dấu nhị thức bậc Dấu nhị thức bậc Hệ bất phương trình bậc ẩn Dấu tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai Bất phương trình bậc hai Bài tập Xét dấu biểu thức f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7) 1 3 x 3 x g(x)= h(x) = -3x2 + 2x – k(x) = x2 - 8x + 15 Giải bất phương trình a) (5 -x)( x - 7) x−1 >0 b) –x2 + 6x - > 0; c) -12x2 + 3x + < 3x 2 x d) x2 x e) 3x x 1 1 x x2 x f/ g) (2x - 8)(x2 - 4x + 3) > (2) 11x 0 x 5x h) x 3x 0 x2 x k) l) (1 – x )( x + x – ) > x2 m) x x Giải bất phương trình a/ b/ c/ d/ e/ x x 11 3x x 2x x x 8 4) Giải hệ bất phương trình sau x 4x 8x x a) c) 15 x x 2 x x 14 b) 3x 2 x 4 x x 19 2x x ( x 2)(3 x) x d) 5) Với giá trị nào m, phương trình sau có nghiệm? a) x2+ (3 - m)x + - 2m = b) (m 1)x 2(m 3)x m 0 (3) 6) Cho phương trình : (m 5) x 4mx m 0 Với giá nào m thì : a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có các nghiệm trái dấu 2 7) Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là R: a) 2x (m 9)x m 3m 0 b) (m 4)x (m 6)x m 0 8) Xác định giá trị tham số m để phương trình sau vô nghiệm: x – (m – ) x – m2 – 3m + = 9) Cho f (x ) = ( m + ) x2 – ( m +1) x – a) Tìm m để phương trình f (x ) = có nghiệm b) Tìm m để f (x) , x a/Haõy laäp baûng phaân boá taàn soá ,baûng phaân boá taàn suaát b/Trong 50 công nhân khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn CHƯƠNG THỐNG KÊ thaønh 1.Bảng moät saûnphân phaåmbố từtần 45 phuù đếnsuất 50 phuùt chieám bao nhieâu phaàn traêm? số -ttần Biểu đồ Chiều caođồcủa 10cột liệt kê bảng sau (đơn vị cm): Biểu tần30số,học tầnsinh suấtlớp hình 145 Đường gấp khúc tần số, tần suất Biểu đồ tần suất hình quạt Số trung bình Số trung bình Số trung vị và mốt Phương sai và độ lệch chuẩn dãy số liệu thống kê Bài tập Cho caùc soá lieäu ghi baûng sau Thời gian hoàn thành sản phẩm nhóm công nhân (đơn vị:phút) (4) a/Haõy laäp baûng phaân boá taàn soá ,baûng phaân boá taàn suaát b/Trong 50 công nhân khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn thành sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm? Chiều cao 30 học sinh lớp 10 liệt kê bảng sau (đơn vị cm): 145 158 161 152 152 167 150 160 165 155 155 164 147 170 173 159 162 156 148 148 158 155 149 152 152 150 160 150 163 171 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175) b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất c) Phương sai và độ lệch chuẩn Điểm thi học kì II môn Toán tổ học sinh lớp 10A (quy ước điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) liệt kê sau: ; ; 7,5 ; ; ; ; 6,5 ; ; 4,5 ; 10 a) Tính điểm trung bình 10 học sinh đó (chỉ lấy đến chữ số thập phân sau đã làm tròn) b) Tính số trung vị dãy số liệu trên Cho các số liệu thống kê ghi bảng sau : Thành tích chạy 500m học sinh lớp 10A trường THPT C ( đơn vị : giây ) a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp : [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ] b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc thành tích chạy học sinh c) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn bảng phân bố Số lượng khách đến tham quan điểm du lịch 12 tháng thống kê bảng sau: Tháng 10 11 12 Số 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880 khách (5) a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình b) Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn CHƯƠNG GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Góc và cung lượng giác Độ và rađian Góc và cung lượng giác Số đo góc và cung lượng giác Đường tròn lượng giác Giá trị lượng giác góc (cung) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang và ý nghĩa hình học Bảng các giá trị lượng giác các góc thường gặp Quan hệ các giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích Bài tập Đổi số đo các góc sau đây sang ra-đian: 105° ; 108° ; 57°37' Một đường tròn có bán kính 10cm Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo: 7π a) 12 b) 45° π cho sinα = ; và <α <π a) Cho Tính cosα, tanα, cotα 3π b) Cho tanα = và π <α < Tính sinα, cosα Chứng minh rằng: a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = - 2sin2x Chứng minh tam giác a) sin(A + B) = sinC ABC ta có: (6) b) sin ( A +B ) C = cos Tính: cos105°; tan15° Tính sin2a sinα - cosα = 1/5 Chứng minh rằng: cos4x - sin4x = cos2x (7) HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn D¹ng ¿ ax+ by=c a ' x +b ' y=c ' ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ x+ y =1 2) x − y=−5 ¿{ ¿ ¿ ( √ 2− 1) x+2 y =1 1) x −( √ 2+1) y=3 ¿{ ¿ Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx +5 y=5 1) x +my=5 ¿{ ¿ ¿ (m− 5)x − y=m− 2) (m+1)x +my=3 m ¿{ ¿ Tìm giá trị tham số để hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm ¿ mx +(2 m +1) y=3 m 1) (2 m+1) x + my=3 m +2 ¿{ ¿ ¿ mx+ ny=m2+ n2 2) nx +my=2 mn ¿{ ¿ Tìm m để hai đờng thẳng sau song song x+ y+ 4=0 ,(m+1) x + y=m m Tìm m để hai đờng thẳng sau cắt trên Oy ## x − my=− 2+m , x +( 2m+3) y =3 m HÖ gåm mét ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµmét ph¬ng tr×nh bËc hai hai Èn D¹ng ¿ ax+ by=c (1) cx 2+ dxy+ ey2 +gx +hy=k (2) ¿{ ¿ PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ ¿ x −3 y =5 x − y +1=0 1) x2 − y −2 y=4 2) xy −3( x + y )=− ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ x −3 y=1 3) x −5 xy + y +10 x+12 y=100 ¿{ ¿ Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh (8) ¿ mx −2 y=1 1) x 2+2 y 2=2 ¿{ ¿ ¿ mx −2 y=1 2) x 2+2 y 2=2 ¿{ ¿ Tìm m để đờng thẳng x+ 8(m+1) y −m=0 c¾t parabol x + y + x=0 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ## Hệ phơng trình đối xứng loại I ¿ f 1(x , y)=0 D¹ng f 2(x , y)=0 ; víi f i (x , y) = f i ( y , x) ¿{ ¿ ¿ x + y=S xy=P PP giải: đặt ;S ≥ P ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ ¿ x+ y+ xy=5 x+ y+ xy=11 1) x 2+ y + xy=7 2) x y + y x =30 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 2 + = x + y − xy=19 x y 4 2 3) x + y + x y =931 4) 3 x + y =243 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ (x + y ) 1+ =5 x + y 2=17 xy x x 5) 6) + = (x 2+ y 2) 1+ 2 =49 y y x y ¿{ ¿{ ¿ ¿ ( ( ) √ √ ) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm 1) ¿ x 2+ y 2=1 x 6+ y 6=m ¿{ ¿ Cho hÖ ph¬ng tr×nh Gi¶ sö 2) ¿ x + y + x + y ¿(x +1)( y+1) xy=m¿ ¿ { ¿ ¿ 2 ¿ x + y=2 −m x 2+ y + xy=3 ¿{ ¿ ( x ; y ) là nghiệm hệ Tìm m để biểu thức F= ## Hệ phơng trình đối xứng loại II 2 x + y − xy đạt max, đạt (9) D¹ng ¿ f (x , y )=0 f ( y , x )=0 ¿{ ¿ ¿ f ( x , y )=0 PP giải: hệ tơng đơng f ( x , y )− f ( y , x)=0 ¿{ ¿ ¿ f (x , y )+ f ( y , x )=0 hay f ( x , y )− f ( y , x)=0 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 1) 3) ¿ y 2=3 y −4 x x 2=3 x −4 y ¿{ ¿ ¿ y +yx 2=40 x x 3+ xy 2=40 y ¿{ ¿ ¿ y − xy=3 x 2) x − xy=3 y ¿{ ¿ ¿ y 3=3 y +8 x 4) x 3=3 x +8 y ¿{ ¿ ¿ y −( x + y )=2 m x −( x+ y )=2 m ¿{ ¿ ¿ y 2=x3 − x 2+ mx 2) x 2= y − y + my ## ¿{ ¿ Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm 1) Hệ phơng trình đẳng cấp (cÊp 2) ¿ 2 ax + bxy +cy =d (1) 2 D¹ng a ' x + b ' xy +c ' y =d ' (2) ¿{ ¿ PP giải: đặt y=tx x ≠ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ ¿ x 2+2 xy+ y 2=2 x +3 xy − y 2=13 1) x 2+2 xy+3 y 2=9 2) x − xy +2 y 2=4 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ x2 − xy +2 y 2=17 x −5 y 2=−1 3) 4) y − xy=1 x − y2 =−16 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm ¿ x2 +2 xy + y 2=11 1) x 2+2 xy+3 y 2=17 +m ¿{ ¿ ¿ x − xy +3 y 2=1 2) x − xy+5 y 2=m # ¿{ ¿ (10) Mét sè HÖ ph¬ng tr×nh kh¸c Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ x − y=1 1) x − xy+ y 2=7 ¿{ ¿ ¿ xy ( x − y )=2 3) x − y3 =7 ¿{ ¿ ¿ x2 + y 2=1 5) |x − 1|− y=2 ¿{ ¿ ¿ x − y − xy=− 49 2) x y − y x =−180 ¿{ ¿ ¿ xy +1=0 3 4) 8(x − y )+ 9( x − y)=0 ¿{ ¿ ¿ y ( x2 − y )=3 x 6) (x2 + y )x=10 y ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ 1) √ x + y + √ x+ y =5 √2 x+ y + x − y=1 ¿{ ¿ ¿ y 2+ √ y −2 x+3= 2) ¿ x 2+ y + z 2=14 3) xz= y x + y + z=7 ¿{{ ¿ 2x +5 3 x −2 y=5 ¿{ ¿ Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung 2 a) x −1=3 m vµ x − m =12 b) (m− 1) x −(m− 2) x − 1=0 x −2 x − m+ 1=0 vµ Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm ¿ x − y=a (xy +1) x + y + xy+2=0 ¿{ ¿ ¿ √ x+1+ √ y=m √ y+ 1+ √ x=1 ¿{ ¿ Tìm m, n để hệ phơng trình sau có nhiều h¬n nghiÖm ph©n biÖt ¿ x 2+ nxy+ y2 =1 x 2+ m(x + y )− y 2=x − y +m ¿{ ¿ ## (11) II.HÌNH HỌC CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1.Tích vô hướng hai vectơ Định nghĩa Tính chất tích vô hướng Biểu thức tọa độ tích vô hướng Độ dài vectơ và khoảng cách hai điểm Các hệ thức lượng tam giác Định lí côsin, định lí sin Độ dài đường trung tuyến tam giác Diện tích tam giác Giải tam giác CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.Phương trình đường thẳng Vectơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng Góc hai vectơ Vectơ phương đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Góc hai đường thẳng 2.Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn với tâm cho trước và bán kính cho trước Nhận dạng phương trình đường tròn Phương trình tiếp tuyến đường tròn (12) Bài tập Bài Cho tam giaùc ABC coù A 60 , caïnh CA = 8, caïnh AB = 1) Tính caïnh BC 2) Tính dieän tích tam giaùc ABC 3) Xeùt xem goùc B tuø hay nhoïn 4) Tính độ dài đường cao AH 5) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài Cho tam giaùc ABC coù a = 13 ; b = 14 ; c = 15 a) Tính dieän tích tam giaùc ABC b) Goùc B nhoïn hay tuø c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R cuûa tam giaùc d) Tính độ dài đường trung tuyến ma Bài Cho tam giác ABC có a = ; b = và góc C = 600; Tính các góc A, B, bán kính R đường tròn ngoại tiếp và trung tuyến ma Bài Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số đường thẳng trường hợp sau: a) Đi qua A(1;-2) và song song với đường thẳng 2x - 3y - = b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và N(3;2) c) Đi qua điểm P(2;1) và vuông góc với đường thẳng x - y + = 0 Bài Cho tam giác ABC biết A(-4;1), B(2;4), C(2;-2) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB Bài Cho tam giaùc ABC coù: A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Vieát phöông trình toång quaùt cuûa: a) caïnh AB, AC, BC b) Đường thẳng qua A và song song với BC c) Trung tuyến AM và đường cao AH tam giác ABC d) Đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và vuông góc với AC e) Đường trung trực cạnh BC Bài Cho tam giaùc ABC coù: A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).: a) Vieát phöông trình toång quaùt cuûa caïnh AB, AC, BC b) Viết phương trình đường trung bình song song cạnh AB c) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai trục tọa độ M,N cho AM = AN (13) d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân đường cao kẻ từ A tam giaùc ABC Bài Viết phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và a) qua điểm A(3;5) b) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình x + y = Bài Xác định tâm và bán kính đường tròn có phương trình: x2 + y2 - 4x - 6y + = Bài 10 Cho đường tròn có phương trình: x2 + y2 - 4x + 8y - = Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm A(-1;0) Bài 11 Viết phương trình đường tròn (C) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc với (d): x + 3y + = taïi ñieåm B(1 ; –1) Bài 12 : Cho đường thẳng d : x y 0 và điểm A(4;1) a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu A xuống d b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d Bài 13 Cho đường thẳng d : x y 0 và điểm M(1;4) a) Tìm tọa độ hình chiếu H M lên d b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d x 2 2t Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số : y 3 t a) Tìm điểm M trên d cho M cách điểm A(0;1) khoảng b) Tìm giao điểm d và đường thẳng : x y 0 Bài 15 Tính bán kính đường tròn tâm I(3;5) biết đường tròn đó tiếp xúc với đường thẳng : 3x y 0 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chuyên đề : Véc tơ và tọa độ véc tơ A tãm t¾t lÝ thuyÕt I Hệ Trục toạ độ II Tọa độ vÐc tơ Định nghĩa u ( x; y ) u xi y j C¸c tÝnh chất Oxy u ( x ; y ); v ( x '; y ') , ta cã : Trong cho mặt phẳng a u v ( x x '; y y ') ku (kx; ky ) b u v xx ' yy ' c (14) 2 u x x '2 u x x '2 d e u v u.v 0 xx ' yy ' 0 x y x' y' f u, v cïng phương x x ' u v y y ' g VÝ dụ VÝ dụ T×mm tọa độ cña vÐc tơ sau : d ( j i); a i; b 5 j; c 3i j; e 0,15i 1,3 j ; f i (cos 240 ) j 2 a (2;1); b (3; 4); c (7; 2) VÝ dụ Cho c¸c vÐc tơ : a T×m toạ độ vÐc tơ u 2a 3b c. b T×m toạ độ vÐc tơ x sao cho x a b c c T×m c¸c số k , l để c k a lb Oxy a (3; 2); b ( 1;5); c ( 2' 5) VÝ dô Trong mặt phẳng toạ độ cho c¸c vÐc tơ : a T×m toạ độ cña vÐc tơ sau u 2a b 4c v a 2b 5c ; w 2(a b) 4c x , y c xa b T×m c¸c số cho yb c TÝnh c¸c tÝch v« hướng a.b; b.c; a (b c); b(a c ) 1 u i j; v ki j VÝ dụ Cho T×m k để u, v cïng phương III Toạ độ điểm Định nghĩa M ( x; y ) OM ( x; y ) OM xi y j Mối liªn hệ toạ độ điểm và toạ độ vÐc tơ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ); C ( x3 ; y3 ) Khi đó: AB ( x2 x1 ; y2 y1 ) AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) a x x y y I( ; ) 2 b Toạ độ trung điểm I đoạn AB là : x1 x2 x3 y1 y2 y3 G( ; ) 3 c Toạ độ trọng t©m G ABC là : d Ba điểm A, B , C thẳng hàng AB, AC cïng phương VÝ dụ (15) VÝ dụ Cho ba điểm A( 4;1), B(2; 4), C (2; 2) a Chứng minh ba điểm kh«ng th¼ng hàng b TÝnh chu vi ABC c T×m tọa độ trực t©m H VÝ dụ Cho ba điểm A( 3; 4), B(1;1), C (9; 5) a Chứng minh A, B, C th¼ng hàng b T×m toạ độ D cho A là trung điểm BD c T×m toạ độ điÓm E trªn Ox cho A, B, E th¼ng hàng VÝ dụ Cho ba điểm A( 4;1), B(2; 4), C (2; 2) a Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành tam gi¸c b T×m toạ độ trọng t©m ABC c T×m toạ độ điểm E cho ABCE là h×nh b×nh hành đờng thẳng Chuyên đề 1: phơng trình đờng thẳng A kiÕn thøc c¬ b¶n I VÐc t¬ chØ ph¬ng vµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn đờng thẳng 1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ n 0 đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) đờng thẳng nÕu nã cã gi¸ u 2) Véc tơ phơng: Véc tơ 0 đợc gọi là véc tơ phơng( vtcp) đờng thẳng nó có giá song song trùng với đờng thẳng * Chó ý: n ; u kn ; ku k - NÕu là véc tơ pháp tuyến và phơng đờng thẳng th× c¸c vÐc t¬ còng t¬ng ứng là các véc tơ pháp tuyến và phơng đờng thẳng n ( a ; b ) u là véc tơ pháp tuyến đờng thẳng thì véc tơ phơng là (b; a) - NÕu u ( b; a ) u (u1 ; u2 ) n (u2 ; u1 ) - NÕu là véc tơ phơng đờng thẳng thì véc tơ pháp tuyến là n ( u2 ; u1 ) hoÆc II Phơng trình tổng quát đờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng Δ qua M (x ; y ) và có véc tơ pháp tuyến n=(a ; b) Khi đó phơng trình tổng quát Δ đợc xác định phơng trình : a(x − x )+ b( y − y )=0 (1) ( a2 +b ≠ ) III Phơng trình tham số đờng thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng Δ qua M ( x ; y ) và có véc tơ phơng u=(u1 ; u2) Khi đó phơng trình tham số Δ đợc xác định phơng trình : x=x +u1 t (2) ( t ∈R ) y= y +u2 t * Chú ý : Nếu đờng thẳng Δ có hệ số góc k thì có véc tơ phơng là u=(1 ; k ) { IV Chuyển đổi phơng trình tổng quát và phơng trình tham số (16) Nếu đờng thẳng Δ có phơng trình dạng (1) thì n Δ =( a ; b) Từ đó đờng thẳng vtcp lµ u Δ=( b ; −a) hoÆc u Δ =(− b ; a) Cho x=x thay vào phơng trình (2) ⇒ y= y Khi đó ptts Δ là : x=x 0+bt ( t ) y= y −at Δ cã { Nếu đờng thẳng Δ có phơng trình dạng (2) thì vtcp u Δ=(u ; u2 ) Từ đó đờng thẳng Δ có vtpt là n Δ=( u2 ; − u1) n Δ =( −u2 ; u1) Và phơng trình tổng quát Δ đợc xác định : u2 (x − x 0) −u1 ( y − y )=0 * Chó ý : - NÕu u1=0 th× pttq cña Δ lµ : x − x =0 - NÕu u2=0 th× pttq cña Δ lµ : y − y 0=0 B bµi tËp c¬ b¶n u (u1 ; u ) M ( x ; y ) 0 I Viết phơng trình đờng thẳng qua vµ cã mét vtcp Ví dụ : Viết phơng trình đờng thẳng các trêng hîp sau : a §i qua M (1; 2) vµ cã mét vtcp u (2; 1) b §i qua hai ®iÓm A(1; 2) vµ B(3; 4) ; A( 1; 2) vµ B( 1; 4) ; A(1; 2) vµ B(3; 2) x 1 2t // d : (t ) y t c §i qua M (3; 2) vµ d §i qua M (2; 3) vµ d : x y 0 II Viết phơng trình đờng thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có vtpt n (a; b) Ví dụ : Viết phơng trình tổng quát đờngthẳng các trờng hợp sau : a §i qua M (1; 2) vµ cã mét vtpt n (2; 3) b §i qua A(3; 2) vµ // d : x y 0 x 1 2t d : (t R ) y t B (4; 3) c §i qua vµ III Viết phơng trình đờng thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k cho trớc + Phơng trình đờng thẳng có dạng y kx m + ¸p dông ®iÒu kiÖn ®i qua M ( x0 ; y0 ) m Ví dụ : Viết phơng trình đờng thẳng các trờng hợp sau : a §i qua M ( 1; 2) vµ cã hÖ sè gãc k 3 b §i qua A(3; 2) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox gãc 45 III LuyÖn tËp Viết phơng trình đờng thẳng các trờng hợp sau : a §i qua A(3; 2) vµ B (1; 5) ; M ( 3;1) vµ N (1; 6) ; u b §i qua A vµ cã vtcp , nÕu : + A(2;3) vµ u ( 1; 2) (17) + A( 1; 4) vµ u (0;1) d : x y 0 c §i qua A(3; 1) vµ // d §i qua M (3; 2) vµ n (2; 2) e §i qua N (1; 2) vµ víi : + Trôc Ox + Trôc Oy f §i qua A(1;1) vµ cã hÖ sè gãc k 2 g §i qua B (1; 2) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox gãc 60 ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh ABC biÕt : a A(2;1); B(5;3); C (3; 4) b Trung ®iÓm c¸c c¹nh lµ : M ( 1; 1); N (1;9); P (9;1) c C ( 4; 5) và hai đờng cao ( AH ) : x y 0;( BK ) : 3x y 13 0 d ( AB) : x y 0 và hai đờng cao ( AH ) : x y 0;( BK ) : x y 22 0 e A(1;3) hai trung tuyÕn ( BM ) : x y 0;(CN ) : y 0 f C (4; 1) đờng cao ( AH ) : x y 0 trung tuyến ( BM ) : x y 0 Chuyên đề 2: vị trí tơng đối hai đờng thẳng A tãm t¾tlÝ thuyÕt I Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng 1 ; có phơng trình (1 ) : a1 x b1 y c1 0, a12 b12 0 ( ) : a2 x b2 y c2 0, a22 b22 0 Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song song hay rùng ? Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng II Ph¬ng ph¸p C¸ch 1: a1 a2 b b2 thì hai đờng thẳng cắt NÕu a1 a2 c1 b b2 c2 thì hai đờng thẳng song song NÕu a1 a2 c1 b b2 c2 thì hai đờng thẳng trùng NÕu C¸ch 2: a1 x b1 y c1 0 a x b2 y c2 0 XÐt hÖ ph¬ng tr×nh (1) Nếu hệ (1) có nghiệm thì hai đờng thẳng cắt và toạ độ giao điểm là nghiệm hệ Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song x; y thì hai đờng thẳng trùng Nếu hệ (1) nghiệm đúng với * Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách b bµi tËp c¬ b¶n (18) I Xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trờng hợp cắt nhau: : x y 0 a) 1 : x y 0; x 1 4t 2 : (t ) y t b) x 5t x 5t ' 1 : (t ) 2 : (t ' ) y t y t ' c) II Biện luận theo tham số vị trí tơng đối hai đờng thẳng Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng 1 : ( m 3) x y m2 0; : x my ( m 1) 0 Tìm m để hai đờng thẳng cắt Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng 1 : mx y m 0; : x my 0 m BiÖn luËn theo vị trí tơng đối hai đờng thẳng III LuyÖn tËp Bài 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trờng hợp cắt nhau: : x y 16 0 a) 1 : x 10 y 12 0; 1 : x y 10 0; 1 :12 x y 10 0; b) x 5 t 2 : (t ) y 3 2t x t x 5t ' 1 : 2 : (t ' ) (t ) y 2 4t ' y 10 t c) Bài 2: Biện luận theo m vị trí các cặp đờng thẳng sau : x my m 0 a) 1 : mx y 2m 0; b) 1 : mx y 0; : x my m 0 Chuyên đề 3: góc hai đờng thẳng A tãm t¾t lÝ thuyÕt I Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng 1 ; cắt Khi đó góc 1 ; là góc nhọn và , đợc kí hiệu là: * §Æc biÖt: , 90o th× 1 - NÕu o , 0 th× 1 // hoÆc 1 - NÕu II Công thức xác định góc hai đờng thẳng mặt phẳng toạ độ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đờng thẳng 1 ; có phơng trình (1 ) : a1 x b1 y c1 0, a12 b12 0 ( ) : a2 x b2 y c2 0, a22 b22 0 Khi đó góc hai đờng thẳng 1 , đợc xác định theo công thức: (19) cos 1 , a1a2 b1b2 a12 b12 a22 b22 * Nhận xét: Để xác định góc hai đờng thẳng ta cần biết véc tơ phơng chúng b bµi tËp c¬ b¶n I Xác định góc hai đờng thẳng Ví dụ: Xác định góc hai đờng thẳng 1 : x y 0; : x y 0 x t 2 : t y 7 5t x t ' x t 1 : 2 : t ' t y t' y t 5 II Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm cho trớc và tạo với đờng thẳng cho trớc mét gãc cho tríc M 1; Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d : 3x y 1 0 và 1 : x y 0; o Viết phơng trình đờng thẳng qua M và tạo với d góc 45 AB : x y 1 0; BC : x y 0 Ví dụ 2: Cho ABC cân đỉnh A Biết M 1;1 ViÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AC biÕt nã ®i qua A 3; BD : x y 27 0 VÝ dô 3: Cho h×nh vu«ng ABCD biÕt vµ Viết phơng trình các cạnh và các đờng chéo còn lại III LuyÖn tËp Bài 1: Xác định góc các cặp đờng thẳng sau : 3x y 0 a) 1 : x y 0; b) 1 : x y 0; c) 1 : x y 0; Bài 2: Cho hai đờng thẳng 1 : x y 0; : x y 0 : x y 0 : mx y 0 , 30o Tìm m để M 3;1 Bài 3: Cho đờng thẳng d : x y 0 và o Viết phơng trình đờng thẳng qua M và tạo với d góc 45 Bài 4: Cho ABC cân đỉnh A , biết: AB : x y 0 ; AC : x y 0 M 2; 1 ViÕt ph¬ng tr×nh BC ®i qua I 2;3 AB : x y 0 Bµi 5: Cho h×nh vu«ng t©m vµ Viết phơng trình các cạnh, các đờng chéo còn lại Bài 6: Cho ABC cân đỉnh A , biết: AB : x y 13 0 ; BC : x y 0 M 11; ViÕt ph¬ng tr×nh AC ®i qua (20) A 2; Bài 7: Cho ABC đều, biết: vµ ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cßn l¹i BC : x y 0 §êng trßn A Tãm tắt lý thuyết Phương tr×nh chÝnh tắc Trong mặt phẳng Oxy cho đường trßn t©m I (a; b) b¸n kÝnh R Khi đã phương tr×nh chÝnh tắc đường trßn là : ( x a ) ( y b) R Phương tr×nh tæng qu¸t Là phương tr×nh cã dạng : x y Ax By C 0 2 2 Với A B C Khi đó tâm I ( A; B ) , bán kính R A B C Bài to¸n viết phương tr×nh đường trßn VÝ dụ Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB , với A(1;1), B(7;5) 2 2 §¸p số : ( x 4) ( y 3) 13 hay x y x y 12 0 VÝ dụ Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp ABC , với A( 2; 4), B(5;5), C (6; 2) 2 §¸p số : x y x y 20 0 VÝ dụ Viết phương trình đường tròn có tâm I ( 1; 2) và tiếp xóc với đường thẳng : x y 0 ( x 1) ( y 2) §¸p số : VÝ dụ Viết phương tr×nh đường trßn qua A( 4; 2) và tiếp xóc với hai trục toạ độ 2 2 §¸p số : ( x 2) ( y 2) 4 ( x 10) ( y 10) 100 2 Bài toán tìm tham số để phương trình dạng x y Ax By C 0 là phương trình đường tròn 2 Điều kiện : A B C VÝ dụ Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y, phương tr×nh nào là phương tr×nh đường trßn X¸c định t©m và tÝnh b¸n kÝnh 2 2 a x y x y 0 c x y x y 16 0 2 2 b x y x y 0 d x y x 0 (21) I ( ;0), R I ( 3; 4), R §¸p số : c ) d) 2 VÝ dụ Cho phương tr×nh : x y 6mx 2(m 1) y 11m 2m 0 a T×m điều kiện m để pt trªn là đường trßn b T×m quĩ tÝch t©m đường trßn 2 VÝ dụ Cho phương tr×nh x y ( m 15) x (m 5) y m 0 a T×m điều kiện m để pt trªn là đường trßn b T×m quĩ tÝch t©m đường trßn 2 VÝ dụ Cho phương tr×nh (Cm ) : x y 2(m 1) x 2(m 3) y 0 a T×m m để (Cm ) là phương tr×nh đường trßn b T×m m để (Cm ) là đường trßn t©m I (1; 3) Viết phương tr×nh đường trßn này c T×m m để (Cm ) là đường trßn cã b¸n kÝnh R 5 Viết phương tr×nh đường trßn này d T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (Cm ) II BÀI TẬP T×m phương tr×nh đường trßn (C ) biết : a (C ) tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã b¸n kÝnh R 3 b (C ) tiếp xóc với Ox A(5;0) và cã b¸n kÝnh R 3 c Tiếp xóc với Oy B(0;5) và qua C (5; 2) T×m phương tr×nh đường trßn (C ) biết : a T×m I (1; 5) và qua gốc toạ độ b Tiếp xóc với trục tung và gốc O và cã R c Ngoại tiếp OAB với A(4;0), B(0; 2) d Tiếp xóc với Ox A(6;0) và qua B (9;3) Cho hai ểm A( 1;6), B( 5; 2) Lập phương tr×nh đường trßn (C ) , biết : a Đường kÝnh AB b T©m O và qua A ; T ©m O và qua B c (C ) ngoại tiếp OAB Viết phương tr×nh đường trßn qua ba điểm : a A(8;0) , B (9;3) , C (0;6) b A(1; 2) , B (5; 2) , C (1; 3) B Bài tập Viết phương tr×nh đường trßn (C ) cã t©m là điểm I (2;3) và thoả m·n điều kiện sau : (22) a (C ) cã b¸n kÝnh R 5 b (C ) tiếp xóc với Ox c (C ) qua gốc toạ độ O d (C ) tiếp xóc với Oy e (C ) tiếp xóc với đường th¼ng : x y 12 0 Cho ba điểm A(1; 4) , B( 7; 4) , C (2; 5) a Lập phương tr×nh đường trßn (C ) ngoại tiếp ABC b T×m toạ độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh Cho đường trßn (C ) qua điểm A( 1; 2) , B ( 2;3) và cã t©m trªn đường thẳng : x y 10 0 a T×m toạ độ t©m đường trßn (C ) b TÝnh b¸n kÝnh R c Viết phương tr×nh (C ) Lập phương tr×nh đường trßn (C ) qua hai điểm A(1; 2) , B(3; 4) và tiếp xóc với đường thẳng : x y 0 Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB c¸c trường hợp sau : a A( 1;1) , B(5;3) b A( 1; 2) , B(2;1) Lập phương tr×nh đường trßn (C ) tiếp xóc với c¸c trục toạ độ và qua điểm M (4; 2) T×m tọa độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh c¸c đường trßn sau : 2 2 a ( x 4) ( y 2) 7 d x y 10 x 10 y 55 2 b ( x 5) ( y 7) 15 2 c x y x y 36 2 e x y x y 0 2 f x y x 10 y 15 0 Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB c¸c trường hợp sau : a A(7; 3) , B(1;7) b A( 3; 2) , B(7; 4) Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp ABC biết : A(1;3) , B(5; 6) , C (7;0) 10 Viết phương tr×nh đường trßn (C ) tiếp xóc với c¸c trục toạ độ và : a Đi qua A(2; 1) b Cã t©m thuộc đường th¼ng : 3x y 0 11 Viết phương tr×nh đường trßn (C ) tiếp xóc với trục hoành điểm A(6;0) và qua điểm B(9;9) 12 Viết phương tr×nh đường trßn (C ) qua hai điÓm A( 1; 0) , B(1; 2) và tiếp xóc với đường thẳng : x y 0 (23) Ph¬ng tr×nh bËc hai & hÖ thøc Vi-Ðt Bài tập : Định giá trị tham số m để phơng trình x m(m 1) x 5m 20 0 Cã mét nghiÖm x = - T×m nghiÖm Bµi tËp : Cho ph¬ng tr×nh x mx 0 (1) a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng 1? T×m nghiÖm Bµi tËp : Cho ph¬ng tr×nh x x m 0 (1) a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm gÊp lÇn nghiÖm kia? T×m c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trêng hîp nµy Bµi tËp : Cho ph¬ng tr×nh (m 4) x 2mx m 0 a) m = ? th× (1) cã nghiÖm lµ x = b) m = ? th× (1) cã nghiÖm kÐp Bµi tËp : Cho ph¬ng tr×nh (1) x 2(m 1) x m 0 a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m b) m =? th× (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu (1) c) Gi¶ sö x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) CMR : M = thuéc m Bµi tËp : Cho ph¬ng tr×nh x 2( m 1) x m 0 a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi m x2 x1 x1 x2 (1) 2 b) §Æt M = x1 x2 ( x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)) T×m M Bµi tËp 7: Cho ph¬ng tr×nh x ax b 0(1); x bx c 0(2); x cx a 0(3) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi tËp 8: Cho ph¬ng tr×nh kh«ng phô (24) x (a 1) x a a 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi a 2 b) x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) T×m B = x1 x2 Bµi tËp 9: Cho ph¬ng tr×nh x 2(a 1) x 2a 0 a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a (1) b) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1 x2 2 c) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1 x2 = Bµi tËp 10: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 1) x m 0 (1) a) m = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n 3x1 x2 11 b) Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiÖm d¬ng c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 , x2 kh«ng phô thuéc m Gîi ý: Gi¶ sö (1) cã hai nghiÖm d¬ng -> v« lý Bµi tËp 11: Cho hai ph¬ng tr×nh x (2m n) x 3m 0(1) x (m 3n) x 0(2) Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng Bµi tËp 12: Cho ph¬ng tr×nh ax bx c 0(a 0) (1) điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm là kb (k 1) ac 0(k 0) Bµi tËp 13: Cho ph¬ng tr×nh mx 2(m 4) x m 0 (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2 0 c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bµi tËp 14: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 3) x m 3m 0 (1) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bµi tËp 15: Cho ph¬ng tr×nh (m 2) x 2( m 4) x ( m 4)(m 2) 0 (1) a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m A c) TÝnh theo m biÓu thøc d) Tìm m để A = 1 x1 x2 ; (25) Bµi tËp 16: Cho ph¬ng tr×nh x mx 0 (1) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi A 2( x1 x2 ) x12 x22 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc c) Tìm các giá trị m cho hai nghiệm phơng trình là nghiệm nguyên Bµi tËp 17: Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph¬ng tr×nh x kx 0 cã hai nghiÖm h¬n kÐm đơn vị Bµi tËp 18: Cho ph¬ng tr×nh x (m 2) x m 0 (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm Bµi tËp 19: Cho ph¬ng tr×nh x (m 1) x m 0 (1) a) CMR ph¬ng r×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 b) Gäi x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh TÝnh x1 x2 theo m 2 c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2 = Bµi tËp 20: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 1) x m 3m 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -3 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó Tìm hai nghiệm đó Bµi tËp 21: Cho ph¬ng tr×nh x 12 x m 0 (1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 toả mãn x2 x1 Bµi tËp 22: Cho ph¬ng tr×nh (m 2) x 2mx 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn Bµi tËp 23: Cho ph¬ng tr×nh x 2( m 1) x m 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) CMR ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm ph©n biÖt víi mäi m 1 3 x c) TÝnh A = x2 theo m d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối Bµi tËp 24: Cho ph¬ng tr×nh (m 2) x 2mx m 0 (1) a) Tìm m để phơng trình (1) là phơng trình bậc hai b) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = (26) c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm Bµi tËp 25: Cho ph¬ng tr×nh x px q 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh p = (1) 3 ;q= 3 b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm : x1 2, x2 1 c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiÖm d¬ng x1 , x2 th× ph¬ng tr×nh qx px 0 cã hai nghiÖm d¬ng x3 , x4 1 x1 x2 2 d) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ x1va3 x2 ; x1 vµ x2 ; x2 vµ x1 Bµi tËp 26: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 1) x m 0 (1) a) CMR ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm ph©n biÖt víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 1 ; 2 c) Tìm m để x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bµi tËp 27: Cho ph¬ng tr×nh x 2(m 1) x 2m 10 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -6 (1) 2 b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức A x1 x2 10 x1 x2 Bµi tËp 28: Cho ph¬ng tr×nh ( m 1) x (2m 3) x m 0 a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu (1) b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính nghiệm này theo nghiệm Bµi tËp 29: Cho ph¬ng tr×nh x 2(m 2) x (m 2m 3) 0 (1) 1 x1 x2 x , x x x2 Tìm m để (1) có hai nghiệm ph©n biÖt tho¶ m·n Bµi tËp 30: Cho ph¬ng tr×nh x mx n 0 cã m = 16n CMR hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , cã mét nghiÖm gÊp ba lÇn nghiÖm Bµi tËp 31 : Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 3x 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y 1 x x2 ; tÝnh : a) x3 x3 b) ( x1 x2 ) ; c) d) x1 x2 Bµi tËp 32 : LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng : a) vµ ; b) - vµ + Bµi tËp 33 : CMR tån t¹i mét ph¬ng tr×nh cã c¸c hÖ sè h÷u tû nhËn mét c¸c nghiÖm lµ : 3 a) ; 2 2 ; 2 b) c) Bµi tËp 33 : LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng : a) B×nh ph¬ng cña c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x x 0 ; (27) b) Nghịch đảo các nghiệm phơng trình x mx 0 Bài tập 34 : Xác định các số m và n cho các nghiệm phơng trình x mx n 0 còng lµ m vµ n Bµi tËp 35: Cho ph¬ng tr×nh x 2mx (m 1)3 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m = -1 b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , đó nghiệm bình phu¬ng nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 36: Cho ph¬ng tr×nh x x 0 (1) x x x x TÝnh 2 ( Víi x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) Bµi tËp 37: Cho ph¬ng tr×nh (2m 1) x 2mx 0 (1) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; ) x12 x22 1 x , x b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm tho¶ m·n Bµi tËp 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k là tham số) Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm Bµi tËp 39: Tìm các giá rị a để ptrình : (a2 − a− 3)x 2+ ( a+2 ) x − a2=0 NhËn x=2 lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i cña ptr×nh ? Bµi tËp 40 Xác định giá trị m phơng trình bậc hai : x x m 0 để + là nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho còn mét nghiÖm n÷a T×m nghiÖm cßn l¹i Êy? Bµi tËp 41: Cho ph¬ng tr×nh : x 2( m 1) x m 0 (1) , (m lµ tham sè) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 2) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt mäi m 3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ ( x1 , x2 là hai nghiệm phơng trình (1) nói phần 2/ ) Bµi tËp 42: Cho phương trình Giải phương trình b= -3 và c=2 Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích chúng (28) Bµi tËp 43: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m là tham số và x là ẩn số a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ,x2 c) Với điều kiện câu b hãy tìm m để biểu thức A = x x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ Bµi tËp 44: Cho ph¬ng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2 – = 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = √ 2) Tìm m để phơng trình có đúng nghiệm phân biệt Bµi tËp 45: Cho ph¬ng tr×nh ( Èn x) : x2 - 2mx + m2 – =0 (1) 1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối b»ng 2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm là số đo cạnh góc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng Bµi tËp 46: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã hai nghiÖm lµ: x 1= 3+ √5 1) TÝnh : P = ( − √5 4 4 + 3+ √ 3− √ vµ x 2= ) ( ) Bài tập 47: Tìm m để phơng trình : x −2 x −|x − 1|+m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt x (2m 3) x 0 Bµi tËp 48: Cho hai ph¬ng tr×nh sau : x x m 0 ( x lµ Èn , m lµ tham sè ) Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng nghiệm chung Bµi tËp 49: 2 Cho ph¬ng tr×nh : x 2(m 1) x m 0 víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tríc 1) Giải phơng trình đã cho kho m = 2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện x12 x22 4 Bµi tËp 50: Cho ph¬ng tr×nh : m x 2m x m 0 ( x lµ Èn ; m lµ tham sè ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = - 2) CMR phơng trình đã cho có nghiệm với m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm Bµi tËp 52: Cho ph¬ng tr×nh x2 + x – = a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu (29) b) Gäi x1 lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : P x18 10 x1 13 x1 Bµi tËp 53: Cho ph¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 (1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó Bµi tËp 54: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1) a) CMR ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 b) Tìm m để nghiệm x1 , x2 (1) thoả mãn : x1 x2 14 Bµi tËp 55: a) Cho a = 11 , b 11 CMR a, ,b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn 2 3 b) Cho c 10, d 10 CMR c , d lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn Bµi tËp 56: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : x 2(m 1) x m m 0 (x lµ Èn, m lµ tham sè) 1) Tìm tất các giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm 2) Tìm tất các giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1 x2 3 Tìm tất các giá trị tham số m để tập giá trị hàm số 3) 2;3 y= x 2(m 1) x m m chøa ®o¹n Bµi tËp 57:Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình có nghiệm này bình phơng nghiệm 2 2 Bµi tËp 58: Cho ph¬ng tr×nh : x x 6a a 0 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2) Gi¶ sö x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy H·y t×m gi¸ trÞ cña a cho x2 x1 x1 Bµi tËp 59: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 -5x – ( m + 5) = (1) đó m là tham số, x là ẩn a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m c) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 , h·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cña 2 biểu thức B = 10 x1 x2 3( x1 x2 ) Tìm m để B = Bµi tËp 60: 2 a) Cho ph¬ng tr×nh : x 2mx m 0 ( m lµ tham sè ,x lµ Èn sè) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyên m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện 2000 x1 x2 2007 b) Cho a, b, c, d R CMR Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm (30) ax 2bx c 0; bx 2cx d 0; cx 2dx a 0; dx 2ax b 0; Bµi tËp 61: 2 1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn đẳng thức a b ab c CMR phơng trình x x (a c)(b c) 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt Cho phơng trình x x p 0 có hai nghiệm dơng x1 , x2 Xác định giá trị p x14 x24 x15 x25 đạt giá trị lớn Bµi tËp 62: Cho ph¬ng tr×nh : (m + ) x2 – ( 2m + ) x +2 = , víi m lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm này gấp lần nghiệm Bµi tËp 63: Cho ph¬ng tr×nh 2 : x y xy x 10 y 0 (1) 2 1) T×m nghiÖm ( x ; y ) cña ph¬ng tr×nh ( ) tho¶ m·n x y 10 2) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (1) Bµi tËp 64: Gi¶ sö hai ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x : a1 x b1 x c1 0 vµ a2 x b2 x c2 0 Cã nghiÖm chung CMR a1c2 a2c1 Bµi ab a b b c b c1 2 1 2 : tËp 65: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x : x 2( m 1) x 2m 3m 0 a) Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ chØ m 1 x1 x2 x1 x2 x , x b) Gäi lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , chøng minh : Bµi tËp 66: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x : x 2mx m 0 a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm A x1 x2 x1 x2 b) Gäi x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : Bµi tËp 67: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x : (m 1) x 2(m 1) x m 0 víi m 1 (1) a) CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Gọi x1 , x2 là nghiệm phơng trình (1) , tìm m để x1 x2 và x1 2 x2 Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài cạnh tam giác CMR phơng trình x ( a b c) x ab bc ac 0 v« nghiÖm Bµi tËp 69: Cho c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x : (31) ax bx c 0(1); cx dx a 0(2) 2 2 BiÕt r»ng (1) cã c¸c nghiÖm m vµ n, (2) cã c¸c nghiÖm p vµ q CMR : m n p q 4 Bµi tËp 70: Cho c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x : x bx c 0 cã c¸c nghiÖm x1 , x2 ; ph¬ng tr×nh x b x bc 0 cã c¸c nghiÖm x3 , x4 Biết x3 x1 x4 x2 1 Xác định b, c Bµi tËp 71 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau a) 3x4 - 5x2 +2 = b) x6 -7x2 +6 = c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24 e) 3x2+ 3x = √ x2 + x +1 1 ¿ +6 =0 f) (x + ) - ( √ x+ x √x g) √ 1− x 2=x − h) √ x −20= x −20 ¿ x x 48 i) − ¿ + =10 ¿ x x Bµi tËp 72 gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau a) x2 - √ x - =0 b) - √ x2- x +1=0 c) ( d)5x4 - 7x2 +2 = √ ¿ ¿ x −( √ 3+ 1)+ √ 3=0 e) (x2 +2x +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 2 2x + 2x = √ x + x +1 Bµi tËp 73.Cho ph¬ng tr×nh bËc hai 4x -5x+1=0 (*) cã hai nghiÖm lµ x ❑1 , x ❑2 1/ kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: − x1 − x2 1 A= + D=x + x ; B=¿ + ; C=x + x ; x x2 x1 x2 2/ lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng: a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3 1 b) u = ,v= x −1 x −1 Bµi tËp 74 Cho hai ph¬ng tr×nh : x2- mx +3 = vµ x2- x +m+2= a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng Bµi tËp 75 Cho ph¬ng tr×nh (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 1 b) T×m a cho + <3 x1 x2 c) Tìm hệ thức độc lập x1, x2 Bµi tËp 76 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(m+2)x +m= a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =- √ b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C=x + x Bµi tËp 77: Cho ph¬ng tr×nh: mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = (1) a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm 2 2 2 7 g) (32) b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lín h¬n ? c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bài tập 78: Cho phơng trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm các giá trị m để nghiệm x1 ;x2 PT tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x12 + x22 = Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu (m – 1)x2 – 2x + = Bµi tËp 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) = Tìm các GT m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : 1 x1 x2 x1 x2 Bµi tËp 81 Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = cã c¸c nghiÖm x1; x2 LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1; x2 độc lập với m Bµi tËp 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – = (1) a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi a b) Víi mäi gi¸ trÞ cña a th× (1) cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x1 < < x2 c) Víi GT nµo cña a th× (1) cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = Bµi tËp 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = (1) mx2 + 10x – = (2) ( m kh¸c kh«ng ) 1) Chứng minh nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm PT hai 2) Víi GT nµo cña m th× PT (1) cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 6x1 + x2 = Bµi tËp 84: Cho Ph¬ng tr×nh x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – = (1) 1) C/mr víi mäi m PT lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu 2) Tìm GT m để PT (1) có nghiệm x = -1 3) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = m2 – 2m + Bµi tËp 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = a) T×m c¸c GT cña a cho tæng lËp ph¬ng c¸c nghiÖm b»ng b) Víi GT nµo cña a th× tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c nghiÖm cã GTNN Bµi 14: Cho PT x2 – 5x + = (1) Kh«ng gi¶i PT lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm y1 ; y2 a) Đều là số đối các nghiệm PT (1) b) §Òu lín h¬n c¸c nghiÖm c¶u PT(1) lµ Bµi tËp 87 Cho Ph¬ng tr×nh x2 – (m – 1) x – m2 +m – = a) Gi¶i PT m = b) C/mr phgơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với GT m c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x1 ; x2 Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn 3 x1 x2 x2 x1 đạt GTLN Bµi tËp 88: Cho Ph¬ng tr×nh : x2 – mx – m – = (*) a) C/mr PT (*) cã nghiÖm x1 ; x2 víi mäi GT cña m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã ) cña PT vµ GT m t¬ng íng b) §Æt A = x12 + x22 – 6x1.x2 1) Chøng minh A = m2 -8m + 2) T×m m cho A= 3) T×m GTNN cña a vµ GT m t¬ng øng Bµi tËp 89: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(a- 1) x + 2a – = (1) a) C/mr PT(1) cã nghiÖm víi mäi a b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× (1) cã nghiÖm x1 ,x2 tho¶ m·n x1 < < x2 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x12 + x22 =6 Bµi tËp 90: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m+1)x + m – = ( *) a) Chøng minh (*) cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm giá trị m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu c) Gi¶ sö x1 ; x2 lµ nghiÖm cña PT (*) Chøn minh r»ng : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1 Bµi tËp 91: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – (1- 2n) x + n – = (33)